CN113111434A - 一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法，其步骤如下：一、划分飞行阶段，确定不同模态对应的整数变量：二、建立组合动力飞行器轨迹优化问题模型；三、建立轨迹优化的凸混合整数规划问题；四、采用模型补偿方法迭代求解凸混合整数规划问题；通过以上步骤，可以建立基于凸混合整数规划的飞行器轨迹优化问题，实现组合动力飞行器的模态选择和轨迹优化，解决了轨迹优化问题中优化变量包括整数变量的问题。本发明所述方法科学，工艺性好，具有广阔推广应用价值。

Description

一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法

技术领域

本发明提供一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法，属于航空航天技术中的轨迹规划领域。

背景技术

高超声速飞行器面临的飞行环境复杂，飞行空域和速域跨度大，单一动力形式往往难以满足飞行器宽包线飞行的要求。随着冲压发动机技术的日趋成熟，采用组合动力形式的飞行器受到了越来越广泛的关注，通过在不同飞行阶段选择不同的动力形式，可以使飞行器具有更强的机动性和任务适应性。其中，基于某项性能指标最优的阶段模态选择策略和相应的轨迹规划是该类飞行器设计过程中非常重要的一个环节。

在现有文献中，组合动力飞行器的轨迹优化方法主要集中在天地往返运载器的上升段，其模态切换策略确定，优化变量中仅存在连续变量。然而，对于临近空间高超声速飞行器而言，飞行过程中模态切换策略未知，需要由优化算法给出相应的整数变量取值，目前现有方法难以应用。此类问题属于混合最优控制问题，离散后的优化问题为混合整数非线性规划问题，进行整数变量松弛后的问题具有非凸特性，如果直接采用非凸混合整数非线性规划算法，则会由于问题规模过于大而导致求解困难。

综上所述，本发明基于凸混合整数规划，对具有整数变量和连续变量的组合动力飞行器进行轨迹优化，最终得到模态切换策略和最优飞行轨迹。该方法具有一定独创性。

发明内容

(一)本发明的目的

本发明的目的是为了解决上述问题，提出一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法，旨在解决轨迹优化模型中存在整数变量的情况，使得飞行器能够通过切换不同的模态，实现最大航程飞行。

(二)技术方案

本发明提供一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法，其具体步骤如下：

步骤一、划分飞行阶段，确定不同模态对应的整数变量；

根据总飞行时间和发动机特性，采用等时间间隔方法划分飞行阶段，每一个阶段飞行器可选择不同动力形式对应的模态，选取整数变量进行表示；

步骤二、建立组合动力飞行器轨迹优化问题模型：

选取控制量和状态量，对飞行器的运动方程进行归一化处理，根据不同模态建立控制量和整数变量约束，以及对应的发动机开机条件约束；

步骤三、建立轨迹优化的凸混合整数规划问题；

将非凸非线性的运动模型和过程约束在参考轨迹处进行线性化，并将问题离散转化为一系列凸混合整数规划问题；

步骤四、采用模型补偿方法迭代求解凸混合整数规划问题；

给定初始猜想作为第一次迭代的参考轨迹，在之后的序列迭代过程中，将上一次迭代的优化结果作为本次线性化的参考轨迹，以此对模型进行补偿；当满足收敛条件时，停止求解；

其中，在步骤一中所述的“划分飞行阶段”，是指将总飞行时间划分为多个子区间，每个子区间内飞行器可以选择一种动力模态；

其中，在步骤一中所述的“整数变量”，对应于不同的发动机模态，属于方法的优化变量；

其中，在步骤一中所述的“划分飞行阶段，确定不同模态对应的整数变量”，其具体作法如下：

确定飞行器的发动机模型和总飞行时间，将优化时间划分为P个阶段，每个阶段选取两个整数变量a_1p和a_2p，p＝1,2,...,P，a_1p为1表示飞行器选取火箭模态，a_2p为1表示飞行器选取冲压模态，a_1p和a_2p均为0表示无动力滑翔模态。

