CN113343561B - 一种求解最优月球飞掠转移轨道的方法及系统 - Google Patents

一种求解最优月球飞掠转移轨道的方法及系统 Download PDF

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CN113343561B CN202110571426.2A CN202110571426A CN113343561B CN 113343561 B CN113343561 B CN 113343561B CN 202110571426 A CN202110571426 A CN 202110571426A CN 113343561 B CN113343561 B CN 113343561B
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Abstract

本发明涉及深空转移轨道技术领域，尤其涉及一种求解最优月球飞掠转移轨道的方法及系统，所述方法包括：根据会合坐标系下最小飞掠高度约束条件，设置月球飞掠转移轨道初始参数；以速度增量和的最小化为优化目标，对给定初始参数进行迭代优化；以最优必要性条件为目标，通过遗传算法求解获得最省燃料的最优转移轨道。本发明的方法通过迭代优化，得到接近最优解的出发相位，入轨相位和中间脉冲及转移时间，进而可以通过以最优必要性条件为优化目标，快速求解得到最优轨道，及最优出发相位、入轨相位、转移时间、飞掠脉冲时刻、位置及大小；本发明的方法不仅能够求得定义最优轨道的全部参数，并且模型简单，可以快速稳定收敛。

Description

一种求解最优月球飞掠转移轨道的方法及系统
技术领域
本发明涉及深空转移轨道技术领域，尤其涉及一种求解最优月球飞掠转移轨道的方法及系统。
背景技术
对于深空航天探测任务，考虑到目前火箭的运载能力等因素，利用尽可能少的燃料抵达目标轨道执行任务是轨道设计的一大难题。对于近地飞行任务，燃料最优轨道设计问题可以通过主矢量理论、最优控制理论等推导最优必要性条件并通过各类算法求解；而在深空探测任务中，由于飞行器距离原中心天体位置较远，二体动力学模型描述飞行器运动误差较大，因此在限制性三体问题模型建立飞行器动力学方程。在三体问题模型中进行最优转移轨道的计算时，由于引力场模型的复杂性，系统高度非线性，因此在推导最优必要性条件时较二体问题有额外的复杂项，且在求解最优轨道时收敛难度更大。
借助其他天体进行有机动的引力辅助能够显著减少燃料消耗并能够支持更多的深空探测任务，但需设置最小飞掠高度约束以防止轨道转移过程中发生撞击。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术缺陷，提出了一种求解最优月球飞掠转移轨道的方法及系统。本发明首次提出了一种求解最优引力辅助转移轨道的方法。
为了实现上述目的，本发明提出了一种求解最优月球飞掠转移轨道的方法，所述方法包括：
根据会合坐标系下最小飞掠高度约束条件，设置月球飞掠转移轨道初始参数；
以速度增量和的最小化为优化目标，对给定初始参数进行迭代优化；
以最优必要性条件为目标，通过遗传算法求解获得最省燃料的最优转移轨道。
作为上述方法的一种改进，所述根据会合坐标系下最小飞掠高度约束条件，设置月球飞掠转移轨道初始参数；具体包括：
根据最低飞掠高度约束下的等式约束条件ψ＝[ψ1,ψ2,ψ3]T和不等式约束条件σ：
ψ1:[x(t0)(1),x(t0)(2)]T-r0＝0
ψ2:
Figure BDA0003082707610000021
ψ3:[x(tf)(1),x(tf)(2)]T-rf＝0
σ:
Figure BDA0003082707610000022
其中，ψ1,ψ2,ψ3分别为等式约束条件的三个条件，t0为飞行器由第一主天体P1附近停泊轨道O上点r0以x(t0)状态出发的时刻，x(t0)(1),x(t0)(2)分别为x(t0)的两个分量，xP为飞行器在转移轨道的近第二主天体P2点的状态，xP(1),xP(2),xP(3),xP(4)分别为xP的四个分量，
Figure BDA0003082707610000023
为P2的坐标位置，
Figure BDA0003082707610000024
为P2的半径，hP为最低飞掠高度，tf为飞行器以x(tf)状态经转移轨道到达目标周期轨道F上的点rf的时刻，T表示转置；
