CN113269959A - 一种基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法，本方法在既约变量空间中进行迭代，每步迭代通过生成一个校正矩阵来动态调整目标函数的梯度信息，该方法具有超线性的收敛速度，且无需计算任何逆矩阵，能够大大减少运算的复杂度；且相比梯度投影法，该方法能够提高迭代后期的收敛速度，并大大节省迭代后期的CPU时间，非常适合求解大规模无约束优化问题。通过运用基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法，能够提高求解效率，节省运算时间。

Description

一种基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法

技术领域

本发明涉及交通分配技术领域，特别是一种基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法。

背景技术

交通分配模型是城市交通系统分析和设计中最基础的工具之一，在城市交通规划中占有核心地位。交通分配模型用于预测在均衡状态下，交通网络中的路段流量或者路径流量。交通分配模型可分为确定性用户均衡分配模型(User Equilibrium简称UE)及随机用户均衡分配模型(Stochastic User Equilibrium简称SUE)，其中，随机用户均衡分配模型考虑了现实生活中用户在路径选择中具有一定的随机性的要求，更具有现实性指导意义。随机用户均衡分配模型假设，人们对于路径出行时间的感知是有误差的，在SUE解点上，没有一个出行者可以通过单方面改变路径来降低自己的理解出行时间。随机用户均衡模型考虑了出行者感知的出行费用，能更好地描述出行者在网络中的出行选择行为，基于Logit的SUE模型由于具有结构简单，可解释性强等特点，在交通分配中的应用最为广泛。

目前，Logit型随机用户均衡路径交通流分配常用的分配方法是梯度投影法，该方法的核心思想是将当前迭代点沿目标函数的负梯度方向移动一个步长，并将结果投影到问题的可行域上，从而得到新的迭代点，但该方法只在原始变量空间中进行迭代，只具有线性的收敛速度，当迭代点接近最优解时收敛速度相对较慢。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是克服现有技术的不足而提供一种基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法，本方法在既约变量空间中进行迭代，每步迭代通过生成一个校正矩阵来动态调整目标函数的梯度信息，该方法具有超线性的收敛速度，且无需计算任何逆矩阵，能够大大减少运算的复杂度；且相比梯度投影法，该方法能够提高迭代后期的收敛速度，并大大节省迭代后期的CPU时间，非常适合求解大规模无约束优化问题。

本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：

根据本发明提出的一种基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法，

考虑一个交通网络G(N,A)，其中，N是节点集合、A是路段集合，令W表示路网中所有OD对的集合，R^w表示OD对w之间路径集合，w∈W，b_w表示OD对w之间的交通需求量；设

分别为OD对w之间路径r上的流量与阻抗，r∈R^w，x_a、t_a(x_a)分别为路段a上的流量与阻抗，a∈A，t_a(x_a)为x_a的可微单调递增函数，且

其中，C_a为路段a的通行能力、

为自由流行驶时间，γ和m为确定性参数；

假设

为出行者的路径流量向量，

为出行者的路径行驶时间向量，

为出行者的路段流量向量，

为出行者的路段行驶时间向量，t_a为出行者的路段行驶时间；定义路段-路径关联矩阵

其中

为指标变量，如果路段a在连接OD对w的路径r上，

否则

根据上述符号定义，随机用户均衡模型表示为如下最优化问题P1，P1包括公式(1)-公式(4)：

其中，Z(f)为目标函数，x为路段流量，t_a(x)为路段阻抗，θ为参数用于反映人们对网络阻抗的认知程度；式(2)表示OD需求量与路径流量之间的守恒关系，式(3)是路径流量非负约束，式(4)表示路段流量与路径流量的关系；

