CN113268064B - 一种考虑通信时延的多移动机器人协同编队控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑通信时延的多移动机器人协同编队控制方法，具体步骤如下：建立考虑通信时时延和外部扰动的多移动机器人协同编队控制系统数学模型；基于协同编队误差动态方程设计跟随移动机器人的虚拟控制律；协同编队移动机器人的控制力矩设计；协同编队移动机器人控制算法的稳定性分析。本发明所述移动机器人协同编队控制方法可以实现协同编队误差的有限时间收敛，消除通信时延对协同编队控制效果的不利影响，提高协同编队系统的抗干扰能力。

Description

一种考虑通信时延的多移动机器人协同编队控制方法

技术领域

本发明涉及多移动机器人控制技术领域，尤其涉及一种考虑通信时延的多移动机器人协同编队控制方法。

背景技术

移动机器人协同编队系统是由多个结构独立的小型移动机器人组成，各移动机器人之间利用无线通信设备与协同编队系统内的移动机器人进行信息交互，实现协同工作，以保持特定的队形和相对位姿，进而完成规定的作业任务。近年来，多移动机器人协同编队控制作为机器人领域的一个重要分支在军事和民用领域有着重要而广泛的应用，如无人机协同作战、空中侦察、战场搜救、资源勘探、环境监测等。

然而，在实际的移动机器人协同编队系统中存在诸多不确定性因素，如移动机器人的检测噪声、时变扰动以及地面摩擦力动态等。因此，在协同编队控制器设计时如果没有考虑系统的动力学特性进行协同编队控制器的设计就很难实现高性能的协同编队控制。另外，在多移动机器人协同编队系统中，各移动机器人通过无线网络进行系统信息的传输与共享，相比于有线通信网络，无线通信网络的带宽资源更加有限，信息的传输延迟问题更为严重。因此，在移动机器人的协同编队控制器设计中需要重点考虑移动机器人间的通信时延问题以及外部扰动问题。

由于终端滑模技术对系统扰动具有很强的鲁棒性，且可以实现系统状态变量的有限时间稳定。但为了进一步提高协同编队控制器的鲁棒性能，需结合观测器技术对系统的总和扰动进行估计并在协同编队控制器设计中对该值加以有效利用。

发明内容

本发明目的就是为了弥补已有技术的缺陷，提供一种考虑通信时延的多移动机器人协同编队控制方法。

本发明是通过以下技术方案实现的：

一种考虑通信时延的多移动机器人协同编队控制方法，具体步骤如下：

步骤(1)，建立考虑通信时时延和外部扰动的多移动机器人协同编队控制系统数学模型。

步骤(1.1)对于由两个驱动轮及一个随动轮构成的欠驱动轮式移动机器人，当采用主从协同编队控制策略将n个移动机器人构成协同编队系统时，其协同编队队形可分解为若干个如图1所示的队形结构。其中，第i(i＝1,2,3,…,n)个移动机器人的运动学和动力学模型可描述为如下方程：

式中，q_i＝[x_i,y_i,θ_i]^T∈R³表示移动机器人的位姿向量；

u_i＝[v_i,ω_i]^T∈R²表示移动机器人的速度向量，由移动机器人的线速度和角速度组成；

表示正定惯性矩阵；F_i∈R²表示地面摩擦力动态向量；τ_di∈R²表示外部时变有界扰动；

为移动机器人输入力矩变换阵，其中，r_i为驱动轮半径，b_i为移动机器人

的宽度；τ_i＝[τ_1i,τ_2i]^T∈R²表示系统输入力矩向量。

在进行协同编队控制时移动机器人间通过无线网络进行通信链接。然而，由于网络诱导时延的存在系统控制性能将受到严重影响，尤其是当协同编队的移动机器人数量较多时，时延问题将更加突出。所以，在协同编队控制中需要研究通信时延对协同编队控制带来的不利影响。

步骤(1.2)考虑网络诱导时延的影响，移动机器人的动力学模型可建模为

式中，d_i(t)为网络诱导时延。

由于系统控制信号为连续且有界的信号，故网络诱导时延d(t)可以看成系统的扰动信号：

f_i＝B_i[τ_i(t-d_i(t))-τ_i(t)] (3)

