CN113327275A - 一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法。计算多尺度特征描述子；利用k近邻搜索和重叠率参数确定初始对应点集，利用特征描述子相似性搜索并筛选对应点对；基于对应点对中的每个点向其对应的区域进行曲面投影，获得新的对应点集；得到双向插补的点对，利用刚性变换一致性原则进行筛选，求解坐标变换矩阵；循环迭代坐标变换矩阵的求解和源点云的更新，直至满足收敛条件即结束多视角配准过程。本发明用以解决现有点云双视角精配准方法无法解决测量系统离散采样导致的点云稀疏性问题。

Description

一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法

技术领域

本发明属于逆向工程领域，具体涉及一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法。

背景技术

激光雷达从多角度扫描物体获得多视角三维点云之后，需要对多帧点云数据进行配准从而获得完整物体模型。在使用粗配准算法将点云大致对齐以后，需要进一步使用精配准算法提高整体配准精度。迭代最近点算法被广泛使用在精配准中。其基本原理是不断迭代寻找相对目标点云最近的源点云中的近邻点，确定点云之间点与点的对应关系，再计算对应点集的协方差矩阵，对其进行奇异值分解，从而获得旋转变换矩阵和平移变换矩阵，实现点云精配准。这种可行性高、精度好、应用广泛。这种方法需要硬性确定点间的匹配关系，而通过激光扫描获得的两帧点云不存在完美的对应点，所以这种方法受采样点分辨率影响较大，而且对噪声的鲁棒性不高。现有的解决方法是将点对点的距离度量转换为点对切平面的距离度量。通过搜索近邻点确定局部点云的法向量，从而确定该点的切平面，将对应点向该切平面进行投影得到点到切平面的距离。但是这种距离度量方法同样是不准确定的，而且计算法向量时受噪声的影响较大。

发明内容

本发明提供一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法，用以解决现有点云双视角精配准方法无法解决测量系统离散采样导致的点云稀疏性问题。

本发明通过以下技术方案实现：

一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法，所述点云双视角精配准方法具体包括一下步骤：

步骤1：对输入的目标点云和源点云进行预处理，计算多尺度特征描述子、主曲率及法向量得到；

步骤2：利用k近邻搜索和重叠率参数确定初始对应点集，在初始对应点集中利用步骤1的特征描述子相似性搜索并筛选对应点对，从而构建目标点云和源点云的双向HMLS曲面投影区域；

步骤3：基于步骤2对应点对中的每个点向其对应的区域进行曲面投影，获得新的对应点集；

步骤4：利用步骤3的新的对应点集得到双向插补的点对，再利用刚性变换一致性原则进行筛选，求解坐标变换矩阵，当对应点的点间距离相对差异小于阈值，则进行步骤5，当对应点的点间距离相对差异大于等于阈值，则进行步骤6；

步骤5：原始对应关系是正确的；

步骤6：将该对应关系从步骤3的新的对应点集中剔除；

步骤7：循环步骤2-步骤6迭代坐标变换矩阵的求解和源点云的更新，直至满足收敛条件即结束多视角配准过程。

进一步的，所述步骤1具体为对输入的目标点云

和源点云

进行预处理，计算多尺度特征描述子D_P和D_Q、主曲率及法向量；

所述预处理具体为对点云中一点p_i,设共有L个不同的支撑域半径r₁＜r₂＜...＜r_L；在每个支撑域半径r_l中，可以建立局部邻域的协方差矩阵：

式中

表示邻域中的一点，K为邻域点的个数，l＝1,...,L；对3×3的协方差矩阵C_l进行SVD奇异值分解，可以获得三个特征值λ_l1≥λ_l2≥λ_l3和特征值对应的特征向量n_l1、n_l2、n_l3；将第二个尺度下的特征值最小的特征向量作为该点的法向量n_i＝n₂₃；并且用s_l表示归一化特征值向量：

设定Δs_l＝s_l+1-s_l，特征描述符D_i可以表示为：

D_i＝(Δs₁,...,Δs_L-1) (3)

至此获得点云的多尺度特征描述子和法向量，进一步计算点云的主曲率；采用基于体积积分不变量理论的低偏差序列采样方法估计单点邻域的主曲率；在测量点p_i处构造一个球体其半径为R；设定(α,β,γ)为点p_k的球面坐标，则其直角坐标可以表示为

p_k(α,β,γ)＝(γcosβsinα,γcosβsinα,γsinβ) (4)

