CN112949060B - 一种时变温度下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种时变温度下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法，包括以下步骤：S1、基于维纳过程、Power Rule应力模型和Arrhenius温度应力模型，构建时变温度工况下的锂电池性能退化模型；S2、基于极大似然估计方法估计锂电池性能退化模型的先验参数，然后根据检测到的锂电池的现场退化数据在线更新漂移系数的后验分布；S3、根据检测到的锂电池的现场退化数据结合锂电池的退化过程，即可得到期望、方差和概率密度分布表达式；S4、根据检测到的锂电池的现场退化数据结合锂电池的退化过程以及剩余寿命与首达时间的关系，可得到锂电池在时变温度工况下，剩余寿命的概率密度分布函数。

Description

一种时变温度下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法

技术领域

本发明属于可靠性工程技术领域，具体涉及一种时变温度下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法。

背景技术

锂电池由于具有绿色环保、能量密度高、质量轻和寿命长等优点，已被广泛应用于民用和军用领域。然而，锂电池一旦失效会引发应用系统的不便、停机甚至灾难性事故，因此很有必要采取措施来保证锂电池的安全性和可靠性。工程实践表明，准确的健康状态估计与剩余寿命预测是提高锂电池可靠性和降低失效风险的重要方法。而现有的方法大都基于实验室条件下的理想工况，未考虑实际使用复杂工况的影响，已经不能满足实际的应用需求。

由于环境温度变化、自身运行发热等因素的影响，锂电池实际使用过程中常处于时变温度工作状况，当工作在时变温度条件下时，其放电容量和退化速率会随着温度的变化而变化。在实际使用中时变温度工况会引起锂电池性能的不规律退化，进而增加健康状态估计与剩余寿命预测的复杂度和难度。因此研究时变温度工况下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法对提高锂电池实际使用中的安全性和可靠性具有重要的理论意义和工程应用价值。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种时变温度下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法，科学预测时变温度工况下锂电池健康状况、个体寿命和总体寿命特征量，以解决时变温度工况下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测问题。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：

一种时变温度下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法，包括以下步骤：

S1、基于维纳过程、Power Rule应力模型和Arrhenius温度应力模型，构建时变温度工况下的锂电池性能退化模型，得到基于退化过程的锂电池健康状态方程和时变温度工况下的锂电池剩余寿命概率密度函数；

S2、基于极大似然估计方法估计锂电池性能退化模型的先验参数，然后根据检测到的锂电池的现场退化数据在线更新漂移系数的后验分布；

S3、根据检测到的锂电池的现场退化数据结合锂电池的退化过程，即可得到锂电池在时变温度工况下的健康状态估计的期望、方差和概率密度分布表达式，实现锂电池健康状态估计；

S4、根据检测到的锂电池的现场退化数据结合锂电池的退化过程以及剩余寿命与首达时间的关系，可得到锂电池在时变温度工况下，剩余寿命的概率密度分布函数，从而实现锂电池剩余寿命的预测。

优选的，步骤S1的具体过程如下：

S11、基于Arrhenius温度应力模型，建立时变温度工况下锂离子电池的随机退化速率模型，如下式(1)所示：

λ(T)＝ae^-c/T (1)

其中，T为绝对温度，c为固定参数，a为arrhenius模型参数；

为表示不同锂离子电池之间的个体差异，令a服从高斯分布，即

则时变温度工况下锂离子电池的随机退化速率模型如下式(2)所示：

令室温T₀＝25C时锂离子电池容量为基准容量，则不同温度工况T_i下的放电容量转化到基准温度的放电容量变化可表示为下式(3)：

c(T_i→T₀)＝c(T_i)-γ(T_i,T₀；δ) (3)

