CN112464391A - 一种柴油发电机组哈密顿模型的建立方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种柴油发电机组哈密顿模型的建立方法，属于发电机组稳定分析与控制技术领域，柴油发电机组由柴油机和发电机组成，是一个复杂的非线性系统，本发明从动力学层面研究其建模方法，为进一步对其进行控制奠定基础，首先利用分析动力学原理将柴油机拉格朗日函数转换为哈密顿函数，并将其加入到发电机哈密顿函数中，获得柴油发电机组整体的哈密顿函数，基于所获得的哈密顿函数和柴油机本体及执行器的微分方程，推导柴油机哈密顿方程，并和发电机的哈密顿方程一起构成整个发电机组的哈密顿模型。

Description

一种柴油发电机组哈密顿模型的建立方法

技术领域

本发明属于柴油发电机技术领域，具体是柴油发电机组哈密顿建模技术，更为具体的是涉 及一种柴油机发电机组哈密顿模型的建立方法。

背景技术

柴油发电机组是一种灵活、快速的供电电源，被广泛应用于各种用电场所，尤其是作为一 种备用电源，被各行各业采用，当前随着大规模新能源的开发与利用，特别是微电网的快速发 展，利用柴油发电机组作为调节电源，平抑微电网功率波动是一种有效的方法，使得柴油发电 机组的应用得到快速发展。在此背景下，柴油发电机组与其它设备的协同控制技术成为研究的 热点，要求对柴油发电机组运行控制的内部机理进行更深入的探索。

柴油发电机组是由柴油机和发电机两个子系统组成的非线性系统，由于发电机建模问题比 较成熟，研究重点主要集中于柴油机系统。目前还没有关于柴油发电机组哈密顿建模的方法。

发明内容

本发明将柴油机拉格朗日系统演变得到广义哈密顿系统，进而连接发电机构成柴油发电机 组的广义哈密顿模型，提出柴油发电机组的哈密顿建模方法，为基于系统结构动力学的柴油发 电机组运行控制研究提供基础。

本发明提出一种柴油发电机组的哈密顿建模方法，柴油发电机组包含柴油机和发电机，本 发明在柴油机拉格朗日方程的基础上，采用动力学方法将拉格朗日函数转换为哈密顿函数，获 得柴油机的哈密顿函数，并将其加入到发电机哈密顿函数中，获得柴油发电机组整体的哈密顿 函数并结合微分方程，推导柴油发电机组哈密顿方程，具体建模方法如下。

一种柴油发电机组哈密顿模型的建立方法，柴油发电机组包括柴油机和发电机，包含以下 几个步骤：

(1)将柴油机拉格朗日函数转换为哈密顿函数：

取

θ_m为广义位移，对应的广义速度为

ω，写为矩阵形式为

定义广义动量为p＝[p₁ p₂ p₃]^T，广义动量可以通过拉格朗日函数

求取，如下：

根据动力学理论，定义如下的哈密顿函数H⁽¹⁾：

其中：拉格朗日函数为

是轴运动速度标么值；

是质量标么值；

是弹簧刚度标么值；x₁是执行器位移，各个量取标么值；

对上式的哈密顿函数H⁽¹⁾求偏导可获得：

利用这 组变换关系将柴油机微分方程式转化为广义哈密顿形式，如下：

其中：H⁽¹⁾为柴油机哈密顿函数；

为执行器运动部分质量标么值；

为执行器位移标么值；

为执行器移动速度标么值

是柴油机执行部分弹簧刚度标么值，ω_B为发电机额定角 速度；T_j为惯性时间常数；ω₁为发电机角速度相对额定角速度的变化值，

为阻尼系数标么值；

T_D、T_b、；x_nl为空载位移；

为执行器的输入；m₂为发电机电磁力矩；D为发电机等 效阻尼系数；以上参数均为标么值；以上的各个参数通过设备额定参数、实验直接获得或经过 已知参数计算获得；

(2)建立柴油发电机组的哈密顿能量函数：

发电机单机无穷大系统哈密顿模型采用文献“Zeng Yun etc.,The generalizedHamiltonian model for the shafting transient analysis of the hydro turbinegenerating sets[J].Nonlinear Dynamics, 2014,76(4),1921-1933.”中给出的模型如下。

