CN113359443A - 一种广义时滞马尔科夫跳变系统的复合抗干扰控制方法 - Google Patents

一种广义时滞马尔科夫跳变系统的复合抗干扰控制方法 Download PDF

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CN113359443A CN202110588300.6A CN202110588300A CN113359443A CN 113359443 A CN113359443 A CN 113359443A CN 202110588300 A CN202110588300 A CN 202110588300A CN 113359443 A CN113359443 A CN 113359443A
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Abstract

本发明公开一种广义时滞马尔科夫跳变系统在多重扰动下的复合抗干扰控制方法。包括如下步骤：(1)构建存在多重扰动的广义时滞马尔科夫跳变系统的系统模型；(2)构建扰动观测器模型，得到观测误差系统模型；(3)构建控制器模型，得到广义时滞马尔科夫跳变系统的闭环系统模型；(4)将闭环系统模型与系统误差模型构成增广系统，给出系统在多重扰动下随机可容许且满足H∞性能指标的线性矩阵不等式条件；(5)证明条件有效；(6)推导出状态反馈控制器增益矩阵，观测器增益矩阵。本发明在多重扰动的情况下，考虑了时变时滞的影响，研究了基于扰动观测器控制的广义复合系统的H∞性能分析，所得结果具有广义系统的广泛性，控制方法更为简便高效。

Description

一种广义时滞马尔科夫跳变系统的复合抗干扰控制方法
技术领域
本发明属于马尔科夫系统控制领域，具体涉及一种广义时滞马尔科夫跳变系统在多重扰动下的复合抗干扰控制方法。
背景技术
由于在实际系统应用过程中，扰动的存在不可避免，抗干扰控制是控制理论研究中的重要环节，诸如基于扰动观测器(Disturbance Observer Based Control, DOBC)控制理论、非线性调节理论、和H∞控制理论、等方法被用来实现对系统扰动的衰减和抑制。其中，基于扰动观测器控制理论已成功应用在机器人系统、导弹系统、和驱动系统。当实际系统遇到多种干扰时，DOBC与其他控制方法的复合控制策略对于实现系统更加高精度的控制性能，具有重要的研究意义。
实际应用中大部分系统会受到多重干扰源的影响，仅使用单一的DOBC控制策略，系统控制多重扰动的精度有待提高。为了提升系统对多源扰动的控制补偿精度，应充分利用多源扰动的不同结构和特性，结合相应的控制策略，实现对它们的控制补偿。文献(SunS,Ren T,Wei X.Composite DOBC with fuzzy fault-tolerant control for stochasticsystems with unknown nonlinear dynamics[J]. International Journal of Robustand Nonlinear Control,2019,29(18):6605～6615.)针对随机系统研究了DOBC与模糊控制的复合控制策略；文献(Wei X,Dong L, Zhang H,et al.Adaptive disturbanceobserv-ebrased control for stochastic systems with multiple heterogeneousdisturbances[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control,2019,29(16):5533～5549.)针对随机系统研究了DOBC与自适应控制复合；文献(魏新江,孙式香,张慧凤.随机多源干扰系统的复合DOBC和容错控制[J].控制与决策,2019,034(03):668～672.)针对随机系统研究了DOBC与容错控制复合等等。可见复合抗干扰控制策略研究对于系统的实际应用具有重要意义。
在上述已有的复合抗干扰控制方案中，只针对了随机系统，即马尔科夫跳变系统进行研究，所得控制方法无法全面适用于电路、机器人操作系统、经济系统等多种实用系统，不具备广泛性；其次，已有研究中与DOBC复合的控制方法在实际操作时结构复杂，应用难度较大；此外，对于实际系统应用中经常出现的时滞问题，尤其是时变时滞问题没有加以研究和解决，使系统的稳定性留有隐患。
发明内容
