CN113033086A - 一种改进的约束多目标优化问题求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种改进的约束多目标优化问题求解方法，包括如下步骤：步骤1：采用基于约束违反指数的约束处理方法处理约束多目标优化问题的等式约束条件和不等式约束条件；步骤2：采用基于帕累托支配的改进多目标细菌群体趋药性算法求解得到多目标优化问题的一个帕累托最优解集和对应的帕累托前沿；步骤3：采用基于目标满意度与目标权重之间关系的多目标决策方法，从求解得到的帕累托最优解集中选择约束多目标优化问题的最优折衷解，本发明解决了约束处理复杂、算法的收敛性、解集多样性和时间效率较差以及无法满足决策者偏好的问题，满足约束多目标优化问题求解的需要。

Description

一种改进的约束多目标优化问题求解方法

技术领域

本发明涉及多目标优化和多目标决策的技术领域，具体涉及一种改进的约束多目标优化问题求解方法。

背景技术

多目标优化问题广泛存在于现实生活中，多目标优化问题的求解在人们的日常生活和工程应用等实际问题中具有非常重要的作用。多目标优化问题的各个子目标之间通常是矛盾的，一个子目标的改善可能会引起另一个或另外几个子目标的恶化，即同时使所有子目标达到最优是不可能的，只能在多个子目标之间进行协调和折衷处理，使各个子目标都尽可能地达到最优。

在求解过程中，多目标优化问题与单目标优化问题的本质区别在于,多目标优化问题的解并非唯一，而是由众多帕累托最优解组成的解集，称为帕累托最优解。然后，按照决策者的偏好选择最终解。

近年来，多目标优化问题吸引了越来越多学者的注意，随着多目标优化技术领域相关研究的深入，PAES算法、SPEA2算法、NSGA-Ⅱ算法、MOPSO算法和MOEA/D算法等多目标优化算法相继被提出，并在实际问题中得到了广泛应用。在细菌群体趋药性技术领域，相关学者将用于求解单目标优化问题的细菌群体趋药性算法与多目标优化的原理结合，提出了相应的用于求解多目标优化问题的多目标优化算法，并不断融入自适应网格、定向变异和外部档案等改进措施，使算法的性能得到了极大的提升。

带有约束条件的多目标优化问题的约束条件的处理是多目标优化技术领域的另一个重要课题，约束多目标优化问题的约束处理复杂程度高，对约束处理方法提出了很高的要求。为了有效地解决约束多目标优化问题的约束处理问题，相关学者进行了大量的研究，提出了罚函数法、约束支配法及各种改进方法。

在多目标决策技术领域，为了从帕累托最优解集中选择最终解，相关学者进行了大量研究，提出了选好函数法、字典序法和理想点法等多种方法。

然而，现有的多目标优化算法都有其自身的缺陷，在算法的收敛性、解集多样性和时间效率等方面表现出的性能并不尽如人意。已经提出的约束多目标优化问题的约束处理方法也有自身的局限性，存在约束处理过程复杂和无法权衡不同约束条件之间关系的问题。常用的多目标决策方法也受到原理的限制，难以较好地满足决策者的偏好。

发明内容

本发明需要解决的技术问题是提供一种改进的约束多目标优化问题求解方法，以解决约束处理复杂、算法的收敛性、解集多样性和时间效率较差以及无法满足决策者偏好的问题，满足约束多目标优化问题求解的需要。

为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：一种改进的约束多目标优化问题求解方法，包括如下步骤：

步骤1：采用基于约束违反指数的约束处理方法处理约束多目标优化问题的等式约束条件和不等式约束条件；

步骤2：采用基于帕累托支配的改进多目标细菌群体趋药性算法求解得到多目标优化问题的一个帕累托最优解集和对应的帕累托前沿；

步骤3：采用基于目标满意度与目标权重之间关系的多目标决策方法，从求解得到的帕累托最优解集中选择约束多目标优化问题的最优折衷解。

本发明技术方案的进一步改进在于：所述步骤1的具体过程如下：

约束多目标优化问题的标准形式如下：

min f(x)＝(f₁(x),f₂(x),...,f_M(x))，

s.t.x∈X，

h_i(x)＝0,i＝1,2,...,m，

g_j(x)≤0,j＝1,2,...,n， (1)

