CN113037248B - 一种基于分段频域优化的小数延时滤波器设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提出的基于分段频域优化的可变小数延时滤波器设计方法相比于常规技术，其优点主要体现在：对可变小数延时滤波器的频率响应误差函数进行分段化处理，并在每一段内单独通过二阶锥规划求解滤波器系数，从而使得设计出的可变小数延时滤波器在满足设计指标的要求下具有更低的实现复杂度；能够实现多项式阶次以及子滤波器阶次的联合优化，使得不同分段的多项式阶次不同，同一分段内的子滤波器阶次不同，从而进一步降低实现复杂度。
Description
技术领域
本发明属于技术领域，具体涉及一种基于分段频域优化的小数延时滤波器设计方法。
背景技术
在航天测控通信、卫星导航定位领域，可变小数延时滤波器不仅可应用于接收机同步算 法中实现对最佳采样点的插值重构，还可以应用于信道模拟器中实现对数字信号的小数时延。 因此，对可变小数延时滤波器设计方法的研究一直是领域内热点之一。
当前对小数延时滤波器设计方法的研究可以划分为时域设计算法与频域设计算法。时域 设计方法包括拉格朗日插值设计算法、厄尔米特插值设计算法与帕斯卡尔插值设计算法等等。 频域设计算法包括线性规划设计算法、二阶锥规划设计算法与半正定规划设计算法等等。时 域设计算法的滤波器系数可直接由插值公式得到，但是设计出的可变小数延时滤波器往往具 有较窄的通带带宽。频域设计算法通过推导滤波器设计的频率响应误差，并引入优化准则来 求解滤波器系数。因此，频域设计算法设计出的可变小数延时滤波器具有较宽的通带带宽与 更好的幅频响应。然而，无论是时域设计算法还是频域设计算法，设计出的可变小数延时滤 波器往往具有较高的实现复杂度，在实际的数字信号处理器件中会消耗很多的乘法器与加法 器。
综上，现有的可变小数延时滤波器设计方法缺乏对在满足设计指标条件下低实现复杂度 的研究。
发明内容
有鉴于此，本发明提供了一种基于分段频域优化的可变小数延时滤波器的系数求解方法 以及实现方法，可以以低复杂度实现可变小数延时滤波器的设计。
一种基于分段频域优化的可变小数延时滤波器的设计方法，包括如步骤：
步骤1、给定滤波器的设计指标；
步骤2、将所设计的可变小数延时滤波器的频率响应分为P段，则第i段频率响应的表达 式为Hd(ω,p；i)，其中，ω为数字频率；将第i段的频率响应Hd(ω,p；i)分解为L(i)+1个子滤 波器H(ω,k；i)，k为整数，取值范围为k∈[0,L(i)]，p为小数延时变量，并且p∈[-0.5,0.5]； Hd(ω,p；i)的表达式为：
其中，L(i)为第i段对应的多项式阶次。Hd(ω,p；i)的结构如图2所示，其中yk[n]为第k 个子滤波器的滤波结果，L为L(i)中的最大值；
对于偶数阶子滤波器，H(ω,k；i)的表达式为：
对于奇数阶子滤波器，H(ω,k；i)的表达式为：
其中，n表示采样点序号，为自然数；N(k；i)为第i段第k个子滤波器的阶次，a(n,k；i) 为滤波器系数，a(0,k；i)表示n＝0时对应的滤波器系数；e±jωn为频率响应基函数；N为N(k；i) 中的最大值；
步骤3、根据所设计的可变小数延时滤波器的频率响应，可写出偶数阶可变小数延时滤 波器的频率响应误差表达式为：
同理，奇数阶可变小数延时滤波器的频率响应误差表达式为：
步骤4、将每一段的多项式阶次L(i)均初始化为1，变量i初始化为0；
步骤5、进行第i段的滤波器设计：L(i)+1个子滤波器的阶次向量N的表达式为：
N＝[N(0；i),N(1；i),...,N(L(i)；i)] (8)
将子滤波器的阶次向量N中的元素全部初始化为1，定义变量r，初始化为1，定义误差 向量β＝[ε0,ε1,...,εL(i)]，定义误差寄存变量εlast，并将其初始化为0；
步骤6、令
将
