CN113656861A - 一种由铁路桥梁变形导致的无砟轨道空间映射变形的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种由铁路桥梁变形导致的无砟轨道空间映射变形的计算方法，所述方法包括步骤1：基于弹性薄板理论建立轨道板的计算模型；步骤2：基于欧拉梁理论建立轨道的计算模型；步骤3：建立桥梁结构不同变形特征下的计算模型；步骤4：建立结构变形与轨道线形映射关系计算模型；步骤5：映射关系模型的求解。本发明建立了铁路桥梁在空间维度上的结构变形与轨面线形映射关系模型，可基于少量的实测变形参数实现对桥梁结构变形导致的梁体全长范围内的轨道附加不平顺的准确、快速计算；克服了现有结构‑钢轨变形映射关系仅考虑轨道竖向变形，而未考虑轨道的三维变形及不同轨道间变形差值的不足。

Description

一种由铁路桥梁变形导致的无砟轨道空间映射变形的计算 方法

技术领域

本发明属于铁路桥梁轨道运营状态检测与评估技术领域，特别是涉及一种由铁路桥梁变形导致的无砟轨道空间映射变形的计算方法。应用范围是铁路单箱混凝土梁式桥。

背景技术

近年来随着高速铁路运营网络的密集化及运营速度的不断提升，高铁长期运营的安全性和稳定性要求日趋严格。在列车高速行驶状态下，为保证其安全平稳运行，需要严格限制轨道的不平顺性。

受地下水位下降、地震活动等影响，运营期间桥墩的不均匀沉降、倾斜变位等难以避免。基础变位会通过层间变形协调效应映射至轨面，改变轨道结构的平顺性。同时，混凝土梁收缩、徐变、温度效应等会使梁体挠度增大，导致梁上无砟轨道产生附加变形。上述附加变形会随着高铁的运营而不断累积，并通过轮轨间的动力相互作用加剧列车的振动。当变形累加至某一限值时将对高速列车运营的安全性、舒适性等产生明显不利的影响。

研究桥梁上下部结构变形与轨面线形的映射关系可以清晰描述结构变形对轨道结构的影响，是高速铁路运营安全性研究的关键基础环节。目前关于桥梁变形与轨面线性的映射关系研究，多数仅考虑结构的竖向变形，缺乏空间维度上的三维映射变形关系研究。

发明内容

本发明是为了解决现有技术中的问题，从而提供了一种由铁路桥梁变形导致的无砟轨道空间映射变形的计算方法。

本发明是通过以下技术方案实现的，本发明提出一种由铁路桥梁变形导致的无砟轨道空间映射变形的计算方法，所述方法包括以下步骤：

步骤1：基于弹性薄板理论建立轨道板的计算模型；

步骤2：基于欧拉梁理论建立轨道的计算模型；

步骤3：建立桥梁结构变形计算模型；构建桥墩沉降、偏转、梁体扭转和上拱变形模式下的桥梁结构变形计算模型，并通过线性叠加获得主梁整体空间变形；

步骤4：建立结构变形与轨道线形映射关系计算模型：利用构件间的变形协调和受力平衡关系，将轨道、轨道板和桥梁结构变形计算模型进行组装，建立空间维度上的结构变形与轨道线形的映射关系计算模型；

步骤5：映射关系计算模型的求解：结合具体的结构参数与变形参数，求解映射关系计算模型，获得钢轨的映射变形和扣件力。

进一步地，所述步骤1遵循以下假定：①轨道板结构视为四边自由的弹性薄板；②轨道板下砂浆层视为Winker弹性地基；③轨道板支撑在弹性地基上。

进一步地，所述步骤1中，为建立轨道板的计算模型，首先以轨道板某一角点为坐标原点建立局部坐标系(x_s,y_s,z_s)，下标“s”表示局部坐标系下；

基于古典弹性薄板理论建立轨道板挠曲微分方程：

给出轨道板的边界条件，在x＝0和x＝a边上，弯矩M_x和剪力V_x分别满足：

在y＝0和y＝b边上，弯矩M_y和剪力V_y分别满足：

式中：M_x,M_y分别为对应边界上的弯矩，V_x，V_y分别为对应边界上的剪力，w为轨道板的竖向变形，D为板的抗弯刚度，

E为弹性模量，ν为泊松比，h为轨道板厚度；

为拉普拉斯算子，

k_d为地基系数，由砂浆层的材料性质决定，q为轨道板所受荷载，由钢轨扣件力和轨下结构变形产生；

薄板挠曲函数采用多项式形式：

式中：α_m(m＝1,2…,l)为组合系数，u_m(m＝1,2…,l)为控制方程的特解，也是多项式薄板挠曲形函数的基底，l为选定的控制方程特解数，L是线形偏微分算子，λ＝k_d/D，N＝i+j，i和j为正整数；令A＝[α₁ α₂ ... α_l]^T，为组合系数列阵；

结合表达式(1)-(5)，基于求解弹性地基板问题的配点法，得到轨道板的控制方程：

式中：B₁和B₂是线性边界算子，F为轨道板所受荷载，由钢轨扣件力和轨下结构变形产生，(x_k,y_k)为选取的代入控制方程的轨道板点坐标；n_i，n_b为选定的点数，G，H均表示边界函数；