发电机哈密顿能量函数：

哈密顿方程为：

其中，δ为发电机功角(rad)，E_q′为q轴瞬变电动势相对值，U_s为无穷大系统电压相对值， X_d∑＝X_d+X_T+X_L，X_d为发电机d轴电抗，X_T为变压器等效电抗，X_L为线路等效电抗， X_q∑＝X_q+X_T+X_L，X_q为发电机q轴电抗，X_d∑′＝X_d′+X_T+X_L，X_d′为发电机d轴次暂态电抗，X_f为励 磁绕组电抗，X_ad为d轴电枢反应电抗，各电抗均为相对值，T_d0′为d轴开路暂态时间常数(秒)， m_t为水轮机力矩，E_f为励磁控制输出，以上参数中没有标明单位均为标么值；以上的各个参数通过设备额定参数、实验直接获得或经过已知参数计算获得；

将柴油机与发电机集合为一个系统，重新选取状态变量：

v₃＝δ，v₄＝ω₁，v₅＝E_q′， 其中，由于发电机与柴油机是同轴运行，在将二者的能量函数合成时，分项：

只能取 一次；包含两个子系统哈密顿函数为：

其中，由于发电机与柴油机是同轴运行，在将二者的能量函数合成时，分项：

只能取 一次；

(3)建立柴油机哈密顿方程：

将步骤(2)中获得的柴油机哈密顿方程与已知的发电机哈密顿方程联合得到柴油发电机 组哈密顿方程：

其中：

所述柴油机拉格朗日拉格朗日函数的建立方法，具体步骤如下：

(1)执行器的拉格朗日函数的建立：

设柴油机电磁执行器的输入信号为u，输出轴位移为x，衔铁运动在轴上产生的电磁力F 为二者的函数，表示为F(x,u)，假设初始执行器工作在输入信号为u₀，位移为x₀的稳定状态， 则电磁力表示为F(x₀,u₀)，当输入信号变化Δu，相应轴位移变化Δx，电磁力变化为：

F(x₀,u₀)+ΔF＝F(x₀+Δx,u₀+Δu)

将上式右边采用泰勒级数展开得到：

令

则：F(x,u)＝F(x₀,u₀)+k_xΔx+k_uΔu；其中

表示电磁力F随输入u的 变化梯度，

表示电磁力F随输出轴位移x的变化梯度；

执行器机械系统是典型的弹簧质量系统，则执行器的拉格朗日函数L₁为动能减去势能， 即：

其中：v是轴运动速度，m/s；m₁是质量，kg；k₁是弹簧刚度，N/m；x是执行器位移，mm；

(2)柴油机旋转部分轴系统的拉格朗日函数的建立：

柴油机本体旋转部分主要是指轴系旋转部分，功率从轴上输出，表现为轴力矩，取轴旋转 机械角位移θ_m(rad)为广义坐标，轴系统的拉格朗日函数L₂等于轴的旋转动能：

其中：J为转动部分的转动惯量，kg.m²；ω_m为机械角速度为，rad/s；

(3)柴油机拉格朗日函数的建立：

柴油机拉格朗日函数由执行器和本体两部分能量函数构成，将步骤1和步骤2中所获得的 执行器和本体的能量函数L₁和L₂相加，可得到柴油机的拉格朗日函数：

其中：L为拉格朗日函数；m₁为执行器运动部分质量，kg；k₁是执行器弹簧刚度，N/m；x₁为执行器位移，mm；x₂为执行器速度，m/s；J为转动部分的转动惯量，kg.m²；ω_m为转动 部分的机械角速度，rad/s；以上的各个参数通过设备额定参数、实验直接获得或经过已知参数 计算获得。

本发明的有益效果是：

1、柴油发电机组哈密顿模型与微分方程模型比，给出了结构和阻尼矩阵，揭示了柴油发电 机组运行控制的内部动力学机理。

2、基于该发明，可以实现复杂的非线性控制，设计出基于动力学内部耦合机理的非线性控 制器。

3、该模型可以用于涉及柴油发电机组稳定分析和仿真的商业软件系统中。

4、本发明提供了柴油发电机组哈密顿建模的方法和哈密顿模型，所获得的哈密顿模型提供 了系统的结构矩阵和阻尼矩阵，它揭示了系统内部关联耦合的机理，为进一步基于哈密顿模型 的控制提供了方便。本发明为柴油发电机组的建模提供了一种新方法。

