CN113706711B - 一种最优曲边网格的变分生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种最优曲边网格的变分生成方法，包括如下步骤，步骤A：输入任意一幅图像，顶点数量，逼近多项式阶次；步骤B：在图像区域采样所需数量的顶点，对所得顶点集生成Delaunay三角网格，并给每条边附加一个控制点；步骤C：利用最小二乘方法在每个曲边三角形区域计算各自最佳的逼近多项式，得到该剖分上对原图的分片逼近函数；步骤D：根据能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式，采用梯度下降法并判断能量函数值是否降低对三角网格的顶点位置和控制点位置进行优化，采用边翻转操作并判断能量函数值是否降低对三角网格的连接关系进行优化；步骤E：循环步骤C和步骤D，直到迭代次数达到预设值或者能量函数值降低到预设值。

Description

一种最优曲边网格的变分生成方法

技术领域

本发明涉及计算机图形学和图像逼近技术领域，尤其涉及一种最优曲边网格的变分生成方法。

背景技术

图像的几何表示一直是图像逼近、压缩和矢量化等研究领域的重要组成部分，它的目标可以转换成求解原图像与几何表达结构上的分片逼近函数之间误差的最小值。在众多的几何表示中，三角网格是其中较为常见的一种结构。如何自动生成与给定图像的特征高度吻合的三角网格是一类重要的研究问题。

然而，由于图像通常不会只含有直线特征，而是很多复杂的曲线特征，普通三角网格的每条边都是直线段，无法与曲线特征吻合得较好。如果想取得较高的逼近质量，现有的方法需要在曲线特征上放置大量的顶点和线段，相当于用每段长度较短的折线段来逼近该曲线特征。本发明为三角网格引入曲边，即给每条边附加一个控制点，由该边的两个端点和其控制点生成一条二次Bezier曲线，以期在顶点数量给定的前提下，更好地对图像特征进行捕捉。

本发明公开了一种生成这种曲边网格的能量函数，及其关于顶点和控制点位置的梯度公式，并采用一种高效的优化算法来快速获取逼近误差最小时对应的最优曲边网格。本发明可以把相对更少的顶点放置到曲线特征上，而将其余顶点加入到逼近误差较大的区域，以获得更高逼近质量的结果。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种最优曲边网格的变分生成方法，可以把相对更少的顶点放置到曲线特征上，而将其余顶点加入到逼近误差较大的区域，以获得更高逼近质量的结果。

为了实现本发明的目的,本发明采用的技术方案为：

本发明公开了一种最优曲边网格的变分生成方法，包括如下步骤，

步骤A：输入任意一幅图像，顶点数量，逼近多项式阶次；

步骤B：在图像区域采样所需数量的顶点，对所得顶点集生成Delaunay三角网格，使其完全覆盖整幅图像，并给每条边附加一个控制点；

步骤C：利用最小二乘方法在每个曲边三角形区域计算各自最佳的逼近多项式，得到该剖分上对原图的分片逼近函数；

步骤D：根据能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式，采用梯度下降法并判断能量函数值是否降低对三角网格的顶点位置和控制点位置进行优化，采用边翻转操作并判断能量函数值是否降低对三角网格的连接关系进行优化；

步骤E：循环步骤C和步骤D，直到迭代次数达到预设值或者能量函数值降低到预设值。

所述步骤D包括如下步骤，

步骤D1：根据能量函数关于顶点位置的梯度公式，采用改进的梯度下降法优化每个顶点的位置；

步骤D2：利用边翻转操作，检测每条内部边是否需要翻转；

步骤D3：根据能量函数关于控制点位置的梯度公式，采用改进的梯度下降法优化每个顶点的位置。

所述步骤D中，能量函数的建立过程如下：

对于任意给定的函数h:X→R，其中X表示一个二维区域，R表示实数集，采用含曲边的三角网格T＝{V,E,C,F}对X区域进行划分，其中代表n个顶点构成的集合，E表示顶点间的连接关系，C是每条边上附加的控制点构成的集合，/>则代表m个互不重叠的三角形子区域，每个子区域由三条曲边围成。由用户给定多项式阶次后，在每个三角形子区域f_k上分别计算出最佳的逼近多项式g_k，构成对原函数h的分片逼近，目标是求解两者之间的逼近误差最小，即求下式的最小值：