其中，γ(T_i,T₀；δ)为温度变化导致的电池放电容量变化量，

为表示放电容量γ(T_i,T₀；δ)变化过程的不确定性，基于正态分布表示γ(T_i,T₀；δ)，如下式(4)所示：

其中，g(T_i,T₀)为γ(T_i,T₀；δ)的期望；

采用Power Rule模型表示g(T_i,T₀)，如下式(5)所示：

基于式(1)和式(3)，则时变温度工况下锂离子电池退化过程的退化模型基于维纳过程表示如下式(6)所示：

其中，x₀为初始电池容量，测试状态为常温工况；Λ(t,θ)为非线性退化系数，当Λ(t,θ)＝0时表征线性退化过程；σ_B为扩散系数，B(t)为标准的布朗运动，表示退化过程的动态特性和不确定性；

令

则上式(6)可转化为下式(7)：

则时变温度工况下的锂离子电池退化模型的先验参数为：

基于退化过程的锂电池健康状态可以表示为锂电池当前容量与初始额定容量的比值，即基于退化过程的锂电池健康状态如下式(8)所示：

其中，SOH(t_k)为锂电池健康状态，C₀表示锂电池的额定容量；

S12、基于退化过程的寿命定义为表示锂离子电池的容量首次达到失效阈值的时刻，令锂离子电池的失效阈值为w，则其剩余使用寿命L可定义为性能状态首次达到失效阈值的时间，剩余使用寿命L如下式(9)所示：

L＝inf{t:X(t)≥w|x₀＜w} (9)

为得到随机参数作用下的剩余寿命分布表达式，给出引理1和引理2：

引理1：非线性退化模型如下式(10)所示：

其中，μ(z；φ)是参数φ在时间[0,∞)上的连续函数，则{X(t),t≥0}穿越失效阈值的首达时间的概率密度函数如下式(11)所示：

其中，

引理2：如果

w,A,B∈R，且C∈R⁺，则下式(12)成立：

基于全概率公式，如下式(13)所示：

令

Z₂＝a，基于引理1和引理2，得到时变温度工况下锂离子电池的寿命概率密度函数如下式(14)所示：

其中q_i为温度变化判断准则，且q_i如下式(15)所示：：

优选的，步骤S2的具体过程如下：

S21、基于极大似然估计方法估计模型的先验参数

时变温度工况下退化模型的先验参数为

假设共有N个锂电池投入加速试验，每个锂电池退化数据的测试时间为

m_n表示第n号电池的检测次数，其中n＝1,2,...,N，检测时间t_n,i的真实退化数据为x_n,i＝X(t_n,i)，T_n(t)表示第n号电池的温度应力函数，

表示所有的退化数据，其中

令Δx_n,i＝x_n,i-x_n,i-1，Δt_n,i＝t_n,i-t_n,i-1，则真实退化数据的差值如下式(16)所示：

Δx_n,i＝a_n(h(t_i,T；c,θ)-h(t_i-1,T；c,θ))+σ_BB(t_i-t_i-1)-c(T_i-1,T_i；δ) (16)

其中，a_n表示随机变量a现对于第n个锂电池的具体值；

根据维纳过程的性质，有下式(17)：

根据同类车载锂离子电池时变温度工况下的历史退化数据

建立固定参数

关于

的似然函数，如下式(18)所示：

对于似然函数(18)，提取数据

中所有q_i＝0的数据

和q_i＝1的数据

则对于任意的i∈[1,N]，都有m_i＝r_i+s_i，基于数据

估计模型参数

则似然函数可通过下式(19)表示：

求上式(20)关于a和

的偏导数，结果分别如下式(20)和(21)所示：

令式(20)和式(21)等于0，可得a和

关于固定参数{c,θ}的受限估计值如下式(22)和(23)所示：

将公式(22)和(23)带入似然函数(19)中，得到下式(24)：

最大化上式(24)，得到参数{c,θ}的极大似然估计，如下式(25)所示：

采用MATLAB中Fminsearch函数搜索{c,θ}的估计值，把搜索到{c,θ}的解带入a和

的受限估计表达式，得到

的极大似然估计；

随机系数的先验分布信息如下式(26)所示：

基于数据

估计模型参数

则似然函数可以表示为下式(27)：

令上式(27)中的Δt_n,i＝1，求式(27)关于η和

的偏导，并令其等于0，可以得到η和

关于τ的受限估计值如下式(28)和(29)所示：

其中，ΔC_n，i计算公式如下式(30)所示：

ΔC_n,i＝Δz_n,i-a_n(h(t_n,i,T；c,θ)-h(t_n,i-1,T；c,θ)) (30)

