CN113706711A - 一种最优曲边网格的变分生成方法 - Google Patents
一种最优曲边网格的变分生成方法 Download PDFInfo
- Publication number
- CN113706711A CN113706711A CN202110925972.1A CN202110925972A CN113706711A CN 113706711 A CN113706711 A CN 113706711A CN 202110925972 A CN202110925972 A CN 202110925972A CN 113706711 A CN113706711 A CN 113706711A
- Authority
- CN
- China
- Prior art keywords
- edge
- curved
- energy function
- triangular
- mesh
- Prior art date
- Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
- Granted
Links
- 238000000034 method Methods 0.000 title claims abstract description 19
- 238000011478 gradient descent method Methods 0.000 claims abstract description 8
- 238000005070 sampling Methods 0.000 claims abstract description 4
- 238000013459 approach Methods 0.000 claims abstract description 3
- 238000010586 diagram Methods 0.000 description 7
- 238000005457 optimization Methods 0.000 description 6
- 238000004422 calculation algorithm Methods 0.000 description 2
- 238000004364 calculation method Methods 0.000 description 2
- 230000009286 beneficial effect Effects 0.000 description 1
- 230000006835 compression Effects 0.000 description 1
- 238000007906 compression Methods 0.000 description 1
- 230000007547 defect Effects 0.000 description 1
- 238000009795 derivation Methods 0.000 description 1
- 230000000694 effects Effects 0.000 description 1
- 238000012986 modification Methods 0.000 description 1
- 230000004048 modification Effects 0.000 description 1
Images
Classifications
-
- G—PHYSICS
- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06T—IMAGE DATA PROCESSING OR GENERATION, IN GENERAL
- G06T17/00—Three dimensional [3D] modelling, e.g. data description of 3D objects
- G06T17/20—Finite element generation, e.g. wire-frame surface description, tesselation
Landscapes
- Physics & Mathematics (AREA)
- Engineering & Computer Science (AREA)
- Computer Graphics (AREA)
- Geometry (AREA)
- Software Systems (AREA)
- General Physics & Mathematics (AREA)
- Theoretical Computer Science (AREA)
- Image Generation (AREA)
- Image Processing (AREA)
Abstract