而曲边三角网格T本质上由V，E，C三者决定，因此上式转化为：

将该式称为能量函数，目标是求解它最小值对应的曲边网格，称为最优曲边网格。所述步骤D中，能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式的建立过程如下：

根据莱布尼兹公式，上述能量函数关于顶点位置v_i的梯度为：

其中F_i是v_i一邻域范围内子区域的序号集合；N_i表示与顶点v_i相邻的顶点序号集合；从v_i沿着曲边到v_j，左手边的曲边三角形子区域序号记为kl，右手边的子区域序号记为kr；Δ(x)＝(h(x)-g_kl(x))²-(h(x)-g_kr(x))²表示两区域公共边上的点在各自区域上的逼近误差之差；n(x)表示公共边上指向区域kl外的单位法向量；当曲边网格给定的时候，最佳逼近多项式是可以立刻计算得到的。根据包络定理，上式右边的第一项为0，下面推导上式右边的第二项；

对于两个端点分别为v_i和v_j的曲边，它的中间控制点为c_ij，由它们定义一条Bezier曲线段，即

x_ij(t)＝(1-t)²v_i+2t(1-t)c_ij+t²v_j，t∈[0，1]

其中t为参数。x_ij(t)对v_i求偏导：

x_ij(t)对t求偏导：

而n(x)恰好与向量满足下式关系：

其中(·)^⊥表示向量沿顺时针旋转90度，‖·‖代表向量模长；

因此，最优曲边网格的能量函数关于顶点位置v_i的梯度公式可进一步简化为：

同理，最优曲边网格的能量函数关于控制点位置c_ij的梯度公式可推导为：

本发明的有益效果在于：

(1)本发明为网格的每条边都附加了控制点，将网格的每条边进行弯曲，经过优化可以使得曲边网格能够用更少的顶点更精确地捕捉原函数的特征，从而提高整体的逼近质量。

附图说明

图1为本发明的图像的最优曲边网格的示例图；

图2为本发明的能量函数关于顶点位置和控制点位置的梯度推导符号示意图；

图3为本发明的图像的最优曲边网格生成流程图；

图4为本发明的优化顶点位置示意图；

图5为本发明的顶点的步长计算示意图；

图6为本发明的通过边翻转操作优化连接关系的示意图；

图7为本发明的优化控制点示意图；

图8为本发明的控制点的步长计算示意图；

图9为本发明的实现流程示例图；

图10为普通最优直边三角网格与本发明的最优曲边三角网格对图像特征的捕捉效果对比图。

具体实施方式

下面对本发明进一步说明：

请参阅图1-10，

最优曲边网格的能量函数：

对于任意给定的函数h:X→R，其中X表示一个二维区域，R表示实数集，采用含曲边的三角网格T＝{V,E,C,F}对X区域进行划分，其中代表n个顶点构成的集合，E表示顶点间的连接关系，C是每条边上附加的控制点构成的集合，/>则代表m个互不重叠的三角形子区域，每个子区域由三条曲边围成。由用户给定多项式阶次后，在每个三角形子区域f_k上分别计算出最佳的逼近多项式g_k，构成对原函数h的分片逼近，目标是求解两者之间的逼近误差最小，即求下式的最小值：