由此，可以将系统的地面摩擦力动态、外部扰动以及网络诱导时延建模为系统的总和扰动，考虑网络诱导时延的移动机器人动力学模型(2)可重写为

式中，

为系统的总和扰动向量。

步骤(1.3)Leader Robot为领航机器人，其在协同编队系统中的作用是为与其组成协同编队的跟随机器人提供期望轨迹。假设领航移动机器人的轨迹由其运动学模型产生，并通过无线网络将产生的相关轨迹信息发送给跟随移动机器人。领航机器人LeaderRobot产生的期望轨迹具有如下形式：

式中，q₀＝[x₀,y₀,θ₀]^T∈R³为领航移动机器人的位姿坐标；v₀为领航移动机器人的线速度；ω₀为领航移动机器人的角速度。

步骤(1.4)为了取得协同编队控制，首先，在领航机器人本地坐标系中定义期望的协同编队相对距离l_id及相对方向角θ_id。然后，通过坐标变换得到跟随移动机器人i参考点需要跟踪的期望坐标：

式中，[x_id,y_id]^T∈R²表示跟随机器人i的期望轨迹在全局坐标系XOY中的坐标表示。

步骤(1.5)本发明选取跟随移动机器人本地坐标系x_bi轴正向上的一点p_i作为跟随移动机器人的参考点，其坐标在全局坐标系XOY中可表示为

L_i表示参考点与跟随移动机器人本地坐标系原点的间距。从而，协同编队控制误差方程可定义为：

步骤(1.6)对式(7)求时间导数，并结合式(1)和式(6)可得多移动机器人协同编队控制的误差动态方程：

式中，

协同编队控制目标为在考虑协同编队系统的通信时延以及外部扰动的情况下，设计非奇异终端滑模控制器，使得多移动机器人系统的协同编队误差能够达到有限时间收敛，同时协同编队系统对系统的总和扰动具有较强的鲁棒性能。

步骤2，为了实现协同编队控制目标，首先基于协同编队误差动态方程式(9)设计跟随移动机器人i的虚拟控制律v_ci，ω_ci。

步骤(2.1)设计如下的李亚普诺夫函数：

对式(10)求导可得：

步骤(2.2)由式(11)，式(12)，设计u_vi及u_ωi为

式中，k_1i＞0，k_2i＞0，0<α_1i＜1，k_3i＞0，k_4i＞0，0<α_2i＜1为虚拟控制律的设计参数；sign(·)为符号函数。

步骤(2.3)将式(13)，(14)代入式(11)，(12)可得：

步骤(2.4)进一步，由式(9)可得虚拟控制律：

步骤3，协同编队移动机器人的控制力矩设计：

步骤(3.1)由于跟随移动机器人的驱动力矩由其动力学模型给出。因此，接下来需要结合移动机器人i的动力学模型设计控制力矩，以获得跟随移动机器人i的实际控制力矩输入。定义速度跟踪误差向量：

步骤(3.2)为提高速度跟踪误差的收敛速度，本发明设计如下的终端滑模面：

式中，S_i＝[s_1i,s_2i]^T；

λ_i＝diag{λ_1i,λ_2i}＞0，0＜β_1i＜1为滑模面设计参数。

对式(19)求导可得：

式中，

步骤(3.3)由式(20)，跟随移动机器人i的控制力矩设计为

式中，u_si＝sign(S_i)；

sign(S_i)＝[sign(s_1i),sign(s_2i)]^T；

为第i个跟随机器人的总和扰动估计值；K_5i＝diag{k_51i,k_52i}＞0，K_6i＝diag{k_61i,k_62i}＞0为正定的控制增益矩阵；设计参数β_2i需要满足条件：0＜β_2i＜1。

由式(21)可知，在控制力矩设计中需要得到第i个跟随移动机器人的总和扰动估计信息。尽管跟随移动机器人的总和扰动难以通过相应的传感器进行测量，但可以通过设计扰动观测器获得其准确的估计值。

本发明采用自抗扰控制技术设计线性扩张状态观测器对由移动机器人的地面摩擦力动态、外部时变扰动以及通信时延所引起的总和扰动进行在线估计。

步骤(3.4)定义状态变量

X_2i＝Δ_i，则移动机器人的动力学模型(4)可重写为：

式中，

步骤(3.5)定义

分别为X_1i，X_2i的估计值，则系统的线性扩张状态观测器可设计为

式中，η_1i＝diag{η_11i,η_12i}，η_2i＝diag{η_21i,η_22i}为待设计的观测器增益矩阵。

步骤(3.6)由式(22)，式(23)可得观测误差动态方程：

式中，

步骤(3.7)由式(24)可得观测误差动态方程的特征多项式：

P(s)＝s²I+η_1is+η_2i (25)

