CN112747101B - 一种双圆弧齿廓谐波减速器齿形设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双圆弧齿廓谐波减速器齿形设计方法，包括以下步骤：A.基于给定的结构参数，获取装配后柔轮轮齿的位置以及轮齿对称线的转角；B.基于给定齿廓参数的谐波减速器，建立空载时柔轮齿廓方程，根据包络法建立刚轮齿廓方程；C.基于齿廓方程、装配后柔轮各个轮齿的位置以及轮齿对称线的转角，获取装配状态下的各轮齿对空载侧隙j；D.建立负载状态下柔轮的力学模型，获取负载状态下柔轮的周向位移，在各个啮合点依次施加单位载荷，得到代为周向啮合刚度矩阵K；E.基于K和j，得到额定载荷条件下谐波减速器实际变形；F.根据额载状态下柔轮的变形得到柔轮工作齿廓，利用包络法获取刚轮齿廓。

Description

一种双圆弧齿廓谐波减速器齿形设计方法

技术领域

本发明属于机械设计技术领域，特别是涉及一种双圆弧齿廓谐波减速器齿形设计方法。

背景技术

谐波减速器拥有传动比大、结构简单、体积小、重量轻、承载能力强、传动平稳等一系列优点，广泛应用于工业机器人、航空航天、电子工业等领域的重要精密设备。在传动过程中，谐波减速器同时啮合的齿数能达到总齿数的30％，啮合状况非常复杂，必须在保证柔轮与刚轮轮齿不发生干涉的前提下尽可能提高啮合的齿对数，因此对齿廓进行合理设计是非常重要的。最常用的设计方法是先选定波发生器结构参数以及柔轮齿廓参数，确定柔轮中性层曲线以及柔轮齿廓方程，然后根据包络法或改进运动学法求得共轭刚轮数值曲线，再对该曲线进行拟合得到一种工艺上易于实现的近似共轭刚轮齿廓。传统的谐波减速器齿形设计，是基于空载条件下柔轮的变形，而不是基于实际工况下柔轮的变形，这样设计出来的产品在工作一段时间后轮齿会产生比较大的磨损，导致传动精度的降低以及寿命变短(周祥祥.三维双圆弧齿廓谐波传动的齿形设计与分析[D].重庆大学,2016.)。

发明内容

为了克服传统齿形设计方法的不足，本发明提供了一种双圆弧齿廓谐波减速器齿形设计方法。

本发明至少通过如下技术方案之一实现。

一种双圆弧齿廓谐波减速器齿形设计方法，包括以下步骤：

A.基于给定的结构参数，获取装配后柔轮轮齿的位置以及轮齿对称线的转角；

B.基于给定齿廓参数的谐波减速器，建立空载时柔轮齿廓方程，根据包络法建立刚轮齿廓方程；

C.基于齿廓方程、装配后柔轮各个轮齿的位置以及轮齿对称线的转角，获取装配状态下的各轮齿对空载侧隙j；

D.建立负载状态下柔轮的力学模型，获取负载状态下柔轮的周向位移，在各个啮合点依次施加单位载荷，得到代为周向啮合刚度矩阵K；

E.基于K和j，得到额定载荷条件下谐波减速器实际变形；

F.根据额载状态下柔轮的变形得到柔轮工作齿廓，利用包络法获取刚轮齿廓。

优选的，获取装配后柔轮轮齿的位置以及轮齿对称线的转角如下：

其中：

为装配后轮齿的位置，μ为轮齿对称线的转角，

为装配前柔轮轮齿位置，ω为径向位移，ν为周向位移，r_m为柔轮中性层半径。

优选的，所述步骤B中根据波发生器结构参数以及柔轮的齿廓参数建立空载状态柔轮齿廓方程，在利用包络法获取与柔轮齿廓共轭的数值刚轮齿廓，采用矩阵相除的方法对数值刚轮齿廓进行圆弧拟合建立刚轮齿廓方程。