其中，在步骤二中所述的“轨迹优化问题”，是指同时包含整数变量和连续变量的混合最优控制问题，其中包含存在整数变量的发动机开机条件约束形式；

其中，在步骤二中所述的“建立组合动力飞行器轨迹优化问题模型”，其具体作法如下：

建立飞行器的质心运动模型，基于两点假设：1)将地球视为均质圆球，考虑地球曲率的影响，2)假设地球无自转；选取状态量和控制量，并对飞行器的运动方程进行归一化处理；

火箭模态的推力为T₁，质量流量为R₁，冲压模态的推力为T₂，质量流量为R₂，对应的控制量约束如下：

其中M为充分大的正数，选取为1×10⁵；

无动力滑翔模态对应的控制量约束为：

对于冲压模态，存在发动机开机条件约束，状态量和控制量对应的约束可统一写为以下形式：

其中X和U表示冲压发动机开机条件包括的状态量和控制量，X_min和X_max分别表示状态量最小值和最大值，U_min和U_max分别表示控制量最小值和最大值。

其中，在步骤三中所述的“建立轨迹优化的凸混合整数规划问题”，其具体作法如下：

将轨迹优化问题模型中的运动方程和过程约束在参考轨迹处进行线性化，经过离散后，转化为一系列凸混合整数规划子问题，采用“Mosek”求解器进行求解，可得到每个子问题的最优解；

所述的“凸混合整数规划问题”，可表示如下：

其中J为性能指标，选取为终端经度θ_K最大，也即航程最远；

为松弛后的临近项，k为离散点序列号，k＝1,2,...,K，K为离散点数；x＝[r,θ,φ,V,γ,ψ,m]为飞行器的状态量，r为地球中心到飞行器重心的径向距离，θ和φ分别为对应的经度和纬度，V为飞行器相对于地球的速度，γ为飞行路径角，表示飞行器的速度方向与水平面的夹角，ψ为航向角，表示飞行器的速度方向在水平面的投影与正东方向的夹角，m为质量；u＝[α,T,R,s]为控制量，α为攻角，T为推力，R为质量流量，s为节流系数；x_k和u_k分别表示第k个离散点处状态量和控制量的值；A、B、C和Z为系数矩阵；[r₀；θ₀；φ₀；V₀；γ₀；ψ₀；m₀]为状态量初值，m_K和m_min分别为终端质量和飞行器净质量；θ_K为终端经度，D为状态量和控制量的定义域；

其中，在步骤四中所述的“模型补偿方法”，是指采用上一次凸混合整数规划问题迭代求解的状态量和控制量作为当前迭代的参考轨迹，为公知技术；

其中，在步骤四中所述的“迭代求解”，是指采用数学优化求解器即“Mosek求解器”对凸混合整数规划问题进行求解，当两次迭代的状态量差值最大值满足设定容差时，停止迭代；根据经验，设定位置容差为0.03公里；

其中，在步骤四中所述的“采用模型补偿方法迭代求解凸混合整数规划问题”，其具体作法如下：

轨迹优化问题经过线性化和离散化后转化为一个凸混合整数规划问题，采用“CVX”对该问题进行建模，“CVX”是专门用来求解凸优化问题的建模软件包，求解器选为“Mosek”；优化方法中每次对子问题进行求解时，需要将运动方程和约束在参考轨迹处线性化；初始参考轨迹人为给出，之后的迭代过程中，将上一次优化结果作为本次线性化的参考轨迹，以此对线性化问题模型进行补偿；当两次迭代结果之间的误差小于规定容差ε时，可认为轨迹收敛；选取离散形式的两次迭代地心距之差最大值作为误差；当max(r-r)≤ε时，迭代结束，ε取为0.03公里。

(三)本发明的优点及功效

本发明的优点及功效在于：

(1)本发明提出了基于凸混合整数规划的轨迹优化迭代方法，解决了组合动力飞行器轨迹优化模型中存在模态切换的问题，在一定时间内可得到最优模态切换策略和飞行轨迹；

(2)本发明所述方法科学，工艺性好，具有广阔推广应用价值。

附图说明

图1是本发明所述方法流程图。

图2是飞行器模态切换策略图。

图3是高度-时间曲线图。

图4是速度-时间曲线图。

图5攻角-时间曲线图。

图6是推力-时间曲线图。

图7是质量流量-时间曲线图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施案例对本发明作进一步的详细说明。