式中，I为单位阵；s为特征值。

步骤(3.8)假设特征多项式的各特征值相同且设定为

则可得：

从而可确定观测器的增益矩阵为

由自抗扰控制技术可知，通过选择合适的

所设计的线性扩张状态观测器即可实现对总和扰动的估计。

步骤4，协同编队移动机器人控制算法的稳定性分析：

步骤(4.1)设计李亚普诺夫函数：

步骤(4.2)对式(27)求时间的导数并将式(15)、式(16)及式(20)代入可得：

将跟随移动机器人i的控制力矩式(21)代入式(28)可得：

步骤(4.3)当

且将虚拟控制律参数α_1i，α_2i设置为α_1i＝α_2i＝β_2i时，式(29)可表示为

式中，

步骤(4.4)由式(30)可知，协同编队控制误差e_xi，e_yi将在有限时间内收敛到零，且收敛时间t_s满足关系：

步骤(4.5)由于控制力矩式(21)中含有切换控制项u_si，这会引起系统控制信号的抖震问题，从而影响控制效果，本发明通过采用边界层的办法解决这一问题。

式中，

ρ_i＞0为边界层参数。

本发明的优点是：本发明可实现协同编队误差的有限时间收敛，从而加快协同编队系统的响应速度。另外，通过将协同编队移动机器人间的通信时延、移动机器人的地面摩擦力动态以及外部时变扰动建模为系统的总和扰动，并在控制算法设计中对其加以估计和补偿。这不仅可以消除通信时延对协同编队控制效果的不利影响，而且也提高了系统的抗干扰能力，从而为协同编队系统任务的顺利执行提供了可靠的保障。

附图说明

图1为本发明所述一种考虑通信时延的多移动机器人协同编队结构示意图。

图2a为本发明所述跟随移动机器人Follower Robot 1X轴向的协同编队误差。

图2b为本发明所述跟随移动机器人Follower Robot 1Y轴向的协同编队误差。

图3a为本发明所述跟随移动机器人Follower Robot 1对总和扰动Δ₁₁的估计情况。

图3b为本发明所述跟随移动机器人Follower Robot 1对总和扰动Δ₂₁的估计情况。

图4a为本发明所述跟随移动机器人Follower Robot 1采用算法1的控制信号。

图4b为本发明所述跟随移动机器人Follower Robot 1采用算法2的控制信号。

图5a为本发明所述跟随移动机器人Follower Robot 2X轴向的协同编队误差。

图5b为本发明所述跟随移动机器人Follower Robot 2Y轴向的协同编队误差。

图6a为本发明所述跟随移动机器人Follower Robot 2对总和扰动Δ₁₂的估计情况。

图6b为本发明所述跟随移动机器人Follower Robot 2对总和扰动Δ₂₂的估计情况。

图7a为本发明所述跟随移动机器人Follower Robot 2采用算法1的控制信号。

图7b为本发明所述跟随移动机器人Follower Robot 2采用算法2的控制信号。

图8为本发明所述多移动机器人三角形协同编队控制效果图。

具体实施方式

为了更直观地说明本发明的技术方案和技术优势，下面结合具体实施例对本发明的技术方案做进一步描述，参照图1--图8。

一种考虑通信时延的多移动机器人协同编队控制方法，具体步骤如下：

步骤(1)，建立考虑通信时时延和外部扰动的多移动机器人协同编队控制系统数学模型。

步骤(1.1)对于由两个驱动轮及一个随动轮构成的欠驱动轮式移动机器人，当采用主从协同编队控制策略将n个移动机器人构成协同编队系统时，其协同编队队形可分解为若干个如图1所示的队形结构。其中，第i(i＝1,2,3,…,n)个移动机器人的运动学和动力学模型可描述为如下方程：

