CN112819769A

CN112819769A - 基于核函数和联合字典的非线性高光谱图像异常探测算法

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Publication number: CN112819769A
Application number: CN202110104461.3A
Authority: CN
Inventors: 高叶楠; 王斌
Original assignee: Fudan University
Current assignee: Fudan University
Priority date: 2021-01-26
Filing date: 2021-01-26
Publication date: 2021-05-18
Anticipated expiration: 2041-01-26
Also published as: CN112819769B

Abstract

本发明属于遥感图像处理技术领域，具体为一种基于核函数和联合字典的非线性高光谱图像异常探测算法。本发明通过在异常探测问题中引入联合字典表示的方法，并通过核函数实现字典元素的非线性组合对待测像元进行表示，然后将异常字典的表示系数用于获得最终的异常探测结果。更进一步，本发明从高光谱图像的非线性混合模型出发，结合实际高光谱图像非线性特征的物理意义，有效地克服了线性异常探测和简单核函数映射方法的不足。联合字典的引入，考虑了高光谱图像的空间关系和异常像元的全局特征，从而获得更优的探测效果，同时具有良好的抗噪声能力。在实际的高精度非线性异常探测方面有着重要的应用价值。

Description

基于核函数和联合字典的非线性高光谱图像异常探测算法

技术领域

本发明属于遥感图像处理技术领域，具体涉及一种高光谱异常探测算法。

背景技术

遥感技术是上世纪六十年代发展起来的新兴综合技术，与空间、电子光学、计算机、地理学等科学技术紧密相关，是研究地球资源环境的最有力的技术手段之一。高光谱遥感是将成像技术与光谱技术相结合的多维信息获取技术，其所成图像具有光谱分辨率高、图谱合一等特点，为地物信息的提取和探测提供了丰富的信息，在环境监测、军事侦察等领域有着重要的应用。在目标探测任务中，由于实际情况下研究者往往很难获取目标类别的光谱特性，因此无需先验知识的高光谱图像异常探测在近年来得到了快速的发展[1]。

高光谱图像的异常探测通常基于以下先验特征：异常目标的光谱与周围背景光谱有显著差别且异常像元在图像中占比很低；背景像元在空间分布上具有明显的相关性。基于这些特征，传统的RX算法[2]通过计算每个像元与背景像元均值的马氏距离来进行异常探测。根据通过全局图像还是待测像元的邻域部分估计背景像元均值，RX算法分为全局RX(Global RX,GRX)和邻域RX(Local RX,LRX)两类。然而RX算法基于统计学模型，具有如下缺陷：1)实际的高光谱图像不完全服从模型所要求的高斯分布；2)对背景像元均值估计的过程中存在异常像元的污染。为避免上述缺陷，基于表示的方法被应用到高光谱图像目标探测问题上来[3]-[5]。基于协同表示的异常探测算法(collaborative-representation-based detector,CRD)[3]认为，背景像元可以被其周围的像元表示，而异常像元不可以。基于背景联合稀疏表示算法(background joint sparse representation detection,BJSRD)[4]认为，背景像元可以稀疏地被背景字典中的元素进行表示。除此之外，还有通过构建背景字典和和异常字典来同时表示图像中的每一个像元，利用重构背景分量与目标分量之差来判断待测像元是否为异常目标[5]。然而传统RX算法和上述基于表示的方法都是基于线性模型进行探测的，没有考虑到实际的高光谱图像中存在的非线性特征。