在荷载F未知时，第i块轨道板的挠曲函数w_i表达为如下隐式形式：

L{w_i}+λw_i＝F_i(x,y)，(x,y)∈Ω (7)

式中：F_i(x,y)为第i块轨道板的外荷载，Ω为考虑边界微分条件的求解域；

则整跨桥梁的所有轨道板挠曲函数表示为：

L{w}+λw＝F(x,y)，(x,y)∈Ω (8)

式中w＝[w₁ w₂ ... w_n]^T，为全部轨道板的挠曲函数向量；F(x,y)＝[F₁ F₂ ...F_n]^T，为全部轨道板的外荷载向量；n为整跨桥梁的轨道板总数。

进一步地，所述步骤2中的轨道的计算模型遵循以下假定：(1)轨道扣件视为考虑水平和垂直刚度的双向线形弹簧；(2)钢轨模拟为考虑扣件弹性支撑作用的欧拉梁；(3)选取钢轨分析长度远大于结构变形区域，钢轨力学模型的边界条件基本不影响结构变形区域，故假设钢轨模型两端边界为简支。

进一步地，所述步骤2中，轨道计算模型建立包括以下步骤：

取钢轨分析区段左端为原点建立局部坐标系(x_r,z_r)，下标“r”表示钢轨局部坐标系，对两扣件间的钢轨节段，剪力可视为常量，设节段左端的竖向位移、转角、弯矩和剪力分别为z_t、

M_t、Q_t，则钢轨位移函数为：

式中：E为钢轨弹性模量，I_rz为钢轨竖向截面惯矩；

基于假定(3)可得，轨道的左端点和右端点对应的轨道变形值和弯矩值均为零，而两点处的剪力和曲率非零；将前述边界条件代入公式(9)，由线弹性体的叠加原理，第i个钢轨扣件处的钢轨竖向位移Z_ri为：

式中：l_i为当前扣件力计算位置到分析长度始端的距离，l_j(j＝1～sum)为各扣件位置到分析长度始端的距离，F_j为扣件力，sum为扣件总数；l_end为钢轨分析长度；

将表达式(10)中钢轨竖向截面惯性矩I_rz替换为横向惯矩I_ry即可得到钢轨横向变形；

由式(10)可得分析长度内的全部扣件位置处的钢轨位移的整体表达式：

U_R＝K_RF_f(11)

式中：K_R为变形矩阵，其元素可由式(10)求得，U_R为钢轨变形矩阵，F_f扣件力矩阵。

进一步地，所述步骤3具体为，建立桥梁结构变形计算模型，给出分别由桥墩沉降、桥墩偏转、主梁偏转和主梁上拱所引起的主梁竖向变形函数dz₁、dz₂、dz₃、dz₄，以及分别由桥墩偏转和主梁偏转所引起的主梁横向变形函数dy₂、dy₃；主梁整体变形可由同向变形线型叠加得到主梁竖向总变形函数dz和横向总变形函数dy。

进一步地，所述步骤4具体为：

1)建立轨道板与主梁的相互作用分析模型

轨道板与主梁通过砂浆层连接，梁体变形对轨道板的影响，可等效为由砂浆层变形产生的施加在轨道板上的面域荷载，轨道板与梁体的相对变形及面域荷载值求解过程如下：

桥梁结构变形后第i块轨道板4个角点的坐标为：

式中，

为纵坐标，

为横坐标，

为竖向坐标；i为轨道板编号，k为角点编号，角点编号k分别为1,2,3,4；a，b分别为轨道板长和宽；下标“s”表示轨道板的局部坐标系，dy、dz分别为主梁横向、竖向总变形函数；

第i块轨道板中心点坐标为：

Z_so,i＝dz(X_so,i,Y_so,i) (13)

式中：X_so,i，Y_so,i，Z_so,i分别为轨道板中心点纵向、横向、竖向坐标；

设桥梁变形函数在轨道板中心处的切平面为轨道板的基准平面；梁体上拱变形使基准平面产生相对于梁体的法向压缩变形ΔZ为：

其中，l_b为梁段全长，dz₄为主梁上拱所引起的主梁竖向变形函数；

忽略轨道板上拱产生的沿y轴方向的旋转角，基准平面的平面方程近似表示为：

式中：z_so(x,y)为轨道板空间基准面函数；

故桥梁结构相对于轨道板的变形Ds(x,y)为：

Ds(x,y)＝dz(x,y)-z_so(x,y) (16)

该变形将压缩砂浆层，产生作用于轨道板的面域荷载F_slab1为：

F_slab1(x,y)＝k_CA·Ds(x,y) (17)

式中：k_CA为砂浆层弹性刚度；

引入Dirac函数表示扣件力，第j个扣件对轨道板产生的集中荷载F_slab2,j表示为：

式中：F_f,j为第j个扣件的扣件力，

为第j个扣件在轨道板局部坐标系中的坐标，δ(*)为Dirac函数；

则整个轨道板上的N个扣件力F_slab2表示为：

故轨道板模型上的全部荷载F_slab(x,y)为：

F_slab(x,y)＝F_slab1(x,y)+F_slab2(x,y) (20)