将η和

关于τ的受限估计带入似然函数(27)中，则似然函数如下式(31)所示：

最大化上式，即得到参数τ的极大似然估计如下式(32)所示：

采用Matlab中的Fminsearch函数搜索τ的估计值，将搜索到τ的解带入η和

的受限估计表达式中，得到η和

的极大似然估计；

S22、基于贝叶斯理论在线更新随机系数

定义x_0:k＝{x₀,x₁,x₂,...,x_k}为检测时间t₀,t₁,...t_k锂电池的现场退化数据，给定漂移系数a的先验分布，即

根据贝叶斯理论，检测到性能参数x_1:k后的随机系数同样服从正态分布，如下式(33)所示：

其中，μ_a,k和

的计算式如下式(34)所示：

其中，A_k和B_k的计算式如下式(35)所示：

根据贝叶斯理论，通过下式(36)对上式(33)中a的后验分布进行求解：

优选的，步骤S3的具体过程如下：

检测到锂电池的参数x_0:k后，当t＞t_k时的退化过程表达式如下式(37)所示：

根据上式得到锂电池在时变温度工况下t_m时刻的健康状态估计的期望、方差和概率密度分布表达式如下式(38)-(40)所示：

优选的，步骤S4的具体过程如下：

检测到锂电池的参数x_0:k后，令l_k＝t-t_kl(_k≥0)，则上述(37)可转化为下式(41)：

其中Y(0)＝0。

设锂电池在时刻t_k的剩余寿命可以转化为退化过程{Y(l_k),l_k≥0}穿过失效阈值w_k＝w-x_k的首达时间，则相应的剩余寿命可定义为下式(42)：

L_k＝inf{l_k:Y(l_k+t_k)≥w|x_1:k,T}＝inf{l_k:Y(l_k)≥w-x_k|x_1:k,T} (42)

根据全概率公式，如下式(43)所示：

令

Z₂＝a，根据引理1和引理2，得到在当前时刻t_k，锂电池在时变温度条件下，剩余寿命的概率密度分布函数如下式(44)所示：

其中，β(l_k)和

的计算式如下式(45)和(46)所示：

β(l_k)＝h(l_k+t_k；c,θ)-h(t_k；c,θ)-h'(l_k+t_k；c,θ)l_k (45)

本发明与现有技术相比，其有益效果在于：

本发明提供的时变温度工况下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法，能够对实际使用中时变温度工况下锂电池的健康状态、个体寿命和总体可靠性寿命特征量进行预测分析，为锂电池基于状态的更换保障提供有力的理论依据和技术支撑，从而节约经费开支，避免不必要的经济损失，有很好的工程应用价值。

附图说明

图1为锂电池时变温度循环图；

图2为锂电池在时变温度下的电池容量循环图；

图3为锂电池工作时在时变温度下的实际健康状态曲线；

图4为本发明实施例下的健康状态估计结果图；

图5为不考滤时变温度工况下的健康状态估计结果图；

图6为本发明实施例下的健康状态估计的相对误差图；

图7为不考滤时变温度工况下的健康状态估计的相对误差图；

图8为本发明实施例下的健康状态估计的均方误差图；

图9为不考滤时变温度工况下的健康状态估计的均方误差图；

图10为本发明实施例下的剩余寿命预测以及实际剩余寿命的对比图；

图11为不考滤时变温度工况下的剩余寿命预测以及实际剩余寿命的对比图；

图12为本发明实施例下的剩余寿命预测的相对误差图；

图13为不考滤时变温度工况下的剩余寿命预测的相对误差图；

图14为本发明实施例下的剩余寿命预测的均方误差图；

图15为不考滤时变温度工况下的剩余寿命预测的均方误差图。

具体实施方式

为了使本领域技术人员更好地理解本发明的技术方案能予以实施，下面结合具体实施例对本发明作进一步说明，但所举实施例不作为对本发明的限定。

本发明实施例提供的时变温度下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法，具体包括以下步骤：

S1、基于维纳过程、Power Rule应力模型和Arrhenius温度应力模型，构建时变温度工况下的锂电池性能退化模型，得到基于退化过程的锂电池健康状态方程和时变温度工况下的锂电池剩余寿命概率密度函数；