为了进行非线性方法的异常探测，一些学者通过核函数的方法将传统的线性方法进行变换，简单地将高光谱图像中的像元通过核函数映射到高维空间，从而在高维空间中使用线性方法来获得最终的结果，如核RX算法(Kernel RX,KRX)[6]和核CRD算法(KernelCRD, KCRD)[3]。这类方法通过对每个像元波段间的非线性组合来增加特征，从而提升了像元的可分性，却忽视了高光谱图像本身的非线性特征的形成原因，有可能造成背景像元被误检为异常。经过我们研究发现，高光谱图像的非线性特征是由于低空间分辨率导致一个像元往往包含多个地面物质，而地面物质的紧密混合或者光线的多次散射使得多个地面物质非线性地混合在一个像元中[7]。只要能够从高光谱图像的非线性混合模型出发，充分考虑实际的非线性物理模型，就能够有效地应对高光谱图像的非线性特征，获得更加精确的异常探测结果。

下面介绍与本发明相关的一些概念：

基于表示的异常探测算法

CRD算法是一个典型的基于表示的异常探测算法。对于每个待测像元

采用图1所示的双窗模型来估计周围背景信息，使用内窗和外窗间的像元

表示中心待测像元，并求解表示系数。其优化函数为：

其中，第一项为表示误差，第二项为正则项。为降低双窗内存在异常像元污染的问题，研究学者在正则项中加入了权重：

同时，考虑到实际场景中的和为一约束，问题(1)可以进一步写作如下优化问题：

其中，

高光谱图像非线性混合模型

由于受到空间分辨率、多次散射效应以及地物分布异质性的限制，高光谱图像中的每个像元通常是由多种地物光谱非线性混合而成的。从具体的非线性混合模型出发对非线性的高光谱图像异常探测进行研究，对提高探测结果精度有着重要的现实意义。常见的有双线性混合模型(Bilinear Mixing Model,BMM)[8]和多线性混合模型(multi-linearmixing, MLM)[9]。

对于高光谱图像混合模型，

是其中的一个像元，那么该像元可以由端元矩阵

以及其相应的丰度矢量α＝[α₁,α₂,...,α_Q]^T表示如下：

x＝f(M,α)+n。 (4)

多项式后验非线性模型(polynomial post-nonlinear model,PPNM)[10]是BMM中一个典型的模型，其数学表达为：

其中，⊙表示Hadamard积且m_i⊙m_j＝[m_i,1m_j,1,m_i,2m_j,2,...,m_i,Lm_j,L]^T，ξ为非线性参数。

PPNM模型考虑了两个端元间的非线性组合，将其扩展到所有端元的非线性组合，就成为了MLM模型，其数学表达为：

其中，P为用于描述光线在物质间高阶交互概率的参数。

发明内容

本发明的目的在于提出一种效果优异的基于核函数和联合字典的非线性高光谱图像异常探测算法。

本发明提出的基于核函数和联合字典的非线性高光谱图像异常探测算法，从非线性混合模型出发研究高光谱图像内在的非线性特征，通过基于表示的异常探测框架来获得最终的异常探测结果，具体步骤为：

(一)首先，通过双窗模型与预检测方法分别构建背景字典和异常字典，并将两者结合构成联合字典；

(二)然后，利用核函数理论和基于表示的方法，对待测像元用联合字典中的元素进行非线性表示，并获得表示系数；

(三)最后，利用异常字典的表示系数获得异常探测结果。

(一)本发明在构建联合字典过程中，利用背景像元具有强空间相关性，使用双窗模型构建待测像元的背景字典。对于异常字典，由于图像中最异常的目标具有显著的光谱差异，因此可以通过简单的预检测方法提取出来，从而用于构建异常字典。

步骤(一)中所述通过双窗模型与预检测方法构建背景字典和异常字典，并将两者结合构成联合字典，具体流程为：

设高光谱图像数据中的每一个待测像元为

对于背景字典，以每个待测像元为中心构造尺寸为(W_in,W_out)的双窗，将双窗之间的区域作为背景区域。进一步，对背景区域内的每个像元，计算其与背景区域内像元均值间的马氏距离：

d(x)＝(x-μ)^TC^-1(x-μ)， (7)

