CN113392546B - 一种三维壁板结构位移场重构的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种三维壁板结构位移场重构的方法。本发明的方法包括步骤：S1.在结构表面有限测点处布置应变传感器,获取结构的外荷载作用下有限测点处的应变信息；S2.基于逆有限元法推导出满足应变条件的位移场U1；S3.利用边界条件求得附加位移场U2；S4.将U1与U2线性叠加获得结构重构位移场U。本发明解决在外荷载作用下三维壁板结构位移场实时重构问题，为使役环境下飞行器壁板结构位移场实时监测提供一种间接测量的手段。

Description

一种三维壁板结构位移场重构的方法

技术领域

本发明涉及一种三维壁板结构位移场重构的方法，属于结构状态监测反问题技术领域。

背景技术

使役环境下的高速飞行器结构状态监测近年来成为研究的热点，而形变监测是状态监测的重要组成部分。现有的测量手段难以直接对飞行器结构的形变进行长时间的实时监测。因此，发展测算融合型的形变测量方法，将有限点的响应测量与重构算法相结合进而重构出飞行器结构的位移场，成为一种重要的飞行器状态监测手段。

实际工程结构上的三维壁板结构，板与板之间的连接一般是非固支，在外荷载作用下板与板之间的夹角会发生改变。在这样的情况下，基于固支边界条件推导而来的传统逆有限元的重构算法没法对该结构的实际位移场进行准确的重构。因此需要一种三维壁板结构位移场重构的方法。

发明内容

本发明的目的是提供一种三维壁板结构位移场重构的方法，解决三维壁板结构在未知荷载作用下位移场监测的问题，为使役环境下飞行器结构位移场实时监测提供了一种间接测量的一种手段。

技术方案：上述的目的通过以下技术方案实现：一种基于逆有限元重构理论的三维壁板结构位移场重构方法，该方法包括如下步骤：

S1.对三维壁板结构进行有限元仿真，根据仿真结果在结构表面预设位置布置应变传感器，获得结构在外荷载作用下有限测点处的应变信息；

S2.将重构位移场U分解成位移场U1和附加位移场U2的线性叠加，利用基于逆有限元法的重构算法推导出满足应变条件的位移场U1；

S3.利用边界条件和弹性力学本构方程求得附加位移场U2；

S4.将位移场U1与位移场U2线性叠加获得既满足应变条件又满足边界条件的三维壁板结构重构位移场U。

进一步的，步骤S1中所述的对三维壁板结构进行有限元仿真，根据仿真结果在结构表面预设位置布置应变传感器，获得结构在外荷载作用下有限测点处应变信息的具体方法包括：

S11：建立实际结构的准确有限元模型；

S12：开展有限元仿真计算，获得结构在预设荷载作用下的应变云图和位移云图；

S13：基于仿真分析得到的应变云图和位移云图，在三维壁板结构边缘处和应变峰值区域的内、外表面布置应变测点；

S14：开展加载试验，利用应变传感器获得荷载作用下测点处的结构应变信息。

进一步的，步骤S2中所述的将重构位移场U分解成位移场U1和附加位移场U2的线性叠加，利用基于逆有限元法的重构算法推导出满足应变条件的位移场U1的具体方法包括：

S21：根据Reissner-Mindlin中厚板理论构建三节点的逆壳单元，设点P(x,y)在节点1，节点2和节点3所围成的三角形内部，且该三角形面积为A；A₁表示节点2，节点3和节点P所围成三角形的面积；A₂表示节点1，节点3和节点P所围成三角形的面积；A₃表示节点1，节点2和节点P所围成三角形的面积，利用位移有限元法，使用一组合适的形状函数对单元内位移场进行插值，形函数N_i(x,y)表达式如下：

上式中，L_i、ξ_i和M_i表示插值函数，其中，L_i在数值上等于三角形单元内部一点P的面积坐标，b_j，b_k，c_j，c_k都是常数，由单元节点坐标确定；

S22：通过施加固定的罚值参数λ，λ＞0，构建单元实测应变与理论计算应变的最小二乘泛函来推导单元矩阵，泛函的表达式如下：

上式中，∥●∥²表示平方范数；u₁表示满足位移场U1限制条件的单元位移场；e(u₁)是通过单元节点位移u₁推导而来的薄膜应变，k(u₁)是通过单元节点位移u₁推导而来的弯曲曲率，g(u₁)是通过单元节点位移u₁推导而来的横向剪切应变；e^ε是通过试验测得的薄膜应变，k^ε是通过试验测得的弯曲曲率，g^ε是通过试验测得的剪切应变，u₁、e(u₁)、k(u₁)、g(u₁)、e^ε和k^ε具体表达式如下：