步骤S1的具体过程如下：

S11、基于Arrhenius温度应力模型，建立时变温度工况下锂离子电池的随机退化速率模型，如下式(1)所示：

λ(T)＝ae^-c/T (1)

其中，T为绝对温度，c为固定参数；

为表示不同锂离子电池之间的个体差异，令

则时变温度工况下锂离子电池的随机退化速率模型如下式(2)所示：

令室温T₀＝25C时锂离子电池容量为基准容量，则不同温度工况T_i下的放电容量转化到基准温度的放电容量变化可表示为下式(3)：

c(T_i→T₀)＝c(T_i)-γ(T_i,T₀；δ) (3)

其中，

为表示放电容量变化过程的不确定性，基于正态分布表示γ(T_i,T₀；δ)，如下式(4)所示：

采用Power Rule模型表示g(T_i,T₀)，如下式(5)所示：

基于式(1)和式(3)，则时变温度工况下锂离子电池退化过程的退化模型基于维纳过程表示如下式(6)所示：

其中，x₀为初始电池容量，测试状态为常温工况；Λ(t,θ)为非线性退化系数，当Λ(t,θ)＝0时表征线性退化过程；σ_B为扩散系数，B(t)为标准的布朗运动，表示退化过程的动态特性和不确定性；

令

则上式(6)可转化为下式(7)：

则时变温度工况下的锂离子电池退化模型的先验参数为：

基于退化过程的锂电池健康状态可以表示为锂电池当前容量与初始额定容量的比值，即基于退化过程的锂电池健康状态如下式(8)所示：

其中，SOH(t_k)为锂电池健康状态，C₀表示锂电池的额定容量；

S12、基于退化过程的寿命定义为表示锂离子电池的容量首次达到失效阈值的时刻，令锂离子电池的失效阈值为w，则其剩余使用寿命L可定义为性能状态首次达到失效阈值的时间，剩余使用寿命L如下式(9)所示：

L＝inf{t:X(t)≥w|x₀＜w} (9)

为得到随机参数作用下的剩余寿命分布表达式，给出引理1和引理2：

引理1：非线性退化模型如下式(10)所示：

其中，μ(z；φ)是参数φ在时间[0,∞)上的连续函数，则{X(t),t≥0}穿越失效阈值的首达时间的概率密度函数如下式(11)所示：

其中，

引理2：如果

w,A,B∈R，且C∈R⁺，则下式(12)成立：

基于全概率公式，如下式(13)所示：

令

Z₂＝a，基于引理1和引理2，得到时变温度工况下锂离子电池的寿命概率密度函数如下式(14)所示：

其中q_i为，且q_i如下式(15)所示：：

S2、基于极大似然估计方法估计锂电池性能退化模型的先验参数，然后根据检测到的锂电池的现场退化数据在线更新漂移系数的后验分布；

步骤S2的具体过程如下：

S21、基于极大似然估计方法估计模型的先验参数

时变温度工况下退化模型的先验参数为

假设共有N个锂电池投入加速试验，每个锂电池退化数据的测试时间为

m_n表示第n号电池的检测次数，其中n＝1,2,...,N，检测时间t_n,i的真实退化数据为x_n,i＝X(t_n,i)，T_n(t)表示第n号电池的温度应力函数，

表示所有的退化数据，其中

令Δx_n,i＝x_n,i-x_n,i-1，Δt_n,i＝t_n,i-t_n,i-1，则真实退化数据的差值如下式(16)所示：

Δx_n,i＝a_n(h(t_i,T；c,θ)-h(t_i-1,T；c,θ))+σ_BB(t_i-t_i-1)-c(T_i-1,T_i；δ) (16)