本发明的目的在于提供一种供广义时滞马尔科夫跳变系统的复合抗干扰控制方法，通过基于扰动观测器控制与H∞性能指标控制相结合的方式，可以实现在多重扰动和时变时滞影响下对系统的有效控制。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种广义时滞马尔科夫跳变系统的复合抗干扰控制方法，包括如下步骤：
步骤(1)：构建存在多重扰动的广义时滞马尔科夫跳变系统的系统模型，系统模型为：
Figure BDA0003088484980000021
其中，E∈Rn×n是一个常数矩阵，满足rank(E)＝σ≤n；x(t)∈Rn是系统状 态变量，u(t)∈Rm为系统控制输入，d1(t)∈Rm是外部系统扰动，d2(t)∈Rq是系 统外部扰动，假定其范数有界；τ(t)是时变时滞，
Figure RE-GDA0003177613110000022
A(rt)∈Rn×n、Ad(rt)∈Rn×n、 B(rt)∈Rn×m、H(rt)∈Rn×q是依赖于模态rt的系统系数矩阵；为方便表述，将A(rt)、Ad(rt)、B(rt)、H(rt)等模态依赖矩阵分别表示为Ai、Adi、Bi、Hi；
步骤(2)：构建扰动观测器模型，基于观测器模型和步骤(1)的系统模型得到误差系统模型；
步骤(3)：构建控制器模型，基于控制器模型和步骤(1)的系统模型得到广义时滞马尔科夫跳变系统的闭环系统模型；
步骤(4)：将步骤(3)得到的广义时滞马尔科夫跳变系统的闭环系统模型与步骤(2)中误差系统模型构成增广系统模型，针对增广系统模型，给出系统随机可容许并满足多重扰动下H∞鲁棒稳定的条件；
步骤(5)：利用Lyapunov函数和性能指标函数证明步骤(4)的条件有效；
步骤(6)：在步骤(4)的条件基础上推导出系统的状态反馈增益矩阵Ki，观测器Li，实现对增广系统的控制。
进一步的，步骤(2)中得到的观测器模型为：
Figure BDA0003088484980000031
Figure BDA0003088484980000032
Figure BDA0003088484980000033
上述扰动观测器的构建考虑如下外部系统表述：
Figure BDA0003088484980000034
d1(t)＝V(rt)ω(t)
其中，v(t)∈Ro是观测器的状态变量，
Figure BDA0003088484980000035
是d1(t)的估计值，Ki∈Rm×n为马尔科夫跳变模态依赖的控制器增益，Li∈Ro×n为马尔科夫跳变模态依赖的观测器增益，W(rt)∈Ro×o，M(rt)∈Ro×l,V(rt)∈Rm×o是外部系统的系统矩阵，均为维度合适的已知矩阵，为方便表述，将W(rt)、M(rt)、V(rt)等模态依赖矩阵分别表示为Wi、Mi、Vi；d3(t)∈Rl是外部系统的内部扰动，假定其范数有界；
接着扰动观测误差定义为：
Figure BDA0003088484980000036
那么可得误差系统模型为如下：
Figure BDA0003088484980000037
进一步的，步骤(3)中基于DOBC控制律得到的控制器模型为：
Figure BDA0003088484980000038
由此可以得到闭环系统模型：
Figure BDA0003088484980000039
进一步的，步骤(4)中定义一个增广状态：
Figure BDA00030884849800000310
那么根据步骤 (4)中的闭环系统模型与步骤(2)中误差系统模型可以得到增广系统数学模型如下：
Figure BDA00030884849800000311
Figure BDA00030884849800000312
其中
Figure BDA0003088484980000041
Figure BDA0003088484980000042
Figure BDA0003088484980000043
上式中I为维数合适的单位矩阵，C1i为参考输出中状态变量x(t)的系数矩阵， C2i为参考输出中误差变量eω(t)的系数矩阵；
对于这个增广系统给出如下约束条件：存在矩阵Pii>0,
Figure 4
Figure 1
满足以下的线性矩阵不等式，
Figure BDA0003088484980000046
Figure BDA0003088484980000047
Figure BDA0003088484980000048
Figure BDA0003088484980000049
则称该增广系统随机可容许且满足H∞性能指标γ；
其中：
Figure BDA0003088484980000051
Figure BDA0003088484980000052
Figure BDA0003088484980000053