本发明涉及一种最优曲边网格的变分生成方法,包括如下步骤,步骤A:输入任意一幅图像,顶点数量,逼近多项式阶次;步骤B:在图像区域采样所需数量的顶点,对所得顶点集生成Delaunay三角网格,并给每条边附加一个控制点;步骤C:利用最小二乘方法在每个曲边三角形区域计算各自最佳的逼近多项式,得到该剖分上对原图的分片逼近函数;步骤D:根据能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式,采用梯度下降法并判断能量函数值是否降低对三角网格的顶点位置和控制点位置进行优化,采用边翻转操作并判断能量函数值是否降低对三角网格的连接关系进行优化;步骤E:循环步骤C和步骤D,直到迭代次数达到预设值或者能量函数值降低到预设值。
Description
技术领域
本发明涉及计算机图形学和图像逼近技术领域,尤其涉及一种最优曲边网格的变分生成方法。
背景技术
图像的几何表示一直是图像逼近、压缩和矢量化等研究领域的重要组成部分,它的目标可以转换成求解原图像与几何表达结构上的分片逼近函数之间误差的最小值。在众多的几何表示中,三角网格是其中较为常见的一种结构。如何自动生成与给定图像的特征高度吻合的三角网格是一类重要的研究问题。
然而,由于图像通常不会只含有直线特征,而是很多复杂的曲线特征,普通三角网格的每条边都是直线段,无法与曲线特征吻合得较好。如果想取得较高的逼近质量,现有的方法需要在曲线特征上放置大量的顶点和线段,相当于用每段长度较短的折线段来逼近该曲线特征。本发明为三角网格引入曲边,即给每条边附加一个控制点,由该边的两个端点和其控制点生成一条二次Bezier曲线,以期在顶点数量给定的前提下,更好地对图像特征进行捕捉。
本发明公开了一种生成这种曲边网格的能量函数,及其关于顶点和控制点位置的梯度公式,并采用一种高效的优化算法来快速获取逼近误差最小时对应的最优曲边网格。本发明可以把相对更少的顶点放置到曲线特征上,而将其余顶点加入到逼近误差较大的区域,以获得更高逼近质量的结果。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的不足,提供一种最优曲边网格的变分生成方法,可以把相对更少的顶点放置到曲线特征上,而将其余顶点加入到逼近误差较大的区域,以获得更高逼近质量的结果。
为了实现本发明的目的,本发明采用的技术方案为:
本发明公开了一种最优曲边网格的变分生成方法,包括如下步骤,
步骤A:输入任意一幅图像,顶点数量,逼近多项式阶次;
步骤B:在图像区域采样所需数量的顶点,对所得顶点集生成Delaunay三角网格,使其完全覆盖整幅图像,并给每条边附加一个控制点;
步骤C:利用最小二乘方法在每个曲边三角形区域计算各自最佳的逼近多项式,得到该剖分上对原图的分片逼近函数;
步骤D:根据能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式,采用梯度下降法并判断能量函数值是否降低对三角网格的顶点位置和控制点位置进行优化,采用边翻转操作并判断能量函数值是否降低对三角网格的连接关系进行优化;
步骤E:循环步骤C和步骤D,直到迭代次数达到预设值或者能量函数值降低到预设值。
所述步骤D包括如下步骤,
步骤D1:根据能量函数关于顶点位置的梯度公式,采用改进的梯度下降法优化每个顶点的位置;
步骤D2:利用边翻转操作,检测每条内部边是否需要翻转;
步骤D3:根据能量函数关于控制点位置的梯度公式,采用改进的梯度下降法优化每个顶点的位置。
所述步骤D中,能量函数的建立过程如下:
对于任意给定的函数h:X→R,其中X表示一个二维区域,R表示实数集,采用含曲边的三角网格T={V,E,C,F}对X区域进行划分,其中代表n个顶点构成的集合,E表示顶点间的连接关系,C是每条边上附加的控制点构成的集合,则代表m个互不重叠的三角形子区域,每个子区域由三条曲边围成。由用户给定多项式阶次后,在每个三角形子区域fk上分别计算出最佳的逼近多项式gk,构成对原函数h的分片逼近,目标是求解两者之间的逼近误差最小,即求下式的最小值:
而曲边三角网格T本质上由V,E,C三者决定,因此上式转化为:
将该式称为能量函数,目标是求解它最小值对应的曲边网格,称为最优曲边网格。所述步骤D中,能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式的建立过程如下:
根据莱布尼兹公式,上述能量函数关于顶点位置vi的梯度为:
其中Fi是vi一邻域范围内子区域的序号集合;Ni表示与顶点vi相邻的顶点序号集合;从vi沿着曲边到vj,左手边的曲边三角形子区域序号记为kl,右手边的子区域序号记为kr;Δ(x)=(h(x)-gkl(x))2-(h(x)-gkr(x))2表示两区域公共边上的点在各自区域上的逼近误差之差;n(x)表示公共边上指向区域kl外的单位法向量;当曲边网格给定的时候,最佳逼近多项式是可以立刻计算得到的。根据包络定理,上式右边的第一项为0,下面推导上式右边的第二项;