中的第r个元素加1，保持其他元素不变；在此时的子滤波器的 阶次向量
条件下，根据公式(7)中频率响应误差表达式，令εm为ε(ω,p；i)的模最大值，求解如下二阶锥规划问题：
从而得到误差ε(ω,p；i)，并将其存到误差向量β中的第r个元素中，将r的值加1；
步骤7、判断r是否大于L(i)+1：如果r大于L(i)+1，则进行下一步；反之，返回步骤6；
步骤8、在误差向量β中选择出最小的元素βmin与其对应的索引b，将子滤波器的阶次向 量N中的第b个元素加1，计算此次设计结果的相对误差改进量，公式为：
其中，|·|为绝对值符号，并将βmin的值赋给εlast；
步骤9、判断βmin是否小于εmax：如果βmin<εmax，则执行步骤10；反之，执行步骤11；
步骤10、在此时的阶次向量N条件下求解公式(9)所示的二阶锥规划问题，得到并输 出第i段的滤波器系数a(n,k；i)，执行步骤12；
步骤11、判断δ是否大于给定的门限θ：如果δ>θ，则回到步骤6；反之，将L(i)的值加1，回到步骤5；
步骤12、判断i是否等于P-1：如果i等于P-1，则完成滤波器设计；反之，将i的值加1，回到步骤5。
较佳的，所述设计指标包括通带截止频率ωc和设计误差上限εmax。
较佳的，对于偶数阶可变小数延时滤波器，变量s和Hs(ω)满足表达式：
较佳的，对于奇数阶可变小数延时滤波器，变量s和Hs(ω)满足表达式：
一种上述滤波器的实现方法，包括如下步骤：
步骤1、假设x[n]为输入的数字信号；
步骤2、所有的滤波器系数存到N+1个ROM表中；编号为n的ROM表存储P个滤波器系数a(n,k；i)，以i作为地址线，根据i的值进行滤波器系数装载；i是通过段索引计算模块根据 输入的小数延时值p计算得到，公式为：
装载好滤波器系数后即可将输入的数字信号x[n]通过各个子滤波器H(w,k；i)并得到滤 波结果yk[n]；
步骤3、根据子滤波的滤波结果yk[n]，进行幂次加权得到最终的输出y[n]，表达式为：
本发明具有如下有益效果：
本发明提出的基于分段频域优化的可变小数延时滤波器设计方法相比于常规技术，其优 点主要体现在：
对可变小数延时滤波器的频率响应误差函数进行分段化处理，并在每一段内单独通过二 阶锥规划求解滤波器系数，从而使得设计出的可变小数延时滤波器在满足设计指标的要求下 具有更低的实现复杂度；能够实现多项式阶次以及子滤波器阶次的联合优化，使得不同分段 的多项式阶次不同，同一分段内的子滤波器阶次不同，从而进一步降低实现复杂度。
附图说明
图1为基于分段频域优化的可变小数延时滤波器的系数求解方法流程图。
图2为基于分段频域优化的可变小数延时滤波器Hd(ω,p；i)的结构框图。
图3为基于分段频域优化的可变小数延时滤波器中子滤波器H(ω,k；i)的内部结构框图。
具体实施方式
下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。
本发明中基于分段频域优化的可变小数延时滤波器的系数求解方法，如图1所示，包括 如下步骤：
步骤1、给定滤波器的设计指标：通带截止频率ωc和设计误差上限εmax。
步骤2、将所设计的可变小数延时滤波器的频率响应分为P段，则第i(i＝0,1,...,P-1)段 频率响应的表达式为Hd(ω,p；i)，其中ω(ω∈[0,2π])为数字频率。将第i段的频率响应 Hd(ω,p；i)分解为L(i)+1个子滤波器H(ω,k；i)，k为整数，取值范围为k∈[0,L(i)]，p为 小数延时变量，并且p∈[-0.5,0.5]。Hd(ω,p；i)的表达式为：
其中，L(i)为第i段对应的多项式阶次。Hd(ω,p；i)的结构如图2所示，其中yk[n]为第k个 子滤波器的滤波结果，L为L(i)中的最大值。对于偶数阶子滤波器，H(ω,k；i)的表达式为：
对于奇数阶子滤波器，H(ω,k；i)的表达式为：