Figure BDA0003088484980000054
Figure BDA0003088484980000055
Figure BDA0003088484980000056
进一步的，所述步骤(5)利用Lyapunov函数和性能指标函数证明步骤(4) 中的条件有效，具体过程为：
(a)构造如下依赖于时滞和马尔可夫跳变系统模态参数的 Lyapunov-Krasovskii泛函：
V(ξt,rt,t)＝V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)
其中：
Figure BDA0003088484980000057
Figure BDA0003088484980000058
Figure BDA0003088484980000059
Figure BDA00030884849800000510
通过证明在步骤(4)的条件下该Lyapunov函数正定，Lyapunov函数的弱无穷小算子负定，从而根据李雅谱诺夫稳定性理论证明系统在上述条件下能达到随机稳定状态；
(b)接着又通过验证
Figure BDA00030884849800000511
是非奇异矩阵来证明系统的正则性和无脉冲性，结合(a)的结论可以得出在步骤(4)的条件下系统是随机可容许的；
其中的矩阵
Figure BDA00030884849800000512
满足如下条件：
Figure BDA00030884849800000513
Figure BDA00030884849800000514
(c)又考虑如下性能指标函数：
Figure BDA00030884849800000515
进一步证明在步骤(4)的条件下增广系统也能满足满足H∞性能指标γ，结合上述条件说明了步骤(4)的条件的有效性。
进一步的，按照步骤(4)中的条件通过变量替换的方式求得满足条件的系统的状态反馈控制器增益矩阵Ki，扰动观测器增益矩阵Li实现对增广系统的控制，具体为：
对步骤(4)的部分条件做等价变换如下：
Figure BDA0003088484980000061
Figure RE-GDA0003177613110000062
采取左乘
Figure RE-GDA0003177613110000063
和右乘
Figure RE-GDA0003177613110000064
的变换 方式，再通过不等式缩放，考虑
Figure RE-GDA0003177613110000065
Figure RE-GDA0003177613110000066
可得如下约束条件：存在标量γ>0和如下矩阵 Xi>0，
Figure RE-GDA0003177613110000067
P2>0，
Figure RE-GDA0003177613110000068
同时有
Figure RE-GDA0003177613110000069
满足
Figure RE-GDA00031776131100000610
使得如下不等式成立
Figure BDA00030884849800000611
Figure BDA00030884849800000612
Figure BDA00030884849800000613
Figure BDA0003088484980000071
则存在状态反馈控制器和扰动观测器使得增广系统随机可容许且满足H∞性能指标γ
其中：
Figure BDA0003088484980000072
Figure BDA0003088484980000073
Figure BDA0003088484980000074
Figure BDA0003088484980000075
Figure BDA0003088484980000076
Figure BDA0003088484980000077
Figure BDA0003088484980000078
Figure BDA0003088484980000079
Figure BDA00030884849800000710
上式中，定义符号
Figure BDA00030884849800000711
符号
Figure BDA00030884849800000712
当上式满足时我们可以得到控制器增益Ki，观测器增益Li为如下形式
Figure BDA00030884849800000713
此时，可以使用仿真软件，通过给定矩阵参数计算出Ki，Li的值。
本发明与现有技术相比，其显著优点在于：
本发明在实际系统中经常出现的存在多重扰动的情况下，考虑了时变时滞的影响，研究了基于扰动观测器控制的广义复合系统的H∞性能分析，所得结果具有广义系统的广泛性，控制方法更为简便高效，实用性强，能更好地描述多种应用系统；