附图说明

图1为柴油发电机组与电网的连接图；

图2为柴油发电机哈密顿函数随时间的变化曲线；

图3为柴油发电机哈密顿函数与有功功率的变化曲线；

图中，1-柴油机，2-发电机，3-变压器，4-输电线路，5-电网。

具体实施方案

为了进一步表述本发明的内容，结合具体例子进行进一步分析。

实施例1

一种柴油发电机组哈密顿模型的建立方法，柴油发电机组包括柴油机和发电机，包含以下 几个步骤：

步骤1：建立柴油机拉格朗日函数：

(1)执行器拉格朗日模型的建立过程：

执行器是柴油机对外部控制信号的执行机构，通过它实现对柴油机的控制，各种类型的柴 油机执行器抽象为数学模型后都是相同的。

设柴油机电磁执行器的输入信号为u，输出轴位移为x，衔铁运动在轴上产生的电磁力F 可表示为F(x,u)，假设初始执行器工作在输入信号为u₀，位移为x₀的稳定状态，则电磁力可表 示为F(x₀,u₀)，当输入信号变化Δu，相应轴位移变化Δx，电磁力变化为：

F(x₀,u₀)+ΔF＝F(x₀+Δx,u₀+Δu)

将上式右边采用泰勒级数展开得到：

令

则：F(x,u)＝F(x₀,u₀)+k_xΔx+k_uΔu；其中

表示电磁力F随输入u的 变化梯度，

表示电磁力F随输出轴位移x的变化梯度；

执行器机械系统是典型的弹簧质量系统，则执行器的拉格朗日函数L₁为动能减去势能， 即：

其中：v是轴运动速度(m/s)，m₁是质量，k₁是弹簧刚度(N/m)，x是执行器位移(mm)；

执行器在运动过程中受到阻尼，设阻尼系数为c₁(N.s/m)，阻尼与速度成正比，即大小为c₁v， 所以轴上的外力Q为电磁力和阻尼力之差：Q＝F(x,u)-c₁v

经典的拉格朗日方程一般形式为：

将L₁和Q代入其中可得到轴的运动 方程：

在平衡状态下，输入控制信号和执行器轴位移恒定，即u＝u₀，x＝x₀，增量为零：Δu＝0， Δx＝0，代入上式方程有k₁x₀＝F(x₀，u₀)，即弹簧力与电磁力相等，方程可表示为：

其中，k_x1＝k_x－k₁，Δx＝x－x₀，Δu＝u－u₀；

在平衡点处上式仍然要满足，所以将平衡点坐标(u＝u₀，x＝x₀)代入上式得：k_x1x₀＝-k_uu₀， 于是上式可以改写为如下形式：

(i)式即是执行器的拉格朗日方程；

(2)柴油机旋转部分拉格朗日模型的建立：

柴油机本体旋转部分主要是指轴系旋转部分，功率从轴上输出，表现为轴力矩，取轴旋转 机械角位移θ_m(rad)为广义坐标，系统的拉格朗日函数L₂等于轴的旋转动能：

其中：J为转动部分的转动惯量(kg.m²)，ω_m为机械角速度为(rad/s)；

设柴油机轴力矩为M₁，若柴油机输出端连接发电机，设发电机电磁力矩为M₂，它代表的 是在柴油机轴上产生的制动性力矩，再计及发电机阻尼绕组产生的阻尼力矩M_d，则作用在柴 油机轴上的非保守广义外力(力矩)为：

Q₂＝M₁-M₂-M_d

其中，柴油机轴上的力矩M₁与轴位移和角速度为线性关系，可表示为：

M₁＝k_ω(ω_m-ω_mB)-a₁(x-x_nl)

其中，k_ω、a₁为系数，a₁＝M_1r/(x_r-x_nl)，M_1r是柴油机额定转矩，x_r是额定扭矩对应的轴位移，x_nl是空载位移，即a₁是柴油机力矩随轴位移变化的增益系数或斜率；ω_mB是额定机械角速度；

阻尼转矩与角速度也成正比：M_d＝Dp(ω_m-ω_mB)，其中，D为柴油机转动阻尼系数；p为发电机磁极对数；所以Q₂＝k_ω(ω_m-ω_mB)-a₁(x-x_nl)-M₂-Dp(ω_m-ω_mB)