式中：x＝(x₁,x₂,...,x_D)为决策向量；D为决策向量的维数；X为决策向量的可行域；f(x)为目标向量；f₁,f₂,...,f_M为M个目标函数；m为等式约束条件的数量；n为不等式约束条件的数量。

将等式约束条件转化为：

h_i'(x)＝h_i ^const,i＝1,2,...,m， (2)

式中：h_i ^const为常数，当h_i ^const＝0时，令h_i ^const＝eps，其中eps取值为2.220446049250313e-16；

将不等式约束条件转化为：

g_j'(x)≤g_j ^const,j＝1,2,...,n， (3)

式中：g_j ^const为常数，当g_j ^const＝0时，令g_j ^const＝eps。

将约束违反指数定义为：

对约束违反指数进行近似处理如下：

式中：round()为四舍五入取整函数；rate^t为第t次迭代中约束条件允许的偏差率。

式中：T为最大迭代次数；rate^start为约束条件允许的起始偏差率；rate^end为约束条件允许的最终偏差率。

约束违反指数用于反映违反约束的程度，可行解的约束违反指数等于0，而不可行解的约束违反指数大于0，此外，在处理约束多目标优化问题时，对约束违反指数做一个近似处理，并使约束条件允许的偏差率线性时变减小，使得多目标优化过程顺利进行和最终收敛，对于约束多目标优化问题的任意两个解x₁和x₂，解x₁约束支配解x₂的三种情况如下：

1)解x₁为可行解，解x₂为不可行解；

2)解x₁和解x₂均为不可行解，且解x₁的约束违反指数小于解x₂的约束违反指数；

3)解x₁和解x₂均为可行解，且解x₁帕累托支配解x₂。

本发明技术方案的进一步改进在于：所述步骤2的具体过程如下：

(1)设置算法参数，初始化细菌群体：在改进MOBCC算法中，细菌群体代表一个解集，细菌群体中的每个细菌个体代表一个解，设置改进MOBCC算法的最大迭代次数和群体规模等参数，随机初始化细菌群体；

(2)细菌个体寻优：细菌个体寻优的步长引入线性时变策略以提高细菌个体寻优的全局和局部搜索能力，在细菌个体寻优中，细菌个体的步长代表解的变化量，细菌个体的线性时变步长为：

式中：D为决策向量的维数；T为最大迭代次数；t为迭代计数器；step_j ^t为细菌个体第j维的元素在第t次迭代中的步长；step_j ^max为细菌个体第j维元素的最大步长。

细菌个体第j维元素的最大步长为：

step_j ^max＝x^jmax-x^jmin,j＝1,2,...,D， (8)

式中：x^jmax为细菌个体第j维的上限，x^jmin为细菌个体第j维的下限。

通过细菌个体寻优产生的新细菌个体为：

x_new1i ^j＝x_i ^j+dir·step_j ^t,j＝1,2,...,D,i＝1,2,...,P,t＝1,2,...,T， (9)

式中：P为群体规模；x_i ^j为第i个细菌个体第j维的元素；x_new1i ^j为第i个细菌个体通过细菌个体寻优产生的新细菌个体第j维的元素；dir为从-1和1中随机选择的数字。

改进MOBCC算法设置了外部档案以保存先前找到的帕累托最优解，并通过存档操作对外部档案进行更新，当外部档案的大小超过外部档案的大小上限时，则对外部档案中拥挤距离最小的一个解删除；

对于每个通过细菌个体寻优产生的新细菌个体，如果它优于先前的细菌个体，则将后者替换为前者，同时，对每个通过细菌个体寻优产生的新细菌个体执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(3)细菌群体寻优：细菌群体寻优基于细菌的群体智能，细菌个体能够感知细菌群体中其他更好的细菌个体和确定它们的中心，并向这个中心移动，通过细菌群体寻优产生的新细菌个体为：

x_new2i＝x_i-2·rand·(x_i-Center_i),i＝1,2,...,P， (10)