本发明提供一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法，其流程图如图1所示，它包括以下几个步骤：

步骤一、划分飞行阶段，确定不同模态对应的整数变量：

确定飞行器的发动机模型和总飞行时间，将优化时间划分为P个阶段，每个阶段选取两个整数变量a_1p和a_2p，p＝1,2,...,P。a_1p为1表示飞行器选取火箭模态，a_2p为1表示飞行器选取冲压模态，a_1p和a_2p均为0表示无动力滑翔模态；

步骤二、建立组合动力飞行器轨迹优化问题模型：

建立飞行器的质心运动模型，基于两点假设：1)将地球视为均质圆球，考虑地球曲率的影响，2)假设地球无自转；选取状态量和控制量，并对飞行器的运动方程进行归一化处理，得到：

其中，飞行器的状态量为x＝[r,θ,φ,V,γ,ψ,m]，控制量为u＝[α,T,R,s]；地心距r为飞行器所在位置与地心的距离，通过地球半径R₀进行归一化，θ和φ为飞行器的经度和纬度，V为飞行器相对地球的速度，归一化系数为

g₀为海平面处的重力加速度；γ为飞行路径角，表示飞行器的速度方向与水平面的夹角，ψ为航向角，表示飞行器的速度方向在水平面的投影与正东方向的夹角，m为飞行器的质量，通过质量初始值m₀归一化；α和σ分别表示攻角和倾侧角，时间变量t采用

归一化，T为推力，R为质量流量，s为节流系数，T和R与s有关；

升力和阻力用g₀归一化，具体表达式如下：

其中升力系数C_L和阻力系数C_D是关于攻角α和马赫数Ma的函数，S为飞行器的参考面积，ρ为大气密度。

火箭模态的推力为T₁，质量流量为R₁，冲压模态的推力为T₂，质量流量为R₂，对应的控制量约束如下：

其中M为充分大的正数，选取为1×10⁵；

无动力滑翔模态对应的控制量约束为：

对于冲压模态，存在发动机开机条件约束，状态量和控制量对应的约束可统一写为以下形式：

其中X和U表示冲压发动机开机条件包括的状态量和控制量，X_min和X_max分别表示状态量最小值和最大值，U_min和U_max分别表示控制量最小值和最大值；

规定飞行器在每个阶段内只能选取一种模态，因此添加整数变量约束：

a_1p+a_2p≤1,p＝1,2,...,P (10)

步骤三、建立轨迹优化的凸混合整数规划问题

将轨迹优化问题模型中的运动方程和过程约束在参考轨迹处进行线性化，经过离散后，转化为一系列凸混合整数规划子问题，采用“Mosek”求解器进行求解，可得到每个子问题的最优解；

对步骤二中所述轨迹规划问题在参考轨迹处线性化；运动方程可写为

其中x＝[r,θ,φ,V,γ,ψ,m]，u＝[α,T,R,s]，在参考轨迹

处线性化，得到：

其中

分别为运动方程(11)右端项对状态量x和控制量u的雅克比矩阵，矩阵中各个变量的取值为参考轨迹

和控制量

所对应的变量在t时刻的值；可采用相同方法将不等式约束中的非线性项进行线性化；

在性能指标中加入邻近项，自适应调整优化变量的约束范围，增加额外的松弛变量η＝[η₁,η₂]作为优化参数，可得到如下形式的性能指标和约束：

J＝J₀+η_j (12)

其中，u₁和u₂分别表示控制量中的攻角和节流系数，η₁和η₂表示对应的松弛变量；

将连续的最优控制问题转化为离散的参数优化问题；取离散点数为K，间隔为Δt，离散点t_k，k＝1,2,...,K；采用梯形法对运动微分方程进行离散：

x_k+1＝x_k+(Δt/2)(A_kx_k+B_ku_k+Z_k+A_k+1x_k+1+B_k+1u_k+1+Z_k+1) (13)