其中，μ和C分别表示背景区域内像元的均值和协方差矩阵。取马氏距离最小的前η％的像元构建背景字典

其中M为背景字典中的元素数量。

对于异常字典，对原始高光谱图像采用预检测的方法获得初始异常探测结果，从结果中选取R个最异常的像元构建异常字典

其中R为异常字典中的元素数量。

将背景字典和异常字典组合为联合字典

其中N为联合字典元素数量，并满足N＝M+R。

(二)在以往的工作中，研究者往往通过将高光谱图像中的原始像元非线性映射到高维空间，并将线性的异常探测方法应用在高维空间中，通过核技巧来获得线性方法的核函数形式。这样的方法虽然能够提高像元的可区分性，但是没有从高光谱图像非线性特征的本质出发，难以很好地解释高光谱图像的非线性特征。同时如何选取核函数没有物理模型依据，不恰当的核函数会导致虚警率的提高。

为了解决上述问题，本发明从高光谱图像的非线性特征本质出发，通过研究PPNM和 MLM等非线性混合模型，发现高光谱图像的非线性特征主要由不同端元间的非线性交互作用导致，其可以通过像元的Hadamard积来表示。因此，步骤(二)所述利用核函数理论和基于表示的方法，对待测像元用联合字典中的元素进行非线性表示，并获得表示系数，具体流程为：

建立基于表示理论的非线性异常探测框架，将待测像元

使用联合字典

及相应系数

进行非线性表示：

x＝Dα+ψ(D)+n， (8)

其中，n表示噪声和可能的模型误差，ψ为表示字典元素非线性组合的非线性函数。同时α满足以下约束条件：

α≥0,1^Tα＝1， (9)