设置飞掠脉冲Δvm在tm时刻，在rm点处施加，转移时间为ttransfer。
作为上述方法的一种改进，所述以速度增量和的最小化为优化目标，对给定初始参数进行迭代优化；具体包括：
根据主矢量理论，以新的轨道的速度增量和与参考轨道的速度增量和之差为目标函数，使用目标函数对出发点和插入点的时刻进行梯度调整，使得速度增量消耗最小化；
调整飞掠脉冲的时刻、位置和转移时间使得速度增量消耗最小化；
迭代求解上述两个优化问题，直至速度增量和达到最小值，并且出发相位和入轨相位为最优。
作为上述方法的一种改进，所述根据主矢量理论，以新的轨道的速度增量和与参考轨道的速度增量和之差为目标函数，使用目标函数对出发点和插入点位置进行梯度调整，使得速度增量消耗最小化，具体包括：
设置目标函数δJ1满足下式：
Figure BDA0003082707610000025
其中，
Figure BDA0003082707610000026
分别表示初始参数对应的参考轨道在飞行器从停泊轨道出发的t0时刻的速度增量，施加飞掠脉冲的tm时刻的速度增量以及进入目标周期轨道的tf时刻的速度增量；Δv0,Δvm,Δvf分别表示新的轨道对应的t0时刻的速度增量，tm时刻的速度增量和tf时刻的速度增量；
根据主矢量理论，通过目标函数δJ1(t0,tf)，梯度调整飞行器从停泊轨道出发的出发点时刻变化量δt0以及进入目标周期轨道的插入点时刻变化量δtf，使得速度增量消耗最小化，满足下式：
find δt0 and δtf
Figure BDA0003082707610000031
s.t.σ
其中，σ为最低飞掠高度约束下的不等式约束条件，t0时刻的主矢量导数积
Figure BDA0003082707610000032
tf时刻的主矢量导数积
Figure BDA0003082707610000033
的计算如下：
Figure BDA0003082707610000034
Figure BDA0003082707610000035
其中，λv(t0)为t0时刻主矢量，
Figure BDA0003082707610000036
为t0时刻主矢量的导数，为向量，λv(tf)为tf时刻主矢量，
Figure BDA0003082707610000037
为tf时刻主矢量的导数，为向量，T表示转置。
作为上述方法的一种改进，所述调整飞掠脉冲的时刻、位置和转移时间使得速度增量消耗最小化；具体包括：
设置目标函数δJ1满足下式：
Figure BDA00030827076100000311
通过目标函数δJ1，调整施加飞掠脉冲的时刻变化量δtm、位置变化量δrm和转移时间的时刻变化量δttransfer，使得速度增量消耗最小化，满足下式：
Figure BDA0003082707610000038
作为上述方法的一种改进，所述出发相位和入轨相位为最优；具体包括：
根据主矢量理论，当t0时刻的主矢量导数积
Figure BDA0003082707610000039
并且tf时刻的主矢量导数积
Figure BDA00030827076100000310
则出发相位和入轨相位为最优。
作为上述方法的一种改进，所述以最优必要性条件为目标，通过遗传算法求解获得最省燃料的最优转移轨道；具体包括：
设置最优必要条件J2满足下式：
Figure BDA0003082707610000041
其中，tP表示近月点时刻，
Figure BDA0003082707610000042
和
Figure BDA0003082707610000043
分别表示近月点前时刻和近月点后时刻，
Figure BDA0003082707610000044
分别表示
Figure BDA0003082707610000045
时刻和
Figure BDA0003082707610000046
时刻的系统哈密顿函数值，H(tf)表示tf时刻的系统哈密顿函数值，κ为不等式约束的乘子，σ为最低飞掠高度约束下的不等式约束条件；
通过最优必要条件J2，采用遗传算法求解以下优化问题，得到施加飞掠脉冲的时刻变化量δtm、位置变化量δrm和转移时间的时刻变化量δttransfer，满足下式：
find δtm,δrm,and δttransfer
Figure BDA0003082707610000047
s.t.σ
从而得到最省燃料的最优转移轨道。