对于主梁结构变形，扣件力引起的轨道板局部弯曲变形可忽略不计，F_slab2(x,y)一项取0；

将式(20)代入轨道板计算模型式(8)中得到桥梁结构-轨道板变形关系式：

L{w}+λw＝k_CA·[dz(x,y,D)-z_so(x,y)]，(x,y)∈Ω (21)

式中：z_so＝[z_so,1 z_so,2 … z_so,n]^T，表示全部轨道板空间基准面函数组成的函数向量；dz表示轨道板竖向总变形函数；

2)扣件坐标的提取与变换

第i块轨道板变形后，全部扣件位置的局部坐标值为：

L_S,i＝[X_f,i,Y_f,i,U_S,i] (23)

式中：

为第i块轨道板上第j个扣件局部坐标，

为对应该坐标的轨道板变形量；

为扣件X轴坐标列阵，

为扣件Y轴坐标列阵，

为扣件位置处轨道板变形列阵，m为第i块轨道板上的扣件数；L_S,i为第i块轨道板变形后的扣件局部坐标矩阵；

将扣件坐标由局部坐标系转换至整体坐标系，其过程为先将坐标原点由轨道板一角点移动至轨道板中心点，再以中心点为原点进行坐标旋转：

L_So,i＝L_S,i+[a/2·I_j×1,b/2·I_j×1,0] (24)

U_bo,i＝T_i·L_So,i (25)

U_b,i＝U_bo,i-[X_so,i,Y_so,i,Z_so,i]·I_j×1 (26)

式中：L_So,i为将原点平移至轨道板中点后的扣件局部坐标矩阵；T_i为旋转矩阵，U_bo,i为以轨道板中心点为原点旋转后的扣件位置处轨道板变形矩阵；X_so,i,Y_so,i,Z_so,i为变形前第i块轨道板中心位置坐标；

U_b,i为整体坐标系下扣件位置处轨道板变形矩阵；

其中旋转矩阵T_i为：

其中：

分别为局部坐标系下的轨道板角点纵、横、竖向坐标，i为轨道板编号，k为角点编号；

则在桥梁整体坐标系下整跨桥梁变形后梁上全部轨道板的变形矩阵为：

U_S＝[U_b,1 U_b,2 … U_b,n]^T (27)

其中，n为整跨桥梁的轨道板总数；

3)钢轨与轨道板相互作用分析模型

钢轨与轨道板通过扣件连接，忽略结构沿x方向变形，二者的受力和变形关系如下：

F_f＝k_f·(U_R-U_S) (28)

式中：F_f为扣件力矩阵，U_R为钢轨变形矩阵，U_S为轨道板变形矩阵，k_f为扣件刚度；

联立(11)、(28)两式得到扣件力矩阵F_f和钢轨变形矩阵U_R：

F_f＝k_f([I]+k_f)^-1U_S (29)

U_R＝K_Rk_f([I]+k_f)^-1U_S (30)

式中，I为单位对角阵。

进一步地，所述步骤5具体为：

1)确定桥梁结构的基本参数和变形参数；

2)基于式(12)-(20)结构变形导致的轨道板外荷载，将轨道板外荷载输入于桥梁变形模型式(21)中，获得各轨道板的挠曲函数w；

3)通过式(22)-(23)获取每块轨道板变形后所有扣件位置处坐标；

4)通过式(24)-(27)，进行空间坐标变换和组装，获得整体坐标系下整跨桥梁全部轨道板对应全部扣件位置的轨道板变形矩阵；

5)将轨道板变形矩阵U_S代入轨道板与钢轨关系式(29)-(30)，求得各扣件附加力和扣件位置的钢轨变形。

本发明有益效果为：本发明基于铁路桥梁结构层间位移协调和受力平衡关系，建立了空间维度上的结构变形与轨面线形解析模型的映射关系，克服了现有结构-钢轨变形映射关系仅考虑轨道竖向变形，而未考虑轨道的三维变形及不同轨道间变形差值的不足。可基于少量的实测损伤参数(桥墩沉降值、桥墩偏转角、主梁转角与上拱幅值)实现对结构变形导致的梁体全长范围内的轨道附加不平顺的准确、快速计算，可作为一个结构损伤后的轨道线性变化的快速检测方法。

附图说明

图1是弹性地基板物理模型示意图；

图2是钢轨变形示意图；

图3是砂浆层不均匀变形示意图；

图4是通用映射关系程序化计算流程；

图5是箱梁截面；

图6是ANSYS有限元分析模型：(a)局部模型；(b)五跨简支梁模型；

图7是工况1程序计算与ANSYS模拟结果对比：(a)钢轨竖向位移分布；(b)扣件力分布；

图8是工况2程序计算与ANSYS模拟结果对比：(a)右侧钢轨竖向位移分布；(b)左侧钢轨竖向位移分布；(c)右侧钢轨扣件力分布；(d)左侧钢轨扣件力分布；

图9是工况3映射关系程序计算结果：(a)轨道竖向空间线形分布；(b)扣件竖向附加力分布；(c)轨道横向空间线形分布；(d)扣件横向附加力分布。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

