CN112437397B - 基于交替修正牛顿法的分布式传感器节点定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于交替修正牛顿法的分布式传感器节点定位方法，其特征在于，包括如下步骤：1）定义网络；2）将WSN定位问题归结为无约束的优化问题；3）将WSN划分为部分重叠的子区域；4）重新构建子区域优化问题；5）估计LU节点的粗略估计值；6）采用分布式定位方法对子区域优化问题进行迭代求解，获取最终定位。这种方法能解决大规模WSN存在锚节点位置误差时难以定位的问题，且定位精度较高，扩展性好，适宜于大规模WSN。

Description

基于交替修正牛顿法的分布式传感器节点定位方法

技术领域

本发明涉及无线传感器网络技术领域，具体是一种基于交替修正牛顿法的分布式传感器节点定位方法。

背景技术

无线传感器网络(Wireless Sensor Network,简称WSN)由大量的传感器构成，可以对指定环境进行实时监测，因WSN低成本、低功耗、体积小、多功能等优点，已经被广泛应用于商业、军事和农业等领域，在大多数应用中，为了提供更为有效的数据信息，检测到的信息需和传感器节点位置结合起来，因此，研究WSN中传感器节点定位技术就显得尤为重要。

在大规模WSN中，全球定位系统(Global Positioning System,简称GPS)是可以获取节点位置的导航系统。因考虑投入成本、能量消耗以及适用环境等诸多因素，为每个传感器配备GPS接收器是不切实际的方案，因此一般只有少量节点通过装载GPS模块获得自身位置，这一部分事先获得自身位置的传感器节点称为已知位置(Location-aware,简称LA)节点，又名锚节点，其他传感器节点称为未知位置(Location-unaware,简称LU)节点，传感器节点定位还需获得测距信息，测距信息可以通过到达时间差(Time-Difference-Of-Arrival,简称TDOA)、到达角(Angle-Of-Arrival,简称AOA)、接收信号强度(Received-Signal-Strength,简称RSS)获得，综上所述，WSN传感器节点定位问题可以归结为:LU节点根据LA节点、测距信息采用定位方法来估计自身位置。

在大多数定位方法中都假定LA节点位置准确，以便估计LU节点位置，但在许多情况下，可能无法准确知道LA节点位置，这种不确定性反过来会影响估计传感器位置的质量，水下WSN定位问题就是一个显著例子。在水下WSN中，存在三种类型的节点：浮标(兼备观测和测量功能的信息设备)、锚节点和未知节点，则未知节点可以通过锚节点和浮标位置采用合作定位方法估计自身位置，但射频波在水下被严重衰减，导致锚节点位置易出错和测距误差增大，进而导致定位效果较差。因此，在实际应用中，考虑锚节点位置是一项很有意义的工作。

已有众多定位方法中，基于计算方式不同，可以划分为两类：集中式方法和分布式方法。集中式方法需要获取所有范围内的节点之间连接信息，然后将信息传输到融合中心进行位置估计。例如，K.W.K.Lui将定位问题归结为集中式的优化问题，采用半正定规划(Semi-Definite-Programming,简称SDP)松弛方法，引入一个正则项，可降低优化变量个数，采用梯度下降法细化LU节点位置，从而提高定位精度，但是，集中式方法随着WSN规模增大，通信代价也会变大，带宽会消耗过快，导致整个WSN寿命缩短，无法在大规模网络使用；与集中式方法运算方式相比，分布式方法将处理器分布到每个节点上，对局部信息进行处理，更高效节能，易扩展到大规模网络。例如，Soares C通过采用松弛非凸的最大似然估计条件，提出一种简单凸松弛方法(Simple-Convex-relaxation,简称SC relaxation)且使用梯度法实现每个节点收敛，从而降低通信量，但此方法要求LU节点在LA节点凸包之内才能保证良好定位效果。Srirangarajan S使用二阶锥规划(Second-Order Cone Programming,简称SOCP)松弛技术将定位问题转化为凸优化问题，设计出一种分布式方法，可适用于大规模网络，但对于网络边界节点不能够很好定位，且需要更多LA节点信息；S.Zhou将WSN定位问题考虑成箱型约束下的欧式距离优化问题(Box-Constraints-Euclidean-Distance-Matrix,简称BCEDM)，提出了一种快速矩阵投影方法，提高定位速度，但是对于网络边界节点定位效果较差。综上所提定位方法都具有很强适用性，易推广到处理锚节点位置这一优化问题。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术的不足，而提供一种基于交替修正牛顿法的分布式传感器节点定位方法。这种方法能解决大规模WSN存在锚节点位置误差时难以定位的问题，且定位精度高、扩展性好，适宜于大规模WSN。