优选的，所述步骤C根据装配后轮齿的位置、法线转角以及刚轮齿廓方程，获取各个轮齿对上侧隙最小的位置，记录啮合点以及空载侧隙j：

建立空载柔轮右侧齿廓方程：

其中，s为齿廓参数，l₁＝ρ_a(α_a-δ_L)，α_a＝arcsin((h_a+X_a)/ρ_a)，x_oa＝-l_a，y_oa＝h_f+d_s-X_a，l₂＝l₁+(ρ_a+ρ_f)tanδ_L，l₃＝l₂+ρ_f(arcsin((X_f+h_f)/ρ_f)-δ_L)，x_of＝mπ/2+l_f，y_of＝h_f+d_s+X_f，x₁为柔轮右侧齿廓上任一点横坐标，y₁为柔轮右侧齿廓上任一点纵坐标，α_a为柔轮右侧齿廓上任一点压力角，x_oa是柔轮右齿廓凸圆弧圆心横坐标、y_oa是柔轮右齿廓凸圆弧圆心纵坐标、x_of是柔轮右齿廓凹圆弧圆心横坐标、y_of是柔轮右齿廓凹圆弧圆心纵坐标、l₁是柔轮右齿廓凸圆弧与公切线分界的齿廓参数值、l₂是柔轮右齿廓公切线与凹圆弧分界的齿廓参数值、l₃为齿廓参数s的最大之后、h_f为齿根高；

根据包络法建立刚轮齿廓方程：

其中

为装配后柔轮中性层的极径、x₂为与装配状态下柔轮右齿廓共轭的刚轮齿廓横坐标、y₂为与装配状态下柔轮右齿廓共轭的刚轮齿廓纵坐标；采用矩阵相除的方法对数值刚轮齿廓进行圆弧拟合得到刚轮齿廓方程。

优选的，获取装配状态下的各轮齿对空载侧隙j具体如下：

设柔轮中心为O，K₁(x_K1,y_K1)为装配后柔轮某一轮齿右齿廓任一点，以O为圆心，OK₁为半径交刚轮右齿槽于K₂(x_K2,y_K2)点，则该轮齿对空载侧隙为：

以此得出各个轮齿对的空载侧隙j。

优选的，所述步骤D根据啮合点处施加的啮合力F获取波发生器对柔轮作用力Q_k，将Q_k代入平衡方程和变形协调方程获取短轴处反力从而得到柔轮中性层处总弯矩，再获取各个啮合点处周向位移。

优选的，所述步骤D中依次在各个啮合点施加单位啮合力，得到n个维度为n的列向量，组成一个n×n矩阵，即为周向柔度矩阵λ，对λ求逆即得周向啮合刚度矩阵K。

优选的，所述步骤E中，固定柔轮和波发生器，给刚轮施加一个周向位移S，空载侧隙小于施加的周向位移S的轮齿发生啮合，反之则不啮合；啮合齿处柔轮周向位移等于施加的周向位移S与空载侧隙j之差，而未啮合齿的啮合力为0，代入平衡方程得到各个轮齿与对称线与轮齿中性层交点的周向位移，根据中性层不伸长假设，得到这些点的径向位移。

优选的，所述步骤F中，根据额载状态下柔轮的实际变形得到柔轮在工作状态下的齿廓方程，利用包络法获取与以共轭的数值刚轮齿廓，用矩阵相除的方法对数值刚轮齿廓进行圆弧拟合得到实际的刚轮齿廓。

优选的，利用包络法获取刚轮齿廓具体为：

根据柔轮在额定载荷下的位移ω'和ν'，获取柔轮在额定载荷状态的齿廓方程，利用包络法获取与之共轭的数值刚轮齿廓：

其中

根据对该方程得到刚轮齿廓数值解，进行圆弧拟合得到近似共轭刚轮齿廓，该齿廓则为刚轮的最终齿廓；x'₂为额定载荷工作状态下与柔轮齿廓共轭的刚轮齿廓横坐标，y'₂为额定载荷工作状态下与柔轮齿廓共轭的刚轮齿廓纵坐标

为额定载荷工作状态下柔轮轮齿的位置，μ'为额定载荷工作状态下柔轮轮齿对称线的转角，ω'为额定载荷工作状态下柔轮中性层径向位移，ν'为额定载荷工作状态下柔轮中性层周向位移。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

