CN113407900B - Lorenz振子的快速求解方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种适用于Lorenz吸引子动力学系统的快速数值求解方法，属于数字信号处理领域。由于Lorenz吸引子动力学系统是非刚性方程，现有的数值求解技术常用显式的4阶龙格库塔法，但是4阶龙格库塔法求解一个数据点时需要将微分方程求解4次，其运算量较大。本发明通过半隐式的方法，构造出Lorenz吸引子动力学系统的快速高精度求解方法，其运算量是4阶龙格库塔法的四分之三，而求解精度和4阶龙格库塔法一样。通过本发明方法可以有效提升Lorenz吸引子动力学系统的求解速度。

Description

Lorenz振子的快速求解方法
技术领域
本发明涉及数字信号处理领域，涉及了Lorenz振子的快速求解方法，具体涉及一种Lorenz振子的快速高精度求解方法。
背景技术
Lorenz振子是一种重要的混沌振子，该振子广泛应用于工程领域，比如文献“基于Lorenz系统Lyapunov指数的管道超声导波检测”、“基于Lorenz混沌同步系统的未知频率微弱信号检测”、“基于Lorenz系统的微弱谐和信号检测”等。
在应用Lorenz振子时，必须进行有效的数值求解。由于Lorenz方程是非刚性方程，所以通常利用显式的龙格库塔法进行求解，尤其是定步长四阶龙格库塔法兼具高精度和小运算量的优点，所以是首选数值求解方法。但是定步长四阶龙格库塔法在求解一个数据点时，需要将微分方程求解4次，也就是说N个数据点的求解需要将微分方程求解4N次，可见该方法的运算速度是有提升空间的。因此，研究数值求解方法具有实际的意义。
发明内容
针对上述问题，本发明提供了一种基于半隐式方法的数值计算方法，可以将Lorenz振子求解时应用的定步长四阶龙格库塔法的运算时长减少四分之一。
本发明的技术方案是：Lorenz振子的快速高精度求解方法，具体步骤包括如下：
步骤一、将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值，执行两个并行计算步骤1a、1b，分别得到方程变量的下一递推值后，执行一个平均计算步骤1c，得到方程变量的下一递推值1；
步骤二、将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值，执行两个并行计算步骤2a、2b，分别得到方程变量的递推中间值后，执行一个平均计算步骤2c，得到方程变量的递推中间值；然后将步骤2c得到的方程变量的递推中间值，执行两个并行计算步骤2d、2e，分别得到方程变量的下一递推值后，执行一个平均计算步骤2f，得到方程变量的下一递推值2；
步骤三、将步骤一求出的方程变量下一递推值1和步骤二求出的相应方程变量下一递推值2带入一个公式进行计算，可得方程变量下一递推值；
其中，所述的Lorenz吸引子动力学系统方程具体如下式所示：
式(1)中，x、y、z表示该方程变量，分别表示该方程变量的一阶导数，σ、r、b表示常数的系统参数；
在步骤一中，将步骤一划分为1a、1b、1c三个子步骤，其中，
在步骤1a中，对于Lorenz吸引子动力学系统方程，将方程变量的前一递推值带入公式(2)中求解得到下一递推值/>所述公式(2)如下式所示：
在步骤1b中，将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值 带入公式(3)中求解得到方程向量下一递推值/>所述公式(3)如下式所示：
在式(2)和(3)中，变量的上标n表示变量的第n个数据，变量的下标1表示递推过程的第一步；变量的上标n+1表示变量的第n+1个数据，变量的下标1表示递推过程的第一步；h表示递推步长H；另外，步骤1a和1b是单独并行计算的；
在步骤1c中，将步骤1a、步骤1b求解出的变量下一递推值求平均，得到方程变量下一递推值1；
在步骤二中，将步骤二划分为2a、2b、2c、2d、2e及2f六个子步骤，其中，
在步骤2a中，将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值 带入公式(4)中求解得到方程变量递推中间值/>
所述公式(4)如下式所示：
在步骤2b中，将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值 带入公式(5)求解得到方程变量递推中间值/>所述公式(5)如下式所示：
在公式(4)和(5)中，变量的上标n表示变量的第n个数据，变量的下标2表示递推过程的第二步；变量的上标n+1/2表示变量的第n+1/2个中间变量数据，变量的下标2表示递推过程的第二步；h表示递推步长H/2；
另外，步骤2a、2b是单独并行计算的；
在步骤2c中，将步骤2a、2b求解出的方程变量递推中间值求平均，得到方程变量递推中间值；