将L₂、Q₂代入拉格朗日方程式

得到：

其中r₀＝k_ω-Dp；r₁＝-r₀ω_mB+a₁x_n1；ω_mB为额定机械角速度，M₂为发电机电磁力矩；

(3)求取柴油机拉格朗日函数和拉格朗日方程：

(a)柴油机拉格朗日函数：

柴油机拉格朗日函数由执行器和本体两部分能量函数构成，将所获得的执行器和本体的能 量函数L₁和L₂相加，可得到柴油机的拉格朗日函数：

(b)柴油机拉格朗日方程：

根据上述推导，将柴油机拉格朗日方程整理为标准的形式如下，设x₁为执行器位移，x₂为 执行器运动速度v，即x₂＝dx₁/dt，代入(i)式得：

式(iii)即为柴油机的拉格朗日方程；

其中：L为拉格朗日函数；m₁为执行器运动部分质量，kg；k₁是执行器弹簧刚度，N/m；x₁为执行器位移，mm；x₂为执行器速度，m/s；J为转动部分的转动惯量，kg.m²；ω_m为转动 部分的机械角速度，rad/s；u为执行器的输入信号；c₁为执行器的阻尼系数；k_x1、k_u、k_ω、 a₁为系数；r₀＝k_ω-Dp；r₁＝-r₀ω_mB+a₁x_n1；D为柴油机转动阻尼系数；p为发电机磁极对数； ω_mB为柴油机额定机械角速度；x_nl为柴油机额定转速下空载位移；M₂为柴油机负荷力矩；以 上的各个参数通过设备额定参数、实验直接获得或经过已知参数计算获得；

步骤2：将柴油机拉格朗日函数转换为哈密顿函数：

取

θ_m为广义位移，对应的广义速度为

ω，写为矩阵形式为

定义广义动量为p＝[p₁ p₂ p₃]^T，广义动量可以通过拉格朗日函数

求取，如下：

根据动力学理论，定义如下的哈密顿函数H⁽¹⁾：

其中：从步骤1可知拉格朗日函数为

是轴运动速度标么值；

是质 量标么值；

是弹簧刚度标么值；x₁是执行器位移，各个量取标么值；

对上式哈密顿函数H⁽¹⁾求偏导可获得：

利用这组 变换关系将微分方程式转化为广义哈密顿形式，如下：

其中：H⁽¹⁾为柴油机哈密顿函数；

为执行器运动部分质量标么值；

为执行器位移标么值；

为执行器移动速度标么值；

是柴油机执行部分弹簧刚度标么值，ω_B为发电机额定角速度；T_j为惯性时间常数；ω₁为发电机角速度相对额定角速度的变化值，

为阻尼系数 标么值；

T_D、T_b、；x_nl为空载位移；

为执行器的输入；m₂为发电机电磁力矩；D为发电机等效阻尼系数；以上参数均为标么值；以上的各个参数通过设备额定参数、实验直接获 得或经过已知参数计算获得；

步骤3：建立柴油发电机组的哈密顿能量函数：

发电机单机无穷大系统哈密顿模型采用文献“Zeng Yun etc.,The generalizedHamiltonian model for the shafting transient analysis of the hydro turbinegenerating sets[J].Nonlinear Dynamics, 2014,76(4),1921-1933.”中给出的模型如下：

发电机哈密顿能量函数：

哈密顿方程为：

其中，δ为发电机功角(rad)，E_q′为q轴瞬变电动势相对值，U_s为无穷大系统电压相对值， X_d∑＝X_d+X_T+X_L，X_d为发电机d轴电抗，X_T为变压器等效电抗，X_L为线路等效电抗， X_q∑＝X_q+X_T+X_L，X_q为发电机q轴电抗，X_d∑′＝X_d′+X_T+X_L，X_d′为发电机d轴次暂态电抗，X_f为 励磁绕组电抗，X_ad为d轴电枢反应电抗，各电抗均为相对值，T_d0′为d轴开路暂态时间常数(秒)， m_t为水轮机力矩，E_f为励磁控制输出，以上参数中没有标明单位均为标么值；以上的各个参数通过设备额定参数、实验直接获得或经过已知参数计算获得；