式中：x_i为第i个细菌个体；Center_i为细菌群体中比第i个细菌个体更好的其他细菌个体的中心；x_new2i为第i个细菌个体通过细菌群体寻优产生的新细菌个体；rand为在(0，1)区间内均匀分布的随机数；

对于每个通过细菌群体寻优产生的新细菌个体，如果它优于先前的细菌个体，则将后者替换为前者，同时，对每个通过细菌群体寻优产生的新细菌个体执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(4)细菌个体变异：改进MOBCC算法从遗传算法的多项式变异引入细菌个体变异，提高多目标优化算法的全局搜索能力，通过细菌个体变异产生的新细菌个体为：

x_new3i ^j＝x_i ^j+(x^j _max-x^j _min)δ,j＝1,2,...,D,i＝1,2,...,P， (11)

式中：x_new3i ^j为第i个细菌个体通过细菌个体变异产生的新细菌个体第j维的元素；δ为多项式变异系数。

多项式变异系数为：

式中：u为在(0，1)区间内均匀分布的随机数；η_m为多项式变异的分布指数。

对于每个通过细菌个体变异产生的新细菌个体，如果它优于先前的细菌个体，则将后者替换为前者，同时，对每个通过细菌个体变异产生的新细菌个体执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(5)细菌群体定向变异

细菌群体中分布较差的细菌个体具有较小的拥挤距离，而分布较好的细菌个体具有较大的拥挤距离，基于此，细菌群体定向变异通过使细菌群体中分布较差的一半细菌个体向细菌群体中分布较好的一半细菌个体定向变异，从而改善细菌群体的多样性；

通过细菌群体定向变异产生的新细菌个体为：

式中：x_new4i ^j为第i个细菌个体通过细菌群体定向变异产生的新细菌个体第j维的元素；rand为在(0，1)区间内均匀分布的随机数。

对于每个通过细菌个体变异产生的新细菌个体，如果它不比先前的细菌个体差，则将后者替换为前者，并对前者执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(6)外部档案局部搜索：通过外部档案局部搜索产生的新细菌个体为：

式中：|NDSet|为外部档案的大小；y_i ^j为外部档案中的第i个帕累托最优细菌个体第j维的元素；y_newi ^j为外部档案中的第i个帕累托最优细菌个体通过外部档案局部搜索产生的新细菌个体第j维的元素。

对通过外部档案局部搜索产生的每个新细菌个体执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(7)细菌群体更新：改进MOBCC算法在对解集进行非支配排序时采用一种融合拥挤距离分配的方法，在对解集进行非支配排序之前，先对解集进行拥挤距离分配，并将解集按拥挤距离降序排列，从而减少单独进行非支配排序和拥挤距离分配中不必要的时间开支，通过融合拥挤距离的非支配排序方法对细菌群体中的细菌个体和外部档案中的先前找到的帕累托最优细菌个体进行排序，并对细菌群体进行更新；

(8)判断是否已经达到最大迭代次数，如果已经达到最大迭代次数，则终止多目标优化过程，输出外部档案中的帕累托最优解集和对应的帕累托前沿；否则，跳转至步骤(2)。

本发明技术方案的进一步改进在于：所述步骤3的具体过程如下：

在多目标决策中，决策者的偏好信息通过决策者设定的目标权重(w₁,w₂,...,w_M)得以体现，采用一种基于目标满意度与目标权重之间关系的多目标决策方法进行多目标决策，将可行解的目标满意度定义为：

式中：N为可行解的数量；M为目标的数量；f_j ⁱ为第i个可行解的第j个目标函数的值；S_j ⁱ为第i个可行解的第j个目标函数的值的满意度；f_j ^-为第j个目标函数的负理想值；f_j ⁺为第j个目标函数的正理想值。

第j个目标函数的负理想值和正理想值分别计算如下

f_j ^-＝max_{i＝1,2,...,P}{f_j ⁱ}， (16)

f_j ⁺＝min_{i＝1,2,...,P}{f_j ⁱ}， (17)