上式中，u₁₁表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿x轴正方向的位移；v₁₁表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿y轴正方向的位移；w₁₁表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿z轴正方向的位移；θ_11x表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿x轴负方向的转角；θ_11y表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿y轴正方向的转角；t表示板的厚度；表示三角形单元内点P上表面沿x轴方向的应变，/>表示三角形单元内点P上表面沿y轴方向的应变，/>表示三角形单元内点P上表面在x-y方向的切应变，/> 三角形单元内点P下表面沿x轴方向的应变，/>表示三角形单元内点P下表面沿y轴方向的应变，/>表示三角形单元内点P下表面在x-y方向的切应变；在三角单元内点P上、下表面处各粘贴一枚三向应变花，保证三向应变花中的0°应变片方向与x轴方向一致、90°应变片方向与y轴方向一致、45°应变片位于x轴正方向和y轴正方向夹角的角平分线上，此时/>表示上表面0°应变片测量的应变值，表示上表面90°应变片测量的应变值，/>表示上表面45°应变片测量的应变值，/>表示下表面0°应变片测量的应变值，/>表示下表面90°应变片测量的应变值，/>表示下表面45°应变片测量的应变值；

对泛函求导得到应变与位移的关系：

K_eu₁-f_e＝0 (20)

上式中，K_e为等效刚度矩阵，具体表达式如下：

K_e＝B^mTB^m+t²×A×B^bTB^b+λ×∫_AB^sTB^sdxdy (21)

f_e为等效载荷矩阵，具体表达式如下：

f_e＝B^mTe^ε+t²×A×B^bTk^ε (22)

在式(6)和式(7)中，上标T表示转置，B^m表示薄膜应变对应的应变矩阵，具体表达式如下：

B^b表示弯曲曲率对应的应变矩阵，具体表达式如下：

B^s表示横向剪切应变对应的应变矩阵，具体表达式如下：

S23：将测得的有限测点上、下表面的应变信息和/>代入式(19)求得e^ε和k^ε，将求得的e^ε和k^ε再代入式(21)和式(22)得到K_e和f_e，将K_e和f_e代入式(20)得到单元节点位移值，对离散结构的单元矩阵进行标准的有限元组装，即得到整个结构单元节点处的位移信息U1。

进一步的，步骤S3中所述的利用边界条件和弹性力学本构方程求得附加位移场U2的具体方法包括：

S31：利用弹性力学中的几何关系可以得到应变—位移方程：

上式中，u₂表示满足位移场U2限制条件的单元位移场；u₂₂表示在位移场u₂中三角形单元某一节点沿x轴正方向的位移；v₂₂表示在位移场u₂中三角形单元某一节点沿y轴正方向的位移；w₂₂表示在位移场u₂中三角形单元某一节点沿z轴正方向的位移；θ_22x表示在位移场u₂中三角形单元某一节点沿x轴负方向的转角；θ_22y表示在位移场U2中三角形单元某一节点沿y轴正方向的转角；e(u₂)是通过单元节点位移u₂推导而来的薄膜应变；k(u₂)是通过单元节点位移u₂推导而来的弯曲曲率；g(u₂)是通过单元节点位移u₂推导而来的横向剪切应变，位移场U2需要满足限制条件：在任意单元内，与位移场U2对应的应变场S2恒为0，即e(u₂)≡0、k(u₂)≡0、g(u₂)≡0，根据式(11)知位移分量u₂₂，v₂₂，w₂₂，θ_22x，θ_22y需满足如下条件：

式(12)对任意单元都适用，由此可知：在任意一个单元内，u₂₂，v₂₂，θ_22x，θ_22y恒为常数；

S32：对于矩形板状结构，设Φ_C1和Φ_C2为该结构的边界，在Φ_C1边界上：x≡0，在Φ_C2边界上：x≡l，l为板沿x轴方向的长度，当该板为固支边界条件时，在边界处有：u₂₂＝v₂₂＝w₂₂＝θ_22x＝θ_22y＝0，由此知U2为0；当该板为简支边界条件时，在边界Φ_C1和边界Φ_C2处有u₂₂＝v₂₂＝w₂₂＝θ_22x＝0，此时e(u₂)≡0、k(u₂)≡0恒成立，为保证g(u₂)≡0恒成立，则w₂₂需满足如下条件：