对于两个端点分别为vi和vj的曲边,它的中间控制点为cij,由它们定义一条Bezier曲线段,即
xij(t)=(1-t)2vi+2t(1-t)cij+t2vj,t∈[0,1]
其中t为参数。xij(t)对vi求偏导:
xij(t)对t求偏导:
其中(·)⊥表示向量沿顺时针旋转90度,‖·‖代表向量模长;
因此,最优曲边网格的能量函数关于顶点位置vi的梯度公式可进一步简化为:
同理,最优曲边网格的能量函数关于控制点位置cij的梯度公式可推导为:
本发明的有益效果在于:
(1)本发明为网格的每条边都附加了控制点,将网格的每条边进行弯曲,经过优化可以使得曲边网格能够用更少的顶点更精确地捕捉原函数的特征,从而提高整体的逼近质量。
附图说明
图1为本发明的图像的最优曲边网格的示例图;
图2为本发明的能量函数关于顶点位置和控制点位置的梯度推导符号示意图;
图3为本发明的图像的最优曲边网格生成流程图;
图4为本发明的优化顶点位置示意图;
图5为本发明的顶点的步长计算示意图;
图6为本发明的通过边翻转操作优化连接关系的示意图;
图7为本发明的优化控制点示意图;
图8为本发明的控制点的步长计算示意图;
图9为本发明的实现流程示例图;
图10为普通最优直边三角网格与本发明的最优曲边三角网格对图像特征的捕捉效果对比图。
具体实施方式
下面对本发明进一步说明:
请参阅图1-10,
最优曲边网格的能量函数:
对于任意给定的函数h:X→R,其中X表示一个二维区域,R表示实数集,采用含曲边的三角网格T={V,E,C,F}对X区域进行划分,其中代表n个顶点构成的集合,E表示顶点间的连接关系,C是每条边上附加的控制点构成的集合,则代表m个互不重叠的三角形子区域,每个子区域由三条曲边围成。由用户给定多项式阶次后,在每个三角形子区域fk上分别计算出最佳的逼近多项式gk,构成对原函数h的分片逼近,目标是求解两者之间的逼近误差最小,即求下式的最小值:
而曲边三角网格T本质上由V,E,C三者决定,因此上式转化为:
将该式称为能量函数,目标是求解它最小值对应的曲边网格,称为最优曲边网格。
如图1所示,展示了原函数h为一幅彩色图像的最优曲边网格结果及其重建图像。
最优曲边网格的能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式:
根据莱布尼兹公式,上述能量函数关于顶点位置vi的梯度为:
其中Fi是vi一邻域范围内子区域的序号集合;Ni表示与顶点vi相邻的顶点序号集合;从vi沿着曲边到vj,左手边的曲边三角形子区域序号记为kl,右手边的子区域序号记为kr;Δ(x)=(h(x)-gkl(x))2-(h(x)-gkr(x))2表示两区域公共边上的点在各自区域上的逼近误差之差;n(x)表示公共边上指向区域kl外的单位法向量;上述符号,如图2所示。
当曲边网格给定的时候,最佳逼近多项式是可以立刻计算得到的。根据包络定理,上式右边的第一项为0。下面推导上式右边的第二项。
对于两个端点分别为vi和vj的曲边,它的中间控制点为cij,由它们定义一条Bezier曲线段,即
xij(t)=(1-t)2vi+2t(1-t)cij+t2vj,t∈[0,1]
其中t为参数。xij(t)对vi求偏导:
xij(t)对t求偏导:
其中(·)⊥表示向量沿顺时针旋转90度,‖·‖代表向量模长。
因此,最优曲边网格的能量函数关于顶点位置vi的梯度公式可进一步简化为:
同理,最优曲边网格的能量函数关于控制点位置cij的梯度公式可推导为:
以图像作为原函数为例,其最优曲边网格的变分生成步骤如图3所示:
每一步骤具体描述如下:
步骤A:输入任意一幅图像,顶点数量,逼近多项式阶次,算法结束条件(比如指定最大迭代次数、所期望的最低总逼近误差);
步骤B:在图像区域采样指定数量的点,对所得点集生成Delaunay三角网格,使其完全覆盖整幅图像,并给每条边附加一个控制点;
步骤C:曲边网格将图像划分成若干个子区域,在每个子区域上分别利用最小二乘方法计算各自最佳的逼近多项式,得到该剖分上对原图的分片逼近函数;
步骤D:根据能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式,采用梯度下降法并判断能量函数值是否降低对三角网格的顶点位置和控制点位置进行优化,采用边翻转操作并判断能量函数值是否降低对三角网格的连接关系进行优化。其中:
步骤D1:如图4所示,对每个顶点的位置采用迭代公式进行优化,αi表示能够使得vi一邻域范围的子区域的逼近误差之和减小、且不会使得三角网格发生重叠现象的安全步长。如图5所示,首先找出如图中填充区域的步长安全范围,再根据梯度方向(图中单向箭头方向),求解出步长可取的最大值(图中双向箭头长度)。
步骤D2:如图6所示,通过边翻转元操作来优化连接关系。对于每条内部边,首先检查翻转该边是否会造成三角网格重叠,是则跳过该边,否则继续检查该边翻转前后与之相邻的两个子区域的逼近误差之和是否降低,是则翻转,否则不翻转。