一种求解最优月球飞掠转移轨道的系统，所述系统包括：初值设置模块、迭代优化模块和最优转移轨道输出模块；其中，
所述初值设置模块，用于根据会合坐标系下最小飞掠高度约束条件，设置月球飞掠转移轨道初始参数；
所述迭代优化模块，用于以速度增量和的最小化为优化目标，对给定初始参数进行迭代优化；
所述最优转移轨道输出模块，用于以最优必要性条件为目标，通过遗传算法求解获得最省燃料的最优转移轨道。
与现有技术相比，本发明的优势在于：
1、本发明的方法通过迭代优化，得到接近最优解的出发相位，入轨相位和中间脉冲及转移时间，进而可以通过以最优必要性条件为优化目标，快速求解得到最优轨道，及最优出发相位、入轨相位、转移时间、飞掠脉冲时刻、位置及大小；
2、本发明的方法不仅能够求得定义最优轨道的全部参数，并且模型简单，可以快速稳定收敛。
附图说明
图1是本发明的求解最优月球飞掠转移轨道的方法流程图；
图2(a)是地球经月球引力辅助至L4SPO的参考轨道和最优结果；
图2(b)是图2(a)的飞掠机动和近月点的局部放大图；
图3是地球经月球引力辅助至L4SPO的参考轨道和最优结果的主矢量曲线。
具体实施方式
本方法首先基于最优控制原理，给出了会合坐标系下，在最小飞掠高度约束条件下的转移轨道最优必要性条件，并使用遗传算法求解一个迭代优化模型逼近最优解；继而通过以最优必要性条件为目标，遗传算法求解获得燃料最省的月球飞掠转移轨道。
本发明即为求解圆型限制性三体模型中，在最小飞掠高度约束下的燃料最优机动引力辅助转移轨道的方法。对地月间的应急返回轨道，本发明在会合坐标系下求解，并给出了一种迭代优化求解算法，可稳定收敛并得到最省燃料转移轨道需求的出发相位、入轨相位、转移时间、飞掠脉冲时刻、位置大小。
下面结合附图和实施例对本发明的技术方案进行详细的说明。
实施例1
圆型限制性三体问题中，会合坐标系是一个原点位于系统质心，x轴由大主天体P1指向小主天体P2，z轴平行于主天体运动的角动量矢量，y轴由右手定则确定。为分析计算方便，对各物理量进行无量纲化和量级归一化，定义相应的质量单位为主天体总质量，长度单位为两主天体间的距离，时间单位为主天体的运动周期除以2π，系统质量参数定义为μ＝m2/m1+m2，其中m1和m2分别表示P1和P2的质量。在x-y平面会合坐标系中，大主天体和小主天体坐标分别为(-μ,0)和(1-μ,0)，第三体的运动方程
Figure BDA0003082707610000055
为
Figure BDA0003082707610000051
其中
Figure BDA0003082707610000052
Figure BDA0003082707610000053
Figure BDA0003082707610000054
对t＝t0时刻，由主天体P1附近停泊轨道O上点r0以x(t0)状态出发，经主天体P2引力辅助，最低飞掠高度为hP，于t＝tf时刻目标周期轨道F上点rf以x(tf)状态入轨的转移轨道，设飞掠脉冲Δvm在t＝tm时刻，r＝rm点处施加。对一条转移轨道，当给定出发点位置t0，插入点位置tf，飞掠脉冲时刻tm，飞掠脉冲位置rm，转移时间ttransfer，飞掠脉冲可以通过多段固定时间下的微分修正法求得。最省燃料的转移轨道计算步骤如下：
1)建立转移轨道的数学模型。
最低飞掠高度约束下的等式约束条件ψ＝[ψ1,ψ2,ψ3]T和不等式约束条件σ表述如下：
Figure BDA0003082707610000061
其中xP为转移轨道的近P2点状态，
Figure BDA0003082707610000067
为P2的坐标位置，
Figure BDA0003082707610000068
为P2的半径。
优化问题的性能指标φ表达为总速度增量和最小，在下述优化过程中需被最大化：
φ＝-(Δv0+Δvm+Δvf) (3)
系统哈密顿函数表示为：
Figure BDA0003082707610000069
其中λr和λv为与位置和速度矢量关联的协态变量，其中λv也称为主矢量。协态变量的微分方程为
Figure BDA0003082707610000062
2)根据主矢量理论推导一阶最优必要性条件如下：
Figure BDA0003082707610000063
Figure BDA0003082707610000064
Figure BDA0003082707610000065