其中，

基于高光谱图像非线性混合理论，端元矩阵中端元的不同波段受到的非线性作用影响是相同的，因此可以对联合字典中的每个波段的光谱特征

进行非线性映射，并通过核函数技巧实现：

对于q阶齐次多项式核：

其核函数的数学本质为计算特征空间中的内积：

其中，Φ_nlin为具体的特征映射。另一方面，式(11)可以写作如下形式：

将其进行展开为多项式形式，每一项是一个带权重的q阶单项式：

其中，式(13)满足

且q_n是整数。那么将所有波段整合起来并结合联合字典，每一项都可以看作对字典元素的非线性组合：

对于二阶多项式核函数：

其二阶组合包含了联合字典中两个元素的非线性组合d_i⊙d_j，可以对应PPNM模型。

对于高斯核函数：

其可以通过Taylor展开为如下形式：

其多阶组合可以对应MLM模型。

根据以上分析，对于式(8)，可以通过求解式(19)所示的约束凸优化问题获得联合字典中各个元素的表示系数

其中第一项是表示误差项，第二项是正则项，λ是权衡因子。根据强对偶性，采用拉格朗日对偶算法，得到问题(19)的拉格朗日对偶问题L：

其中，β_l，μ_d和ν是拉格朗日乘子。

根据函数求导，得到问题L相对于原始变量的最优性条件

将(21)式代入(20)，得到如下对偶问题：

其中，K_nlin是对应于非线性函数ψ的格莱蒙矩阵，它的第(i,j)个元素为

k_nlin(·,·)为具体的核函数。

问题(22)为二次规划问题，可通过MATLAB工具包quadprog[11]进行求解得到β^*，μ^*和ν^*，并将其代入(21)式，得到联合字典的表示系数

(三)利用异常字典的表示系数获得异常探测结果，将待测像元求解得到的异常字典表示系数α_a，用式(23)得到最终的异常探测结果：

根据上述内容，图2描绘了本发明算法的流程图，具体流程如下：

输入：高光谱图像数据

双窗尺寸(W_in,W_out)；

步骤1：构建全局异常字典

(1.1)：使用预检测方法获得初始异常探测结果；

(1.2)：根据初始探测结果选取R个最异常的像元构建异常字典

对高光谱图像数据中每个待测像元

执行以下操作：

步骤2：构建局部背景字典

(2.1)：以待测像元为中心构建尺寸为(W_in,W_out)的双窗，将双窗之间的区域作为背景区域；

(2.2)：根据式(7)计算对背景区域内的每个像元与背景区域内像元均值间的马氏距离；

(2.3)：选取马氏距离最小的前η％的像元构建该待测像元的背景字典

步骤3：构造联合字典

使用拉格朗日对偶算法求解问题(19)，得到对偶问题(22)。

步骤4：求解对偶问题(22)，得到β^*，μ^*和ν^*。

步骤5：根据式(23)得到联合字典的表示系数

输出：根据式(24)输出异常探测结果。

本发明的有益效果在于：其从高光谱图像的非线性混合模型出发，通过考虑局部空间相似性和全局异常特性构建联合字典，利用核函数技巧引入字典元素的非线性组合，并基于表示的方法，利用字典元素来表示待测像元，更为有效地解决高光谱图像中的非线性问题并将异常信息分离出来。本发明可以作为一种解决高光谱图像异常探测的有效手段，在地面异常目标的探测和识别方面有着重要的应用价值。

模拟和真实高光谱数据实验表明，通过核函数引入字典元素的非线性组合有效地提升了异常目标的探测率，同时对初始参数具有很强的鲁棒性。另外，与传统的和近期提出的同类优秀方法相比，本发明具有更好的异常探测结果，该方法的实际应用对于高光谱图像异常探测问题的解决有着重要的意义。

附图说明

图1双窗模型示意图。

图2算法流程图。

图3模拟数据集图像块。其中，(a)波段50的灰度图；(b)地物真实。

图4不同预检测方法选取的异常字典元素。其中，(a)GRX算法；(b)KRX算法。

图5不同预检测方法构建异常字典得到的探测结果。其中，(a)GRX算法；(b)KRX 算法。

图6模拟数据集不同双窗尺寸(W_in,W_out)下的探测结果。

图7模拟数据集不同参数下的探测结果。其中，(a)η；(b)R。

图8不同算法对模拟数据集的异常探测结果。

图9不同算法对模拟数据集探测结果的ROC曲线。

图10真实数据集图像块。其中，(a)波段50的灰度图；(b)地物真实。

图11不同算法对真实数据集的异常探测结果。

图12不同算法对真实数据集探测结果的ROC曲线。

具体实施方式

下面，分别用模拟数据和真实高光谱图像数据为例说明本发明的具体的实施方式。

本发明中的基于核函数和联合字典的非线性高光谱图像异常探测方法用KNUD表示，其采用二阶多项式核函数和高斯核函数两种模式分别用KNUN(P)和KNUD(G)表示。

1、模拟数据集实验

本发明采用在高光谱图像中埋入异常点的方式构造模拟实验数据，首先研究了预检测方法以及参数对本发明的影响，然后将本发明的两种模式KNUN(P)和KNUD(G)与传统的GRX算法[2]、LRX算法、文献[3]提出的基于协同表达的CRD和KCRD算法以及文献[6] 中的KRX算法进行比较，来测试所提出算法的有效性。进一步的，通过添加噪声后的图像来验证本发明的抗噪声能力。直观的二维检测结果图、授业者操作特性曲线(Receiver operatingcharacteristic,ROC)[12]与AUC(Area under ROC curve,AUC)用作实验中检测性能的评价标准。我们还测算各个算法的运行时间以定量衡量它们的复杂度。所有实验的软硬件环境为Intel Core i7-6700K CPU 4.00GHz,32GB内存和Windows 10及Matlab R2015b。