其中，n表示采样点序号，为自然数；N(k；i)为第i段第k个子滤波器的阶次，a(n,k；i)为滤 波器系数，a(0,k；i)表示n＝0时对应的滤波器系数；e±jωn为频率响应基函数，e-jw为单位延 时单元。子滤波器H(ω,k；i)的结构如图3所示，其中N为N(k；i)中的最大值。由于偶数阶 和奇数阶可变小数延时滤波器的阶次存在不同，因此两者的实现结构存在细微差异。对于偶 数阶可变小数延时滤波器，图3中的变量s和Hs(ω)满足表达式：
公式(4)表明，对于偶数阶可变小数延时滤波器，图3中变量s所在的支路系数为0，并且 Hs(ω)为一个全通滤波器。对于奇数阶可变小数延时滤波器，图3中的s和Hs(ω)满足表达 式：
公式(5)表明，对于奇数阶可变小数延时滤波器，图3中变量s所在的支路系数为(-1)k，并 且Hs(ω)为一个单位延时单元。
步骤3、根据所设计的可变小数延时滤波器的频率响应，可写出偶数阶可变小数延时滤波 器的频率响应误差表达式为：
同理，奇数阶可变小数延时滤波器的频率响应误差表达式为：
步骤4、将每一段的多项式阶次L(i)均初始化为1，变量i初始化为0。
步骤5、进行第i段的滤波器设计：L(i)+1个子滤波器的阶次向量N的表达式为
N＝[N(0；i),N(1；i),...,N(L(i)；i)] (8)
将子滤波器的阶次向量N中的元素全部初始化为1。定义变量r，初始化为1，定义误差向量 β＝[ε0,ε1,...,εL(i)]。定义误差寄存变量εlast，并将其初始化为0。
步骤6、令
将
中的第r个元素加1，保持其他元素不变。在此时的子滤波器的 阶次向量
条件下，根据公式(7)中频率响应误差表达式，令εm为ε(ω,p；i)的模最大值，求解如下二阶锥规划问题：
从而得到误差ε(ω,p；i)，并将其存到误差向量β中的第r个元素中。将r的值加1。
步骤7、判断r是否大于L(i)+1：如果r大于L(i)+1，则进行下一步；反之，返回步骤6。
步骤8、在误差向量β中选择出最小的元素βmin与其对应的索引b(即在β中的排列序号， 取值为区间[1,L(i)+1]内的整数)。将子滤波器的阶次向量N中的第b个元素加1。计算此次 设计结果的相对误差改进量，公式为：
其中，|·|为绝对值符号。并将βmin的值赋给εlast。
步骤9、判断βmin是否小于εmax：如果βmin<εmax，则执行步骤10；反之，执行步骤11。
步骤10、在此时的阶次向量N条件下求解公式(9)所示的二阶锥规划问题，得到并输出 第i段的滤波器系数a(n,k；i)。执行步骤12。
步骤11、判断δ是否大于给定的门限θ(θ>0)：如果δ>θ，则回到步骤6；反之，将L(i)的值加1，回到步骤5。
步骤12、判断i是否等于P-1：如果i等于P-1，则完成滤波器设计；反之，将i的值加1，回到步骤5。
本发明中基于分段频域优化的可变小数延时滤波器的实现方法，包括如下步骤：
步骤1、假设x[n]为输入的数字信号，p为需要的小数延时，n为自然数。
步骤2、所有的滤波器系数存到图2中的N+1个ROM表中。编号为n的ROM表存储P个滤波器系数a(n,k；i)(i＝0,1,...,P-1)，以i作为地址线，根据i的值进行滤波器系数装载。i是 通过段索引计算模块根据输入的小数延时值p计算得到，公式为
装载好滤波器系数后即可将输入的数字信号x[n]通过各个子滤波器H(w,k；i)并得到滤波结 果yk[n]；
步骤3、根据子滤波的滤波结果yk[n]，进行幂次加权得到最终的输出y[n]，表达式为
综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在 本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护 范围之内。
Claims (5)
1.一种基于分段频域优化的可变小数延时滤波器的设计方法，其特征在于，包括如步骤：
步骤1、给定滤波器的设计指标；