而曲边三角网格T本质上由V，E，C三者决定，因此上式转化为：

将该式称为能量函数，目标是求解它最小值对应的曲边网格，称为最优曲边网格。

如图1所示，展示了原函数h为一幅彩色图像的最优曲边网格结果及其重建图像。

最优曲边网格的能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式：

根据莱布尼兹公式，上述能量函数关于顶点位置v_i的梯度为：

其中F_i是v_i一邻域范围内子区域的序号集合；N_i表示与顶点v_i相邻的顶点序号集合；从v_i沿着曲边到v_j，左手边的曲边三角形子区域序号记为kl，右手边的子区域序号记为kr；Δ(x)＝(h(x)-g_kl(x))²-(h(x)-g_kr(x))²表示两区域公共边上的点在各自区域上的逼近误差之差；n(x)表示公共边上指向区域kl外的单位法向量；上述符号，如图2所示。

当曲边网格给定的时候，最佳逼近多项式是可以立刻计算得到的。根据包络定理，上式右边的第一项为0。下面推导上式右边的第二项。

对于两个端点分别为v_i和v_j的曲边，它的中间控制点为c_ij，由它们定义一条Bezier曲线段，即

x_ij(t)＝(1-t)²v_i+2t(1-t)c_ij+t²v_j,t∈[0,1]

其中t为参数。x_ij(t)对v_i求偏导：

x_ij(t)对t求偏导：

而n(x)恰好与向量满足下式关系：

其中(·)^⊥表示向量沿顺时针旋转90度，‖·‖代表向量模长。

因此，最优曲边网格的能量函数关于顶点位置v_i的梯度公式可进一步简化为：

同理，最优曲边网格的能量函数关于控制点位置c_ij的梯度公式可推导为：

以图像作为原函数为例，其最优曲边网格的变分生成步骤如图3所示：

每一步骤具体描述如下：

步骤A：输入任意一幅图像，顶点数量，逼近多项式阶次，算法结束条件(比如指定最大迭代次数、所期望的最低总逼近误差)；

步骤B：在图像区域采样指定数量的点，对所得点集生成Delaunay三角网格，使其完全覆盖整幅图像，并给每条边附加一个控制点；

步骤C：曲边网格将图像划分成若干个子区域，在每个子区域上分别利用最小二乘方法计算各自最佳的逼近多项式，得到该剖分上对原图的分片逼近函数；

步骤D：根据能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式，采用梯度下降法并判断能量函数值是否降低对三角网格的顶点位置和控制点位置进行优化，采用边翻转操作并判断能量函数值是否降低对三角网格的连接关系进行优化。其中：

步骤D1：如图4所示，对每个顶点的位置采用迭代公式进行优化，α_i表示能够使得v_i一邻域范围的子区域的逼近误差之和减小、且不会使得三角网格发生重叠现象的安全步长。如图5所示，首先找出如图中填充区域的步长安全范围，再根据梯度方向(图中单向箭头方向)，求解出步长可取的最大值(图中双向箭头长度)。

步骤D2：如图6所示，通过边翻转元操作来优化连接关系。对于每条内部边，首先检查翻转该边是否会造成三角网格重叠，是则跳过该边，否则继续检查该边翻转前后与之相邻的两个子区域的逼近误差之和是否降低，是则翻转，否则不翻转。

步骤D3：如图7所示，对每条内部边的控制点位置采用迭代公式进行优化，其中β_ij表示能够使得与该边相邻的两个子区域的逼近误差之和减小的、且不会使得三角网格发生重叠现象的安全步长。如图8所示，首先找出图中填充区域的步长安全范围，再根据梯度方向(图中单向箭头方向)，求解出步长可取的最大值(图中双向箭头长度)。

步骤E：循环步骤C-D，直到迭代次数达到预设值或者逼近误差总和降低到预设值。如图9所示，展示了上述过程的一个示例。

相比于现有最好的三角网格生成方法，本发明为网格的每条边都附加了控制点，将网格的每条边进行弯曲，经过优化可以使得曲边网格能够用更少的顶点更精确地捕捉原函数的特征，从而提高整体的逼近质量，如图10中的对比所示。