可行解的目标满意度向量与目标权重向量之间的距离计算如下：

从N个可行解中选择目标满意度向量与目标权重向量之间的距离最小的一个可行解作为最优折衷解。

由于采用了上述技术方案，本发明取得的技术进步是：

1、本发明解决了约束处理复杂、算法的收敛性、解集多样性和时间效率较差以及无法满足决策者偏好的问题，满足约束多目标优化问题求解的需要；

2、本发明采用基于约束违反指数的约束处理方法：定义了约束违反指数，对约束违反指数进行近似处理，并使约束条件允许的偏差率线性时变减小，使约束条件在多目标优化的收敛过程中逐渐得以满足；改进MOBCC算法：采用时变步长策略来提高算法的全局和局部搜索能力；设置了外部档案以保存先前找到的帕累托最优解，为了提高算法的时间效率，采用了融合拥挤距离分配的非支配排序方法，结合细菌个体变异、细菌群体定向变异和外部档案局部搜索的混合方法，改善了算法的收敛性，提高了解集的多样性。通过细菌群体中细菌个体的移动、存档操作和细菌群体更新，将基于帕累托支配的多目标进化算法框架适当地整合到MOBCC算法中；基于目标满意度与目标权重之间关系的多目标决策方法：定义了可行解的目标满意度，利用决策者设定的体现决策者偏好信息的目标权重向量与可行解的目标满意度向量之间的距离，从多个可行解中选择最能满足决策者偏好的一个可行解作为最优折衷解。

附图说明

图1是本发明方法的流程图；

图2是本发明方法的细菌个体寻优的原理图；

图3是本发明方法的细菌群体寻优的原理图；

图4是本发明方法的细菌群体定向变异的原理图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明做进一步详细说明：

如图1至图4所示，一种改进的约束多目标优化问题求解方法，包括如下步骤：

步骤1：采用基于约束违反指数的约束处理方法处理约束多目标优化问题的等式约束条件和不等式约束条件，具体过程如下：

约束多目标优化问题的标准形式如下：

min f(x)＝(f₁(x),f₂(x),...,f_M(x))，

s.t.x∈X，

h_i(x)＝0,i＝1,2,...,m，

g_j(x)≤0,j＝1,2,...,n， (1)

式中：x＝(x₁,x₂,...,x_D)为决策向量；D为决策向量的维数；X为决策向量的可行域；f(x)为目标向量；f₁,f₂,...,f_M为M个目标函数；m为等式约束条件的数量；n为不等式约束条件的数量。

将等式约束条件转化为：

h_i'(x)＝h_i ^const,i＝1,2,...,m， (2)

式中：h_i ^const为常数，当h_i ^const＝0时，令h_i ^const＝eps，其中eps取值为2.220446049250313e-16；

将不等式约束条件转化为：

g_j'(x)≤g_j ^const,j＝1,2,...,n， (3)

式中：g_j ^const为常数，当g_j ^const＝0时，令g_j ^const＝eps。

将约束违反指数定义为：

对约束违反指数进行近似处理如下：

式中：round()为四舍五入取整函数；rate^t为第t次迭代中约束条件允许的偏差率。

式中：T为最大迭代次数；rate^start为约束条件允许的起始偏差率；rate^end为约束条件允许的最终偏差率；

约束违反指数用于反映违反约束的程度，可行解的约束违反指数等于0，而不可行解的约束违反指数大于0，此外，在处理约束多目标优化问题时，对约束违反指数做一个近似处理，并使约束条件允许的偏差率线性时变减小，使得多目标优化过程顺利进行和最终收敛，对于约束多目标优化问题的任意两个解x₁和x₂，解x₁约束支配解x₂的三种情况如下：

1)解x₁为可行解，解x₂为不可行解；

2)解x₁和解x₂均为不可行解，且解x₁的约束违反指数小于解x₂的约束违反指数；

3)解x₁和解x₂均为可行解，且解x₁帕累托支配解x₂；

步骤2：采用基于帕累托支配的改进多目标细菌群体趋药性算法求解得到多目标优化问题的一个帕累托最优解集和对应的帕累托前沿，具体过程如下：

(1)设置算法参数，初始化细菌群体：在改进MOBCC算法中，细菌群体代表一个解集，细菌群体中的每个细菌个体代表一个解，设置改进MOBCC算法的最大迭代次数和群体规模等参数，随机初始化细菌群体；