步骤4：建立柴油发电机组哈密顿函数及方程：

柴油发电机组与电网的连接如图1所示，包括柴油机1、发电机2、变压器3、输电线路4、 电网5；柴油机1与发电机2连接，组成柴油发电机组，发电机2与变压器3连接，变压器3通过输电线路与电网5连接，将图1中的，将柴油机与发电机集合为一个系统，重新选取状态变量：

v₃＝δ，v₄＝ω₁，v₅＝E_q′，两个子系统哈密顿函数合并，其中，由于发电机与柴油机是同轴运行，在将二者的能量函数合成时，分项：

只能取一次，合并后的函数为：

将步骤(2)中获得的柴油机哈密顿方程(iv)与已知的发电机哈密顿方程(v)联立得到柴油发电 机组哈密顿方程：

其中：

其中，H为柴油机哈密顿函数；

为执行器运动部分质量标么值；

为执行器位移标么 值；

为执行器移动速度标么值；

是柴油机执行部分弹簧刚度标么值，ω_B为发电机额定角 速度；T_j为惯性时间常数；ω₁为发电机角速度相对额定角速度的变化值，

为阻尼系数标么值；

T_D、T_b、；x_nl为空载位移；

为执行器的输入标么值；m₂为发电机电磁力矩；D为发 电机等效阻尼系数；以上参数均为标么值；δ为发电机功角(rad)，E_q′为q轴瞬变电动势相对值， X_d∑＝X_d+X_T+X_L，X_d为发电机d轴电抗，X_T为变压器等效电抗，X_L为线路等效电抗， X_q∑＝X_q+X_T+X_L，X_q为发电机q轴电抗，X_d∑′＝X_d′+X_T+X_L，X_d′为发电机d轴次暂态电抗，X_f为励 磁绕组电抗，X_ad为d轴电枢反应电抗，各电抗均为相对值，T_d0′为d轴开路暂态时间常数(秒)， m_t为水轮机力矩，E_f为励磁控制输出，以上参数中没有标明单位均为标么值。

本实施例完成了柴油发电机组哈密顿函数的建立。

实施例2

为了验证实施例1哈密顿函数的正确性，从两个方面进行仿真，(1)哈密顿函数随时间的 变化；(2)哈密顿函数与发电机有功功率的变化。

仿真参数：

某柴油发电机组主要参数：柴油机额定功率1250kW，额定转速n＝1500r/min，m₁＝0.8kg， 转动惯量J＝71.822kg.m²，发电机磁极对数p＝2；发电机阻尼系数D＝0.1753；直轴电枢电抗X_ad＝1.96，发电机时间常数T_d0＝2.8；直轴同步电抗X_d＝2.053；交流同步电抗X_q＝1.0；直轴暂态电 抗X′_d＝0.213；交轴暂态电抗X′_q＝0.168，励磁绕组电抗X_f＝2.09；线路电抗X_L＝0.1；变压器等 效电抗X_T＝0.15，无穷大母线电压U_S＝1.0。

仿真工况一：在0秒时给定0.5(pu)的输入阶跃扰动，哈密顿能量函数的变化曲线，如 图2，图2表明暂态过程中哈密顿函数值从初始稳态值开始出现震荡，经历暂态过程后进入新 的平衡点；暂态过程中哈密顿函数保持为正值，并且随着输入的稳定而趋近于新的稳态值，其 变化趋势较好地反映了暂态过程中系统能量的变化。也说明所建立的柴油发电机哈密顿函数是 合理的。

仿真工况二：发电机输出功率从空载到额定值，哈密顿函数的变化曲线，如图3所示，图 3表明，稳态工况下，在柴油发电机组功率范围内哈密顿函数的变化与有功功率的变化一致， 且系统的哈密顿函数均大于零，H为正定函数，说明所建立的系统的哈密顿函数是合理的。

图2和图3采用两种工况，从暂态和稳态两个方面分析了哈密顿函数的变化，仿真结果说 明所建立的柴油发电机组的哈密顿函数是合理的。

Claims (2)