步骤D3:如图7所示,对每条内部边的控制点位置采用迭代公式进行优化,其中βij表示能够使得与该边相邻的两个子区域的逼近误差之和减小的、且不会使得三角网格发生重叠现象的安全步长。如图8所示,首先找出图中填充区域的步长安全范围,再根据梯度方向(图中单向箭头方向),求解出步长可取的最大值(图中双向箭头长度)。
步骤E:循环步骤C-D,直到迭代次数达到预设值或者逼近误差总和降低到预设值。如图9所示,展示了上述过程的一个示例。
相比于现有最好的三角网格生成方法,本发明为网格的每条边都附加了控制点,将网格的每条边进行弯曲,经过优化可以使得曲边网格能够用更少的顶点更精确地捕捉原函数的特征,从而提高整体的逼近质量,如图10中的对比所示。
以上所述仅为本发明的实施例,并非因此限制本发明的专利范围,凡是利用本发明说明书及附图内容所作的等同变换或直接或间接运用在相关的技术领域,均同理包括在本发明的专利保护范围内。
Claims (4)
1.一种最优曲边网格的变分生成方法,其特征在于:包括如下步骤,
步骤A:输入任意一幅图像,顶点数量,逼近多项式阶次;
步骤B:在图像区域采样所需数量的顶点,对所得顶点集生成Delaunay三角网格,使其完全覆盖整幅图像,并给每条边附加一个控制点;
步骤C:利用最小二乘方法在每个曲边三角形区域计算各自最佳的逼近多项式,得到该剖分上对原图的分片逼近函数;
步骤D:根据能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式,采用梯度下降法并判断能量函数值是否降低对三角网格的顶点位置和控制点位置进行优化,采用边翻转操作并判断能量函数值是否降低对三角网格的连接关系进行优化;
步骤E:循环步骤C和步骤D,直到迭代次数达到预设值或者能量函数值降低到预设值。
2.根据权利要求1所述的一种最优曲边网格的变分生成方法,其特征在于:所述步骤D包括如下步骤,
步骤D1:根据能量函数关于顶点位置的梯度公式,采用改进的梯度下降法优化每个顶点的位置;
步骤D2:利用边翻转操作,检测每条内部边是否需要翻转;
步骤D3:根据能量函数关于控制点位置的梯度公式,采用改进的梯度下降法优化每个顶点的位置。
3.根据权利要求1所述的一种最优曲边网格的变分生成方法,其特征在于:所述步骤D中,能量函数的建立过程如下:
对于任意给定的函数h:X→R,其中X表示一个二维区域,R表示实数集,采用含曲边的三角网格T={V,E,C,F}对X区域进行划分,其中代表n个顶点构成的集合,E表示顶点间的连接关系,C是每条边上附加的控制点构成的集合,则代表m个互不重叠的三角形子区域,每个子区域由三条曲边围成。由用户给定多项式阶次后,在每个三角形子区域fk上分别计算出最佳的逼近多项式gk,构成对原函数h的分片逼近,目标是求解两者之间的逼近误差最小,即求下式的最小值:
而曲边三角网格T本质上由V,E,C三者决定,因此上式转化为:
将该式称为能量函数,目标是求解它最小值对应的曲边网格,称为最优曲边网格。
4.根据权利要求3所述的一种最优曲边网格的变分生成方法,其特征在于:所述步骤D中,能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式的建立过程如下:
根据莱布尼兹公式,上述能量函数关于顶点位置vi的梯度为:
其中Fi是vi一邻域范围内子区域的序号集合;Ni表示与顶点vi相邻的顶点序号集合;从vi沿着曲边到vj,左手边的曲边三角形子区域序号记为k1,右手边的子区域序号记为kr;Δ(x)=(h(x)-gkl(x))2-(h(x)-gkr(x))2表示两区域公共边上的点在各自区域上的逼近误差之差;n(x)表示公共边上指向区域k1外的单位法向量;
当曲边网格给定的时候,最佳逼近多项式是可以立刻计算得到的。根据包络定理,上式右边的第一项为0,下面推导上式右边的第二项;
对于两个端点分别为vi和vj的曲边,它的中间控制点为cij,由它们定义一条Bezier曲线段,即
xij(t)=(1-t)2vi+2t(1-t)cij+t2vj,t∈[0,1]
其中t为参数。xij(t)对vi求偏导:
xij(t)对t求偏导:
因此,最优曲边网格的能量函数关于顶点位置vi的梯度公式可进一步简化为:
同理,最优曲边网格的能量函数关于控制点位置cij的梯度公式可推导为:
Priority Applications (1)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
CN202110925972.1A CN113706711B (zh) | 2021-08-12 | 2021-08-12 | 一种最优曲边网格的变分生成方法 |
Applications Claiming Priority (1)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