(2)细菌个体寻优：细菌个体寻优的步长引入线性时变策略以提高细菌个体寻优的全局和局部搜索能力，在细菌个体寻优中，细菌个体的步长代表解的变化量，细菌个体的线性时变步长为：

式中：D为决策向量的维数；T为最大迭代次数；t为迭代计数器；step_j ^t为细菌个体第j维的元素在第t次迭代中的步长；step_j ^max为细菌个体第j维元素的最大步长。

细菌个体第j维元素的最大步长为：

step_j ^max＝x^jmax-x^jmin,j＝1,2,...,D， (8)

式中：x^jmax为细菌个体第j维的上限；x^jmin为细菌个体第j维的下限。

通过细菌个体寻优产生的新细菌个体为：

x_new1i ^j＝x_i ^j+dir·step_j ^t,j＝1,2,...,D,i＝1,2,...,P,t＝1,2,...,T， (9)

式中：P为群体规模；x_i ^j为第i个细菌个体第j维的元素；x_new1i ^j为第i个细菌个体通过细菌个体寻优产生的新细菌个体第j维的元素；dir为从-1和1中随机选择的数字。

对于每个通过细菌个体寻优产生的新细菌个体，如果它优于先前的细菌个体，则将后者替换为前者。同时，对每个通过细菌个体寻优产生的新细菌个体执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中。

具体地，存档操作的原理如下。基本MOBCC算法缺少对先前找到的帕累托最优解的保存机制，而这可能会导致算法收敛性和解集多样性较差的问题，因此改进MOBCC算法设置了外部档案以保存先前找到的帕累托最优解，并通过存档操作对外部档案进行更新。当外部档案的大小超过外部档案的大小上限时，则对外部档案执行截断处理，即将外部档案中拥挤距离最小的一个解删除。存档操作的伪代码如下。

(3)细菌群体寻优：细菌群体寻优基于细菌的群体智能，细菌个体能够感知细菌群体中其他更好的细菌个体和确定它们的中心，并向这个中心移动，通过细菌群体寻优产生的新细菌个体为：

x_new2i＝x_i-2·rand·(x_i-Center_i),i＝1,2,...,P， (10)

式中：x_i为第i个细菌个体；Center_i为细菌群体中比第i个细菌个体更好的其他细菌个体的中心；x_new2i为第i个细菌个体通过细菌群体寻优产生的新细菌个体；rand为在(0，1)区间内均匀分布的随机数；

对于每个通过细菌群体寻优产生的新细菌个体，如果它优于先前的细菌个体，则将后者替换为前者，同时，对每个通过细菌群体寻优产生的新细菌个体执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(4)细菌个体变异：改进MOBCC算法从遗传算法的多项式变异引入细菌个体变异，提高多目标优化算法的全局搜索能力，通过细菌个体变异产生的新细菌个体为：

x_new3i ^j＝x_i ^j+(x^j _max-x^j _min)δ,j＝1,2,...,D,i＝1,2,...,P， (11)

式中：x_new3i ^j为第i个细菌个体通过细菌个体变异产生的新细菌个体第j维的元素；δ为多项式变异系数。

多项式变异系数为：

式中：u为在(0，1)区间内均匀分布的随机数；η_m为多项式变异的分布指数。

对于每个通过细菌个体变异产生的新细菌个体，如果它优于先前的细菌个体，则将后者替换为前者，同时，对每个通过细菌个体变异产生的新细菌个体执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(5)细菌群体定向变异

细菌群体中分布较差的细菌个体具有较小的拥挤距离，而分布较好的细菌个体具有较大的拥挤距离，基于此，细菌群体定向变异通过使细菌群体中分布较差的一半细菌个体向细菌群体中分布较好的一半细菌个体定向变异，从而改善细菌群体的多样性；