基于额定载荷下柔轮的变形来对双圆弧齿廓谐波减速器进行齿形设计，本发明设计出来的齿廓更适应实际工况，拥有更优良的啮合性能，精度保持性更好，使用寿命更长。

附图说明

图1为本实施例一种双圆弧齿廓谐波减速器齿形设计方法中柔轮中性层位移图；

图2为本实施例一种双圆弧齿廓谐波减速器齿形设计方法中双圆弧齿形图；

图3为本实施例一种双圆弧齿廓谐波减速器齿形设计方法中柔轮中性层受力图；

图4为实施例一种双圆弧齿廓谐波减速器齿形设计方法中柔轮周向位移流程图。

具体实施方式

为了使本技术领域的人员更好地理解本发明方案，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步的详细说明。显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

如图4所示的一种双圆弧齿廓谐波减速器齿形设计方法，包括以下步骤：

A.基于给定的结构参数，获取装配后柔轮轮齿的位置以及轮齿对称线的转角；

图1为装配后柔轮中性层各点位移图，ω为径向位移，ν为周向位移，由谐波减速器结构参数确定。装配后轮齿的位置为

轮齿对称线的转角为μ，柔轮中性层半径为r_m，，

为装配前柔轮轮齿位置，假设柔轮中性层不伸长，则有：

表1柔轮齿廓参数

B.基于给定齿廓参数的谐波减速器，建立空载时柔轮齿廓方程，根据包络法建立刚轮齿廓方程；

柔轮齿廓参数如表1，双圆弧齿形图如图2建立空载柔轮右侧齿廓方程：

其中，s为齿廓参数，l₁＝ρ_a(α_a-δ_L)，α_a＝arcsin((h_a+X_a)/ρ_a)，x_oa＝-l_a，y_oa＝h_f+d_s-X_a，l₂＝l₁+(ρ_a+ρ_f)tanδ_L，l₃＝l₂+ρ_f(arcsin((X_f+h_f)/ρ_f)-δ_L)，x_of＝mπ/2+l_f，y_of＝h_f+d_s+X_f。x₁为柔轮右侧齿廓上任一点横坐标，y₁为柔轮右侧齿廓上任一点纵坐标，α_a为柔轮右侧齿廓上任一点压力角，x_oa是柔轮右齿廓凸圆弧圆心横坐标、y_oa是柔轮右齿廓凸圆弧圆心纵坐标、x_of是柔轮右齿廓凹圆弧圆心横坐标、y_of是柔轮右齿廓凹圆弧圆心纵坐标、l₁是柔轮右齿廓凸圆弧与公切线分界的齿廓参数值、l₂是柔轮右齿廓公切线与凹圆弧分界的齿廓参数值、l₃为齿廓参数s的最大之后、h_f为齿根高；

根据包络法建立刚轮齿廓方程：

其中

为装配后柔轮中性层的极径、x₂为与装配状态下柔轮右齿廓共轭的刚轮齿廓横坐标、y₂为与装配状态下柔轮右齿廓共轭的刚轮齿廓纵坐标；

采用矩阵相除的方法对数值刚轮齿廓进行圆弧拟合得到刚轮齿廓方程。

C.基于齿廓方程、装配后柔轮各个轮齿的位置以及轮齿对称线的转角，获取装配状态下的各轮齿对空载侧隙j；

设柔轮中心为O，K₁(x_K1,y_K1)为装配后柔轮某一轮齿右齿廓任一点，以O为圆心，OK₁为半径交刚轮右齿槽于K₂(x_K2,y_K2)点，则该轮齿对空载侧隙为：

以此得出各个轮齿对的空载侧隙j。

D.建立负载状态下柔轮的力学模型，获取负载状态下柔轮的周向位移，在各个啮合点依次施加单位载荷，得到代为周向啮合刚度矩阵K；

沿着短轴方向取柔轮中性层的上半部分为对象，其受力如图3所示。将柔轮轮齿啮合点受到的啮合力F₀等效为作用在轮齿对称线与中性层交点上相同的力F₀以及弯矩m₀。Q_k为柔性轴承滚珠对轴承外圈和柔轮的压力，根据F₀获取Q_k分布。