求解最优化问题P1的方法具体如下：

步骤1、组织交通调查，确定每个OD对之间的交通需求量{b_w,w∈W}及每个OD对之间的路径集合{R^w,w∈W}；

步骤2、在零流网络上完成一次Logit流量加载，得到初始路径流量向量f⁰，

置迭代次数k＝0；

步骤3、对于每个OD对w∈W，以

为基础，选择一条满足公式(5)的路径作为非既约路径，非既约路径的下标

满足

则OD对w∈W所对应的所有既约路径的下标集合Q^w表示为：

其中r_N为既约路径下标，则对应的既约路径流量向量f_N为

其中

为OD对w∈W之间下标r_N所对应的既约路径上的流量；

步骤4、将f_N带入问题P1的(1)式中，得到既约目标函数

步骤5、令

r_N∈Q^w,w∈W，

表示第k次迭代时的既约路径流量向量；

对(8)式求一阶偏导，得到第k次迭代时的既约梯度向量g^k；

其中，

表示第k次迭代时的既约目标函数；

均为指标变量，如果路段a在连接OD对w的路径上，

否则

同理，如果路段a在连接OD对w的既约路径上，

否则

步骤6、置H⁰＝I_n，计算出在初始既约路径流量

处的初始梯度

其中H⁰为初始矩阵，I_n为n阶单位矩阵，

表示初次迭代时的既约目标函数；

步骤7、令第k次迭代时的搜索方向向量d^k＝-H^kg^k，H^k是第k次迭代时的矩阵；

步骤8、从

出发，沿搜索方向向量d^k，利用Armijo线搜索方法，计算迭代步长

其中

为满足以下条件的最小非负整数i，

为第k次迭代时的既约路径流量，

为将

作为自变量代入的既约目标函数，βⁱ为β的i次方，

为β的

次方，0＜β＜1和0＜α＜1为参数，

为

处的梯度向量；

步骤9、令第k+1次迭代时的既约路径流量向量

步骤10、若

ε为允许误差，且ε＞0，则停止迭代，得到最优点

否则，进行步骤11，其中，

为第k+1次迭代时既约目标函数的梯度；

步骤11、若k＝n，则令

返回步骤6；否则，进行步骤12；

步骤12、令第k+1次迭代时的梯度向量

令既约路径流量向量之差

既约梯度向量之差q^k＝g^k+1-g^k；利用式(13)计算第k+1次迭代时的矩阵H^k+1，置k＝k+1，返回步骤7；

其中，上标T代表矩阵转置。

作为本发明所述的一种基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法进一步优化方案，所述步骤2的初始路径流量向量f⁰由以下3个子步骤求得：

步骤2.1、令x_a＝0,a∈A，由t_a(x_a)得出各路段的自由流行驶时间；

步骤2.2、根据步骤2.1的各路段的自由流行驶时间，计算OD对w之间路径r上的自由流行驶时间

步骤2.3、按照下式，将出行者OD需求量加载到出行路径上：

得到初始路径流量向量f⁰＝(...,f_r ^w,...)⁰，其中，

表示OD对w之间路径集合R^w中的任意一条路径l上的自由流行驶时间。

本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：

(1)本发明首先运用变量消去法，将Logit型SUE模型转化为一个无约束的最优化问题；然后，运用基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法求解该无约束最优化问题得到SUE最优解；最后，在SiouxFalls网络上，分别对变尺度梯度校正法与梯度投影法进行对比，以证明本发明所提方法的有效性；

(2)本发明所提出的方法只需要利用目标函数值和一阶导数构造出目标函数的曲率近似，通过前后两次迭代的梯度信息与下降方向信息进行向量点乘运算得到校正矩阵，而不需要计算任何逆矩阵，从而简化了运算的复杂度，大大降低了计算工作量；

(3)本发明提出的方法能够在既约变量空间中进行迭代，每步迭代通过生成一个校正矩阵，动态调整目标函数的梯度信息，该方法具有超线性收敛性，能够大大提高算法的收敛速度；

(4)因此，通过运用基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法，能够提高求解效率，节省运算时间，是求解大规模非线性问题的一种切实可行的有效方法；本发明是对交通分配理论和实践的探索和创新，具有较强的理论研究意义和实践指导价值。

附图说明

图1是本发明流程图。

图2是本发明方法在Sioux Falls网络上迭代次数的收敛性能。

图3是本发明方法在Sioux Falls网络上CPU时间的收敛性能。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图及具体实施例对本发明进行详细描述。

首先，运用变量消去法，将Logit型SUE模型转化为一个无约束的最优化问题；然后，运用基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法求解该无约束最优化问题得到SUE最优解；最后，在SiouxFalls网络上，分别对变尺度梯度校正法与梯度投影法进行对比，以证明本发明所提方法的有效性。

(1)模型描述

考虑一个交通网络G(N,A)，其中，N是节点集合、A是路段集合，令W表示路网中所有OD对的集合，R^w表示OD对w之间路径集合，w∈W，b_w表示OD对w之间的交通需求量；设

分别为OD对w之间路径r上的流量与阻抗，r∈R^w，x_a、t_a(x_a)分别为路段a上的流量与阻抗，a∈A，t_a(x_a)为x_a的可微单调递增函数，且

其中，C_a为路段a的通行能力、

为自由流行驶时间，γ和m为确定性参数；

假设

为出行者的路径流量向量，

为出行者的路径行驶时间向量，

为出行者的路段流量向量，

为出行者的路段行驶时间向量，t_a为出行者的路段行驶时间；定义路段-路径关联矩阵

其中

为指标变量，如果路段a在连接OD对w的路径r上，

否则

根据上述符号定义，随机用户均衡模型表示为如下最优化问题P1，P1包括公式(1)-公式(4)：

其中，Z(f)为目标函数，x为路段流量，t_a(x)为路段阻抗，θ为参数用于反映人们对网络阻抗的认知程度；式(2)表示OD需求量与路径流量之间的守恒关系，式(3)是路径流量非负约束，式(4)表示路段流量与路径流量的关系。