结合图1-9，本发明提出一种由铁路桥梁变形导致的无砟轨道空间映射变形的计算方法，所述方法包括以下步骤：

步骤1：基于弹性薄板理论建立轨道板的计算模型；

步骤2：基于欧拉梁理论建立轨道的计算模型；

步骤3：建立桥梁结构变形计算模型；构建桥墩沉降、偏转、梁体扭转和上拱变形模式下的桥梁结构变形计算模型，并通过线性叠加获得主梁整体空间变形；

步骤4：建立结构变形与轨道线形映射关系计算模型：利用构件间的变形协调和受力平衡关系，将轨道、轨道板和桥梁结构变形计算模型进行组装，建立空间维度上的结构变形与轨道线形的映射关系计算模型；

步骤5：映射关系计算模型的求解：结合具体的结构参数与变形参数，求解映射关系计算模型，获得钢轨的映射变形和扣件力。

所述步骤1遵循以下假定：①轨道板结构视为四边自由的弹性薄板；②轨道板下砂浆层视为Winker弹性地基；③轨道板支撑在弹性地基上。

所述步骤1中，为建立轨道板的计算模型，首先以轨道板某一角点为坐标原点建立局部坐标系(x_s,y_s,z_s)，下标“s”表示局部坐标系下；

基于古典弹性薄板理论建立轨道板挠曲微分方程：

给出轨道板的边界条件，在x＝0和x＝a边上，弯矩M_x和剪力V_x分别满足：

在y＝0和y＝b边上，弯矩M_y和剪力V_y分别满足：

式中：M_x,M_y分别为对应边界上的弯矩，V_x，V_y分别为对应边界上的剪力，w为轨道板的竖向变形，D为板的抗弯刚度，

E为弹性模量，ν为泊松比，h为轨道板厚度；

为拉普拉斯算子，

k_d为地基系数，由砂浆层的材料性质决定，q为轨道板所受荷载，由钢轨扣件力和轨下结构变形产生；

薄板挠曲函数采用多项式形式：

式中：α_m(m＝1,2…,l)为组合系数，u_m(m＝1,2…,l)为控制方程的特解，也是多项式薄板挠曲形函数的基底，l为选定的控制方程特解数，L是线形偏微分算子，λ＝k_d/D，N＝i+j，i和j为正整数；令A＝[α₁ α₂ ... α_l]^T，为组合系数列阵；

结合表达式(1)-(5)，基于求解弹性地基板问题的配点法，得到轨道板的控制方程：

式中：B₁和B₂是线性边界算子，F为轨道板所受荷载，由钢轨扣件力和轨下结构变形产生，(x_k,y_k)为选取的代入控制方程的轨道板点坐标；n_i，n_b为选定的点数，G，H均表示边界函数；

在荷载F未知时，第i块轨道板的挠曲函数w_i表达为如下隐式形式：

L{w_i}+λw_i＝F_i(x,y)，(x,y)∈Ω (7)

式中：F_i(x,y)为第i块轨道板的外荷载，Ω为考虑边界微分条件的求解域；

则整跨桥梁的所有轨道板挠曲函数表示为：

L{w}+λw＝F(x,y)，(x,y)∈Ω (8)

式中w＝[w₁ w₂ ... w_n]^T，为全部轨道板的挠曲函数向量；F(x,y)＝[F₁ F₂ ...F_n]^T，为全部轨道板的外荷载向量；n为整跨桥梁的轨道板总数。

所述步骤2中的轨道的计算模型遵循以下假定：(1)轨道扣件视为考虑水平和垂直刚度的双向线形弹簧；(2)钢轨模拟为考虑扣件弹性支撑作用的欧拉梁；(3)选取钢轨分析长度远大于结构变形区域，钢轨力学模型的边界条件基本不影响结构变形区域，故假设钢轨模型两端边界为简支。

所述步骤2中，轨道计算模型建立包括以下步骤：

取钢轨分析区段左端为原点建立局部坐标系(x_r,z_r)，下标“r”表示钢轨局部坐标系，对两扣件间的钢轨节段，剪力可视为常量，设节段左端的竖向位移、转角、弯矩和剪力分别为z_t、

M_t、Q_t，则钢轨位移函数为：

式中：E为钢轨弹性模量，I_rz为钢轨竖向截面惯矩；

基于假定(3)可得，轨道的左端点(横坐标x_r＝0)和右端点(横坐标x_r＝l_end)对应的轨道变形值和弯矩值均为零，而两点处的剪力和曲率非零；将前述边界条件代入公式(9)，由线弹性体的叠加原理，第i个钢轨扣件处的钢轨竖向位移Z_ri为：

式中：l_i为当前扣件力计算位置到分析长度始端的距离，l_j(j＝1～sum)为各扣件位置到分析长度始端的距离，F_j为扣件力，sum为扣件总数；l_end为钢轨分析长度；

将表达式(10)中钢轨竖向截面惯性矩I_rz替换为横向惯矩I_ry即可得到钢轨横向变形；

由式(10)可得分析长度内的全部扣件位置处的钢轨位移的整体表达式：

U_R＝K_RF_f (11)