模拟数据集采用了由AVIRIS机载高光谱探测仪在美国圣地亚哥机场上空拍摄得到的高光谱图像数据[13]。该数据图像大小为400×400，从中截取了100×100的小块作为背景，一条对应于飞机的异常光谱被用到了模拟实验中。由于实际情况中二次散射造成的非线性混合较为常见，为了更好地模拟实际情况，我们参考文献[14]和[15]，在高光谱图像中选取 4行4列以每行分别为0.05,0.1,0.2和0.4的丰度根据PPNM模型埋入异常点：

z＝f·t+(1-f)·b+ξf(1-f)·(t⊙b)， (25)

其中f为异常目标的丰度，ξ为随机数表示非线性权重，t为异常光谱，b为当前像元的光谱。图3显示了所用到的子块和对应的地物真实。

实验例1、预检测方法实验，

在这个实验中，比较用GRX和KRX两种预检测方法构建异常字典来验证本发明对初始的预检测方法不敏感。本发明使用预检测的方法选取结果中最异常的R个像元构建异常字典，在本实验中设置R＝10，图4为两种方法选出的异常像元。从图中可以看出，两种方法都能够提取出明显的异常像元，同时也包含了部分背景像元。图5为使用两种不同方法构建的异常字典得到的异常探测结果，可以看出两者都能较好地将全部异常像元从背景中提取出来。进一步使用AUC进行比较，两者分别为0.9990和0.9993，差别不大，但在预检测阶段，使用GRX运算开销为0.8020s，使用KRX的运算开销为315.8336s。因此综合探测效果和效率，本发明采用GRX方法作为预检测并进一步使用检测结果用于构建异常字典。

实验例2、参数分析实验，

在这个实验中，通过参数实验来确定本发明所提出的方法中对于初始参数的选取。本发明提出的KNUD主要有如下参数需要预先设置：双窗的尺寸(W_in,W_out)、从双窗背景区域中选取用于构建背景字典的像元比例η％、异常字典中元素数量R以及目标函数(19)中的权衡因子λ。在参数实验中，使用本发明提出的KNUN(P)对模拟数据集进行异常探测。每次固定其他参数针对一个参数变量进行实验，并使用AUC对异常探测效果进行评价。

图6是KNUD(P)在不同的双窗尺寸下探测结果的AUC，可以看出，不同的参数下获得的AUC呈现一个平坦的曲面，这说明所提出的算法具有较好的鲁棒性。图7(a)是从双窗背景区域中选取不同比例η％的像元构建背景字典的参数实验。可以看出，探测效果开始随η的增大AUC不断提高。但当η＝100时，选取双窗中所有像元构建背景字典，探测效果有所降低，这是因为此时双窗中存在部分异常像元的污染从而导致背景字典不纯。图 7(b)是异常字典中元素的数量对探测效果的影响。可以看出当异常字典中元素数量R取值在20以下时，探测结果的AUC水平且变化不大，而随着异常字典中元素数量的增加，异常字典中会引入部分背景元素从而影响进一步的探测效果。

为了说明目标函数中正则项对提高探测性能的影响，表1是在不同权衡因子下KNUD (P)得到的探测结果的AUC。从表中可以看出，在λ＝0没有正则项时，探测结果的AUC仅有0.8022，当λ＝0.001时，即使正则项占比很小，AUC也提升到了0.9以上。进一步地，当λ＝2时，使用本发明提出的KNUD(P)对模拟数据集进行异常探测，结果使用AUC进行评价可以达到0.9991，说明正则项对于防止过拟合起着很好的作用。

表1.不同权衡因子下KNUD(P)对模拟数据集的异常探测效果对比

λ	0	0.001	0.01	0.1	1	2	3	5
									AUC	0.8022	0.9261	0.9794	0.9976	0.9990	0.9991	0.9989	0.9987

根据以上分析，可以将本发明提出的算法KNUD中从背景区域中选取的像元比例设定为η＝95，异常字典中元素数量设定为15，目标函数中的权衡因子设定为2。双窗的尺寸选取具有较好的鲁棒性，根据经验，一般内窗尺寸的设定比潜在的目标尺寸稍大。