其中，a_n表示随机变量a现对于第n个锂电池的具体值；

根据维纳过程的性质，有下式(17)：

根据同类车载锂离子电池时变温度工况下的历史退化数据

建立固定参数

关于

的似然函数，如下式(18)所示：

对于似然函数(18)，提取数据

中所有q_i＝0的数据

和q_i＝1的数据

则对于任意的i∈[1,N]，都有m_i＝r_i+s_i，基于数据

估计模型参数

则似然函数可通过下式(19)表示：

求上式(20)关于a和

的偏导数，结果分别如下式(20)和(21)所示：

令式(20)和式(21)等于0，可得a和

关于固定参数{c,θ}的受限估计值如下式(22)和(23)所示：

将公式(22)和(23)带入似然函数(19)中，得到下式(24)：

最大化上式(24)，得到参数{c,θ}的极大似然估计，如下式(25)所示：

采用MATLAB中Fminsearch函数搜索{c,θ}的估计值，把搜索到{c,θ}的解带入a和

的受限估计表达式，得到

的极大似然估计；

随机系数的先验分布信息如下式(26)所示：

基于数据

估计模型参数

则似然函数可以表示为下式(27)：

令上式(27)中的Δt_n,i＝1，求式(27)关于η和

的偏导，并令其等于0，可以得到η和

关于τ的受限估计值如下式(28)和(29)所示：

其中，ΔC_n，i为，计算公式如下式(30)所示：

ΔC_n,i＝Δz_n,i-a_n(h(t_n,i,T；c,θ)-h(t_n,i-1,T；c,θ)) (30)

将η和

关于τ的受限估计带入似然函数(27)中，则似然函数如下式(31)所示：

最大化上式，即得到参数τ的极大似然估计如下式(32)所示：

采用Matlab中的Fminsearch函数搜索τ的估计值，将搜索到τ的解带入η和

的受限估计表达式中，得到η和

的极大似然估计；

S22、基于贝叶斯理论在线更新随机系数

成先验参数估计后，还需要根据锂电池的现场退化数据在线更新漂移系数的后验分布，进而实现准确的健康状态估计和剩余寿命预测。电池在工作时间t后，其失效的概率是在当前有效情况下的一个条件概率，剩余寿命预测的不确定性并未随着运行时间相应减少，为了减小预测的不确定性，可以通过检测锂电池的具体状态，再将检测到的退化数据引入到健康状态估计与剩余寿命预测中。

定义x_0:k＝{x₀,x₁,x₂,...,x_k}为检测时间t₀,t₁,...t_k锂电池的现场退化数据，给定漂移系数a的先验分布，即

根据贝叶斯理论，检测到性能参数x_1:k后的随机系数同样服从正态分布，如下式(33)所示：

其中，μ_a,k和

的计算式如下式(34)所示：

其中，A_k和B_k的计算式如下式(35)所示：

根据贝叶斯理论，通过下式(36)对上式(33)中a的后验分布进行求解：

优选的，步骤S3的具体过程如下：

检测到锂电池的参数x_0:k后，当t＞t_k时的退化过程表达式如下式(37)所示：

根据上式得到锂电池在时变温度工况下t_m时刻的健康状态估计的期望、方差和概率密度分布表达式如下式(38)-(40)所示：

优选的，步骤S4的具体过程如下：

检测到锂电池的参数x_0:k后，令l_k＝t-t_kl(_k≥0)，则上述(37)可转化为下式(41)：

其中Y(0)＝0。

设锂电池在时刻t_k的剩余寿命可以转化为退化过程{Y(l_k),l_k≥0}穿过失效阈值w_k＝w-x_k的首达时间，则相应的剩余寿命可定义为下式(42)：

L_k＝inf{l_k:Y(l_k+t_k)≥w|x_1:k,T}＝inf{l_k:Y(l_k)≥w-x_k|x_1:k,T} (42)