其次，本发明得到了系统在复合控制下的容许判据，求导出基于扰动观测器的状态反馈控制器设计方法，所得结论基于一种时滞与模态依赖的Lyapunov函数进行求解，保守性更小，具有优越性。
附图说明
图1为本发明的基于干扰观测器的H∞性能指标控制系统结构框图。
图2为本发明设计的复合抗干扰控制下时变时滞上界
Figure BDA0003088484980000081
时系统状态仿真图。
图3为本发明设计的复合抗干扰控制下时变时滞上界
Figure BDA0003088484980000082
时扰动观测误差仿真图。
图4为本发明设计的复合抗干扰控制下时变时滞上界
Figure BDA0003088484980000083
时系统状态仿真图。
图5为本发明设计的复合抗干扰控制下时变时滞上界
Figure BDA0003088484980000084
时系统状态仿真图。
图6为本发明设计的复合抗干扰控制下时变时滞上界
Figure BDA0003088484980000085
时扰动观测误差仿真图。
图7为本发明设计的复合抗干扰控制下时变时滞上界
Figure BDA0003088484980000086
时扰动观测误差仿真图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步详细描述。
如图1所示，本发明是带有多重扰动的时滞广义马尔科夫跳变系统在DOBC 和H∞性能指标下的复合控制。具体操作步骤如下：
步骤1：构建的广义时滞马尔科夫跳变系统的系统模型：
Figure BDA0003088484980000087
仿真中，考虑该系统的马尔科夫跳变模态为2，马尔科夫过程的转移概率为
Figure BDA0003088484980000091
广义矩阵
Figure BDA0003088484980000092
时滞导数上界
Figure BDA0003088484980000093
时滞上界
Figure BDA0003088484980000094
系统时变时滞τ(t)＝0.1sin(5t)+0.1。
系统其余参数分别为：
模态一：
Figure BDA0003088484980000095
C11＝[0.5 0.6]，C21＝[0.2 0.1]，V1＝[3 0]
Figure BDA0003088484980000096
模态二：
Figure BDA0003088484980000097
C12＝[0.5 0.1]，C21＝[0.1 0.2]，V2＝[1 0]
Figure BDA0003088484980000098
步骤2：根据步骤1设计观测器模型为：
Figure BDA0003088484980000099
Figure BDA00030884849800000910
Figure BDA00030884849800000911
矩阵Ki为待设计的控制器增益，矩阵Li为待设计的观测器增益。
接着扰动观测误差定义为：
Figure BDA00030884849800000912
那么可得误差系统模型为如下：
Figure BDA00030884849800000913
步骤3：基于DOBC控制律得到的控制器模型为：
Figure BDA00030884849800000914
由此可以得到闭环系统方程：
Figure BDA0003088484980000101
步骤4：定义一个增广状态：
Figure BDA0003088484980000102
那么根据步骤(4)中的闭环系统模型与步骤(2)中误差系统模型可以得到增广系统数学模型如下：
Figure BDA0003088484980000103
Figure BDA00030884849800001012
其中
Figure BDA0003088484980000104
Figure BDA0003088484980000105
Figure BDA0003088484980000106
步骤5：对于步骤4中的增广系统给出如下约束条件：存在标量γ＝0.6和如下矩阵Pii>0,
Figure 3
满足以下的线性矩阵不等式，
Figure BDA0003088484980000108
Figure BDA0003088484980000109
Figure BDA00030884849800001010
Figure BDA00030884849800001011
则称该增广系统随机可容许且满足H∞性能指标γ。
其中：
Figure BDA0003088484980000111
Figure BDA0003088484980000112