步骤2、将所设计的可变小数延时滤波器的频率响应分为P段，则第i段频率响应的表达式为Hd(ω,p；i)，其中，ω为数字频率；将第i段的频率响应Hd(ω,p；i)分解为L(i)+1个子滤波器H(ω,k；i)，k为整数，取值范围为k∈[0,L(i)]，p为小数延时变量，并且p∈[-0.5,0.5]；Hd(ω,p；i)的表达式为：
其中，L(i)为第i段对应的多项式阶次；
对于偶数阶子滤波器，H(ω,k；i)的表达式为：
对于奇数阶子滤波器，H(ω,k；i)的表达式为：
其中，n表示采样点序号，为自然数；N(k；i)为第i段第k个子滤波器的阶次，a(n,k；i)为滤波器系数，a(0,k；i)表示n＝0时对应的滤波器系数；e±jωn为频率响应基函数；N为N(k；i)中的最大值；
步骤3、根据所设计的可变小数延时滤波器的频率响应，可写出偶数阶可变小数延时滤波器的频率响应误差表达式为：
同理，奇数阶可变小数延时滤波器的频率响应误差表达式为：
步骤4、将每一段的多项式阶次L(i)均初始化为1，变量i初始化为0；
步骤5、进行第i段的滤波器设计：L(i)+1个子滤波器的阶次向量N的表达式为：
N＝[N(0；i),N(1；i),...,N(L(i)；i)] (8)
将子滤波器的阶次向量N中的元素全部初始化为1，定义变量r，初始化为1，定义误差向量β＝[ε0,ε1,...,εL(i)]，定义误差寄存变量εlast，并将其初始化为0；
步骤6、令
将
中的第r个元素加1，保持其他元素不变；在此时的子滤波器的阶次向量
条件下，根据公式(7)中频率响应误差表达式，令εm为ε(ω,p；i)的模最大值，求解如下二阶锥规划问题：
从而得到误差ε(ω,p；i)，并将其存到误差向量β中的第r个元素中，将r的值加1；
步骤7、判断r是否大于L(i)+1：如果r大于L(i)+1，则进行下一步；反之，返回步骤6；
步骤8、在误差向量β中选择出最小的元素βmin与其对应的索引b，将子滤波器的阶次向量N中的第b个元素加1，计算此次设计结果的相对误差改进量，公式为：
其中，|·|为绝对值符号，并将βmin的值赋给εlast；
步骤9、判断βmin是否小于εmax：如果βmin<εmax，则执行步骤10；反之，执行步骤11；
步骤10、在此时的阶次向量N条件下求解公式(9)所示的二阶锥规划问题，得到并输出第i段的滤波器系数a(n,k；i)，执行步骤12；
步骤11、判断δ是否大于给定的门限θ：如果δ>θ，则回到步骤6；反之，将L(i)的值加1，回到步骤5；
步骤12、判断i是否等于P-1：如果i等于P-1，则完成滤波器设计；反之，将i的值加1，回到步骤5。
2.如权利要求1所述的一种基于分段频域优化的可变小数延时滤波器的设计方法，其特征在于，所述设计指标包括通带截止频率ωc和设计误差上限εmax。
3.如权利要求1所述的一种基于分段频域优化的可变小数延时滤波器的设计方法，其特征在于，对于偶数阶可变小数延时滤波器，变量s和Hs(ω)满足表达式：
4.如权利要求3所述的一种基于分段频域优化的可变小数延时滤波器的设计方法，其特征在于，对于奇数阶可变小数延时滤波器，变量s和Hs(ω)满足表达式：
5.一种如权利要求1所述的滤波器的实现方法，包括如下步骤：
步骤1、假设x[n]为输入的数字信号；
步骤2、所有的滤波器系数存到N+1个ROM表中；编号为n的ROM表存储P个滤波器系数a(n,k；i)，以i作为地址线，根据i的值进行滤波器系数装载；i是通过段索引计算模块根据输入的小数延时值p计算得到，公式为：
装载好滤波器系数后即可将输入的数字信号x[n]通过各个子滤波器H(w,k；i)并得到滤波结果yk[n]；
步骤3、根据子滤波的滤波结果yk[n]，进行幂次加权得到最终的输出y[n]，表达式为：
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