(2)算法设计

求解出最优化问题P1，即能实现随机用户均衡交通流分配；求解最优化问题P1的方法具体如下：

步骤1、组织交通调查，确定每个OD对之间的交通需求量{b_w,w∈W}及每个OD对之间的路径集合{R^w,w∈W}；

步骤2、在零流网络上完成一次Logit流量加载，得到初始路径流量向量f⁰，

置迭代次数k＝0；

步骤3、对于每个OD对w∈W，以

为基础，选择一条满足公式(5)的路径作为非既约路径，非既约路径的下标

满足

则OD对w∈W所对应的所有既约路径的下标集合Q^w表示为：

其中r_N为既约路径下标，则对应的既约路径流量向量f_N为

其中

为OD对w∈W之间下标r_N所对应的既约路径上的流量；

步骤4、将f_N带入问题P1的(1)式中，得到既约目标函数

步骤5、令

r_N∈Q^w,w∈W，

表示第k次迭代时的既约路径流量向量；

对(8)式求一阶偏导，得到第k次迭代时的既约梯度向量g^k；

其中，

表示第k次迭代时的既约目标函数；

均为指标变量，如果路段a在连接OD对w的路径上，

否则

同理，如果路段a在连接OD对w的既约路径上，

否则

步骤6、置H⁰＝I_n，计算出在初始既约路径流量

处的初始梯度

其中H⁰为初始矩阵，I_n为n阶单位矩阵，

表示初次迭代时的既约目标函数；

步骤7、令第k次迭代时的搜索方向向量d^k＝-H^kg^k，H^k是第k次迭代时的矩阵；

步骤8、从

出发，沿搜索方向向量d^k，利用Armijo线搜索方法，计算迭代步长

其中

为满足以下条件的最小非负整数i，

为第k次迭代时的既约路径流量，

为将

作为自变量代入的既约目标函数，βⁱ为β的i次方，

为β的

次方，0＜β＜1和0＜α＜1为参数，

为

处的梯度向量；

步骤9、令第k+1次迭代时的既约路径流量向量

步骤10、若

ε为允许误差，且ε＞0，则停止迭代，得到最优点

否则，进行步骤11，其中，

为第k+1次迭代时既约目标函数的梯度；

步骤11、若k＝n，则令

返回步骤6；否则，进行步骤12；

步骤12、令第k+1次迭代时的梯度向量

令既约路径流量向量之差

既约梯度向量之差q^k＝g^k+1-g^k；利用式(13)计算第k+1次迭代时的矩阵H^k+1，置k＝k+1，返回步骤7；

其中，上标T代表矩阵转置。

步骤2的初始路径流量向量f⁰由以下3个子步骤求得：

步骤2.1、令x_a＝0,a∈A，由t_a(x_a)得出各路段的自由流行驶时间；

步骤2.2、根据步骤2.1的各路段的自由流行驶时间，计算OD对w之间路径r上的自由流行驶时间

步骤2.3、按照下式，将出行者OD需求量加载到出行路径上：

得到初始路径流量向量f⁰＝(...,f_r ^w,...)⁰，其中，

表示OD对w之间路径集合R^w中的任意一条路径l上的自由流行驶时间。

运行上述如图1的算法，最终可以找到一个SUE最优解，值得指出的是，上述算法给出的是求解过程的总体框架，在算法实施过程中，会涉及到更多的细节问题，需要结合具体实施方式作进一步说明。

(3)算法分析

下面通过一个测试用例来对比基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法与梯度投影法的性能，进而验证本发明的有效性。测试网络采用Sioux Falls网络，Sioux Falls网络是一个中型网络，它由76个路段，24个节点和528个OD对组成，该网络取自Bar-Gera。

通过算法性能测试比较变尺度梯度校正法与梯度投影法在不同迭代阶段的收敛速度。本测试用例中，使用Leurent提出的收敛性依据。

其中，Z_k为第k次迭代时，最优化问题P1目标函数的值，Z^*为目标函数的最优值。

本发明对比了变尺度梯度校正法与梯度投影法在不同迭代次数和CPU时间下的收敛性能。图2显示了上述方法在Sioux Falls网络上迭代次数的收敛性能。从图2中可以看出，在迭代早期，变尺度梯度校正法的斜率与梯度投影法类似，这意味着两种算法的收敛速度也类似；在迭代后期，变尺度梯度校正法的斜率远大于梯度投影法，这意味着变尺度梯度校正法的收敛速度远快于梯度投影法。这种现象验证了变尺度梯度校正法具有局部超线性的收敛速度，而梯度投影法仅具有线性的收敛速度。