其中α∈[0,2π]，β∈[-π/2,π/2]，γ∈[0,R]；分别在α,β,γ方向上以基数10,5,4进行采样，获得均匀分布的球面坐标点；设定欧氏距离最小的对应点为p_k'，如果(p_k-p_k')·n_pk'＞0，就说明点p_k在点云表面的内部；否则，点p_k在点云表面的外部；将所有球在曲面A内部的采样点收集起来，用点集

表示；则该局部曲面与球邻域的相交体积V_obj可以下式估计：

式中V_b是邻域球的体积，n_Bin是曲面内的点的个数，n_b是邻域球总采样点数；这样，质心b和协方差矩阵J(A)可以通过下面公式得到：

然后利用主成分分析技术，对J(A)进行SVD奇异值分解，得到特征值λ_i(i＝1,2,3)和特征向量e_i(i＝1,2,3)；曲面A的邻域球半径可以表示为R，M_b1和M_b2是两个较大的特征值，由此可以估计出两个主曲率

和

进一步的，所述步骤2具体为利用k近邻搜索和重叠率参数确定初始对应点集

N表示根据对应点距离和重叠率确定的重叠区域点集数量；在q_i的近邻点集

中利用特征描述子D_P和D_Q的相似性，计算q_i与

高维特征空间距离：

选择源点云中特征空间距离最小的q_j构建相对正确的对应点，从而获得对应点对集合

若特征空间距离满足

则可以构建目标点云和源点云的双向HMLS曲面投影区域

和

否则将其剔除。

进一步的，所述步骤3中新的对应点集为

和

进一步的，所述步骤4中利用步骤3的新的对应点集得到双向插补的点对，利用刚性变换一致性原则进行筛选，只要对应点点间距离相对差异小于阈值ε₂，则原始对应关系(q_j,p_i)是正确的；否则将该对应关系从原始对应点集中剔除。

进一步的，利用刚性变换一致性原则进行筛选具体为，采用双向插补的方法，将两点向对应区域

和

上进行点到HMLS曲面投影；

其投影点计算方法如下：

定义局部移动最小二乘曲面的表达形式：

式中a为投影方向，由每次迭代过程中点q_m在局部表面区域的k个邻近点的的加权法矢量表示；y＝q_m+1＝q_m+t·a表示迭代收敛过程中产生的新的点，标量t表示单次逼近步长；

当dS(y)/dt为零时，能量函数e(y,a)取得极小值，即确定函数S(y)的等值面；此时坐标点x收敛于MLS曲面；将加权法矢量a＝n(q_m)带入能量函数中，转换为关于单变量参数t的函数；

设曲面外一点原始位置为q₀，通过kd-tree算法确定该点的k近邻点集为

后，计算加权法矢量n(q₀)；求解一维线性最小化函数e(t,n(q))中t的值；更新投影点的位置q₁＝q₀+t·n(q₀)。循环迭代，当相邻两次计算出的投影点位置差值δ＝||q_m+1-q_m||小于阈值时迭代结束。

令h₁,h₂分别为各向异性高斯核的宽度，可以分别表示为h₁＝1/(βk₁)和h₂＝1/(βk₂)；各向异性高斯核函数可由下式来定义，式中β是比例因子，该参数可以间接控制各向异性高斯核函数的宽度，影响投影精度，后文通过实验对该参数的影响进行验证；v₁、v₂分别为主曲率k₁、k₂的主方向：

最后获得新的对应点集

和

若对应关系正确，则应满足刚体变换一致性约束条件：||p_i-q_j'||＝||q_j-p_i'||；在实际配准情况中，该条件很难严格满足，因此将该约束条件变化为：

进一步的，所述步骤7根据式(11)循环迭代坐标变换矩阵R^q、t^q的求解和源点云的更新Q^q+1＝R^qQ^q+t^q，直至满足收敛条件，

本发明的有益效果是：

本发明的特征描述子相似性约束提高了投影区域的准确性，避免了错误投影点的生成。

本发明的双向内插刚性变换一致性距离约束，通过对投影对应点对的筛选，提高的最终匹配点集的准确性，进而提高双视角配准精度。

本发明的多约束点到局部曲面投影方法，降低了稀疏点云重叠区域内点间错位对点云配准的影响。

本发明的双向局部区域各向异性移动最小二乘拟合方法，能够充分利用点云的结构信息，为曲面到曲面的点云配准方法提供了新的解决途径。

附图说明

图1是现有光路图。

图2是本发明方法流程图。

图3是本发明点到HMLS曲面投影示意图。

图4是本发明双向插补距离约束示意图。

图5是本发明多约束点到HMLS曲面投影示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法，所述点云双视角精配准方法具体包括一下步骤：