通过细菌群体定向变异产生的新细菌个体为：

式中：x_new4i ^j为第i个细菌个体通过细菌群体定向变异产生的新细菌个体第j维的元素；rand为在(0，1)区间内均匀分布的随机数。

对于每个通过细菌个体变异产生的新细菌个体，如果它不比先前的细菌个体差，则将后者替换为前者，并对前者执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(6)外部档案局部搜索：通过外部档案局部搜索产生的新细菌个体为：

式中：|NDSet|为外部档案的大小；y_i ^j为外部档案中的第i个帕累托最优细菌个体第j维的元素；y_newi ^j为外部档案中的第i个帕累托最优细菌个体通过外部档案局部搜索产生的新细菌个体第j维的元素。

对通过外部档案局部搜索产生的每个新细菌个体执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(7)细菌群体更新：通过融合拥挤距离的非支配排序方法对细菌群体中的细菌个体和外部档案中的先前找到的帕累托最优细菌个体进行排序，并对细菌群体进行更新。

具体地，融合拥挤距离分配的非支配排序方法的原理如下。改进MOBCC算法在对解集进行非支配排序时采用一种融合拥挤距离分配的方法，即在对解集进行非支配排序之前，先对解集进行拥挤距离分配，并将解集按拥挤距离降序排列，从而减少单独进行非支配排序和拥挤距离分配中不必要的时间开支，提高算法的时间效率。

拥挤距离分配的伪代码如下：

融合拥挤距离分配的非支配排序的伪代码如下。

(8)判断是否已经达到最大迭代次数，如果已经达到最大迭代次数，则终止多目标优化过程，输出外部档案中的帕累托最优解集和对应的帕累托前沿；否则，跳转至步骤(2)；

步骤3：采用基于目标满意度与目标权重之间关系的多目标决策方法，从求解得到的帕累托最优解集中选择约束多目标优化问题的最优折衷解，具体过程如下：

在多目标决策中，决策者的偏好信息通过决策者设定的目标权重(w₁,w₂,...,w_M)得以体现，采用一种基于目标满意度与目标权重之间关系的多目标决策方法进行多目标决策，将可行解的目标满意度定义为：

式中：N为可行解的数量；M为目标的数量；f_j ⁱ为第i个可行解的第j个目标函数的值；S_j ⁱ为第i个可行解的第j个目标函数的值的满意度；f_j ^-为第j个目标函数的负理想值；f_j ⁺为第j个目标函数的正理想值。

第j个目标函数的负理想值和正理想值分别计算如下

f_j ^-＝max_{i＝1,2,...,P}{f_j ⁱ}， (16)

f_j ⁺＝min_{i＝1,2,...,P}{f_j ⁱ}， (17)

可行解的目标满意度向量与目标权重向量之间的距离计算如下：

从N个可行解中选择目标满意度向量与目标权重向量之间的距离最小的一个可行解作为最优折衷解。

Claims (4)

1.一种改进的约束多目标优化问题求解方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：采用基于约束违反指数的约束处理方法处理约束多目标优化问题的等式约束条件和不等式约束条件；

步骤2：采用基于帕累托支配的改进多目标细菌群体趋药性算法求解得到多目标优化问题的一个帕累托最优解集和对应的帕累托前沿；

步骤3：采用基于目标满意度与目标权重之间关系的多目标决策方法，从求解得到的帕累托最优解集中选择约束多目标优化问题的最优折衷解。

2.根据权利要求1所述的一种改进的约束多目标优化问题求解方法，其特征在于：所述步骤1的具体过程如下：

约束多目标优化问题的标准形式如下：

min f(x)＝(f₁(x),f₂(x),...,f_M(x))，

s.t.x∈X，

h_i(x)＝0,i＝1,2,...,m，

g_j(x)≤0,j＝1,2,...,n， (1)

式中：x＝(x₁,x₂,...,x_D)为决策向量；D为决策向量的维数；X为决策向量的可行域；f(x)为目标向量；f₁,f₂,...,f_M为M个目标函数；m为等式约束条件的数量；n为不等式约束条件的数量；