式中：K_R为变形矩阵，其元素可由式(10)求得，U_R为钢轨变形矩阵，F_f扣件力矩阵。

所述步骤3具体为，建立桥梁结构变形计算模型，给出分别由桥墩沉降、桥墩偏转、主梁偏转和主梁上拱所引起的主梁竖向变形函数dz₁、dz₂、dz₃、dz₄，以及分别由桥墩偏转和主梁偏转所引起的主梁横向变形函数dy₂、dy₃；主梁整体变形可由同向变形线型叠加得到主梁竖向总变形函数dz和横向总变形函数dy。基于表1中计算模型，结合具体的变形参数，包括桥墩沉降值、偏转角，主梁偏转角、上拱幅值，分别获得主梁竖向与横向整体变形dz、dy。具体计算模型见表1：

表1桥梁结构多种变形模式的计算图示

所述步骤4具体为：

1)建立轨道板与主梁的相互作用分析模型

轨道板与主梁通过砂浆层连接，梁体变形对轨道板的影响，可等效为由砂浆层变形产生的施加在轨道板上的面域荷载，轨道板与梁体的相对变形及面域荷载值求解过程如下：

桥梁结构变形后第i块轨道板4个角点的坐标为：

式中，

为纵坐标，

为横坐标，

为竖向坐标；i为轨道板编号，k为角点编号，角点编号k分别为1,2,3,4；a，b分别为轨道板长和宽；下标“s”表示轨道板的局部坐标系，dy、dz分别为主梁横向、竖向总变形函数；

第i块轨道板中心点坐标为：

Z_so,i＝dz(X_so,i,Y_so,i)(13)

式中：X_so,i，Y_so,i，Z_so,i分别为轨道板中心点纵向、横向、竖向坐标；

设桥梁变形函数在轨道板中心处的切平面为轨道板的基准平面；梁体上拱变形使基准平面产生相对于梁体的法向压缩变形ΔZ为：

其中，l_b为梁段全长，dz₄为主梁上拱所引起的主梁竖向变形函数；

忽略轨道板上拱产生的沿y轴方向的旋转角，基准平面的平面方程近似表示为：

式中：z_so(x,y)为轨道板空间基准面函数；

故桥梁结构相对于轨道板的变形Ds(x,y)为：

Ds(x,y)＝dz(x,y)-z_so(x,y) (16)

该变形将压缩砂浆层，产生作用于轨道板的面域荷载F_slab1为：

F_slab1(x,y)＝k_CA·Ds(x,y) (17)

式中：k_CA为砂浆层弹性刚度；

引入Dirac函数表示扣件力，第j个扣件对轨道板产生的集中荷载F_slab2,j表示为：

式中：F_f,j为第j个扣件的扣件力，

为第j个扣件在轨道板局部坐标系中的坐标，δ(*)为Dirac函数；

则整个轨道板上的N个扣件力F_slab2表示为：

故轨道板模型上的全部荷载F_slab(x,y)为：

F_slab(x,y)＝F_slab1(x,y)+F_slab2(x,y) (20)

对于一般的主梁结构变形(地震等极端荷载导致的桥梁整跨错台除外)，扣件力引起的轨道板局部弯曲变形可忽略不计，F_slab2(x,y)一项取0；

将式(20)代入轨道板计算模型式(8)中得到桥梁结构-轨道板变形关系式：

L{w}+λw＝k_CA·[dz(x,y,D)-z_so(x,y)]， (x,y)∈Ω (21)

式中：z_so＝[z_so,1 z_so,2 … z_so,n]^T，表示全部轨道板空间基准面函数组成的函数向量；dz表示轨道板竖向总变形函数；

2)扣件坐标的提取与变换

第i块轨道板变形后，全部扣件位置的局部坐标值为：

L_S,i＝[X_f,i,Y_f,i,U_S,i] (23)

式中：

为第i块轨道板上第j个扣件局部坐标，

为对应该坐标的轨道板变形量；

为扣件X轴坐标列阵，

为扣件Y轴坐标列阵，

为扣件位置处轨道板变形列阵，m为第i块轨道板上的扣件数；L_S,i为第i块轨道板变形后的扣件局部坐标矩阵；

将扣件坐标由局部坐标系转换至整体坐标系，其过程为先将坐标原点由轨道板一角点移动至轨道板中心点，再以中心点为原点进行坐标旋转：

L_So,i＝L_S,i+[a/2·I_j×1,b/2·I_j×1,0] (24)

U_bo,i＝T_i·L_So,i (25)

U_b,i＝U_bo,i-[X_so,i,Y_so,i,Z_so,i]·I_j×1 (26)

式中：L_So,i为将原点平移至轨道板中点后的扣件局部坐标矩阵；T_i为旋转矩阵，U_bo,i为以轨道板中心点为原点旋转后的扣件位置处轨道板变形矩阵；X_so,i,Y_so,i,Z_so,i为变形前第i块轨道板中心位置坐标；

U_b,i为整体坐标系下扣件位置处轨道板变形矩阵；

其中旋转矩阵T_i为：

其中：

分别为局部坐标系下的轨道板角点纵、横、竖向坐标，i为轨道板编号，k为角点编号；

则在桥梁整体坐标系下整跨桥梁变形后梁上全部轨道板的变形矩阵为：

U_S＝[U_b,1 U_b,2 … U_b,n]^T (27)