CN202110925972.1A CN113706711B (zh) | 2021-08-12 | 2021-08-12 | 一种最优曲边网格的变分生成方法 |
Publications (2)
Publication Number | Publication Date |
---|---|
CN113706711A true CN113706711A (zh) | 2021-11-26 |
CN113706711B CN113706711B (zh) | 2024-03-29 |
Family
ID=78652444
Family Applications (1)
Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
---|---|---|---|
CN202110925972.1A Active CN113706711B (zh) | 2021-08-12 | 2021-08-12 | 一种最优曲边网格的变分生成方法 |
Country Status (1)
Country | Link |
---|---|
CN (1) | CN113706711B (zh) |
Cited By (1)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
---|---|---|---|---|
CN115359209A (zh) * | 2022-07-14 | 2022-11-18 | 安徽九韶信息科技有限公司 | 图像处理的装置和方法 |
Citations (5)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
---|---|---|---|---|
JP2007241996A (ja) * | 2006-02-13 | 2007-09-20 | Hokkaido Univ | 解析曲面セグメンテーション装置、方法、プログラム及び記録媒体 |
CN101266691A (zh) * | 2008-04-24 | 2008-09-17 | 浙江大学 | 一种任意拓扑的多边形网格模型融合方法 |
CN104851133A (zh) * | 2015-05-25 | 2015-08-19 | 厦门大学 | 一种图像自适应网格生成变分方法 |
CN106981097A (zh) * | 2017-03-17 | 2017-07-25 | 浙江大学 | 一种基于分区局部光顺权因子的t样条曲面拟合方法 |
CN112862972A (zh) * | 2021-02-22 | 2021-05-28 | 北京工商大学 | 一种表面结构网格生成方法 |
-
2021
- 2021-08-12 CN CN202110925972.1A patent/CN113706711B/zh active Active
Patent Citations (5)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
---|---|---|---|---|
JP2007241996A (ja) * | 2006-02-13 | 2007-09-20 | Hokkaido Univ | 解析曲面セグメンテーション装置、方法、プログラム及び記録媒体 |
CN101266691A (zh) * | 2008-04-24 | 2008-09-17 | 浙江大学 | 一种任意拓扑的多边形网格模型融合方法 |
CN104851133A (zh) * | 2015-05-25 | 2015-08-19 | 厦门大学 | 一种图像自适应网格生成变分方法 |
CN106981097A (zh) * | 2017-03-17 | 2017-07-25 | 浙江大学 | 一种基于分区局部光顺权因子的t样条曲面拟合方法 |
CN112862972A (zh) * | 2021-02-22 | 2021-05-28 | 北京工商大学 | 一种表面结构网格生成方法 |
Non-Patent Citations (1)
Title |
---|
齐若同;肖艳阳;曹娟;陈中贵;: "基于重心Delaunay三角剖分的蓝噪声点采样算法", 计算机辅助设计与图形学学报, no. 07 * |
Cited By (2)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
---|---|---|---|---|
CN115359209A (zh) * | 2022-07-14 | 2022-11-18 | 安徽九韶信息科技有限公司 | 图像处理的装置和方法 |
CN115359209B (zh) * | 2022-07-14 | 2024-01-19 | 安徽九韶信息科技有限公司 | 图像处理的装置和方法 |
Also Published As