Figure BDA0003088484980000113
Figure BDA0003088484980000114
Figure BDA0003088484980000115
Figure BDA0003088484980000116
步骤6：结合步骤5中给出的条件，考虑控制器增益Ki，观测器增益Li为如下形式
Figure BDA0003088484980000117
再运用仿真软件求得控制器增益与观测器增益如下：
K1＝[-21.6700 -66.2351]，K2＝[4.3207 11.9688]
Figure BDA0003088484980000118
最后，将所得控制器和观测器增益代入到原系统中，可得系统仿真结果。对仿真结果作出总结，由图2可以看到，系统在6秒时达到稳定状态，扰动估计误差大约在3秒基本维持在零点附近，保持相对平稳的状态。为了更直接地对比系统性能变化，图4和图6分别给出
Figure BDA0003088484980000119
时，系统状态变量ξ(t)和外部系统扰动观测误差
Figure BDA00030884849800001110
的变化图；图5和图7分别给出
Figure BDA00030884849800001111
时，系统状态变量ξ(t)和外部系统扰动观测误差d1(t)-
Figure BDA00030884849800001112
的变化图。
通过对比，显然在时滞幅值增大或减小的情况下，系统达到渐近稳定耗费的时间也发生了变化，时滞幅值增大对本文研究的系统性能负面影响越大。同时，随着时滞增大，扰动观测器的精确性降低。但是由于系统采用的是复合抗干扰控制方案，因此，即使外部扰动无法在时滞增大的情况下被精确跟踪和抵消，系统仍可以在较短时间内达到稳定状态。由此可以验证，本章提出的基于DOBC与 H∞控制的复合抗干扰控制方案的有效性。

Claims (6)

1.一种广义时滞马尔科夫跳变系统的复合抗干扰控制方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤(1)：构建存在多重扰动的广义时滞马尔科夫跳变系统的系统模型，系统模型为：
Figure RE-FDA0003177613100000011
其中，E∈Rn×n是一个常数矩阵，满足rank(E)＝σ≤n；x(t)∈Rn是系统状态变量，u(t)∈Rm为系统控制输入，d1(t)∈Rm是外部系统扰动，d2(t)∈Rq是系统外部扰动，假定其范数有界；τ(t)是时变时滞，
Figure RE-FDA0003177613100000012
A(rt)∈Rn×n、Ad(rt)∈Rn×n、B(rt)∈Rn×m、H(rt)∈Rn×q是依赖于模态rt的系统系数矩阵，均为已知矩阵，为方便表述，将A(rt)、Ad(rt)、B(rt)、H(rt)等模态依赖矩阵分别表示为Ai、Adi、Bi、Hi；
步骤(2)：构建扰动观测器模型，基于观测器模型和步骤(1)的系统模型得到误差系统模型；
步骤(3)：构建控制器模型，基于控制器模型和步骤(1)的系统模型得到广义时滞马尔科夫跳变系统的闭环系统模型；
步骤(4)：将步骤(3)得到的广义时滞马尔科夫跳变系统的闭环系统模型与步骤(2)中误差系统模型构成增广系统模型，针对增广系统模型，给出系统随机可容许并满足多重扰动下H∞鲁棒稳定的条件；
步骤(5)：利用Lyapunov函数和性能指标函数证明步骤(4)的条件有效；
步骤(6)：在步骤(4)的条件基础上推导出系统的状态反馈增益矩阵Ki，观测器Li，实现对增广系统的控制。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤(2)中得到的观测器模型为：
Figure RE-FDA0003177613100000021
Figure RE-FDA0003177613100000022
Figure RE-FDA0003177613100000023
上述扰动观测器的构建考虑如下外部系统表述：
Figure RE-FDA0003177613100000024
d1(t)＝V(rt)ω(t)
其中，v(t)∈Ro是观测器的状态变量，
Figure RE-FDA0003177613100000025
是d1(t)的估计值，Ki∈Rm×n为马尔科夫跳变模态依赖的控制器增益，Li∈Ro×n为马尔科夫跳变模态依赖的观测器增益，W(rt)∈Ro ×o，M(rt)∈Ro×l,V(rt)∈Rm×o是外部系统的系统矩阵，均为维度合适的已知矩阵，为方便表述，将W(rt)、M(rt)、V(rt)等模态依赖矩阵分别表示为Wi、Mi、Vi；d3(t)∈Rl是外部系统的内部扰动，假定其范数有界.