列出静力平衡方程：

式中

根据单位载荷法：

其中，X₁为柔轮中性层短轴处B点所受横向力，X₂为为柔轮中性层短轴处B点所受法向力，X₃为柔轮中性层短轴处B点所受弯矩，X₄为柔轮中性层短轴处A点所受横向力，X₅为为柔轮中性层短轴处A点所受法向力，X₆为柔轮中性层短轴处A点所受弯矩。F₀为柔轮与刚轮啮合力，m₀为F₀作用在轮齿对称线与中性层交点上的弯矩，β为F₀与x轴夹角，

为F₀的力臂，d_k为Q_k力臂，

为F₀作用点与y轴夹角，

为柔性轴承滚珠中心与y轴夹角，

为F₀作用点极径，

为Q_k作用点极径，δ₁为B点x方向变形，δ₂为B点y方向变形，δ₃为B点转角，δ₄为A点x方向变形，δ₅为A点y方向变形，δ₆为A点转角。

由反对称性和连续性可知，δ₁+δ₄＝0,δ₂+δ₅＝0,δ₃+δ₆＝0。式中δ_ij和Δ_ij表示力X_j在i方向产生的位移。由位移互等定理可知δ_ij＝δ_ji。

根据莫尔定理有：

表示单位力

产生的弯矩，

表示单位力

产生的弯矩。E为柔轮杨氏模量，I为柔轮惯性矩，

为F₀在柔轮中性层上产生的弯矩，

为Q_k在柔轮中性层上产生的弯矩。

根据静力平衡方程和变形协调方程可以得到内力X_i，从而得到中性层上总弯矩。

设点D为某一轮齿对称线与中性层交点，与y轴夹角为

其切向与x轴正方向夹角为β_D。由莫尔定理可得D点周向位移为：

式中

其中M_总为柔轮中性层上总弯矩，

为D点与y轴夹角,

为D点极径，

为D点单位力在柔轮中性层上产生弯矩；

在啮合点i施加单位啮合力F_i，获取单位啮合力F_i作用下各轮齿对称线与中性层交点周向位移λ_i＝[λ_i1；λ_i2；λ_i3；…；λ_in]，忽略轮齿的变形，则λ_i即为F_i作用下各啮合点的周向位移。依次在各个啮合点施加单位啮合力，得到λ₁,λ₂,…,λ_i,λ_i+1,…,λ_n，组成一个n×n矩阵，即为周向柔度矩阵λ＝[λ₁,λ₂,…,λ_i,λ_i+1,…,λ_n]，对λ求逆即得周向啮合刚度矩阵K。λ_in为啮合力F_i作用下，在第n个啮合点处产生的周向位移；λ_n表示在啮合力F_n作用下，各个啮合点处产生的周向位移组成的列向量。

建立平衡方程：

{F}＝K{δ}

其中{F}为啮合力数组，{δ}为柔轮啮合点周向位移数组。

将柔轮与波发生器固定，给刚轮施加一个周向位移S，若S大于某一轮齿对的空载侧隙，则该轮齿对将发生啮合，反之则齿对未啮合。对于啮合齿对i，柔轮啮合点周向位移δ_i等于S与该轮齿对空载侧隙之差；对于未啮合齿对j，其啮合力F_j等于0。将已知的δ_i和F_j代入平衡方程，利用迭代算法进行迭代即可得到{F}和{δ}。逐渐增加S，当啮合力力矩等于额定负载时，跳出循环，输出柔轮的周向位移。根据柔轮中性层不伸长，得到柔轮的径向位移。获取柔轮周向位移流程图如图4所示。图中s1表示给刚轮施加转角的步长，ji表示第i对轮齿之间的侧隙，e表示允许误差。

E.基于K和j，得到额定载荷条件下谐波减速器实际变形。

F.根据额载状态下柔轮的变形得到柔轮工作齿廓，利用包络法获取刚轮齿廓。

根据柔轮在额定载荷下的位移ω'和ν'，获取柔轮在额定载荷状态的齿廓方程，利用包络法获取与之共轭的数值刚轮齿廓：

其中

根据对该方程得到得到刚轮齿廓数值解，进行圆弧拟合得到近似共轭刚轮齿廓，该齿廓则为刚轮的最终齿廓。x'₂为额定载荷工作状态下与柔轮齿廓共轭的刚轮齿廓横坐标，y'₂为额定载荷工作状态下与柔轮齿廓共轭的刚轮齿廓纵坐标