步骤1：对输入的目标点云和源点云进行预处理，计算多尺度特征描述子、主曲率及法向量得到；

步骤2：利用k近邻搜索和重叠率参数确定初始对应点集，在初始对应点集中利用步骤1的特征描述子相似性搜索并筛选对应点对，从而构建目标点云和源点云的双向HMLS曲面投影区域；

步骤3：基于步骤2对应点对中的每个点向其对应的区域进行曲面投影，获得新的对应点集；

步骤4：利用步骤3的新的对应点集得到双向插补的点对，再利用刚性变换一致性原则进行筛选，求解坐标变换矩阵，当对应点的点间距离相对差异小于阈值，则进行步骤5，当对应点的点间距离相对差异大于等于阈值，则进行步骤6；

步骤5：原始对应关系是正确的；

步骤6：将该对应关系从步骤3的新的对应点集中剔除；

步骤7：循环步骤2-步骤6迭代坐标变换矩阵的求解和源点云的更新，直至满足收敛条件即结束多视角配准过程。

进一步的，所述步骤1具体为对输入的目标点云

和源点云

进行预处理，计算多尺度特征描述子D_P和D_Q、主曲率及法向量；

所述预处理具体为对点云中一点p_i,设共有L个不同的支撑域半径r₁＜r₂＜...＜r_L；在每个支撑域半径r_l中，可以建立局部邻域的协方差矩阵：

式中

表示邻域中的一点，K为邻域点的个数，l＝1,...,L；对3×3的协方差矩阵C_l进行SVD奇异值分解，可以获得三个特征值λ_l1≥λ_l2≥λ_l3和特征值对应的特征向量n_l1、n_l2、n_l3；将第二个尺度下的特征值最小的特征向量作为该点的法向量n_i＝n₂₃；并且用s_l表示归一化特征值向量：

设定Δs_l＝s_l+1-s_l，特征描述符D_i可以表示为：

D_i＝(Δs₁,...,Δs_L-1) (3)

至此获得点云的多尺度特征描述子和法向量，进一步计算点云的主曲率；采用基于体积积分不变量理论的低偏差序列采样方法估计单点邻域的主曲率；在测量点p_i处构造一个球体其半径为R；设定(α,β,γ)为点p_k的球面坐标，则其直角坐标可以表示为

p_k(α,β,γ)＝(γcosβsinα,γcosβsinα,γsinβ) (4)

其中α∈[0,2π]，β∈[-π/2,π/2]，γ∈[0,R]；分别在α,β,γ方向上以基数10,5,4进行采样，获得均匀分布的球面坐标点；设定欧氏距离最小的对应点为p_k'，如图3-4所示；如果

就说明点p_k在点云表面的内部；否则，点p_k在点云表面的外部；将所有球在曲面A内部的采样点收集起来，用点集

表示；则该局部曲面与球邻域的相交体积V_obj可以下式估计：

式中V_b是邻域球的体积，n_Bin是曲面内的点的个数，n_b是邻域球总采样点数；这样，质心b和协方差矩阵J(A)可以通过下面公式得到：

然后利用主成分分析技术，对J(A)进行SVD奇异值分解，得到特征值λ_i(i＝1,2,3)和特征向量e_i(i＝1,2,3)；曲面A的邻域球半径可以表示为R，M_b1和M_b2是两个较大的特征值，由此可以估计出两个主曲率

和

进一步的，所述步骤2具体为利用k近邻搜索和重叠率参数确定初始对应点集

N表示根据对应点距离和重叠率确定的重叠区域点集数量；在q_i的近邻点集

中利用特征描述子D_P和D_Q的相似性，计算q_i与

高维特征空间距离：

选择源点云中特征空间距离最小的q_j构建相对正确的对应点，从而获得对应点对集合

若特征空间距离满足

则可以构建目标点云和源点云的双向HMLS曲面投影区域

和

否则将其剔除。

进一步的，所述步骤3中新的对应点集为

和

进一步的，所述步骤4中利用步骤3的新的对应点集得到双向插补的点对，利用刚性变换一致性原则进行筛选，只要对应点点间距离相对差异小于阈值ε₂，则原始对应关系(q_j,p_i)是正确的；否则将该对应关系从原始对应点集中剔除。由于p_i与q_j'、q_j与p_i'的距离很近，因此这两个点对在最终的坐标变换矩阵求解过程中的贡献是几乎相同的，只取其中之一参与计算即可。