上式中，x表示单元节点在x轴上的坐标，D为常数项，在边界Φ_C1和边界Φ_C2处有挠度w≡0，则：

上式中，l表示边界Φ_C2到的边界Φ_C1的垂直距离，是位移场U1在边界Φ_C1处的位移分量，/>是位移场U1在边界Φ_C2处的位移分量，常数项D和位移场U2的位移分量w₂₂和θ_22y的表达式为：

通过上式即求得附加位移场U2。

有益效果：与现有技术相比，本发明的技术方案具有以下有益效果：

现有的位移场重构技术，只有在结构变形时，几何连接处没有刚性转动的前提下才能够准确实现结构位移场重构。但在实际工况中，一般情况下三维结构连接处的转角在实际荷载作用下转角处无法保证不存在刚性转动部分。因此，现有的位移场重构算法难以适用于典型三维壁板结构的位移场精确重构。本发明提供的位移场重构算法则可以考虑几何连接处的刚性转动效应，通过叠加由于转角处刚性转动部分引起的位移场，实现三维壁板结构的精确位移场重构，相比现有方法具有一定优势。

附图说明

图1为本发明方法的逻辑流程框图；

图2为三维壁板结构模型示意图；

图3为三维壁板结构位移重构结果，(a)1号板，(b)2号板，(c)3号板。

具体实施方式

下面通过实施例的方式，对本发明技术方案进行详细说明，但实施例仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以对结构和动载荷形式作出若干改进和等同替换，这些对本发明权利要求进行改进和等同替换后的技术方案，均落入本发明的保护范围。

实施例：对如图2所示结构，利用本发明的方法实现该结构位移场重构。简单壁板结构材料为合金，弹性模量为180Gpa，泊松比为0.3，在结构上表面施加面压荷载。

利用本发明的技术由结构表面有限测点处的实测应变数据对结构位移场进行重构，具体包括以下步骤：

S1.对三维壁板结构进行有限元仿真，根据仿真结果在结构表面预设位置布置应变传感器，获得结构在外荷载作用下有限测点处的应变信息；

S2.将重构位移场U分解成位移场U1和附加位移场U2的线性叠加，利用基于逆有限元法的重构算法推导出满足应变条件的位移场U1；

S3.利用边界条件和弹性力学本构方程求得附加位移场U2；

S4.将位移场U1与位移场U2线性叠加获得既满足应变条件又满足边界条件的三维壁板结构重构位移场U。

进一步的，步骤S1中所述的对三维壁板结构进行有限元仿真，根据仿真结果在结构表面预设位置布置应变传感器，获得结构在外荷载作用下有限测点处应变信息的具体方法包括：

S11：建立实际结构的准确有限元模型；

S12：开展有限元仿真计算，获得结构在预设荷载作用下的应变云图和位移云图；

S13：基于仿真分析得到的应变云图和位移云图，在三维壁板结构边缘处和应变峰值区域的内、外表面布置应变测点；

S14：开展加载试验，利用应变传感器获得荷载作用下测点处的结构应变信息。

进一步的，步骤S2中所述的将重构位移场U分解成位移场U1和附加位移场U2的线性叠加，利用基于逆有限元法的重构算法推导出满足应变条件的位移场U1的具体方法包括：

S21：根据Reissner-Mindlin中厚板理论构建三节点的逆壳单元，设点P(x,y)在节点1，节点2和节点3所围成的三角形内部，且该三角形面积为A；A₁表示节点2，节点3和节点P所围成三角形的面积；A₂表示节点1，节点3和节点P所围成三角形的面积；A₃表示节点1，节点2和节点P所围成三角形的面积，利用位移有限元法，使用一组合适的形状函数对单元内位移场进行插值，形函数N_i(x,y)表达式如下：

上式中，L_i、ξ_i和M_i表示插值函数，其中，L_i在数值上等于三角形单元内部一点P的面积坐标，b_j，b_k，c_j，c_k都是常数，由单元节点坐标确定；

S22：通过施加固定的罚值参数λ，λ＞0，构建单元实测应变与理论计算应变的最小二乘泛函来推导单元矩阵，泛函的表达式如下：

上式中，∥●∥²表示平方范数；u₁表示满足位移场U1限制条件的单元位移场；e(u₁)是通过单元节点位移u₁推导而来的薄膜应变，k(u₁)是通过单元节点位移u₁推导而来的弯曲曲率，g(u₁)是通过单元节点位移u₁推导而来的横向剪切应变；e^ε是通过试验测得的薄膜应变，k^ε是通过试验测得的弯曲曲率，g^ε是通过试验测得的剪切应变，u₁、e(u₁)、k(u₁)、g(u₁)、e^ε和k^ε具体表达式如下：