将等式约束条件转化为：

h_i'(x)＝h_i ^const,i＝1,2,...,m， (2)

式中：h_i ^const为常数，当h_i ^const＝0时，令h_i ^const＝eps，其中eps取值为2.220446049250313e-16；

将不等式约束条件转化为：

g_j'(x)≤g_j ^const,j＝1,2,...,n， (3)

式中：g_j ^const为常数，当g_j ^const＝0时，令g_j ^const＝eps；

将约束违反指数定义为：

对约束违反指数进行近似处理如下：

式中：round()为四舍五入取整函数；rate^t为第t次迭代中约束条件允许的偏差率；

式中：T为最大迭代次数；rate^start为约束条件允许的起始偏差率；rate^end为约束条件允许的最终偏差率；

约束违反指数用于反映违反约束的程度，可行解的约束违反指数等于0，而不可行解的约束违反指数大于0，此外，在处理约束多目标优化问题时，对约束违反指数做一个近似处理，并使约束条件允许的偏差率线性时变减小，使得多目标优化过程顺利进行和最终收敛，对于约束多目标优化问题的任意两个解x₁和x₂，解x₁约束支配解x₂的三种情况如下：

1)解x₁为可行解，解x₂为不可行解；

2)解x₁和解x₂均为不可行解，且解x₁的约束违反指数小于解x₂的约束违反指数；

3)解x₁和解x₂均为可行解，且解x₁帕累托支配解x₂。

3.根据权利要求2所述的一种改进的约束多目标优化问题求解方法，其特征在于：所述步骤2的具体过程如下：

(1)设置算法参数，初始化细菌群体：在改进MOBCC算法中，细菌群体代表一个解集，细菌群体中的每个细菌个体代表一个解，设置改进MOBCC算法的最大迭代次数和群体规模等参数，随机初始化细菌群体；

(2)细菌个体寻优：细菌个体寻优的步长引入线性时变策略以提高细菌个体寻优的全局和局部搜索能力，在细菌个体寻优中，细菌个体的步长代表解的变化量，细菌个体的线性时变步长为：

式中：D为决策向量的维数；T为最大迭代次数；t为迭代计数器；step_j ^t为细菌个体第j维的元素在第t次迭代中的步长；step_j ^max为细菌个体第j维元素的最大步长；

细菌个体第j维元素的最大步长为：

step_j ^max＝x^jmax-x^jmin,j＝1,2,...,D， (8)

式中：x^jmax为细菌个体第j维的上限；x^jmin为细菌个体第j维的下限；

通过细菌个体寻优产生的新细菌个体为：

x_new1i ^j＝x_i ^j+dir·step_j ^t,j＝1,2,...,D,i＝1,2,...,P,t＝1,2,...,T， (9)

式中：P为群体规模；x_i ^j为第i个细菌个体第j维的元素；x_new1i ^j为第i个细菌个体通过细菌个体寻优产生的新细菌个体第j维的元素；dir为从-1和1中随机选择的数字；

改进MOBCC算法设置了外部档案以保存先前找到的帕累托最优解，并通过存档操作对外部档案进行更新，当外部档案的大小超过外部档案的大小上限时，则对外部档案中拥挤距离最小的一个解删除；

对于每个通过细菌个体寻优产生的新细菌个体，如果它优于先前的细菌个体，则将后者替换为前者，同时，对每个通过细菌个体寻优产生的新细菌个体执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(3)细菌群体寻优：细菌群体寻优基于细菌的群体智能，细菌个体能够感知细菌群体中其他更好的细菌个体和确定它们的中心，并向这个中心移动，通过细菌群体寻优产生的新细菌个体为：

x_new2i＝x_i-2·rand·(x_i-Center_i),i＝1,2,...,P， (10)

式中：x_i为第i个细菌个体；Center_i为细菌群体中比第i个细菌个体更好的其他细菌个体的中心；x_new2i为第i个细菌个体通过细菌群体寻优产生的新细菌个体；rand为在(0，1)区间内均匀分布的随机数；