进一步的，利用刚性变换一致性原则进行筛选具体为，采用双向插补的方法，将两点向对应区域

和

上进行点到HMLS曲面投影；

其投影点计算方法如下：

定义局部移动最小二乘曲面的表达形式：

式中a为投影方向，由每次迭代过程中点q_m在局部表面区域的k个邻近点的的加权法矢量表示；y＝q_m+1＝q_m+t·a表示迭代收敛过程中产生的新的点，标量t表示单次逼近步长；

当dS(y)/dt为零时，能量函数e(y,a)取得极小值，即确定函数S(y)的等值面；此时坐标点x收敛于MLS曲面；将加权法矢量a＝n(q_m)带入能量函数中，转换为关于单变量参数t的函数；

图3反映了MLS投影点的具体计算过程：设曲面外一点原始位置为q₀，通过kd-tree算法确定该点的k近邻点集为

后，计算加权法矢量n(q₀)；求解一维线性最小化函数e(t,n(q))中t的值；更新投影点的位置q₁＝q₀+t·n(q₀)。循环迭代，当相邻两次计算出的投影点位置差值δ＝||q_m+1-q_m||小于阈值时迭代结束。

传统MLS采用各向同性的高斯核函数对每个节点加权，但是实际局部区域的点云分布情况是各向异性的，特别是在曲面某点处一边比较陡峭，另一边比较平坦时，使得投影时产生偏差。因此，使用两个主曲率k₁,k₂来构建各向异性高斯核。令h₁,h₂分别为各向异性高斯核的宽度，可以分别表示为h₁＝1/(βk₁)和h₂＝1/(βk₂)；各向异性高斯核函数可由下式来定义，式中β是比例因子，该参数可以间接控制各向异性高斯核函数的宽度，影响投影精度，后文通过实验对该参数的影响进行验证；v₁、v₂分别为主曲率k₁、k₂的主方向：

最后获得新的对应点集

和

若对应关系正确，则应满足刚体变换一致性约束条件：||p_i-q_j'||＝||q_j-p_i'||；在实际配准情况中，该条件很难严格满足，因此将该约束条件变化为：

进一步的，所述步骤7根据式(11)循环迭代坐标变换矩阵R^q、t^q的求解和源点云的更新Q^q+1＝R^qQ^q+t^q，直至满足收敛条件，

算法使用斯坦福大学的Bunny、Dragon、Armadillo数据库进行仿真实验。首先讨论了比例因子参数的选择，并提出了针对不同特征模型的经验性参数选取规律；验证了算法的收敛性，确定了最大迭代次数参数的选取；并与其他算法进行对比试验，验证了本文算法能够克服激光点云的稀疏性，获得了较好的效果，在保持平移精度的情况下降低旋转误差；最后对实际采集数据进行双视角精配准实验。

传统方法配准示意图如图1(a)所示，表示相同区域的点云由于扫描视角不同会导致点间错位的问题，直接使用点到点的配准方法只能最小化稀疏采样点间距离误差函数影响配准精度。而曲面到曲面的配准方式如图1(b)所示，通过拟合致密的三维曲面，构建局部表面形貌，能够充分利用三维点云的结构信息。

传统ICP点云配准结果受采样稀疏性影响，而点到HMLS曲面投影的ICP配准算法无法确定准确的投影区域，并且缺少有效的判定机制，无法去除投影错误的对应点。

如图2所示：在对输入点云预处理后，首先利用多尺度特征描述子构建初始的对应点对，根据相应的邻域点集确定双向投影区域；然后对两点集进行局部曲面拟合，将原始点云向目标区域进行双向内插点到HMLS曲面投影；最后利用刚性变换一致性原则筛选对应点对，求解坐标变换矩阵。

各向异性移动最小二乘曲面(HMLS)的是移动最小二乘曲面(MLS)改进形式，MLS曲面的函数表达式可以定义为：

式中a为投影方向，由每次迭代过程中点q_m在局部表面区域的k个邻近点的的加权法矢量表示。y＝q_m+1＝q_m+t·a表示迭代收敛过程中产生的新的点，标量t表示单次逼近步长。