上式中，u₁₁表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿x轴正方向的位移；v₁₁表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿y轴正方向的位移；w₁₁表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿z轴正方向的位移；θ_11x表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿x轴负方向的转角；θ_11y表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿y轴正方向的转角；t表示板的厚度；表示三角形单元内点P上表面沿x轴方向的应变，/>表示三角形单元内点P上表面沿y轴方向的应变，/>表示三角形单元内点P上表面在x-y方向的切应变，/> 三角形单元内点P下表面沿x轴方向的应变，/>表示三角形单元内点P下表面沿y轴方向的应变，/>表示三角形单元内点P下表面在x-y方向的切应变；在三角单元内点P上、下表面处各粘贴一枚三向应变花，保证三向应变花中的0°应变片方向与x轴方向一致、90°应变片方向与y轴方向一致、45°应变片位于x轴正方向和y轴正方向夹角的角平分线上，此时/>表示上表面0°应变片测量的应变值，表示上表面90°应变片测量的应变值，/>表示上表面45°应变片测量的应变值，/>表示下表面0°应变片测量的应变值，/>表示下表面90°应变片测量的应变值，/>表示下表面45°应变片测量的应变值；

对泛函求导得到应变与位移的关系：

K_eu₁-f_e＝0 (35)

上式中，K_e为等效刚度矩阵，具体表达式如下：

K_e＝B^mTB^m+t²×A×B^bTB^b+λ×∫_AB^sTB^sdxdy (36)

f_e为等效载荷矩阵，具体表达式如下：

f_e＝B^mTe^ε+t²×A×B^bTk^ε (37)

在式(6)和式(7)中，上标T表示转置，B^m表示薄膜应变对应的应变矩阵，具体表达式如下：

B^b表示弯曲曲率对应的应变矩阵，具体表达式如下：

B^s表示横向剪切应变对应的应变矩阵，具体表达式如下：

S23：将测得的有限测点上、下表面的应变信息和/>代入式(34)求得e^ε和k^ε，将求得的e^ε和k^ε再代入式(36)和式(37)得到K_e和f_e，将K_e和f_e代入式(35)得到单元节点位移值，对离散结构的单元矩阵进行标准的有限元组装，即得到整个结构单元节点处的位移信息U1。

进一步的，步骤S3中所述的利用边界条件和弹性力学本构方程求得附加位移场U2的具体方法包括：

S31：利用弹性力学中的几何关系可以得到应变—位移方程：

上式中，u₂表示满足位移场U2限制条件的单元位移场；u₂₂表示在位移场u₂中三角形单元某一节点沿x轴正方向的位移；v₂₂表示在位移场u₂中三角形单元某一节点沿y轴正方向的位移；w₂₂表示在位移场u₂中三角形单元某一节点沿z轴正方向的位移；θ_22x表示在位移场u₂中三角形单元某一节点沿x轴负方向的转角；θ_22y表示在位移场U2中三角形单元某一节点沿y轴正方向的转角；e(u₂)是通过单元节点位移u₂推导而来的薄膜应变；k(u₂)是通过单元节点位移u₂推导而来的弯曲曲率；g(u₂)是通过单元节点位移u₂推导而来的横向剪切应变，位移场U2需要满足限制条件：在任意单元内，与位移场U2对应的应变场S2恒为0，即e(u₂)≡0、k(u₂)≡0、g(u₂)≡0，根据式(11)知位移分量u₂₂，v₂₂，w₂₂，θ_22x，θ_22y需满足如下条件：

式(12)对任意单元都适用，由此可知：在任意一个单元内，u₂₂，v₂₂，θ_22x，θ_22y恒为常数；

S32：对于矩形板状结构，设Φ_C1和Φ_C2为该结构的边界，在Φ_C1边界上：x≡0，在Φ_C2边界上：x≡l，l为板沿x轴方向的长度，当该板为固支边界条件时，在边界处有：u₂₂＝v₂₂＝w₂₂＝θ_22x＝θ_22y＝0，由此知U2为0；当该板为简支边界条件时，在边界Φ_C1和边界Φ_C2处有u₂₂＝v₂₂＝w₂₂＝θ_22x＝0，此时e(u₂)≡0、k(u₂)≡0恒成立，为保证g(u₂)≡0恒成立，则w₂₂需满足如下条件：