Figure BDA0003082707610000066
H(tf)＝0 (10)
其中χ＝[χ1,χ2,χ3]T为等式约束的乘子，κ为不等式约束的乘子，并需满足κσ＝0；
由于脉冲处没有额外约束，则脉冲时刻的主矢量为：
Figure BDA0003082707610000071
其中Δvi为ti时刻施加的第i个脉冲。
1.以速度增量和最小为优化目标，对给定初值进行迭代优化。
对给定初值，即参考轨道(以下标R标记)，这一步分为两个子问题进行迭代优化，目标函数均为新的轨道与参考轨道的速度增量和之差：
Figure BDA0003082707610000077
子问题1：根据主矢量理论，使用δJ1对δt0,δtf的梯度调整出发点和插入点时刻δt0,δtf，最小化速度增量消耗。
Figure BDA0003082707610000072
其中
Figure BDA0003082707610000073
子问题2：调整飞掠脉冲的时刻、位置和转移时间以最小化速度增量消耗。
Figure BDA0003082707610000074
迭代求解上述两个优化问题，直至速度增量和达到最小值，并且根据主矢量理论，出发点和入轨点处的
Figure BDA0003082707610000075
满足
Figure BDA0003082707610000076
表征出发相位和入轨相位为最优。
2.以最优必要性条件为目标，通过遗传算法求解获得最省燃料的最优转移轨道。
对上一步求得的轨道，[λr(tm),λv(tm)]T,[λr(tf),λv(tf)]T可由式(5)和(11)求得，进而可以逆向积分式(5)求得近月点后瞬时的协态变量
Figure BDA0003082707610000078
而近月点前瞬时的协态变量
Figure BDA0003082707610000079
可由[λr(t0),λv(t0)]T积分求得，即为λr(t0)的函数。λr(t0),χ2,κ可通过求解式(8)求得。则公式(6)-(10)可简化为：
Figure BDA0003082707610000081
为求得满足最有必要性条件的最优解，可通过遗传算法求解下述优化问题：
Figure BDA0003082707610000082
以地月系统，由200km高度的圆近地轨道(Low Earth Orbit,LEO)轨道出发，经月球引力辅助，最小月球飞掠高度100km，最终入轨L4拉格朗日点附近的振幅为β＝0.15的短周期轨道(Short Periodic Orbit,SPO)为例，使用本方法求解燃料最省的最优转移轨道结果如图2(a)、(b)所示，总速度增量消耗由参考轨道的3.4220km/s减小至3.4087km/s。如图3所示，为地球经月球引力辅助至L4SPO的参考轨道和最优结果的主矢量曲线。
实施例2
本发明的实施例2提出了一种求解最优月球飞掠转移轨道的系统，所述系统包括：初值设置模块、迭代优化模块和最优转移轨道输出模块；具体实现过程同实施例1，其中，
所述初值设置模块，用于根据会合坐标系下最小飞掠高度约束条件，设置月球飞掠转移轨道初始参数；
所述迭代优化模块，用于以速度增量和最小为优化目标，对给定初始参数进行迭代优化；
所述最优转移轨道输出模块，用于以最优必要性条件为目标，通过遗传算法求解获得最省燃料的最优转移轨道。
创新点：
1.本方法在会合坐标系下推导了包含最小飞掠高度约束的机动引力辅助转移轨道并给出了计算流程和推导结果以作为优化目标；
2.本方法通过迭代优化出发相位及入轨相位和中间脉冲及转移时间，得到了满足主矢量理论的最优出发相位和入轨相位，和接近最优解的飞掠脉冲位置及转移时间，通过此迭代方法获得的解已非常接近最优解。
3.本方法以最优必要性条件为优化目标，通过遗传算法求解，能够快速将转移轨道微调至满足最优必要性条件的最优解。
最后所应说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制。尽管参照实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，都不脱离本发明技术方案的精神和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (4)

1.一种求解最优月球飞掠转移轨道的方法，所述方法包括：