当dS(y)/dt为零时，能量函数e(y,a)取得极小值，即确定函数S(y)的等值面。此时坐标点x收敛于MLS曲面。将加权法矢量a＝n(q_m)带入能量函数中，转换为关于单变量参数t的函数，图3反映了MLS投影点的具体计算过程：设曲面外一点原始位置为q₀，通过kd-tree算法确定该点的k近邻点集为

后，计算加权法矢量n(q₀)；求解一维线性最小化函数e(t,n(q))中t的值；更新投影点的位置q₁＝q₀+t·n(q₀)。循环迭代，当相邻两次计算出的投影点位置差值δ＝||q_m+1-q_m||小于阈值时迭代结束。

传统MLS采用各向同性的高斯核函数对每个节点加权，但是实际局部区域的点云分布情况是各向异性的，特别是在曲面某点处一边比较陡峭，另一边比较平坦时，使得投影时产生偏差。因此，使用两个主曲率k₁,k₂来构建各向异性高斯核。令h₁,h₂分别为各向异性高斯核的宽度，可以分别表示为h₁＝1/(βk₁)和h₂＝1/(βk₂)。各向异性高斯核函数可由下式来定义，式中β是比例因子，该参数可以间接控制各向异性高斯核函数的宽度，影响投影精度，后文通过实验对该参数的影响进行验证；v₁、v₂分别为主曲率k₁、k₂的主方向：

通过上述方法建立的点间对应关系仍存在错误的对应点对，对配准结果造成影响，这种情况在点云初始位姿对准不好时尤为明显。因此使用双向插补距离约束条件，对多尺度特征描述子相似性约束构建的点到MLS投影区域关系做进一步筛选。

如图4所示，在目标点集P和源点集Q中多尺度特征描述子相似性约束筛选得到对应点对，并获得对应子集表示的MLS曲面投影区域。采用双向插补的方法，将两点向对应区域上进行点到HMLS曲面投影。若对应关系正确，则应满足刚体变换一致性约束条件：||p_i-q_j'||＝||q_j-p_i'||。在实际配准情况中，该条件很难严格满足，因此将该约束条件变化为：

Claims (7)

1.一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法，其特征在于，所述点云双视角精配准方法具体包括一下步骤：

步骤1：对输入的目标点云和源点云进行预处理，计算多尺度特征描述子、主曲率及法向量得到；

步骤2：利用k近邻搜索和重叠率参数确定初始对应点集，在初始对应点集中利用步骤1的特征描述子相似性搜索并筛选对应点对，从而构建目标点云和源点云的双向HMLS曲面投影区域；

步骤3：基于步骤2对应点对中的每个点向其对应的区域进行曲面投影，获得新的对应点集；

步骤4：利用步骤3的新的对应点集得到双向插补的点对，再利用刚性变换一致性原则进行筛选，求解坐标变换矩阵，当对应点的点间距离相对差异小于阈值，则进行步骤5，当对应点的点间距离相对差异大于等于阈值，则进行步骤6；

步骤5：原始对应关系是正确的；

步骤6：将该对应关系从步骤3的新的对应点集中剔除；

步骤7：循环步骤2-步骤6迭代坐标变换矩阵的求解和源点云的更新，直至满足收敛条件即结束多视角配准过程。

2.根据权利要求1所述一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法，其特征在于，所述步骤1具体为对输入的目标点云

和源点云

进行预处理，计算多尺度特征描述子D_P和D_Q、主曲率及法向量；

所述预处理具体为对点云中一点p_i,设共有L个不同的支撑域半径r₁＜r₂＜...＜r_L；在每个支撑域半径r_l中，可以建立局部邻域的协方差矩阵：

式中

表示邻域中的一点，K为邻域点的个数，l＝1,...,L；对3×3的协方差矩阵C_l进行SVD奇异值分解，可以获得三个特征值λ_l1≥λ_l2≥λ_l3和特征值对应的特征向量n_l1、n_l2、n_l3；将第二个尺度下的特征值最小的特征向量作为该点的法向量n_i＝n₂₃；并且用s_l表示归一化特征值向量：

设定Δs_l＝s_l+1-s_l，特征描述符D_i可以表示为：

D_i＝(Δs₁,...,Δs_L-1) (3)