上式中，x表示单元节点在x轴上的坐标，D为常数项，在边界Φ_C1和边界Φ_C2处有挠度w≡0，则：

上式中，l表示边界Φ_C2到的边界Φ_C1的垂直距离，是位移场U1在边界Φ_C1处的位移分量，/>是位移场U1在边界Φ_C2处的位移分量，常数项D和位移场U2的位移分量w₂₂和θ_22y的表达式为：

通过上式即求得附加位移场U2。

S4.将U1与U2线性叠加获得结构重构位移场U：

图3中给出了三维壁板结构位移重构结果。由此可知，本发明中的基于逆有限元重构理论的三维壁板结构位移场重构方法，可以实现三维壁板结构各板位移场的准确重构。综上所述，本发明提出的方法具有一定的先进性。

Claims (1)

1.一种基于逆有限元重构理论的三维壁板结构位移场重构方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

S1.对三维壁板结构进行有限元仿真，根据仿真结果在结构表面预设位置布置应变传感器，获得结构在外荷载作用下有限测点处的应变信息；

S2.将重构位移场U分解成位移场U1和附加位移场U2的线性叠加，利用基于逆有限元法的重构算法推导出满足应变条件的位移场U1；

S3.利用边界条件和弹性力学本构方程求得附加位移场U2；

S4.将位移场U1与位移场U2线性叠加获得既满足应变条件又满足边界条件的三维壁板结构重构位移场U；

步骤S1中所述的对三维壁板结构进行有限元仿真，根据仿真结果在结构表面预设位置布置应变传感器，获得结构在外荷载作用下有限测点处应变信息的具体方法包括：

S11：建立实际结构的准确有限元模型；

S12：开展有限元仿真计算，获得结构在预设荷载作用下的应变云图和位移云图；

S13：基于仿真分析得到的应变云图和位移云图，在三维壁板结构边缘处和应变峰值区域的内、外表面布置应变测点；

S14：开展加载试验，利用应变传感器获得荷载作用下测点处的结构应变信息；

步骤S2中所述的将重构位移场U分解成位移场U1和附加位移场U2的线性叠加，利用基于逆有限元法的重构算法推导出满足应变条件的位移场U1的具体方法包括：

S21：根据Reissner-Mindlin中厚板理论构建三节点的逆壳单元，设点P(x,y)在节点1，节点2和节点3所围成的三角形内部，且该三角形面积为A；A₁表示节点2，节点3和节点P所围成三角形的面积；A₂表示节点1，节点3和节点P所围成三角形的面积；A₃表示节点1，节点2和节点P所围成三角形的面积，利用位移有限元法，使用一组合适的形状函数对单元内位移场进行插值，形函数N_i(x,y)表达式如下：

上式中，L_i、ξ_i和M_i表示插值函数，其中，L_i在数值上等于三角形单元内部一点P的面积坐标，b_j，b_k，c_j，c_k都是常数，由单元节点坐标确定；

S22：通过施加固定的罚值参数λ，λ＞0，构建单元实测应变与理论计算应变的最小二乘泛函来推导单元矩阵，泛函的表达式如下：

上式中，||●||²表示平方范数；u₁表示满足位移场U1限制条件的单元位移场；e(u₁)是通过单元节点位移u₁推导而来的薄膜应变，k(u₁)是通过单元节点位移u₁推导而来的弯曲曲率，g(u₁)是通过单元节点位移u₁推导而来的横向剪切应变；e^ε是通过试验测得的薄膜应变，k^ε是通过试验测得的弯曲曲率，g^ε是通过试验测得的剪切应变，u₁、e(u₁)、k(u₁)、g(u₁)、e^ε和k^ε具体表达式如下：