根据全概率公式，如下式(43)所示：

令

Z₂＝a，根据引理1和引理2，得到在当前时刻t_k，锂电池在时变温度条件下，剩余寿命的概率密度分布函数如下式(44)所示：

其中，β(l_k)和

的计算式如下式(45)和(46)所示：

β(l_k)＝h(l_k+t_k；c,θ)-h(t_k；c,θ)-h'(l_k+t_k；c,θ)l_k (45)

下面基于马里兰大学公开的锂电池实验退化数据来验证本发明的有效性。该实验通过控制环境温度的变化模拟时变温度工况，初始温度为室温25度，而后每经过10次充放电循环变换一次温度，使得温度工况在25，35，45和55度之间循环变化。在实验中，按照该锂电池的技术指标，选择失效阈值为w＝1.08Ah。按照循环次数来记，监测间隔为一个循环。对应锂电池退化监测全寿命周期的测量数据如图1和图2所示。从总体趋势来看，时变温度会导致电池容量在整个生命周期内出现不规律下降的现象。

根据本发明步骤S2的两步先验参数估计方法，可以得到考虑时变温度工况影响和不考虑时变温度工况影响的参数估计结果如下表1所示，为方便表示，令本文所提出的方法为M1，不考虑时变温度工况的方法为M2。

表1.退化模型参数估计结果

根据表1参数估计结果，分别绘制了所有时间点的健康状态估计曲线和实际健康状态曲线分别如图3-5所示，通过图3-5可以看出，M1曲线比M2曲线更接近实际健康状态曲线。健康状态估计曲线上每个时间点的相对误差(RE)如图6和7所示，每个时间点的均方误差(MSE)如图8和图9所示。从图6和7可以看出，M1比M2具有更好的精度，M1的RE控制在1％以内，然而M2的RE可高达8％。从图8和9中可以看出，M1比M2具有更好的精度，M1的MSE控制在1％以内，然而M2的MSE可高达9％，也说明时变温度会增加锂电池退化过程的不确定性，从而导致过高估计

通过上述结果可以看出，对于时变温度工况下的锂电池健康状态估计，M1比M2有更好的估计精度，这种优势尤其表现在温度变化的时刻。产生这种现象的原因是因为锂电池的历史退化数据中没有包含温度变化导致容量增加的先验信息，而M1考虑到时变温度对电池退化规律的影响，建立了变温模型，M2的退化建模中则没有专门建立温度变化对容量影响的模型。

根据表1参数估计结果，分别绘制了部分时间点的剩余寿命概率密度分布曲线和实际的剩余寿命曲线的比较图，如图10和图11所示，通过图10和图11可以看出，M1比M2更接近实际剩余寿命曲线。剩余寿命曲线预测曲线上每个时间点的相对误差(RE)如图12和13所示，每个时间点的均方误差(MSE)如图14和图15所示，通过图12和13可以看出，M1比M2具有更好的精度，M1的RE控制在2次以内，然而M2的RE可高达60次。从图14和图15中可以看出，时变温度会增加锂电池退化过程的不确定性，从而导致过高估计

通过上述结果可以看出，本发明提出的方法可以有效提高健康状态估计与剩余寿命估计的准确性，而且考虑时变温度对锂电池退化过程的影响可以减少健康状态估计与剩余寿命预测的相对误差和均方误差。

综上所述，本发明实施例提供的时变温度工况下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法，能够对实际使用中时变温度工况下锂电池的健康状态、个体寿命和总体可靠性寿命特征量进行预测分析，为锂电池基于状态的更换保障提供有力的理论依据和技术支撑，从而节约经费开支，避免不必要的经济损失，有很好的工程应用价值。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (4)

1.一种时变温度下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、基于维纳过程、Power Rule应力模型和Arrhenius温度应力模型，构建时变温度工况下的锂电池性能退化模型，得到基于退化过程的锂电池健康状态方程和时变温度工况下的锂电池剩余寿命概率密度函数；

步骤S1的具体过程如下：

S11、基于Arrhenius温度应力模型，建立时变温度工况下锂离子电池的随机退化速率模型，如下式(1)所示：

λ(T)＝ae^-c/T (1)