对其他不等式约束和等式约束进行离散化处理，得到凸混合整数规划问题表示如下：

式中：θ_K为终端经度，η_1k和η_2k分别为松弛变量在第k个离散点的值，[r₀；θ₀；φ₀；V₀；γ₀；ψ₀；m₀]为状态量初值，m_K和m_min分别为终端质量和飞行器净质量，C为系数矩阵，D为状态量和控制量的定义域；优化变量包括状态量和控制量x_k＝{r_k,θ_k,φ_k,V_k,γ_k,ψ_k,m_k}，u_k＝{α_k,T_k,R_k,s_k},k＝1,...,K，整数变量a_p＝{a_1p,a_2p},p＝1,2,...,P，以及参数η_k＝{η_1k,η_2k},k＝1,...,K；

步骤四、采用模型补偿方法迭代求解凸混合整数规划问题

轨迹优化问题经过线性化和离散化后转化为一个凸混合整数规划问题，采用“CVX”对该问题进行建模，“CVX”是专门用来求解凸优化问题的建模软件包，求解器选为“Mosek”；优化方法中每次对子问题进行求解时，需要将运动方程和约束在参考轨迹处线性化；初始参考轨迹人为给出，之后的迭代过程中，将上一次优化结果作为本次线性化的参考轨迹，以此对线性化问题模型进行补偿；当两次迭代结果之间的误差小于规定容差ε时，可认为轨迹收敛；选取离散形式的两次迭代地心距之差最大值作为误差；当

时，迭代结束，ε取为0.03公里；

仿真案例：

本案例仅作为方法演示，并非实际飞行任务；设飞行器初始质量为5000千克，初始高度为20千米，初始速度为1200米每秒，初始经度和纬度均为0度，初始飞行路径角和航向角均为0度；火箭模态推力选取为30千牛，比冲为300秒，冲压模态推力和质量流量为高度、马赫数和节流系数的函数；飞行器的燃料质量为1000千克，飞行时间选为200秒，目的是得到最远航程的飞行轨迹，等效于终端经度最大的飞行轨迹；

根据本发明所述步骤，以航程最大为优化指标，对飞行器进行轨迹优化；优化得到的模态切换策略如图2所示，其中0表示无动力滑翔模态，1表示火箭模态，2表示冲压模态；高度和速度随时间变化的曲线分别如图3和图4所示。图5为优化得到的攻角-时间曲线，图6为推力-时间曲线，图7为质量流量-时间曲线；

仿真案例验证了本发明一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法能够有效解决飞行器的模态切换策略和轨迹优化问题，得到航程最远的轨迹，适用于组合动力飞行器的轨迹优化问题。

Claims (5)

1.一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法，其特征在于：其具体步骤如下：

步骤一、划分飞行阶段，确定不同模态对应的整数变量；

根据总飞行时间和发动机特性，采用等时间间隔方法划分飞行阶段，每一个阶段飞行器可选择不同动力形式对应的模态，选取整数变量进行表示；

步骤二、建立组合动力飞行器轨迹优化问题模型：

选取控制量和状态量，对飞行器的运动方程进行归一化处理，根据不同模态建立控制量和整数变量约束，以及对应的发动机开机条件约束；

步骤三、建立轨迹优化的凸混合整数规划问题；

将非凸非线性的运动模型和过程约束在参考轨迹处进行线性化，并将问题离散转化为一系列凸混合整数规划问题；

步骤四、采用模型补偿方法迭代求解凸混合整数规划问题；

给定初始猜想作为第一次迭代的参考轨迹，在之后的序列迭代过程中，将上一次迭代的优化结果作为本次线性化的参考轨迹，以此对模型进行补偿；当满足收敛条件时，停止求解。

2.根据权利要求1所述的一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法，其特征在于：

在步骤一中所述的“划分飞行阶段”，是指将总飞行时间划分为多个子区间，每个子区间内飞行器能选择一种动力模态；

在步骤一中所述的“整数变量”，对应于不同的发动机模态，属于方法的优化变量；

在步骤一中所述的“划分飞行阶段，确定不同模态对应的整数变量”，其具体作法如下：

确定飞行器的发动机模型和总飞行时间，将优化时间划分为P个阶段，每个阶段选取两个整数变量a_1p和a_2p，p＝1,2,...,P，a_1p为1表示飞行器选取火箭模态，a_2p为1表示飞行器选取冲压模态，a_1p和a_2p均为0表示无动力滑翔模态。