上式中，u₁₁表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿x轴正方向的位移；v₁₁表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿y轴正方向的位移；w₁₁表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿z轴正方向的位移；θ_11x表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿x轴负方向的转角；θ_11y表示在位移场u₁中三角形单元某一节点沿y轴正方向的转角；t表示板的厚度；表示三角形单元内点P上表面沿x轴方向的应变，/>表示三角形单元内点P上表面沿y轴方向的应变，/>表示三角形单元内点P上表面在x-y方向的切应变，/>三角形单元内点P下表面沿x轴方向的应变，/>表示三角形单元内点P下表面沿y轴方向的应变，/>表示三角形单元内点P下表面在x-y方向的切应变；在三角单元内点P上、下表面处各粘贴一枚三向应变花，保证三向应变花中的0°应变片方向与x轴方向一致、90°应变片方向与y轴方向一致、45°应变片位于x轴正方向和y轴正方向夹角的角平分线上，此时，/>表示上表面0°应变片测量的应变值，/>表示上表面90°应变片测量的应变值，/>表示上表面45°应变片测量的应变值，/>表示下表面0°应变片测量的应变值，/>表示下表面90°应变片测量的应变值，/>表示下表面45°应变片测量的应变值；

对泛函求导得到应变与位移的关系：

K_eu₁-f_e＝0 (5)

上式中，K_e为等效刚度矩阵，具体表达式如下：

K_e＝B^mTB^m+t²×A×B^bTB^b+λ×∫_AB^sTB^sdxdy (6)

f_e为等效载荷矩阵，具体表达式如下：

f_e＝B^mTe^ε+t²×A×B^bTk^ε (7)

在式(6)和式(7)中，上标T表示转置，B^m表示薄膜应变对应的应变矩阵，具体表达式如下：

B^b表示弯曲曲率对应的应变矩阵，具体表达式如下：

B^s表示横向剪切应变对应的应变矩阵，具体表达式如下：

S23：将测得的有限测点上、下表面的应变信息和/>代入式(4)求得e^ε和k^ε，将求得的e^ε和k^ε再代入式(6)和式(7)得到K_e和f_e，将K_e和f_e代入式(5)得到单元节点位移值，对离散结构的单元矩阵进行标准的有限元组装，即得到整个结构单元节点处的位移信息U1；

步骤S3中所述的利用边界条件和弹性力学本构方程求得附加位移场U2的具体方法包括：

S31：利用弹性力学中的几何关系可以得到应变—位移方程：

上式中，u₂表示满足位移场U2限制条件的单元位移场；u₂₂表示在位移场u₂中三角形单元某一节点沿x轴正方向的位移；v₂₂表示在位移场u₂中三角形单元某一节点沿y轴正方向的位移；w₂₂表示在位移场u₂中三角形单元某一节点沿z轴正方向的位移；θ_22x表示在位移场u₂中三角形单元某一节点沿x轴负方向的转角；θ_22y表示在位移场U2中三角形单元某一节点沿y轴正方向的转角；e(u₂)是通过单元节点位移u₂推导而来的薄膜应变；k(u₂)是通过单元节点位移u₂推导而来的弯曲曲率；g(u₂)是通过单元节点位移u₂推导而来的横向剪切应变；位移场U2需要满足限制条件：在任意单元内，与位移场U2对应的应变场S2恒为0，即e(u₂)≡0、k(u₂)≡0、g(u₂)≡0，根据式(11)知位移分量u₂₂，v₂₂，w₂₂，θ_22x，θ_22y需满足如下条件：

式(12)对任意单元都适用，由此可知：在任意一个单元内，u₂₂，v₂₂，θ_22x，θ_22y恒为常数；

S32：对于矩形板状结构，设Φ_C1和Φ_C2为该结构的边界，在Φ_C1边界上：x≡0，在Φ_C2边界上：x≡l，l为板沿x轴方向的长度，当该板为固支边界条件时，在边界处有：u₂₂＝v₂₂＝w₂₂＝θ_22x＝θ_22y＝0，由此知U2为0；当该板为简支边界条件时，在边界Φ_C1和边界Φ_C2处有u₂₂＝v₂₂＝w₂₂＝θ_22x＝0，此时e(u₂)≡0、k(u₂)≡0恒成立，为保证g(u₂)≡0恒成立，则w₂₂需满足如下条件：

上式中，x表示单元节点在x轴上的坐标，D为常数项，在边界Φ_C1和边界Φ_C2处有挠度w≡0，则：

上式中，l表示边界Φ_C2到的边界Φ_C1的垂直距离，是位移场U1在边界Φ_C1处的位移分量，/>是位移场U1在边界Φ_C2处的位移分量，常数项D和位移场U2的位移分量w₂₂和θ_22y的表达式为：

通过上式即求得附加位移场U2。