其中，n为整跨桥梁的轨道板总数；

3)钢轨与轨道板相互作用分析模型

钢轨与轨道板通过扣件连接，忽略结构沿x方向变形，二者的受力和变形关系如下：

F_f＝k_f·(U_R-U_S) (28)

式中：F_f为扣件力矩阵，U_R为钢轨变形矩阵，U_S为轨道板变形矩阵，k_f为扣件刚度；

联立(11)、(28)两式得到扣件力矩阵F_f和钢轨变形矩阵U_R：

F_f＝k_f([I]+k_f)^-1U_S (29)

U_R＝K_Rk_f([I]+k_f)^-1U_S (30)

式中，I为单位对角阵。

所述步骤5具体为：

1)确定桥梁结构的基本参数和变形参数；

2)基于式(12)-(20)结构变形导致的轨道板外荷载，将轨道板外荷载输入于桥梁变形模型式(21)中，获得各轨道板的挠曲函数w；

3)通过式(22)-(23)获取每块轨道板变形后所有扣件位置处坐标；

4)通过式(24)-(27)，进行空间坐标变换和组装，获得整体坐标系下整跨桥梁全部轨道板对应全部扣件位置的轨道板变形矩阵；

5)将轨道板变形矩阵U_S代入轨道板与钢轨关系式(29)-(30)，求得各扣件附加力和扣件位置的钢轨变形。

实施例1

(一)编程计算流程

本发明所提出的由铁路桥梁变形导致的无砟轨道空间映射变形的计算方法，在模型求解上相对复杂。推荐使用编程的方式实现模型的参数化求解。

一个参考的编程计算流程如图4所示。映射模型的求解分三步实现：

步骤1，计算参数输入。首先，输入待评估结构的基本参数，包括桥梁结构参数(桥长、支座中心距和墩高)、钢轨参数(扣件间距和刚度、钢轨抗弯刚度)和轨道板参数(材料参数、几何参数等)；其次，输入待评估结构的变形参数，如桥墩沉降量、主梁上拱幅值和梁体转角等。

步骤2，模型求解。基于已建立的桥梁结构变形与轨道线形映射关系，程序将求解结构变形函数、轨道板挠曲变形、钢轨位移和扣件力。

步骤3，结果输出。程序将输出各轨道的横向、竖向变形数据及扣件力。并可自动叠加轨道随机不平顺得到考虑结构变形的轨道整体线性。

(二)程序算例

以5×32.7m高速铁路无砟轨道预应力混凝土简支箱梁桥(双线)为例，单跨净跨径32.6m，计算跨径31.5m，支座中心线至主梁边缘距离为0.55m。主梁为C50混凝土单箱截面(如图5)，弹性模量为3.55×10⁴MPa，材料密度为2500kg/m³，泊松比取0.3。桥墩高10m，材料为C40混凝土，弹性模量为3.25×10⁴MPa，材料密度为2500kg/m³，泊松比取0.3。

轨道结构选取CRTSⅠ型轨道板。自下而上分别为底座板、CA砂浆层、轨道板、扣件和钢轨。材料参数如表2所示。

表2轨道板结构参数

设置三种典型的桥梁结构变形工况如下：

1)工况1：3#桥墩沉降4mm，其余墩位无沉降；

2)工况2：第3跨主梁整段梁体偏转0.2％rad；

3)工况3：梁体上拱幅值10mm，并考虑3#墩位处梁端扭转0.3％rad的空间效应；

将上述结构参数和变形参数输入计算程序，求解并输出工况1～3下的轨道映射变形与轨下扣件力。程序求解结果及有限元验证结果如图7～9所示。

在工况1中，沉降墩左右两侧桥跨轨道产生映射变形，且纵向变形趋于线性变化，扣件力仅在产生变形的桥跨交界处产生。在工况2中，梁上左右侧钢轨竖向变形与扣件力分布形态一只，但幅值相差明显。在工况3中，左右两侧钢轨的映射变形和扣件力存在明显差异，不同钢轨间的横向空间效应明显。映射模型的计算结果与有限元模型的计算结果基本一致，表明所建立映射关系具备较高的准确性。

以上对本发明所提出的一种由铁路桥梁变形导致的无砟轨道空间映射变形的计算方法进行了详细介绍，本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处，综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。

Claims (8)

1.一种由铁路桥梁变形导致的无砟轨道空间映射变形的计算方法，其特征在于：所述方法包括以下步骤：

步骤1：基于弹性薄板理论建立轨道板的计算模型；

步骤2：基于欧拉梁理论建立轨道的计算模型；

步骤3：建立桥梁结构变形计算模型；构建桥墩沉降、偏转、梁体扭转和上拱变形模式下的桥梁结构变形计算模型，并通过线性叠加获得主梁整体空间变形；

步骤4：建立结构变形与轨道线形映射关系计算模型：利用构件间的变形协调和受力平衡关系，将轨道、轨道板和桥梁结构变形计算模型进行组装，建立空间维度上的结构变形与轨道线形的映射关系计算模型；

步骤5：映射关系计算模型的求解：结合具体的结构参数与变形参数，求解映射关系计算模型，获得钢轨的映射变形和扣件力。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于：所述步骤1遵循以下假定：①轨道板结构视为四边自由的弹性薄板；②轨道板下砂浆层视为Winker弹性地基；③轨道板支撑在弹性地基上。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于：所述步骤1中，为建立轨道板的计算模型，首先以轨道板某一角点为坐标原点建立局部坐标系(x_s,y_s,z_s)，下标“s”表示局部坐标系下；