为额定载荷工作状态下柔轮轮齿的位置，μ'为额定载荷工作状态下柔轮轮齿对称线的转角，ω'为额定载荷工作状态下柔轮中性层径向位移，ν'为额定载荷工作状态下柔轮中性层周向位移。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种双圆弧齿廓谐波减速器齿形设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

A.基于给定的结构参数，获取装配后柔轮轮齿的位置以及轮齿对称线的转角：

其中：

为装配后轮齿的位置，μ为轮齿对称线的转角，

为装配前柔轮轮齿位置，ω为径向位移，ν为周向位移，r_m为柔轮中性层半径；

B.基于给定齿廓参数的谐波减速器，建立空载时柔轮齿廓方程，根据包络法建立刚轮齿廓方程，采用矩阵相除的方法对数值刚轮齿廓进行圆弧拟合建立刚轮齿廓方程；

C.基于齿廓方程、装配后柔轮各个轮齿的位置以及轮齿对称线的转角，获取装配状态下的各轮齿对空载侧隙j，具体包括：根据装配后轮齿的位置、法线转角以及刚轮齿廓方程，获取各个轮齿对上侧隙最小的位置，记录啮合点以及空载侧隙j：

建立空载柔轮右侧齿廓方程：

其中，s为齿廓参数，l₁＝ρ_a(α_a-δ_L)，α_a＝arcsin((h_a+X_a)/ρ_a)，x_oa＝-l_a，y_oa＝h_f+d_s-X_a，l₂＝l₁+(ρ_a+ρ_f)tanδ_L，l₃＝l₂+ρ_f(arcsin((X_f+h_f)/ρ_f)-δ_L)，x_of＝mπ/2+l_f，y_of＝h_f+d_s+X_f，x₁为柔轮右侧齿廓上任一点横坐标，y₁为柔轮右侧齿廓上任一点纵坐标，α_a为柔轮右侧齿廓上任一点压力角，x_oa是柔轮右齿廓凸圆弧圆心横坐标、y_oa是柔轮右齿廓凸圆弧圆心纵坐标、x_of是柔轮右齿廓凹圆弧圆心横坐标、y_of是柔轮右齿廓凹圆弧圆心纵坐标、l₁是柔轮右齿廓凸圆弧与公切线分界的齿廓参数值、l₂是柔轮右齿廓公切线与凹圆弧分界的齿廓参数值、l₃为齿廓参数s的最大之后、h_f为齿根高；

根据包络法建立刚轮齿廓方程：

其中

为装配后柔轮中性层的极径、x₂为与装配状态下柔轮右齿廓共轭的刚轮齿廓横坐标、y₂为与装配状态下柔轮右齿廓共轭的刚轮齿廓纵坐标；采用矩阵相除的方法对数值刚轮齿廓进行圆弧拟合得到刚轮齿廓方程；

获取装配状态下的各轮齿对空载侧隙j具体如下：

设柔轮中心为O，

为装配后柔轮某一轮齿右齿廓任一点，以O为圆心，OK₁为半径交刚轮右齿槽于

点，则该轮齿对空载侧隙为：

以此得出各个轮齿对的空载侧隙j；

D.建立负载状态下柔轮的力学模型，获取负载状态下柔轮的周向位移，在各个啮合点依次施加单位载荷，得到代为周向啮合刚度矩阵K，具体包括：沿着短轴方向取柔轮中性层的上半部分为对象；将柔轮轮齿啮合点受到的啮合力F₀等效为作用在轮齿对称线与中性层交点上相同的力F₀以及弯矩m₀；Q_k为柔性轴承滚珠对轴承外圈和柔轮的压力，根据F₀获取Q_k分布；

列出静力平衡方程：

式中

根据单位载荷法：

其中，X₁为柔轮中性层短轴处B点所受横向力，X₂为柔轮中性层短轴处B点所受法向力，X₃为柔轮中性层短轴处B点所受弯矩，X₄为柔轮中性层短轴处A点所受横向力，X₅为柔轮中性层短轴处A点所受法向力，X₆为柔轮中性层短轴处A点所受弯矩；F₀为柔轮与刚轮啮合力，m₀为F₀作用在轮齿对称线与中性层交点上的弯矩，β为F₀与x轴夹角，