1.一种柴油发电机组哈密顿模型的建立方法，柴油发电机组包括柴油机和发电机，其特征在于，包含以下几个步骤：

(1)将柴油机拉格朗日函数转换为哈密顿函数：

取

θ_m为广义位移，对应的广义速度为

ω，写为矩阵形式为

定义广义动量为p＝[p₁ p₂ p₃]^T，广义动量可以通过拉格朗日函数

求取，如下：

根据动力学理论，定义如下的哈密顿函数H⁽¹⁾：

其中：拉格朗日函数为

是质量标么值；

是执行器运动速度标么值；

是弹簧刚度标么值；x₁是执行器位移标么值，各个量取标么值；

对上式的哈密顿函数H⁽¹⁾求偏导可获得：

令

利用这组变换关系将柴油机微分方程式转化为广义哈密顿形式，如下：

其中：H⁽¹⁾为柴油机哈密顿函数；

为执行器运动部分质量标么值；

为执行器位移标么值；

为执行器移动速度标么值；

是柴油机执行部分弹簧刚度标么值，ω_B为发电机额定角速度；T_j为惯性时间常数；ω₁为发电机角速度相对额定角速度的变化值，

为阻尼系数；

T_D、T_b、；x_nl为空载位移；

为执行器的输入标么值；m₂为发电机电磁力矩；D为发电机等效阻尼系数；以上参数均为标么值；

(2)建立发电机的哈密顿能量函数：

发电机哈密顿能量函数为：

哈密顿方程为：

其中，δ为发电机功角(rad)，E_q′为q轴瞬变电动势相对值，U_s为无穷大系统电压相对值，X_d∑＝X_d+X_T+X_L，X_d为发电机d轴电抗，X_T为变压器等效电抗，X_L为线路等效电抗，X_q∑＝X_q+X_T+X_L，X_q为发电机q轴电抗，X_d∑′＝X_d′+X_T+X_L，X_d′为发电机d轴次暂态电抗，X_f为励磁绕组电抗，X_ad为d轴电枢反应电抗，各电抗均为相对值，T_d0′为d轴开路暂态时间常数(秒)，m_t为水轮机力矩，E_f为励磁控制输出，以上参数中没有标明单位均为标么值；

(3)建立柴油发电机组哈密顿方程：

将柴油机与发电机合成为一个系统，重新选取状态变量：

包含两个子系统哈密顿函数为：

其中，由于发电机与柴油机是同轴运行，在将二者的能量函数合成时，分项：

只能取一次；

将步骤(2)中获得的柴油机哈密顿方程与已知的发电机哈密顿方程联合得到柴油发电机组哈密顿方程：

其中：

2.根据权利要求1所述柴油发电机组哈密顿模型的建立方法，其特征在于，所述柴油机拉格朗日拉格朗日函数的建立方法，具体步骤如下：

(1)执行器的拉格朗日函数的建立：

设柴油机电磁执行器的输入信号为u，输出轴位移为x，衔铁运动在轴上产生的电磁力F为二者的函数，表示为F(x,u)，假设初始执行器工作在输入信号为u₀，位移为x₀的稳定状态，则电磁力表示为F(x₀,u₀)，当输入信号变化Δu，相应轴位移变化Δx，电磁力变化为：

F(x₀,u₀)+ΔF＝F(x₀+Δx,u₀+Δu)

将上式右边采用泰勒级数展开得到：

令

则：F(x,u)＝F(x₀,u₀)+k_xΔx+k_uΔu；其中

表示电磁力F随输入u的变化梯度，

表示电磁力F随输出轴位移x的变化梯度；

执行器机械系统是典型的弹簧质量系统，则执行器的拉格朗日函数L₁为动能减去势能，即：

其中：v是轴运动速度，m/s；m₁是质量，kg；k₁是弹簧刚度，N/m；x是执行器位移，mm；

(2)柴油机旋转部分轴系统的拉格朗日函数的建立：

柴油机本体旋转部分主要是指轴系旋转部分，功率从轴上输出，表现为轴力矩，取轴旋转机械角位移θ_m(rad)为广义坐标，轴系统的拉格朗日函数L₂等于轴的旋转动能：

其中：J为转动部分的转动惯量，kg.m²；ω_m为机械角速度为，rad/s；

(3)柴油机拉格朗日函数的建立：

柴油机拉格朗日函数由执行器和本体两部分能量函数构成，将步骤1和步骤2中所获得的执行器和本体的能量函数L₁和L₂相加，可得到柴油机的拉格朗日函数：

其中：L为拉格朗日函数；m₁为执行器运动部分质量，kg；k₁是执行器弹簧刚度，N/m；x₁为执行器位移，mm；x₂为执行器速度，m/s；J为转动部分的转动惯量，kg.m²；ω_m为转动部分的机械角速度，rad/s；以上的各个参数通过设备额定参数、实验直接获得或经过已知参数计算获得。

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