基于古典弹性薄板理论建立轨道板挠曲微分方程：

给出轨道板的边界条件，在x＝0和x＝a边上，弯矩M_x和剪力V_x分别满足：

在y＝0和y＝b边上，弯矩M_y和剪力V_y分别满足：

式中：M_x,M_y分别为对应边界上的弯矩，V_x，V_y分别为对应边界上的剪力，w为轨道板的竖向变形，D为板的抗弯刚度，

E为弹性模量，ν为泊松比，h为轨道板厚度；

为拉普拉斯算子，

k_d为地基系数，由砂浆层的材料性质决定，q为轨道板所受荷载，由钢轨扣件力和轨下结构变形产生；

薄板挠曲函数采用多项式形式：

式中：α_m(m＝1,2…,l)为组合系数，u_m(m＝1,2…,l)为控制方程的特解，也是多项式薄板挠曲形函数的基底，l为选定的控制方程特解数，L是线形偏微分算子，λ＝k_d/D，N＝i+j，i和j为正整数；令A＝[α₁ α₂ ... α_l]^T，为组合系数列阵；

结合表达式(1)-(5)，基于求解弹性地基板问题的配点法，得到轨道板的控制方程：

式中：B₁和B₂是线性边界算子，F为轨道板所受荷载，由钢轨扣件力和轨下结构变形产生，(x_k,y_k)为选取的代入控制方程的轨道板点坐标；n_i，n_b为选定的点数，G，H均表示边界函数；

在荷载F未知时，第i块轨道板的挠曲函数w_i表达为如下隐式形式：

L{w_i}+λw_i＝F_i(x,y)，(x,y)∈Ω (7)

式中：F_i(x,y)为第i块轨道板的外荷载，Ω为考虑边界微分条件的求解域；

则整跨桥梁的所有轨道板挠曲函数表示为：

L{w}+λw＝F(x,y)，(x,y)∈Ω (8)

式中w＝[w₁ w₂ ... w_n]^T，为全部轨道板的挠曲函数向量；F(x,y)＝[F₁ F₂ ... F_n]^T，为全部轨道板的外荷载向量；n为整跨桥梁的轨道板总数。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于：所述步骤2中的轨道的计算模型遵循以下假定：(1)轨道扣件视为考虑水平和垂直刚度的双向线形弹簧；(2)钢轨模拟为考虑扣件弹性支撑作用的欧拉梁；(3)选取钢轨分析长度远大于结构变形区域，钢轨力学模型的边界条件基本不影响结构变形区域，故假设钢轨模型两端边界为简支。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于：所述步骤2中，轨道计算模型建立包括以下步骤：

取钢轨分析区段左端为原点建立局部坐标系(x_r,z_r)，下标“r”表示钢轨局部坐标系，对两扣件间的钢轨节段，剪力可视为常量，设节段左端的竖向位移、转角、弯矩和剪力分别为z_t、

M_t、Q_t，则钢轨位移函数为：

式中：E为钢轨弹性模量，I_rz为钢轨竖向截面惯矩；

基于假定(3)可得，轨道的左端点和右端点对应的轨道变形值和弯矩值均为零，而两点处的剪力和曲率非零；将前述边界条件代入公式(9)，由线弹性体的叠加原理，第i个钢轨扣件处的钢轨竖向位移Z_ri为：

式中：l_i为当前扣件力计算位置到分析长度始端的距离，l_j(j＝1～sum)为各扣件位置到分析长度始端的距离，F_j为扣件力，sum为扣件总数；l_end为钢轨分析长度；

将表达式(10)中钢轨竖向截面惯性矩I_rz替换为横向惯矩I_ry即可得到钢轨横向变形；

由式(10)可得分析长度内的全部扣件位置处的钢轨位移的整体表达式：

U_R＝K_RF_f (11)

式中：K_R为变形矩阵，其元素可由式(10)求得，U_R为钢轨变形矩阵，F_f扣件力矩阵。

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于：所述步骤3具体为，建立桥梁结构变形计算模型，给出分别由桥墩沉降、桥墩偏转、主梁偏转和主梁上拱所引起的主梁竖向变形函数dz₁、dz₂、dz₃、dz₄，以及分别由桥墩偏转和主梁偏转所引起的主梁横向变形函数dy₂、dy₃；主梁整体变形可由同向变形线型叠加得到主梁竖向总变形函数dz和横向总变形函数dy。

7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于：所述步骤4具体为：

1)建立轨道板与主梁的相互作用分析模型

轨道板与主梁通过砂浆层连接，梁体变形对轨道板的影响，可等效为由砂浆层变形产生的施加在轨道板上的面域荷载，轨道板与梁体的相对变形及面域荷载值求解过程如下：

桥梁结构变形后第i块轨道板4个角点的坐标为：

式中，

为纵坐标，

为横坐标，

为竖向坐标；i为轨道板编号，k为角点编号，角点编号k分别为1,2,3,4；a，b分别为轨道板长和宽；下标“s”表示轨道板的局部坐标系，dy、dz分别为主梁横向、竖向总变形函数；