式中，q_i＝[x_i,y_i,θ_i]^T∈R³表示移动机器人的位姿向量；

u_i＝[v_i,ω_i]^T∈R²表示移动机器人的速度向量，由移动机器人的线速度和角速度组成；

表示正定惯性矩阵；F_i∈R²表示地面摩擦力动态向量；τ_di∈R²表示外部时变有界扰动；

为移动机器人输入力矩变换阵，其中，r_i为驱动轮半径，b_i为移动机器人

的宽度；τ_i＝[τ_1i,τ_2i]^T∈R²表示系统输入力矩向量。

在进行协同编队控制时移动机器人间通过无线网络进行通信链接。然而，由于网络诱导时延的存在系统控制性能将受到严重影响，尤其是当协同编队的移动机器人数量较多时，时延问题将更加突出。所以，在协同编队控制中需要研究通信时延对协同编队控制带来的不利影响。

步骤(1.2)考虑网络诱导时延的影响，移动机器人的动力学模型可建模为

式中，d_i(t)为网络诱导时延。

由于系统控制信号为连续且有界的信号，故网络诱导时延d(t)可以看成系统的扰动信号：

f_i＝B_i[τ_i(t-d_i(t))-τ_i(t)] (3)

由此，可以将系统的地面摩擦力动态、外部扰动以及网络诱导时延建模为系统的总和扰动，考虑网络诱导时延的移动机器人动力学模型(2)可重写为

式中，

为系统的总和扰动向量。

步骤(1.3)图1中，Leader Robot为领航机器人，其在协同编队系统中的作用是为与其组成协同编队的跟随机器人提供期望轨迹。假设领航移动机器人的轨迹由其运动学模型产生，并通过无线网络将产生的相关轨迹信息发送给跟随移动机器人。领航机器人Leader Robot产生的期望轨迹具有如下形式：

式中，q₀＝[x₀,y₀,θ₀]^T∈R³为领航移动机器人的位姿坐标；v₀为领航移动机器人的线速度；ω₀为领航移动机器人的角速度。

步骤(1.4)为了取得协同编队控制，首先，在领航机器人本地坐标系中定义期望的协同编队相对距离l_id及相对方向角θ_id。然后，通过坐标变换得到跟随移动机器人i参考点需要跟踪的期望坐标：

式中，[x_id,y_id]^T∈R²表示跟随机器人i的期望轨迹在全局坐标系XOY中的坐标表示。

步骤(1.5)本发明选取跟随移动机器人本地坐标系x_bi轴正向上的一点p_i作为跟随移动机器人的参考点，其坐标在全局坐标系XOY中可表示为

L_i表示参考点与跟随移动机器人本地坐标系原点的间距。从而，协同编队控制误差方程可定义为：

步骤(1.6)对式(7)求时间导数，并结合式(1)和式(6)可得多移动机器人协同编队控制的误差动态方程：

式中，

协同编队控制目标为在考虑协同编队系统的通信时延以及外部扰动的情况下，设计非奇异终端滑模控制器，使得多移动机器人系统的协同编队误差能够达到有限时间收敛，同时协同编队系统对系统的总和扰动具有较强的鲁棒性能。

步骤2，为了实现协同编队控制目标，首先基于协同编队误差动态方程式(9)设计跟随移动机器人i的虚拟控制律v_ci，ω_ci。

步骤(2.1)设计如下的李亚普诺夫函数：

对式(10)求导可得：

步骤(2.2)由式(11)，式(12)，设计u_vi及u_ωi为

式中，k_1i＞0，k_2i＞0，0<α_1i＜1，k_3i＞0，k_4i＞0，0<α_2i＜1为虚拟控制律的设计参数；sign(·)为符号函数。

步骤(2.3)将式(13)，(14)代入式(11)，(12)可得：

步骤(2.4)进一步，由式(9)可得虚拟控制律：

步骤3，协同编队移动机器人的控制力矩设计：

步骤(3.1)由于跟随移动机器人的驱动力矩由其动力学模型给出。因此，接下来需要结合移动机器人i的动力学模型设计控制力矩，以获得跟随移动机器人i的实际控制力矩输入。定义速度跟踪误差向量：

步骤(3.2)为提高速度跟踪误差的收敛速度，本发明设计如下的终端滑模面：

式中，S_i＝[s_1i,s_2i]^T；

λ_i＝diag{λ_1i,λ_2i}＞0，0＜β_1i＜1为滑模面设计参数。

对式(19)求导可得：

式中，

步骤(3.3)由式(20)，跟随移动机器人i的控制力矩设计为

式中，u_si＝sign(S_i)；

sign(S_i)＝[sign(s_1i),sign(s_2i)]^T；

为第i个跟随机器人的总和扰动估计值；K_5i＝diag{k_51i,k_52i}＞0，K_6i＝diag{k_61i,k_62i}＞0为正定的控制增益矩阵；设计参数β_2i需要满足条件：0＜β_2i＜1。