接着扰动观测误差定义为：
Figure RE-FDA0003177613100000026
那么可得误差系统模型为如下：
Figure RE-FDA0003177613100000027
。
3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，步骤(3)中基于DOBC控制律得到的控制器模型为：
Figure RE-FDA0003177613100000028
由此可以得到闭环系统模型：
Figure RE-FDA0003177613100000029
4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，步骤(4)中定义一个增广状态：
Figure RE-FDA00031776131000000210
那么根据步骤(4)中的闭环系统模型与步骤(2)中误差系统模型可以得到增广系统数学模型如下：
Figure RE-FDA0003177613100000031
Figure RE-FDA0003177613100000032
其中
Figure RE-FDA0003177613100000033
Figure RE-FDA0003177613100000034
Figure RE-FDA0003177613100000035
上式中，I为维数合适的单位矩阵，C1i为参考输出中状态变量x(t)的系数矩阵，C2i为参考输出中误差变量eω(t)的系数矩阵；
对于这个增广系统给出如下约束条件：存在矩阵
Figure RE-FDA00031776131000000312
Figure RE-FDA0003177613100000037
满足以下的线性矩阵不等式，
Figure RE-FDA0003177613100000038
Figure RE-FDA0003177613100000039
Figure RE-FDA00031776131000000310
Figure RE-FDA00031776131000000311
则称该增广系统随机可容许且满足H∞性能指标γ；
其中：
Figure RE-FDA0003177613100000041
Figure RE-FDA0003177613100000042
Figure RE-FDA0003177613100000043
Figure RE-FDA0003177613100000044
Figure RE-FDA0003177613100000045
Figure RE-FDA0003177613100000046
。
5.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述步骤(5)利用Lyapunov函数和性能指标函数证明步骤(4)中的条件有效，具体过程为：
(a)构造如下依赖于时滞和马尔可夫跳变系统模态参数的Lyapunov-Krasovskii泛函：
V(ξt,rt,t)＝V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)
其中：
Figure RE-FDA0003177613100000047
Figure RE-FDA0003177613100000048
Figure RE-FDA0003177613100000049
Figure RE-FDA00031776131000000410
通过证明在步骤(4)的条件下该Lyapunov函数正定，Lyapunov函数的弱无穷小算子负定，从而根据李雅谱诺夫稳定性理论证明系统在上述条件下能达到随机稳定状态；
(b)接着又通过验证
Figure RE-FDA00031776131000000411
是非奇异矩阵来证明系统的正则性和无脉冲性，结合(a)的结论可以得出在步骤(4)的条件下系统是随机可容许的；
其中的矩阵
Figure RE-FDA00031776131000000412
满足如下条件：
Figure RE-FDA00031776131000000413
Figure RE-FDA00031776131000000414
(c)又考虑如下性能指标函数：
Figure RE-FDA0003177613100000051
进一步证明在步骤(4)的条件下增广系统也能满足满足H∞性能指标γ，结合上述条件说明了步骤(4)的条件的有效性。
6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，按照步骤(4)中的条件通过变量替换的方式求得满足条件的系统的状态反馈控制器增益矩阵Ki，扰动观测器增益矩阵Li实现对增广系统的控制，具体为：
对步骤(4)的部分条件做等价变换如下：
Figure RE-FDA0003177613100000052
Figure RE-FDA0003177613100000053
采取左乘
Figure RE-FDA0003177613100000054
和右乘
Figure RE-FDA0003177613100000055
的变换方式，再通过不等式缩放，考虑
Figure RE-FDA0003177613100000056
Figure RE-FDA0003177613100000057
可得如下约束条件：存在标量γ>0和如下矩阵Xi>0，
Figure RE-FDA0003177613100000058
P2>0，
Figure RE-FDA0003177613100000059
同时有
Figure RE-FDA00031776131000000510
满足
Figure RE-FDA00031776131000000511
使得如下不等式成立
Figure RE-FDA00031776131000000512
Figure RE-FDA00031776131000000513
Figure RE-FDA0003177613100000061
Figure RE-FDA0003177613100000062
则存在状态反馈控制器和扰动观测器使得增广系统随机可容许且满足H∞性能指标γ
其中：
Figure RE-FDA0003177613100000063
Figure RE-FDA0003177613100000064
Figure RE-FDA0003177613100000065
Figure RE-FDA0003177613100000066
Figure RE-FDA0003177613100000067
Figure RE-FDA0003177613100000068
Figure RE-FDA0003177613100000069
Figure RE-FDA00031776131000000610
Figure RE-FDA00031776131000000611
上式中，定义符号
Figure RE-FDA00031776131000000612
符号
Figure RE-FDA00031776131000000613
当上式满足时我们可以得到控制器增益Ki，观测器增益Li为如下形式
Figure RE-FDA0003177613100000071
此时，可以使用仿真软件，通过给定矩阵参数计算出Ki，Li的值。
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