第i块轨道板中心点坐标为：

式中：X_so,i，Y_so,i，Z_so,i分别为轨道板中心点纵向、横向、竖向坐标；

设桥梁变形函数在轨道板中心处的切平面为轨道板的基准平面；梁体上拱变形使基准平面产生相对于梁体的法向压缩变形ΔZ为：

其中，l_b为梁段全长，dz₄为主梁上拱所引起的主梁竖向变形函数；

忽略轨道板上拱产生的沿y轴方向的旋转角，基准平面的平面方程近似表示为：

式中：z_so(x,y)为轨道板空间基准面函数；

故桥梁结构相对于轨道板的变形Ds(x,y)为：

Ds(x,y)＝dz(x,y)-z_so(x,y) (16)

该变形将压缩砂浆层，产生作用于轨道板的面域荷载F_slab1为：

F_slab1(x,y)＝k_CA·Ds(x,y) (17)

式中：k_CA为砂浆层弹性刚度；

引入Dirac函数表示扣件力，第j个扣件对轨道板产生的集中荷载F_slab2,j表示为：

式中：F_f,j为第j个扣件的扣件力，

为第j个扣件在轨道板局部坐标系中的坐标，δ(*)为Dirac函数；

则整个轨道板上的N个扣件力F_slab2表示为：

故轨道板模型上的全部荷载F_slab(x,y)为：

F_slab(x,y)＝F_slab1(x,y)+F_slab2(x,y) (20)

对于主梁结构变形，扣件力引起的轨道板局部弯曲变形可忽略不计，F_slab2(x,y)一项取0；

将式(20)代入轨道板计算模型式(8)中得到桥梁结构-轨道板变形关系式：

L{w}+λw＝k_CA·[dz(x,y,D)-z_so(x,y)]，(x,y)∈Ω (21)

式中：z_so＝[z_so,1 z_so,2 … z_so,n]^T，表示全部轨道板空间基准面函数组成的函数向量；dz表示轨道板竖向总变形函数；

2)扣件坐标的提取与变换

第i块轨道板变形后，全部扣件位置的局部坐标值为：

L_S,i＝[X_f,i,Y_f,i,U_S,i] (23)

式中：

为第i块轨道板上第j个扣件局部坐标，

为对应该坐标的轨道板变形量；

为扣件X轴坐标列阵，

为扣件Y轴坐标列阵，

为扣件位置处轨道板变形列阵，m为第i块轨道板上的扣件数；L_S,i为第i块轨道板变形后的扣件局部坐标矩阵；

将扣件坐标由局部坐标系转换至整体坐标系，其过程为先将坐标原点由轨道板一角点移动至轨道板中心点，再以中心点为原点进行坐标旋转：

L_So,i＝L_S,i+[a/2·I_j×1,b/2·I_j×1,0] (24)

U_bo,i＝T_i·L_So,i (25)

U_b,i＝U_bo,i-[X_so,i,Y_so,i,Z_so,i]·I_j×1 (26)

式中：L_So,i为将原点平移至轨道板中点后的扣件局部坐标矩阵；T_i为旋转矩阵，U_bo,i为以轨道板中心点为原点旋转后的扣件位置处轨道板变形矩阵；X_so,i,Y_so,i,Z_so,i为变形前第i块轨道板中心位置坐标；

U_b,i为整体坐标系下扣件位置处轨道板变形矩阵；

其中旋转矩阵T_i为：

其中：

分别为局部坐标系下的轨道板角点纵、横、竖向坐标，i为轨道板编号，k为角点编号；

则在桥梁整体坐标系下整跨桥梁变形后梁上全部轨道板的变形矩阵为：

U_S＝[U_b,1 U_b,2 … U_b,n]^T (27)

其中，n为整跨桥梁的轨道板总数；

3)钢轨与轨道板相互作用分析模型

钢轨与轨道板通过扣件连接，忽略结构沿x方向变形，二者的受力和变形关系如下：

F_f＝k_f·(U_R-U_S) (28)

式中：F_f为扣件力矩阵，U_R为钢轨变形矩阵，U_S为轨道板变形矩阵，k_f为扣件刚度；

联立(11)、(28)两式得到扣件力矩阵F_f和钢轨变形矩阵U_R：

F_f＝k_f([I]+k_f)^-1U_S (29)

U_R＝K_Rk_f([I]+k_f)^-1U_S (30)

式中，I为单位对角阵。

8.根据权利要求7所述的方法，其特征在于：所述步骤5具体为：

1)确定桥梁结构的基本参数和变形参数；

2)基于式(12)-(20)结构变形导致的轨道板外荷载，将轨道板外荷载输入于桥梁变形模型式(21)中，获得各轨道板的挠曲函数w；

3)通过式(22)-(23)获取每块轨道板变形后所有扣件位置处坐标；

4)通过式(24)-(27)，进行空间坐标变换和组装，获得整体坐标系下整跨桥梁全部轨道板对应全部扣件位置的轨道板变形矩阵；

5)将轨道板变形矩阵U_S代入轨道板与钢轨关系式(29)-(30)，求得各扣件附加力和扣件位置的钢轨变形。

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