至此获得点云的多尺度特征描述子和法向量，进一步计算点云的主曲率；采用基于体积积分不变量理论的低偏差序列采样方法估计单点邻域的主曲率；在测量点p_i处构造一个球体其半径为R；设定(α,β,γ)为点p_k的球面坐标，则其直角坐标可以表示为

p_k(α,β,γ)＝(γcosβsinα,γcosβsinα,γsinβ) (4)

其中α∈[0,2π]，β∈[-π/2,π/2]，γ∈[0,R]；分别在α,β,γ方向上以基数10,5,4进行采样，获得均匀分布的球面坐标点；设定欧氏距离最小的对应点为p_k'，如果

就说明点p_k在点云表面的内部；否则，点p_k在点云表面的外部；将所有球在曲面A内部的采样点收集起来，用点集

表示；则该局部曲面与球邻域的相交体积V_obj可以下式估计：

式中V_b是邻域球的体积，n_Bin是曲面内的点的个数，n_b是邻域球总采样点数；这样，质心b和协方差矩阵J(A)可以通过下面公式得到：

然后利用主成分分析技术，对J(A)进行SVD奇异值分解，得到特征值λ_i(i＝1,2,3)和特征向量e_i(i＝1,2,3)；曲面A的邻域球半径可以表示为R，M_b1和M_b2是两个较大的特征值，由此可以估计出两个主曲率

和

3.根据权利要求1所述一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法，其特征在于，所述步骤2具体为利用k近邻搜索和重叠率参数确定初始对应点集

N表示根据对应点距离和重叠率确定的重叠区域点集数量；在q_i的近邻点集

中利用特征描述子D_P和D_Q的相似性，计算q_i与

高维特征空间距离：

选择源点云中特征空间距离最小的q_j构建相对正确的对应点，从而获得对应点对集合

若特征空间距离满足

则可以构建目标点云和源点云的双向HMLS曲面投影区域

和

否则将其剔除。

4.根据权利要求1所述一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法，其特征在于，所述步骤3中新的对应点集为

和

5.根据权利要求1所述一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法，其特征在于，所述步骤4中利用步骤3的新的对应点集得到双向插补的点对，利用刚性变换一致性原则进行筛选，只要对应点点间距离相对差异小于阈值ε₂，则原始对应关系(q_j,p_i)是正确的；否则将该对应关系从原始对应点集中剔除。

6.根据权利要求1所述一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法，其特征在于，利用刚性变换一致性原则进行筛选具体为，采用双向插补的方法，将两点向对应区域

和

上进行点到HMLS曲面投影；

其投影点计算方法如下：

定义局部移动最小二乘曲面的表达形式：

式中a为投影方向，由每次迭代过程中点q_m在局部表面区域的k个邻近点的的加权法矢量表示；y＝q_m+1＝q_m+t·a表示迭代收敛过程中产生的新的点，标量t表示单次逼近步长；

当dS(y)/dt为零时，能量函数e(y,a)取得极小值，即确定函数S(y)的等值面；此时坐标点x收敛于MLS曲面；将加权法矢量a＝n(q_m)带入能量函数中，转换为关于单变量参数t的函数；

设曲面外一点原始位置为q₀，通过kd-tree算法确定该点的k近邻点集为

后，计算加权法矢量n(q₀)；求解一维线性最小化函数e(t,n(q))中t的值；更新投影点的位置q₁＝q₀+t·n(q₀)；循环迭代，当相邻两次计算出的投影点位置差值δ＝||q_m+1-q_m||小于阈值时迭代结束；

令h₁,h₂分别为各向异性高斯核的宽度，分别表示为h₁＝1/(βk₁)和h₂＝1/(βk₂)；各向异性高斯核函数可由下式来定义，式中β是比例因子，该参数可以间接控制各向异性高斯核函数的宽度，影响投影精度，后文通过实验对该参数的影响进行验证；v₁、v₂分别为主曲率k₁、k₂的主方向：

最后获得新的对应点集

和

若对应关系正确，则应满足刚体变换一致性约束条件：||p_i-q_j'||＝||q_j-p_i'||；在实际配准情况中，该条件很难严格满足，因此将该约束条件变化为：

7.根据权利要求1所述一种基于多约束点到局部曲面投影的点云双视角精配准方法，其特征在于，所述步骤7根据式(11)循环迭代坐标变换矩阵R^q、t^q的求解和源点云的更新Q^q+1＝R^qQ^q+t^q，直至满足收敛条件，

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