对于每个通过细菌群体寻优产生的新细菌个体，如果它优于先前的细菌个体，则将后者替换为前者，同时，对每个通过细菌群体寻优产生的新细菌个体执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(4)细菌个体变异：改进MOBCC算法从遗传算法的多项式变异引入细菌个体变异，提高多目标优化算法的全局搜索能力，通过细菌个体变异产生的新细菌个体为：

x_new3i ^j＝x_i ^j+(x^j _max-x^j _min)δ,j＝1,2,...,D,i＝1,2,...,P， (11)

式中：x_new3i ^j为第i个细菌个体通过细菌个体变异产生的新细菌个体第j维的元素；δ为多项式变异系数；

多项式变异系数为：

式中：u为在(0，1)区间内均匀分布的随机数；η_m为多项式变异的分布指数；

对于每个通过细菌个体变异产生的新细菌个体，如果它优于先前的细菌个体，则将后者替换为前者，同时，对每个通过细菌个体变异产生的新细菌个体执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(5)细菌群体定向变异：细菌群体中分布较差的细菌个体具有较小的拥挤距离，而分布较好的细菌个体具有较大的拥挤距离，基于此，细菌群体定向变异通过使细菌群体中分布较差的一半细菌个体向细菌群体中分布较好的一半细菌个体定向变异，从而改善细菌群体的多样性；

通过细菌群体定向变异产生的新细菌个体为：

式中：x_new4i ^j为第i个细菌个体通过细菌群体定向变异产生的新细菌个体第j维的元素；rand为在(0，1)区间内均匀分布的随机数；

对于每个通过细菌个体变异产生的新细菌个体，如果它不比先前的细菌个体差，则将后者替换为前者，并对前者执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(6)外部档案局部搜索：通过外部档案局部搜索产生的新细菌个体为：

式中：|NDSet|为外部档案的大小；y_i ^j为外部档案中的第i个帕累托最优细菌个体第j维的元素；y_newi ^j为外部档案中的第i个帕累托最优细菌个体通过外部档案局部搜索产生的新细菌个体第j维的元素；

对通过外部档案局部搜索产生的每个新细菌个体执行存档操作，以将先前找到的帕累托最优细菌个体保存到外部档案中；

(7)细菌群体更新：改进MOBCC算法在对解集进行非支配排序时采用一种融合拥挤距离分配的方法，在对解集进行非支配排序之前，先对解集进行拥挤距离分配，并将解集按拥挤距离降序排列，从而减少单独进行非支配排序和拥挤距离分配中不必要的时间开支，通过融合拥挤距离的非支配排序方法对细菌群体中的细菌个体和外部档案中的先前找到的帕累托最优细菌个体进行排序，并对细菌群体进行更新；

(8)判断是否已经达到最大迭代次数，如果已经达到最大迭代次数，则终止多目标优化过程，输出外部档案中的帕累托最优解集和对应的帕累托前沿；否则，跳转至步骤(2)。

4.根据权利要求3所述的一种改进的约束多目标优化问题求解方法，其特征在于：所述步骤3的具体过程如下：

在多目标决策中，决策者的偏好信息通过决策者设定的目标权重(w₁,w₂,...,w_M)得以体现，采用一种基于目标满意度与目标权重之间关系的多目标决策方法进行多目标决策，将可行解的目标满意度定义为：

式中：N为可行解的数量；M为目标的数量；f_j ⁱ为第i个可行解的第j个目标函数的值；S_j ⁱ为第i个可行解的第j个目标函数的值的满意度；f_j ^-为第j个目标函数的负理想值；f_j ⁺为第j个目标函数的正理想值；

第j个目标函数的负理想值和正理想值分别计算如下

f_j ^-＝max_{i＝1,2,...,P}{f_j ⁱ}， (16)

f_j ⁺＝min_{i＝1,2,...,P}{f_j ⁱ}， (17)

可行解的目标满意度向量与目标权重向量之间的距离计算如下：

从N个可行解中选择目标满意度向量与目标权重向量之间的距离最小的一个可行解作为最优折衷解。

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