步骤1)根据会合坐标系下最小飞掠高度约束条件，设置月球飞掠转移轨道初始参数；
步骤2)以速度增量和的最小化为优化目标，对给定初始参数进行迭代优化；
步骤3)以最优必要性条件为目标，通过遗传算法求解获得最省燃料的最优转移轨道；
步骤2)具体包括：
步骤201)根据主矢量理论，以新的轨道的速度增量和与参考轨道的速度增量和之差为目标函数，使用目标函数对出发点和插入点的时刻进行梯度调整，使得速度增量消耗最小化；
步骤202)调整飞掠脉冲的时刻、位置和转移时间使得速度增量消耗最小化；
步骤203)迭代求解步骤201)和步骤202)的两个优化问题，直至速度增量和达到最小值，并且出发相位和入轨相位为最优；
所述步骤201)具体包括：
设置目标函数δJ1满足下式：
Figure FDA0003324202590000011
其中，
Figure FDA0003324202590000012
分别表示初始参数对应的参考轨道在飞行器从停泊轨道出发的t0时刻的速度增量，施加飞掠脉冲的tm时刻的速度增量以及进入目标周期轨道的tf时刻的速度增量；Δv0,Δvm,Δvf分别表示新的轨道对应的t0时刻的速度增量，tm时刻的速度增量和tf时刻的速度增量；
根据主矢量理论，通过目标函数δJ1(t0,tf)，梯度调整飞行器从停泊轨道出发的出发点时刻变化量δt0以及进入目标周期轨道的插入点时刻变化量δtf，使得速度增量消耗最小化，满足下式：
find δt0andδtf
Figure FDA0003324202590000013
s.t.σ
其中，σ为最低飞掠高度约束下的不等式约束条件，t0时刻的主矢量导数积
Figure FDA0003324202590000014
tf时刻的主矢量导数积
Figure FDA0003324202590000021
的计算如下：
Figure FDA0003324202590000022
Figure FDA0003324202590000023
其中，λv(t0)为t0时刻主矢量，
Figure FDA0003324202590000024
为t0时刻主矢量的导数，为向量，λv(tf)为tf时刻主矢量，
Figure FDA0003324202590000025
为tf时刻主矢量的导数，为向量，T表示转置；
所述步骤202)具体包括：
设置目标函数δJ1满足下式：
Figure FDA0003324202590000026
通过目标函数δJ1，调整施加飞掠脉冲的时刻变化量δtm、位置变化量δrm和转移时间的时刻变化量δttransfer，使得速度增量消耗最小化，满足下式：
Figure FDA0003324202590000027
所述步骤203)出发相位和入轨相位为最优；具体包括：
根据主矢量理论，当t0时刻的主矢量导数积
Figure FDA0003324202590000028
并且tf时刻的主矢量导数积
Figure FDA0003324202590000029
则出发相位和入轨相位为最优。
2.根据权利要求1所述的求解最优月球飞掠转移轨道的方法，其特征在于，所述步骤1)具体包括：
根据最低飞掠高度约束下的等式约束条件ψ＝[ψ1,ψ2,ψ3]T和不等式约束条件σ：
ψ1:[x(t0)(1),x(t0)(2)]T-r0＝0
Figure FDA00033242025900000210
ψ3:[x(tf)(1),x(tf)(2)]T-rf＝0
Figure FDA00033242025900000211
其中，ψ1,ψ2,ψ3分别为等式约束条件的三个条件，t0为飞行器由第一主天体P1附近停泊轨道O上点r0以x(t0)状态出发的时刻，x(t0)(1),x(t0)(2)分别为x(t0)的两个分量，xP为飞行器在转移轨道的近第二主天体P2点的状态，xP(1),xP(2),xP(3),xP(4)分别为xP的四个分量，
Figure FDA0003324202590000031
为P2的坐标位置，
Figure FDA0003324202590000032
为P2的半径，hP为最低飞掠高度，tf为飞行器以x(tf)状态经转移轨道到达目标周期轨道F上的点rf的时刻，T表示转置；
设置飞掠脉冲Δvm在tm时刻，在rm点处施加，转移时间为ttransfer。
3.根据权利要求2所述的求解最优月球飞掠转移轨道的方法，其特征在于，所述步骤3)具体包括：
设置最优必要条件J2满足下式：