Publication number | Publication date |
---|---|
CN113706711B (zh) | 2024-03-29 |
Similar Documents
Publication | Publication Date | Title |
---|---|---|
JP4934789B2 (ja) | 補間処理方法および補間処理装置 | |
JP4885196B2 (ja) | 細分表面における滑らかな特徴線の生成 | |
Tuohy et al. | Approximation of measured data with interval B-splines | |
Jiao et al. | Reconstructing high-order surfaces for meshing | |
US20090027398A1 (en) | Method for recognizing a shape from a path of a digitizing device | |
Sheffer et al. | Smoothing an overlay grid to minimize linear distortion in texture mapping | |
CN109726509B (zh) | 一种面向飞机装配的零件几何特征表达模型及构建方法 | |
Kumar et al. | Geodesic curve computations on surfaces | |
WO2009015122A1 (en) | Method for fitting a parametric representation to a set of objects | |
Marinov et al. | Optimization methods for scattered data approximation with subdivision surfaces | |
CN109961517B (zh) | 一种用于参数曲面拟合的三角网格重参数化方法 | |
WO2009015125A1 (en) | Method for fitting a parametric representation to a set of objects generated by a digital sketching device | |
CN113706711A (zh) | 一种最优曲边网格的变分生成方法 | |
CN102521794A (zh) | 基于样条曲面的图像插值方法及装置 | |
Vaitkus et al. | Parameterizing and extending trimmed regions for tensor-product surface fitting | |
Du et al. | Optimizing global injectivity for constrained parameterization. | |
Kermarrec et al. | Multilevel T-spline approximation for scattered observations with application to land remote sensing | |
CN110689620A (zh) | 一种多层次优化的网格曲面离散样条曲线设计方法 | |
Tosun et al. | Manifold-based surfaces with boundaries | |
Xu et al. | Hexahedral meshing with varying element sizes | |
CN117094197B (zh) | 一种基于cdt参数化网格与全局各向同性重新网格化的方法 | |
Kitago et al. | Efficient and Prioritized Point Subsampling for CSRBF Compression. | |
CN111862332A (zh) | 一种卫星影像通用成像模型拟合误差的改正方法及系统 | |
EP4205086A1 (en) | Mesh generation | |
Tereshin et al. | Hybrid function representation with distance properties |
Legal Events
Date | Code | Title | Description |
---|---|---|---|
PB01 | Publication | ||
PB01 | Publication | ||
SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
GR01 | Patent grant | ||
GR01 | Patent grant |