以上所述仅为本发明的实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是利用本发明说明书及附图内容所作的等同变换或直接或间接运用在相关的技术领域，均同理包括在本发明的专利保护范围内。

Claims (3)

1.一种最优曲边网格的变分生成方法，其特征在于：包括如下步骤，

步骤A：输入任意一幅图像，顶点数量，逼近多项式阶次；

步骤B：在图像区域采样所需数量的顶点，对所得顶点集生成Delaunay三角网格，使其完全覆盖整幅图像，并给每条边附加一个控制点；

步骤C：利用最小二乘方法在每个曲边三角形区域计算各自最佳的逼近多项式，得到对原图的分片逼近函数；

步骤D：根据能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式，采用梯度下降法并判断能量函数值是否降低对三角网格的顶点位置和控制点位置进行优化，采用边翻转操作并判断能量函数值是否降低对三角网格的连接关系进行优化；

步骤E：循环步骤C和步骤D，直到迭代次数达到预设值或者能量函数值降低到预设值；

所述步骤D中，能量函数的建立过程如下：

对于任意给定的函数h:X→R，其中X表示一个二维区域，R表示实数集，采用含曲边的三角网格T＝{V,E,C,F}对X区域进行划分，其中代表n个顶点构成的集合，E表示顶点间的连接关系，C是每条边上附加的控制点构成的集合，

则代表m个互不重叠的三角形子区域，每个子区域由三条曲边围成；由用户给定多项式阶次后，在每个三角形子区域f_k上分别计算出最佳的逼近多项式g_k，构成对原函数h的分片逼近，目标是求解两者之间的逼近误差最小，即求下式的最小值：

而曲边三角网格T本质上由V，E，C三者决定，因此上式转化为：

将该式称为能量函数，目标是求解它最小值对应的曲边网格，称为最优曲边网格。

2.根据权利要求1所述的一种最优曲边网格的变分生成方法，其特征在于：所述步骤D包括如下步骤，

步骤D1：根据能量函数关于顶点位置的梯度公式，采用改进的梯度下降法优化每个顶点的位置；

步骤D2：利用边翻转操作，检测每条内部边是否需要翻转；

步骤D3：根据能量函数关于控制点位置的梯度公式，采用改进的梯度下降法优化每个顶点的位置。

3.根据权利要求1所述的一种最优曲边网格的变分生成方法，其特征在于：所述步骤D中，能量函数关于顶点位置和控制点位置的显式梯度公式的建立过程如下：

根据莱布尼兹公式，上述能量函数关于顶点位置v_i的梯度为：

其中F_i是v_i一邻域范围内子区域的序号集合；N_i表示与顶点v_i相邻的顶点序号集合；从v_i沿着曲边到v_j，左手边的曲边三角形子区域序号记为kl，右手边的子区域序号记为kr；Δ(x)＝(h(x)-g_kl(x))²-(h(x)-g_kr(x))²表示两区域公共边上的点在各自区域上的逼近误差之差；n(x)表示公共边上指向区域kl外的单位法向量；

当曲边网格给定的时候，最佳逼近多项式是可以立刻计算得到的；根据包络定理，上式右边的第一项为0，下面推导上式右边的第二项；

对于两个端点分别为v_i和v_j的曲边，它的中间控制点为c_ij，由它们定义一条Bezier曲线段，即

x_ij(t)＝(1-t)²v_i+2t(1-t)c_ij+t²v_j，t∈[0，1]

其中t为参数，x_ij(t)对v_i求偏导：

x_ij(t)对t求偏导：

而n(x)恰好与向量满足下式关系：

其中(·)^⊥表示向量沿顺时针旋转90度，||·||代表向量模长；

因此，最优曲边网格的能量函数关于顶点位置v_i的梯度公式可进一步简化为：

同理，最优曲边网格的能量函数关于控制点位置c_ij的梯度公式可推导为：