为F₀的力臂，d_k为Q_k力臂，

为F₀作用点与y轴夹角，

为柔性轴承滚珠中心与y轴夹角，

为F₀作用点极径，

为Q_k作用点极径，δ₁为B点x方向变形，δ₂为B点y方向变形，δ₃为B点转角，δ₄为A点x方向变形，δ₅为A点y方向变形，δ₆为A点转角；

由反对称性和连续性可知，δ₁+δ₄＝0,δ₂+δ₅＝0,δ₃+δ₆＝0，式中δ_ij和Δ_ij表示力X_j在i方向产生的位移；由位移互等定理可知δ_ij＝δ_ji；

根据莫尔定理有：

表示单位力

产生的弯矩，

表示单位力

产生的弯矩；E为柔轮杨氏模量，I为柔轮惯性矩，

为F₀在柔轮中性层上产生的弯矩，

为Q_k在柔轮中性层上产生的弯矩；

根据静力平衡方程和变形协调方程可以得到内力X_i，从而得到中性层上总弯矩；

设点D为某一轮齿对称线与中性层交点，与y轴夹角为

其切向与x轴正方向夹角为β_D；由莫尔定理可得D点周向位移为：

式中

其中M_总为柔轮中性层上总弯矩，

为D点与y轴夹角,

为D点极径，

为D点单位力在柔轮中性层上产生弯矩；

在啮合点i施加单位啮合力F_i，获取单位啮合力F_i作用下各轮齿对称线与中性层交点周向位移λ_i＝[λ_i1；λ_i2；λ_i3；…；λ_in]，忽略轮齿的变形，则λ_i即为F_i作用下各啮合点的周向位移；依次在各个啮合点施加单位啮合力，得到λ₁,λ₂,…,λ_i,λ_i+1,…,λ_n，组成一个n×n矩阵，即为周向柔度矩阵λ＝[λ₁,λ₂,…,λ_i,λ_i+1,…,λ_n]，对λ求逆即得周向啮合刚度矩阵K；λ_in为啮合力F_i作用下，在第n个啮合点处产生的周向位移；λ_n表示在啮合力F_n作用下，各个啮合点处产生的周向位移组成的列向量；

建立平衡方程：

{F}＝K{δ}

其中{F}为啮合力数组，{δ}为柔轮啮合点周向位移数组；

E.固定柔轮和波发生器，给刚轮施加一个周向位移S，空载侧隙小于施加的周向位移S的轮齿发生啮合，反之则不啮合；啮合齿处柔轮周向位移等于施加的周向位移S与空载侧隙j之差，而未啮合齿的啮合力为0，代入平衡方程得到各个轮齿与对称线与轮齿中性层交点的周向位移，根据中性层不伸长假设，得到这些点的径向位移；

得到额定载荷条件下谐波减速器实际变形；

F.根据额载状态下柔轮的实际变形得到柔轮在工作状态下的齿廓方程，利用包络法获取与以共轭的数值刚轮齿廓，用矩阵相除的方法对数值刚轮齿廓进行圆弧拟合得到实际的刚轮齿廓，利用包络法获取刚轮齿廓具体为：

根据柔轮在额定载荷下的位移ω'和ν'，获取柔轮在额定载荷状态的齿廓方程，利用包络法获取与之共轭的数值刚轮齿廓：

其中

根据对该方程得到刚轮齿廓数值解，进行圆弧拟合得到近似共轭刚轮齿廓，该齿廓则为刚轮的最终齿廓；x'₂为额定载荷工作状态下与柔轮齿廓共轭的刚轮齿廓横坐标，y'₂为额定载荷工作状态下与柔轮齿廓共轭的刚轮齿廓纵坐标

为额定载荷工作状态下柔轮轮齿的位置，μ'为额定载荷工作状态下柔轮轮齿对称线的转角，ω'为额定载荷工作状态下柔轮中性层径向位移，ν'为额定载荷工作状态下柔轮中性层周向位移。

Images