实验例3、探测效果实验，

在这个实验中，将所提出的KNUD算法的两种模式与传统的GRX算法和LRX算法、基于协同表示的CRD算法和KCRD算法以及基于核函数映射的KRX算法进行比较，来测试所提出算法的有效性。在实验中不同算法的初始参数，我们均尝试了多种选择并选取最佳的情况来进行比较。

图8是各个算法在模拟数据集的二维探测结果，从图中可以直观地看出，GRX、LRX和CRD三种线性异常探测算法不能很好地将所以异常目标探测出来。尤其是第一行的四个微弱的异常目标，这三种线性方法难以很好地从结果中提取出来。KCRD和KRX两种非线性算法能够很好地将所有的异常目标探测出来，但是对于底部的背景区域探测值也很高，其虚警率较高。这是因为简单地对像元进行非线性映射没有考虑高光谱图像内在的非线性特征，单纯的提高像元的区分性导致背景部分的虚警。本发明的算法从高光谱图形的非线性混合本质出发，其探测结果不仅能够很好地提取出异常目标，还能降低对背景像元的误检。图9是对应的ROC曲线，可以明显的看出KNUD(P)和KNUD(G)具有更高的探测率。

为进一步地定量分析，表2是使用AUC进行评价不同算法对模拟数据集的异常探测效果及运算时间。从表中可以看出KNUD(P)和KNUD(G)比其他方法的AUC更高。KNUD (P)的AUC最高，这是因为模拟数据集使用PPNM模型埋入异常点，使用二阶多项式核函数能够更好地模拟PPNM的非线性关系。对于不同算法各自的运算时间，非线性算法由于需要计算核映射，其运算时间相比线性算法更长。在非线性算法中，KNUD的运算量比 KCRD略大，但少于KRX的运算量。

表2.不同算法对模拟数据集的异常探测效果及运算时间对比

	GRX	LRX	CRD	KCRD	KRX	KNUD(P)	KNUD(G)
								AUC	0.9860	0.9879	0.9877	0.9918	0.9930	0.9991	0.9966
运算时间(s)	0.5550	8.3723	10.7962	150.4799	336.5383	205.7864	206.2471

2、真实数据集实验

在本节中，我们使用真实高光谱数据集对本发明所提出的算法性能进行测试，选取的是AVIRIS机载高光谱成像光谱仪在机场上空拍摄得到大小为100×100的高光谱遥感图像，其异常目标主要是图中的3个飞机[13]，图10是该数据集的灰度图和地物真实图。

我们将所提出的KNUD算法的两种模式与GRX、LRX、CRD、KCRD和KRX进行了比较。图11是各个算法对该数据集进行异常探测的结果，从中可以看出本发明提出的 KNUD算法可以将3个飞机明显地提取出来，同时对机场的其他背景位置在结果图中进行了抑制。图12是对应的ROC曲线，KNUD(P)和KNUD(G)几乎在所有的虚警率情况下都能够达到最高的探测率，很好地说明了该方法的有效性和优越性。进一步的定量分析，表3是使用AUC进行评价不同算法对该真实数据集的异常探测效果及运算时间。所提出的 KNUD具有最高的AUC，计算时间虽比线性算法长，但少于非线性方法KCRD和KRX。

表3.不同算法对真实数据集的异常探测效果及运算时间对比

	GRX	LRX	CRD	KCRD	KRX	KNUD(P)	KNUD(G)
								AUC	0.9724	0.9345	0.9831	0.9907	0.9853	0.9985	0.9962
运算时间(s)	0.7073	16.4515	108.2790	201.1719	304.8486	177.8787	178.7842

综上可知，对于模拟和真实高光谱数据集来说，本发明提出的算法相对于其他线性和非线性异常探测算法而言，都具有更好的探测精度和鲁棒性，可以有效地解决高光谱图像异常探测问题。

参考文献：

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