其中，T为绝对温度，c为固定参数，a为arrhenius模型参数；

为表示不同锂离子电池之间的个体差异，令a服从高斯分布，即

则时变温度工况下锂离子电池的随机退化速率模型如下式(2)所示：

令室温T₀＝25℃时锂离子电池容量为基准容量，则不同温度工况T_i下的放电容量转化到基准温度的放电容量变化可表示为下式(3)：

c(T_i→T₀)＝c(T_i)-γ(T_i,T₀；δ) (3)

其中，γ(T_i,T₀；δ)为温度变化导致的电池放电容量变化量，

为表示放电容量γ(T_i,T₀；δ)变化过程的不确定性，基于正态分布表示γ(T_i,T₀；δ)，如下式(4)所示：

其中，g(T_i,T₀)为γ(T_i,T₀；δ)的期望；

采用Power Rule模型表示g(T_i,T₀)，如下式(5)所示：

基于式(1)和式(3)，则时变温度工况下锂离子电池退化过程的退化模型基于维纳过程表示如下式(6)所示：

其中，x₀为初始电池容量，测试状态为常温工况；Λ(t,θ)为非线性退化系数，当Λ(t,θ)＝0时表征线性退化过程；σ_B为扩散系数，B(t)为标准的布朗运动，表示退化过程的动态特性和不确定性；

令

则上式(6)可转化为下式(7)：

则时变温度工况下的锂离子电池退化模型的先验参数为：

基于退化过程的锂电池健康状态可以表示为锂电池当前容量与初始额定容量的比值，即基于退化过程的锂电池健康状态如下式(8)所示：

其中，SOH(t_k)为锂电池健康状态，C₀表示锂电池的额定容量；

S12、基于退化过程的寿命定义为表示锂离子电池的容量首次达到失效阈值的时刻，令锂离子电池的失效阈值为w，则其剩余使用寿命L可定义为性能状态首次达到失效阈值的时间，剩余使用寿命L如下式(9)所示：

L＝inf{t:X(t)≥w|x₀＜w} (9)

为得到随机参数作用下的剩余寿命分布表达式，给出引理1和引理2：

引理1：非线性退化模型如下式(10)所示：

其中，μ(z；φ)是参数φ在时间[0,∞)上的连续函数，则{X(t),t≥0}穿越失效阈值的首达时间的概率密度函数如下式(11)所示：

其中，

引理2：如果

w,A,B∈R，且C∈R⁺，则下式(12)成立：

基于全概率公式，如下式(13)所示：

令

基于引理1和引理2，得到时变温度工况下锂离子电池的寿命概率密度函数如下式(14)所示：

其中q_i为温度变化判断准则，且q_i如下式(15)所示：：

S2、基于极大似然估计方法估计锂电池性能退化模型的先验参数，然后根据检测到的锂电池的现场退化数据在线更新漂移系数的后验分布；

S3、根据检测到的锂电池的现场退化数据结合锂电池的退化过程，即可得到锂电池在时变温度工况下的健康状态估计的期望、方差和概率密度分布表达式，实现锂电池健康状态估计；

S4、根据检测到的锂电池的现场退化数据结合锂电池的退化过程以及剩余寿命与首达时间的关系，可得到锂电池在时变温度工况下，剩余寿命的概率密度分布函数，从而实现锂电池剩余寿命的预测。

2.根据权利要求1所述的时变温度下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤S2的具体过程如下：

S21、基于极大似然估计方法估计模型的先验参数

时变温度工况下退化模型的先验参数为

假设共有N个锂电池投入加速试验，每个锂电池退化数据的测试时间为

m_n表示第n号电池的检测次数，其中n＝1,2,...,N，检测时间t_n,i的真实退化数据为x_n,i＝X(t_n,i)，T_n(t)表示第n号电池的温度应力函数，

表示所有的退化数据，其中

令Δx_n,i＝x_n,i-x_n,i-1，Δt_n,i＝t_n,i-t_n,i-1，则真实退化数据的差值如下式(16)所示：

Δx_n,i＝a_n(h(t_i,T；c,θ)-h(t_i-1,T；c,θ))+σ_BB(t_i-t_i-1)-c(T_i-1,T_i；δ) (16)