由式(21)可知，在控制力矩设计中需要得到第i个跟随移动机器人的总和扰动估计信息。尽管跟随移动机器人的总和扰动难以通过相应的传感器进行测量，但可以通过设计扰动观测器获得其准确的估计值。

本发明采用自抗扰控制技术设计线性扩张状态观测器对由移动机器人的地面摩擦力动态、外部时变扰动以及通信时延所引起的总和扰动进行在线估计。

步骤(3.4)定义状态变量

X_2i＝Δ_i，则移动机器人的动力学模型(4)可重写为：

式中，

步骤(3.5)定义

分别为X_1i，X_2i的估计值，则系统的线性扩张状态观测器可设计为

式中，η_1i＝diag{η_11i,η_12i}，η_2i＝diag{η_21i,η_22i}为待设计的观测器增益矩阵。

步骤(3.6)由式(22)，式(23)可得观测误差动态方程：

式中，

步骤(3.7)由式(24)可得观测误差动态方程的特征多项式：

P(s)＝s²I+η_1is+η_2i (25)

式中，I为单位阵；s为特征值。

步骤(3.8)假设特征多项式的各特征值相同且设定为

则可得：

从而可确定观测器的增益矩阵为

由自抗扰控制技术可知，通过选择合适的

所设计的线性扩张状态观测器即可实现对总和扰动的估计。

步骤4，协同编队移动机器人控制算法的稳定性分析：

步骤(4.1)设计李亚普诺夫函数：

步骤(4.2)对式(27)求时间的导数并将式(15)、式(16)及式(20)代入可得：

将跟随移动机器人i的控制力矩式(21)代入式(28)可得：

步骤(4.3)当

且将虚拟控制律参数α_1i，α_2i设置为α_1i＝α_2i＝β_2i时，式(29)可表示为

式中，

步骤(4.4)由式(30)可知，协同编队控制误差e_xi，e_yi将在有限时间内收敛到零，且收敛时间t_s满足关系：

步骤(4.5)由于控制力矩式(21)中含有切换控制项u_si，这会引起系统控制信号的抖震问题，从而影响控制效果，本发明通过采用边界层的办法解决这一问题。

式中，

ρ_i＞0为边界层参数。

为更好地说明本发明所述控制方法的有效性，仿真研究中对两种不同的控制算法进行了对比研究。其中，算法1(M1)：为本发明所述的控制算法，虚拟控制律v_ci，ω_ci设计如式(17)，控制力矩设计如式(21)，线性扩张状态观测器设计如式(23)。算法2(M2)：为对比算法，虚拟控制律及控制力矩设计与M1相同，但该算法没有考虑总和扰动的估计问题。

该实施例中共有三个移动机器人:Leader Robot,Follower Robot1，FollowerRobot2。

领航移动机器人的线速度v₀设置为v₀＝0.4m/s，角速度ω₀设置为ω₀＝0.1rad/s，初始位姿坐标设置为q₀＝[0,0,0]^T。跟随移动机器人Robot1的物理参数设置为m₁＝10kg，I₁＝4.02kg·m²，r₁＝0.1m，b₁＝0.16m，L₁＝1.5m，初始位姿坐标设置为[-2,0.1,π/9]^T；跟随移动机器人Robot2的物理参数设置为m₂＝10kg，I₂＝4.02kg·m²，r₂＝0.1m，b₂＝0.16m，L₂＝1.5m，初始位姿坐标设置为[-2,-1.2,π/9]^T。

两种算法中的控制器参数设置相同，跟随移动机器人Robot1的控制器参数设置为：k₁₁＝12，k₂₁＝0.1，α₁₁＝0.6，k₃₁＝14，k₄₁＝0.1，α₂₁＝0.6，λ₁＝diag{6,6}，β₁₁＝0.9，K₅₁＝diag{0.6,0.6}，K₆₁＝diag{0.8,0.8}，β₂₁＝0.6；跟随移动机器人Robot2的控制器参数设置为：k₁₂＝12，k₂₂＝0.1，α₁₂＝0.6，k₃₂＝14，k₄₂＝0.1，α₂₂＝0.6，λ₂＝diag{6,6}，β₁₂＝0.9，K₅₂＝diag{0.9,0.8}，K₆₂＝diag{0.7,0.7}，β₂₂＝0.6；ρ₁＝ρ₂＝1.5。算法1中两跟随机器人的观测器参数设置为