3.根据权利要求1所述的一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法，其特征在于：

在步骤二中所述的“轨迹优化问题”，是指同时包含整数变量和连续变量的混合最优控制问题，其中包含存在整数变量的发动机开机条件约束形式；

在步骤二中所述的“建立组合动力飞行器轨迹优化问题模型”，其具体作法如下：

建立飞行器的质心运动模型，基于两个条件：1)将地球视为均质圆球，考虑地球曲率的影响，2)地球无自转；选取状态量和控制量，并对飞行器的运动方程进行归一化处理；

火箭模态的推力为T₁，质量流量为R₁，冲压模态的推力为T₂，质量流量为R₂，对应的控制量约束如下：

其中M为充分大的正数，选取为1×10⁵；

无动力滑翔模态对应的控制量约束为：

对于冲压模态，存在发动机开机条件约束，状态量和控制量对应的约束统一写为以下形式：

其中X和U表示冲压发动机开机条件包括的状态量和控制量，X_min和X_max分别表示状态量最小值和最大值，U_min和U_max分别表示控制量最小值和最大值。

4.根据权利要求1所述的一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法，其特征在于：

在步骤三中所述的“建立轨迹优化的凸混合整数规划问题”，其具体作法如下：

将轨迹优化问题模型中的运动方程和过程约束在参考轨迹处进行线性化，经过离散后，转化为一系列凸混合整数规划子问题，采用“Mosek”求解器进行求解，能得到每个子问题的最优解；

所述的“凸混合整数规划问题”，能表示如下：

其中J为性能指标，选取为终端经度θ_K最大，也即航程最远；

为松弛后的临近项，k为离散点序列号，k＝1,2,...,K，K为离散点数；x＝[r,θ,φ,V,γ,ψ,m]为飞行器的状态量，r为地球中心到飞行器重心的径向距离，θ和φ分别为对应的经度和纬度，V为飞行器相对于地球的速度，γ为飞行路径角，表示飞行器的速度方向与水平面的夹角，ψ为航向角，表示飞行器的速度方向在水平面的投影与正东方向的夹角，m为质量；u＝[α,T,R,s]为控制量，α为攻角，T为推力，R为质量流量，s为节流系数；x_k和u_k分别表示第k个离散点处状态量和控制量的值；A、B、C和Z为系数矩阵；[r₀；θ₀；φ₀；V₀；γ₀；ψ₀；m₀]为状态量初值，m_K和m_min分别为终端质量和飞行器净质量；θ_K为终端经度，D为状态量和控制量的定义域。

5.根据权利要求1所述的一种基于凸混合整数规划的组合动力飞行器轨迹优化方法，其特征在于：

在步骤四中所述的“迭代求解”，是指采用数学优化求解器即“Mosek求解器”对凸混合整数规划问题进行求解，当两次迭代的状态量差值最大值满足设定容差时，停止迭代；设定位置容差为0.03公里；

在步骤四中所述的“采用模型补偿方法迭代求解凸混合整数规划问题”，其具体作法如下：

轨迹优化问题经过线性化和离散化后转化为一个凸混合整数规划问题，采用“CVX”对该问题进行建模，“CVX”是专门用来求解凸优化问题的建模软件包，求解器选为“Mosek”；优化方法中每次对子问题进行求解时，需要将运动方程和约束在参考轨迹处线性化；初始参考轨迹人为给出，之后的迭代过程中，将上一次优化结果作为本次线性化的参考轨迹，以此对线性化问题模型进行补偿；当两次迭代结果之间的误差小于规定容差ε时，能认为轨迹收敛；选取离散形式的两次迭代地心距之差最大值作为误差；当

时，迭代结束，ε取为0.03公里。

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