其中，a_n表示随机变量a现对于第n个锂电池的具体值；

根据维纳过程的性质，有下式(17)：

根据同类车载锂离子电池时变温度工况下的历史退化数据

建立固定参数

关于

的似然函数，如下式(18)所示：

对于似然函数(18)，提取数据

中所有q_i＝0的数据

和q_i＝1的数据

则对于任意的i∈[1,N]，都有m_i＝r_i+s_i，基于数据

估计模型参数

则似然函数可通过下式(19)表示：

求上式(20)关于a和

的偏导数，结果分别如下式(20)和(21)所示：

令式(20)和式(21)等于0，可得a和

关于固定参数{c,θ}的受限估计值如下式(22)和(23)所示：

将公式(22)和(23)带入似然函数(19)中，得到下式(24)：

最大化上式(24)，得到参数{c,θ}的极大似然估计，如下式(25)所示：

采用MATLAB中Fminsearch函数搜索{c,θ}的估计值，把搜索到{c,θ}的解带入a和

的受限估计表达式，得到

的极大似然估计；

随机系数的先验分布信息如下式(26)所示：

基于数据

估计模型参数

则似然函数可以表示为下式(27)：

令上式(27)中的Δt_n,i＝1，求式(27)关于η和

的偏导，并令其等于0，可以得到η和

关于τ的受限估计值如下式(28)和(29)所示：

其中，ΔC_n，i计算公式如下式(30)所示：

ΔC_n,i＝Δz_n,i-a_n(h(t_n,i,T；c,θ)-h(t_n,i-1,T；c,θ)) (30)

将η和

关于τ的受限估计带入似然函数(27)中，则似然函数如下式(31)所示：

最大化上式，即得到参数τ的极大似然估计如下式(32)所示：

采用Matlab中的Fminsearch函数搜索τ的估计值，将搜索到τ的解带入η和

的受限估计表达式中，得到η和

的极大似然估计；

S22、基于贝叶斯理论在线更新随机系数

定义x_0:k＝{x₀,x₁,x₂,...,x_k}为检测时间t₀,t₁,...t_k锂电池的现场退化数据，给定漂移系数a的先验分布，即

根据贝叶斯理论，检测到性能参数x_1:k后的随机系数同样服从正态分布，如下式(33)所示：

其中，μ_a,k和

的计算式如下式(34)所示：

其中，A_k和B_k的计算式如下式(35)所示：

根据贝叶斯理论，通过下式(36)对上式(33)中a的后验分布进行求解：

3.根据权利要求1所述的时变温度下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤S3的具体过程如下：

检测到锂电池的参数x_0:k后，当t＞t_k时的退化过程表达式如下式(37)所示：

根据上式得到锂电池在时变温度工况下t_m时刻的健康状态估计的期望、方差和概率密度分布表达式如下式(38)-(40)所示：

4.根据权利要求1所述的时变温度下的锂电池健康状态估计与剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤S4的具体过程如下：

检测到锂电池的参数x_0:k后，令l_k＝t-t_kl(_k≥0)，则上述(37)可转化为下式(41)：

其中Y(0)＝0；

设锂电池在时刻t_k的剩余寿命可以转化为退化过程{Y(l_k),l_k≥0}穿过失效阈值w_k＝w-x_k的首达时间，则相应的剩余寿命可定义为下式(42)：

L_k＝inf{l_k:Y(l_k+t_k)≥w|x_1:k,T}＝inf{l_k:Y(l_k)≥w-x_k|x_1:k,T} (42)

根据全概率公式，如下式(43)所示：

令

Z₂＝a，根据引理1和引理2，得到在当前时刻t_k，锂电池在时变温度条件下，剩余寿命的概率密度分布函数如下式(44)所示：

其中，β(l_k)和

的计算式如下式(45)和(46)所示：

β(l_k)＝h(l_k+t_k；c,θ)-h(t_k；c,θ)-h'(l_k+t_k；c,θ)l_k (45)

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