假设2跟随移动机器人所受到的地面摩擦力动态矢量为F₁＝F₂＝[sin(t)+2.4,cos(t)+2.4]^T；所受到的外部时变有界扰动τ_d1＝τ_d2＝[0.1sin(t)+2,0.5cos(t)+0.4]^T；网络诱导时延迟d₁(t)＝d₂(t)＝5ms。

两种控制方法的仿真实验结果如图2--图8所示，图2和图5分别为跟随移动机器人Follower Robot1和Follower Robot2的协同编队误差；图3和图6分别为跟随移动机器人Follower Robot1和Follower Robot2采用算法1控制时对系统总和扰动的估计情况；图4和图7分别为跟随移动机器人Follower Robot1和Follower Robot2采用算法1及算法2控制时的控制信号。由图2、图5可见算法M1可以很好地实现对于具有通信时延和外部扰动的多移动机器人协同编队系统的控制，终端滑模控制可以使协同编队系统的速度跟踪误差实现有限时间收敛，而且在相同控制器参数的情况下，算法M1比算法M2有更好的控制效果，说明协同编队控制算法设计中通过对系统总和扰动的在线估计及补偿，不仅可以提高系统的鲁棒性能，而且可以提高系统的稳态控制精度。

Claims (1)

1.一种考虑通信时延的多移动机器人协同编队控制方法，其特征在于：具体步骤如下：

步骤(1)：建立考虑通信时时延和外部扰动的多移动机器人协同编队控制系统数学模型，得到多移动机器人协同编队控制的误差动态方程；

步骤(2)：基于多移动机器人协同编队控制的误差动态方程设计跟随移动机器人i的虚拟控制律v_ci，ω_ci；

步骤(3)：根据得到的虚拟控制律设计协同编队移动机器人的控制力矩；

步骤(4)：基于李亚普诺夫稳定性理论对协同编队移动机器人控制算法进行稳定性分析；

步骤(1)所述的建立考虑通信时时延和外部扰动的多移动机器人协同编队控制系统数学模型，得到多移动机器人协同编队控制的误差动态方程，具体如下：

步骤(1.1)、所述多移动机器人是由两个驱动轮及一个随动轮构成的欠驱动轮式移动机器人，采用主从协同编队控制策略将n个移动机器人构成协同编队系统，其协同编队队形分解为若干个队形结构，其中，第i(i＝1,2,3,…,n)个移动机器人的运动学和动力学模型描述为如下方程：

式中，q_i＝[x_i,y_i,θ_i]^T∈R³表示移动机器人的位姿向量；

u_i＝[v_i,ω_i]^T∈R²表示移动机器人的速度向量，由移动机器人的线速度和角速度组成；

表示正定惯性矩阵；F_i∈R²表示地面摩擦力动态向量；τ_di∈R²表示外部时变有界扰动；

为移动机器人输入力矩变换阵，其中，r_i为驱动轮半径，b_i为移动机器人

的宽度；τ_i＝[τ_1i,τ_2i]^T∈R²表示系统输入力矩向量；

步骤(1.2)、考虑网络诱导时延的影响，移动机器人的动力学模型建模为

式中，d_i(t)为网络诱导时延；

由于系统控制信号为连续且有界的信号，故网络诱导时延d(t)看成系统的扰动信号：

f_i＝B_i[τ_i(t-d_i(t))-τ_i(t)] (3)

将系统的地面摩擦力动态、外部扰动以及网络诱导时延建模为系统的总和扰动，考虑网络诱导时延的移动机器人动力学模型(2)重写为

式中，

为系统的总和扰动向量；

步骤(1.3)、通过领航机器人为与其组成协同编队的跟随机器人提供期望轨迹，假设领航移动机器人的轨迹由其运动学模型产生，并通过无线网络将产生的相关轨迹信息发送给跟随移动机器人，领航机器人产生的期望轨迹具有如下形式：