Figure FDA0003324202590000033
其中，tP表示近月点时刻，
Figure FDA0003324202590000034
和
Figure FDA0003324202590000035
分别表示近月点前时刻和近月点后时刻，
Figure FDA0003324202590000036
分别表示
Figure FDA0003324202590000037
时刻和
Figure FDA0003324202590000038
时刻的系统哈密顿函数值，H(tf)表示tf时刻的系统哈密顿函数值，κ为不等式约束的乘子，σ为最低飞掠高度约束下的不等式约束条件；
通过最优必要条件J2，采用遗传算法求解以下优化问题，得到施加飞掠脉冲的时刻变化量δtm、位置变化量δrm和转移时间的时刻变化量δttransfer，满足下式：
find δtm,δrm,andδttransfer
Figure FDA0003324202590000039
s.t.σ
从而得到最省燃料的最优转移轨道。
4.一种求解最优月球飞掠转移轨道的系统，其特征在于，所述系统包括：初值设置模块、迭代优化模块和最优转移轨道输出模块；其中，
所述初值设置模块，用于根据会合坐标系下最小飞掠高度约束条件，设置月球飞掠转移轨道初始参数；
所述迭代优化模块，用于以速度增量和的最小化为优化目标，对给定初始参数进行迭代优化；
所述最优转移轨道输出模块，用于以最优必要性条件为目标，通过遗传算法求解获得最省燃料的最优转移轨道；
所述迭代优化模块的处理过程具体包括：
步骤201)根据主矢量理论，以新的轨道的速度增量和与参考轨道的速度增量和之差为目标函数，使用目标函数对出发点和插入点的时刻进行梯度调整，使得速度增量消耗最小化；
步骤202)调整飞掠脉冲的时刻、位置和转移时间使得速度增量消耗最小化；
步骤203)迭代求解步骤201)和202)的两个优化问题，直至速度增量和达到最小值，并且出发相位和入轨相位为最优；
所述步骤201)具体包括：
设置目标函数δJ1满足下式：
Figure FDA0003324202590000041
其中，
Figure FDA0003324202590000042
分别表示初始参数对应的参考轨道在飞行器从停泊轨道出发的t0时刻的速度增量，施加飞掠脉冲的tm时刻的速度增量以及进入目标周期轨道的tf时刻的速度增量；Δv0,Δvm,Δvf分别表示新的轨道对应的t0时刻的速度增量，tm时刻的速度增量和tf时刻的速度增量；
根据主矢量理论，通过目标函数δJ1(t0,tf)，梯度调整飞行器从停泊轨道出发的出发点时刻变化量δt0以及进入目标周期轨道的插入点时刻变化量δtf，使得速度增量消耗最小化，满足下式：
find δt0andδtf
Figure FDA0003324202590000043
s.t.σ
其中，σ为最低飞掠高度约束下的不等式约束条件，t0时刻的主矢量导数积
Figure FDA0003324202590000044
tf时刻的主矢量导数积
Figure FDA0003324202590000045
的计算如下：
Figure FDA0003324202590000046
Figure FDA0003324202590000047
其中，λv(t0)为t0时刻主矢量，
Figure FDA0003324202590000048
为t0时刻主矢量的导数，为向量，λv(tf)为tf时刻主矢量，
Figure FDA0003324202590000049
为tf时刻主矢量的导数，为向量，T表示转置；
所述步骤202)具体包括：
设置目标函数δJ1满足下式：
Figure FDA0003324202590000051
通过目标函数δJ1，调整施加飞掠脉冲的时刻变化量δtm、位置变化量δrm和转移时间的时刻变化量δttransfer，使得速度增量消耗最小化，满足下式：
Figure FDA0003324202590000052
所述步骤203)出发相位和入轨相位为最优；具体包括：
根据主矢量理论，当t0时刻的主矢量导数积
Figure FDA0003324202590000053
并且tf时刻的主矢量导数积
Figure FDA0003324202590000054
则出发相位和入轨相位为最优。
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