在步骤2d中，将步骤2c中求得的中间变量数据值带入公式(6)求解得到方程变量下一递推值/>所述公式(6)如下式所示：
入公式(7)求解得到方程变量下一递推值所述公式(7)如下式所示：
在公式(6)和(7)中，变量的上标n+1表示变量的第n+1个数据，变量的下标2表示递推过程的第二步；变量的上标n+1/2表示变量的第n+1/2个中间变量数据，变量的下标2表示递推过程的第二步；h表示递推步长H/2；
另外，步骤2d、2e是单独并行计算的；
在步骤2f中，将子步骤2d、2e中求出的对应变量值求平均，得到方程变量的下一递推值2。
进一步的，在步骤三中，将步骤一求出的方程变量下一递推值1和步骤二求出的相应方程变量下一递推值2带入公式(8)进行计算，可得方程变量下一递推值；
所述公式(8)如下式所示，
其中，步骤三的计算结果就是方程变量的下一递推值。
通过以上三个步骤，即可通过变量的第n个数据值递推出第n+1个数据值。且由于本发明方法的递推算法也是4阶精度的，和4阶龙格库塔法精度一样，其对Lorenz方程的求解结果精度也一样的。
从以上的半隐式递推步骤可以看出，每个变量的递推需要计算六次微分方程才能得到，但是由于采用了并行处理方法，其计算时间缩减了一半，所以每个变量的计算时间为计算三次微分方程的时间。而定步长4阶龙格库塔法，每个变量的计算时间为计算四次微分方程的时间，所以本发明方法比定步长4阶龙格库塔法的计算时间缩短了四分之一。
本发明的有益效果是：利用本发明提出的递推算法，提升了Lorenz方程数字求解的速度，本发明方法相对于定步长4阶龙格库塔法的计算时间缩短了四分之一。
附图说明
图1是本发明的结构流程图；
图2是通过定步长4阶龙格库塔法求解出的Lorenz方程的三维相图；
图3是本发明中求解出的Lorenz方程的三维相图；
图4是是求解出的Lorenz方程的x变量随时间变化的波形示意图；
图5是本发明中求解出的Lorenz方程的x变量随时间变化的波形图；
图6是本发明实施例中利用定步长4阶龙格库塔法求解出的Lorenz方程的y变量随时间变化的波形图；
图7是本发明实施例中利用本发明方法求解出的Lorenz方程的y变量随时间变化的波形图。
具体实施方式
为了更清楚地说明本发明的技术方案，下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：
如图1所述；本发明采用半隐式方法构造Lorenz吸引子动力学系统的快速数值求解方法，具体步骤包括如下：
步骤一、将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值，执行两个并行计算步骤1a、1b，分别得到方程变量的下一递推值后，执行一个平均计算步骤1c，得到方程变量的下一递推值1；
步骤二、将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值，执行两个并行计算步骤2a、2b，分别得到方程变量的递推中间值后，执行一个平均计算步骤2c，得到方程变量的递推中间值；然后将步骤2c得到的方程变量的递推中间值，执行两个并行计算步骤2d、2e，分别得到方程变量的下一递推值后，执行一个平均计算步骤2f，得到方程变量的下一递推值2；
步骤三、将步骤一求出的方程变量下一递推值1和步骤二求出的相应方程变量下一递推值2带入一个公式进行计算，可得方程变量下一递推值。
进一步的，所述的Lorenz吸引子动力学系统方程具体如下式所示：
式(1)中，x、y、z表示该方程变量，分别表示该方程变量的一阶导数，σ、r、b表示常数的系统参数；取不同的系统参数，振子会表现出丰富的非线性特征。
对于Lorenz吸引子的动力学方程可以采用定步长4阶龙格库塔法求解，其递推公式如下：
式中：xn、yn、zn是方程变量x、y、z的龙格库塔法的第n个递推值，xn+1、yn+1、zn+1是方程变量x、y、z的龙格库塔法的第n+1个递推值，h是递推步长。
从定步长4阶龙格库塔法的递推公式可以看出，每个变量需四次计算微分方程才能得到；
在步骤一中，将步骤一划分为1a、1b、1c三个子步骤，其中，
在步骤1a中，对于Lorenz吸引子动力学系统方程，将方程变量的前一递推值带入公式(2)中求解得到下一递推值/>所述公式(2)如下式所示：
在步骤1b中，将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值 带入公式(3)中求解得到方程向量下一递推值/>所述公式(3)如下式所示：
在式(2)和(3)中，变量的上标n表示变量的第n个数据，变量的下标1表示递推过程的第一步，如表示变量x在递推过程第一步中的第n个数据值，该值对应于龙格库塔法中的变量的第n个数据xn；变量的上标n+1表示变量的第n+1个数据，变量的下标1表示递推过程的第一步，如/>表示变量x在递推过程第一步中的第n+1个数据值；h表示递推步长H；其中，步骤1a和1b是单独并行计算的；