式中，q₀＝[x₀,y₀,θ₀]^T∈R³为领航移动机器人的位姿坐标；v₀为领航移动机器人的线速度；ω₀为领航移动机器人的角速度；

步骤(1.4)、在领航机器人本地坐标系中定义期望的协同编队相对距离l_id及相对方向角θ_id，通过坐标变换得到跟随移动机器人i参考点需要跟踪的期望坐标：

式中，[x_id,y_id]^T∈R²表示跟随机器人i的期望轨迹在全局坐标系XOY中的坐标表示；

步骤(1.5)、选取跟随移动机器人本地坐标系x_bi轴正向上的一点p_i作为跟随移动机器人的参考点，其坐标在全局坐标系XOY中表示为

L_i表示参考点与跟随移动机器人本地坐标系原点的间距，从而，协同编队控制误差方程定义为：

步骤(1.6)、对式(7)求时间导数，并结合式(1)和式(6)得多移动机器人协同编队控制的误差动态方程：

式中，

步骤(2)所述的基于多移动机器人协同编队控制的误差动态方程设计跟随移动机器人i的虚拟控制律v_ci，ω_ci，具体如下：

步骤(2.1)、设计李亚普诺夫函数：

对式(10)求导得：

步骤(2.2)、由式(11)、式(12)，设计u_vi及u_ωi为

式中，k_1i＞0，k_2i＞0，0<α_1i＜1，k_3i＞0，k_4i＞0，0<α_2i＜1为虚拟控制律的设计参数；sign(·)为符号函数；

步骤(2.3)、将式(13)、式(14)代入式(11)、(12)得：

步骤(2.4)、由式(9)得虚拟控制律：

步骤(3)所述的根据得到的虚拟控制律设计协同编队移动机器人的控制力矩，具体如下：

步骤(3.1)、结合移动机器人i的动力学模型设计控制力矩，以获得跟随移动机器人i的实际控制力矩输入，定义速度跟踪误差向量：

步骤(3.2)、设计如下的终端滑模面：

式中，S_i＝[s_1i,s_2i]^T；

λ_i＝diag{λ_1i,λ_2i}＞0，0＜β_1i＜1为滑模面设计参数；

对式(19)求导得：

式中，

步骤(3.3)由式(20)，跟随移动机器人i的控制力矩设计为

式中，u_si＝sign(S_i)；

sign(S_i)＝[sign(s_1i),sign(s_2i)]^T；

为第i个跟随机器人的总和扰动估计值；K_5i＝diag{k_51i,k_52i}＞0，K_6i＝diag{k_61i,k_62i}＞0为正定的控制增益矩阵；设计参数β_2i需要满足条件：0＜β_2i＜1；

步骤(3.4)、定义状态变量

X_2i＝Δ_i，则移动机器人的动力学模型(4)重写为：

式中，

步骤(3.5)、定义

分别为X_1i，X_2i的估计值，则系统的线性扩张状态观测器设计为

式中，η_1i＝diag{η_11i,η_12i}，η_2i＝diag{η_21i,η_22i}为待设计的观测器增益矩阵；

步骤(3.6)、由式(22)、式(23)得观测误差动态方程：

式中，

步骤(3.7)、由式(24)得观测误差动态方程的特征多项式：

Ρ(s)＝s²I+η_1is+η_2i (25)

式中，I为单位阵；s为特征值；

步骤(3.8)、假设特征多项式的各特征值相同且设定为

则得：

从而确定观测器的增益矩阵为

步骤(4)所述的通过李亚普诺夫稳定性理论对协同编队移动机器人控制算法进行稳定性分析，具体如下：

步骤(4.1)、设计李亚普诺夫函数：

步骤(4.2)、对式(27)求时间的导数并将式(15)、式(16)及式(20)代入得：

将跟随移动机器人i的控制力矩式(21)代入式(28)得：

步骤(4.3)、当

且将虚拟控制律参数α_1i，α_2i设置为α_1i＝α_2i＝β_2i时，式(29)可表示为

式中，

步骤(4.4)、由式(30)知，协同编队控制误差e_xi，e_yi将在有限时间内收敛到零，且收敛时间t_s满足关系：

步骤(4.5)、由于控制力矩式(21)中含有切换控制项u_si，通过采用边界层的办法解决系统控制信号的抖震问题：

式中，

ρ_i＞0为边界层参数。

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