图3显示了上述方法在Sioux Falls网络上CPU时间的收敛性能。从图3可以看出，在迭代早期，梯度投影法的计算效率与变尺度梯度校正法类似；在迭代后期，梯度投影法的计算效率明显低于变尺度梯度校正法。

综上所述，本发明所提出的基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法比梯度投影法有更好的性能。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (2)

1.一种基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法，其特征在于，

考虑一个交通网络G(N,A)，其中，N是节点集合、A是路段集合，令W表示路网中所有OD对的集合，R^w表示OD对w之间路径集合，w∈W，b_w表示OD对w之间的交通需求量；设f_r ^w、

分别为OD对w之间路径r上的流量与阻抗，r∈R^w，x_a、t_a(x_a)分别为路段a上的流量与阻抗，a∈A，t_a(x_a)为x_a的可微单调递增函数，且

其中，C_a为路段a的通行能力、

为自由流行驶时间，γ和m为确定性参数；

假设

为出行者的路径流量向量，

为出行者的路径行驶时间向量，

为出行者的路段流量向量，

为出行者的路段行驶时间向量，t_a为出行者的路段行驶时间；定义路段-路径关联矩阵

其中

为指标变量，如果路段a在连接OD对w的路径r上，

否则

根据上述符号定义，随机用户均衡模型表示为如下最优化问题P1，P1包括公式(1)-公式(4)：

其中，Z(f)为目标函数，x为路段流量，t_a(x)为路段阻抗，θ为参数用于反映人们对网络阻抗的认知程度；式(2)表示OD需求量与路径流量之间的守恒关系，式(3)是路径流量非负约束，式(4)表示路段流量与路径流量的关系；

求解最优化问题P1的方法具体如下：

步骤1、组织交通调查，确定每个OD对之间的交通需求量{b_w,w∈W}及每个OD对之间的路径集合{R^w,w∈W}；

步骤2、在零流网络上完成一次Logit流量加载，得到初始路径流量向量f⁰，

置迭代次数k＝0；

步骤3、对于每个OD对w∈W，以

为基础，选择一条满足公式(5)的路径作为非既约路径，非既约路径的下标

满足

则OD对w∈W所对应的所有既约路径的下标集合Q^w表示为：

其中r_N为既约路径下标，则对应的既约路径流量向量f_N为

其中

为OD对w∈W之间下标r_N所对应的既约路径上的流量；

步骤4、将f_N带入问题P1的(1)式中，得到既约目标函数

步骤5、令

表示第k次迭代时的既约路径流量向量；

对(8)式求一阶偏导，得到第k次迭代时的既约梯度向量g^k；

其中，

表示第k次迭代时的既约目标函数；

均为指标变量，如果路段a在连接OD对w的路径上，

否则

同理，如果路段a在连接OD对w的既约路径上，

否则

步骤6、置H⁰＝I_n，计算出在初始既约路径流量

处的初始梯度

其中H⁰为初始矩阵，I_n为n阶单位矩阵，

表示初次迭代时的既约目标函数；

步骤7、令第k次迭代时的搜索方向向量d^k＝-H^kg^k，H^k是第k次迭代时的矩阵；

步骤8、从

出发，沿搜索方向向量d^k，利用Armijo线搜索方法，计算迭代步长

其中

为满足以下条件的最小非负整数i，

为第k次迭代时的既约路径流量，

为将

作为自变量代入的既约目标函数，βⁱ为β的i次方，

为β的

次方，0＜β＜1和0＜α＜1为参数，

为

处的梯度向量；

步骤9、令第k+1次迭代时的既约路径流量向量

步骤10、若

ε为允许误差，且ε＞0，则停止迭代，得到最优点

否则，进行步骤11，其中，

为第k+1次迭代时既约目标函数的梯度；

步骤11、若k＝n，则令

返回步骤6；否则，进行步骤12；

步骤12、令第k+1次迭代时的梯度向量

令既约路径流量向量之差

既约梯度向量之差q^k＝g^k+1-g^k；利用式(13)计算第k+1次迭代时的矩阵H^k+1，置k＝k+1，返回步骤7；

其中，上标T代表矩阵转置。

2.根据权利要求1所述的一种基于变尺度梯度校正的随机用户均衡交通流分配方法，其特征在于，所述步骤2的初始路径流量向量f⁰由以下3个子步骤求得：

步骤2.1、令x_a＝0,a∈A，由t_a(x_a)得出各路段的自由流行驶时间；

步骤2.2、根据步骤2.1的各路段的自由流行驶时间，计算OD对w之间路径r上的自由流行驶时间

步骤2.3、按照下式，将出行者OD需求量加载到出行路径上：

得到初始路径流量向量

其中，

表示OD对w之间路径集合R^w中的任意一条路径l上的自由流行驶时间。

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