在步骤1c中，将步骤1a、步骤1b求解出的变量下一递推值求平均，得到方程变量下一递推值1；例如，将1a步骤求出的和1b步骤求出的/>相加除2，即可得到变量x的下一递推值/>
在步骤二中，将步骤二划分为2a、2b、2c、2d、2e及2f六个子步骤，其中，
在步骤2a中，将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值 带入公式(4)中求解得到方程变量递推中间值/>
所述公式(4)如下式所示：
在步骤2b中，将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值 带入公式(5)求解得到方程变量递推中间值/>所述公式(5)如下式所示：
在公式(4)和(5)中，变量的上标n表示变量的第n个数据，变量的下标2表示递推过程的第二步，如表示变量x在递推过程第二步中的第n个数据值；变量的上标n+1/2表示变量的第n+1/2个中间变量数据，变量的下标2表示递推过程的第二步，如/>表示变量x在递推过程第二步中的第n+1/2个中间变量数据值；h表示递推步长H/2；其中，步骤2a、2b步骤是单独并行计算的；
在步骤2c中，将步骤2a、2b求解出的方程变量递推中间值求平均，得到方程变量递推中间值；例如，将2a步骤求出的和2b步骤求出的/>相加除2，即可得到变量x的变量递推中间值/>
在步骤2d中，将步骤2c中求得的中间变量数据值带入公式(6)求解得到方程变量下一递推值/>所述公式(6)如下式所示：
入公式(7)求解得到方程变量下一递推值所述公式(7)如下式所示：
在公式(6)和(7)中，变量的上标n+1表示变量的第n+1个数据，变量的下标2表示递推过程的第二步，如表示变量x在递推过程第二步中的第n+1个数据值；变量的上标n+1/2表示变量的第n+1/2个中间变量数据，变量的下标2表示递推过程的第二步，如/>表示变量x在递推过程第二步中的第n+1/2个中间变量数据值；h表示递推步长H/2；其中，步骤2d、2e是单独并行计算的；
在步骤2f中，将子步骤2d、2e中求出的对应变量值求平均，得到方程变量的下一递推值2；例如，将子步骤2d求出的和步骤2e求出的/>相加除2，即得到变量x的下一递推值/>
进一步的，在步骤三中，将步骤一求出的方程变量下一递推值1和步骤二求出的相应方程变量下一递推值2带入公式(8)进行计算，可得方程变量下一递推值；
所述公式(8)如下式所示，
其中，步骤三的计算结果就是方程变量的下一递推值；
例如：变量x的第n个数据值通过步骤一求出/>和步骤二求出/>后，通过公式(8)可以计算得到变量x的第n+1个数据值/>这样就实现了变量x的递推。
通过以上三个步骤，即可通过变量的第n个数据值递推出第n+1个数据值。
如附图2所示，为定步长4阶龙格库塔法求解出的Lorenz方程的三维相图。求解的参数为(公式(1)中)σ＝10，r＝28，b＝8/3，此时振子处于混沌态。
如附图3所示，为本发明方法求解出的Lorenz方程的三维相图。求解参数与附图2的求解参数一致。对比可以发现，附图2和附图3的求解结果完全一致。
如附图4所示，为定步长4阶龙格库塔法求解出的Lorenz方程的x变量随时间变化的波形。
如附图5所示，为本发明方法求解出的Lorenz方程的x变量随时间变化的波形；对比可以发现，附图4和附图5的求解结果完全一致。
实施例：
依据“基于Lorenz系统的微弱谐和信号检测”构建的信号检测模型，其Lorenz振子信号检测系统微分方程为：
式中，x、y、z表示该方程变量，分别表示该方程变量的一阶导数，t表示时间，Fbp表示增益为5dB的带通滤波器，s(t)表示待检测的信号，n(t)表示高斯白噪声；
该检测模型中，先把混合有噪声的待检测信号进行带通滤波，然后输入Lorenz振子进行检测；在实验中，将n(t)噪声的功率设置为0.04W，信号设置为s(t)＝0.002cos(70t)；
将信号和噪声输入公式10中，利用定步长4阶龙格库塔法求解，得到如图6所示的系统输出y的波形图，从中可以明显看到系统输出波形在1秒左右迅速衰减为很小的值，说明存在有70弧度/秒的角频率待检测信号；该信号检测结果与文献“基于Lorenz系统的微弱谐和信号检测”中的检测结果是一致的。
同样，利用本发明的快速数值求解方法，对该信号检测问题进行求解，其求解结果如图7所示。对比图6和图7，可以看出利用定步长4阶龙格库塔法求解的结果和本发明方法求解结果几乎完全一样。说明本发明方法可以正确应用于信号检测等实际工程应用中。
最后，应当理解的是，本发明中所述实施例仅用以说明本发明实施例的原则；其他的变形也可能属于本发明的范围；因此，作为示例而非限制，本发明实施例的替代配置可视为与本发明的教导一致；相应地，本发明的实施例不限于本发明明确介绍和描述的实施例。

Claims (2)

1.Lorenz振子的快速求解方法，其特征在于，具体步骤包括如下：
步骤一、将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值，执行两个并行计算步骤1a、1b，分别得到方程变量的下一递推值后，执行一个平均计算步骤1c，得到方程变量的下一递推值1；
步骤二、将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值，执行两个并行计算步骤2a、2b，分别得到方程变量的递推中间值后，执行一个平均计算步骤2c，得到方程变量的递推中间值；然后将步骤2c得到的方程变量的递推中间值，执行两个并行计算步骤2d、2e，分别得到方程变量的下一递推值后，执行一个平均计算步骤2f，得到方程变量的下一递推值2；
步骤三、将步骤一求出的方程变量下一递推值1和步骤二求出的相应方程变量下一递推值2带入一个公式进行计算，最后可得方程变量下一递推值；
其中，所述的Lorenz吸引子动力学系统方程具体如下式所示：
式(1)中，x、y、z表示该方程变量，分别表示该方程变量的一阶导数，σ、r、b表示常数的系统参数；
在步骤一中，将步骤一划分为1a、1b、1c三个子步骤，其中，
在步骤1a中，对于Lorenz吸引子动力学系统方程，将方程变量的前一递推值带入公式(2)中求解得到下一递推值/>所述公式(2)如下式所示：
在步骤1b中，将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值 带入公式(3)中求解得到方程变量下一递推值/>所述公式(3)如下式所示：
在式(2)和(3)中，变量的上标n表示变量的第n个数据，变量的下标1表示递推过程的第一步；变量的上标n+1表示变量的第n+1个数据，变量的下标1表示递推过程的第一步；h表示递推步长H；另外，步骤1a和1b是单独并行计算的；
在步骤1c中，将步骤1a、步骤1b求解出的变量下一递推值求平均，得到方程变量下一递推值1；
在步骤二中，将步骤二划分为2a、2b、2c、2d、2e及2f六个子步骤，其中，
在步骤2a中，将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值 带入公式(4)中求解得到方程变量递推中间值/>
所述公式(4)如下式所示：
在步骤2b中，将Lorenz吸引子动力学系统方程变量的前一递推值 带入公式(5)求解得到方程变量递推中间值/>所述公式(5)如下式所示：
在公式(4)和(5)中，变量的上标n表示变量的第n个数据，变量的下标2表示递推过程的第二步；变量的上标n+1/2表示变量的第n+1/2个中间变量数据，变量的下标2表示递推过程的第二步；h表示递推步长H/2；
另外，步骤2a、2b是单独并行计算的；
在步骤2c中，将步骤2a、2b求解出的方程变量递推中间值求平均，得到方程变量递推中间值；
在步骤2d中，将步骤2c中求得的中间变量数据值带入公式(6)求解得到方程变量下一递推值/>所述公式(6)如下式所示：
入公式(7)求解得到方程变量下一递推值所述公式(7)如下式所示：
在公式(6)和(7)中，变量的上标n+1表示变量的第n+1个数据，变量的下标2表示递推过程的第二步；变量的上标n+1/2表示变量的第n+1/2个中间变量数据，变量的下标2表示递推过程的第二步；h表示递推步长H/2；
另外，步骤2d、2e是单独并行计算的；
在步骤2f中，将子步骤2d、2e中求出的对应变量值求平均，得到方程变量的下一递推值2；
具体的，依据“基于Lorenz系统的微弱谐和信号检测”构建的信号检测模型，其Lorenz振子信号检测系统微分方程为：
式中，x、y、z表示该方程变量，分别表示该方程变量的一阶导数，t表示时间，Fbp表示增益为5dB的带通滤波器，s(t)表示待检测的信号，n(t)表示高斯白噪声；
该检测模型中，先把混合有噪声的待检测信号进行带通滤波，然后输入Lorenz振子进行检测；在实验中，将n(t)噪声的功率设置为0.04W，信号设置为s(t)＝0.002cos(70t)；
将信号和噪声输入公式中，利用定步长4阶龙格库塔法求解，得到系统输出y的波形图，从中看到系统输出波形在1秒左右迅速衰减为很小的值，说明存在有70弧度/秒的角频率待检测信号；
同样，利用快速数值求解方法，对该信号检测问题进行求解，则利用定步长4阶龙格库塔法求解的结果和求解结果相同。
2.根据权利要求1所述的Lorenz振子的快速求解方法，其特征在于，
在步骤三中，将步骤一求出的方程变量下一递推值1和步骤二求出的相应方程变量下一递推值2带入公式(8)进行计算，可得方程变量下一递推值；
所述公式(8)如下式所示，
其中，步骤三的计算结果就是方程变量的下一递推值。
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