实现本发明目的的技术方案是：

基于交替修正牛顿法的分布式传感器节点定位方法，包括步骤如下：

1)定义网络：在需要检测的区域内随机部署N个传感器节点，构成无线传感器网络，对其中m个节点添加BDS或GPS模块作为已知位置节点，剩余的n个节点作为未知位置节点，即待定位节点；

2)将WSN定位问题归结为无约束的优化问题：在特定区域部署传感器节点，这些节点构成WSN，WSN中共有N个节点，其中有m个LA节点，n个LU节点，LU节点位置表示为x₁,x₂,…x_n，LU节点在i点坐标表示为x_i＝[x_i,y_i]^T，准确位置的LA节点表示为a₁,a₂,...a_m，LA节点在k点坐标表示为a_k＝[x_k,y_k]^T，用d_ij表示LU节点i和节点j之间带噪距离，d_ij＝d_ji，d_ik表示LU节点i和LA节点k之间带噪距离，w_ij和w_ik是根据带噪距离的反比取得的归一化权重，

表示LU节点之间可测得距离的节点集合，

表示LU节点和LA节点之间可测得距离的节点集合，利用这些信息可以将WSN定位问题归结为一个无约束优化问题如公式(1)所示：

3)将WSN划分为部分重叠的子区域：在区域内随机部署传感器节点，由于受到功率限制，只有在通信半径R范围内的传感器节点之间才可以正常通信，正常通信的传感器节点之间能获取距离信息，根据距离信息，将WSN表示为一个无向图，即

其中

表示传感器节点的集合，ε表示节点之间边的集合，将WSN表示的无向图以LU为中心划分为多个部分重叠的子图，每一个子图就是一个子区域，得到多个部分重叠的子区域，即有：

其中，

s＝1,2,…n表示第s个子区域，

表示为子区域s中所有节点的集合，ε_s表示为子区域s中节点之间边的集合；

4)重新构建子区域优化问题：将WSN划分成多个部分重叠的子区域后，把目标函数构建成多个子区域内的优化问题，因此，将如公式(1)所示无约束优化问题重新构建为子区域无约束优化问题如公式(3)所示：

其中，s＝1,2,…n表示第s个子区域，

表示第s个子区域内的第i个LU节点坐标，

表示第s个子区域的第j个LU节点坐标，

表示第s个子区域的第k个LA节点坐标，

和

表示子区域内节点之间带噪声的测距，测距噪声模型如公式(4)和公式(5)所示，LA节点噪声模型如公式(6)所示：

其中，τ₁∈[0,1]是距离噪声因子，

是LA节点真实位置，τ₂∈[0,1]是LA节点位置噪声因子，

和

是随机噪声，是正态随机变量N(0,1)，

公式(3)中，

和

表示子区域中基于节点之间距离取反比的归一化权重，

和

分别如公式(7)和公式(8)所示：

把子区域内所有的LU节点和LA节点的坐标分别组成列向量x_s和p_s，表示为：

令e_i1、e_i2、e_j1、e_j2分别表示单位矩阵I_2l的第2i-1列、第2i列、第2j-1列、第2j列，e_k1、e_k2分别表示I_2h单位矩阵的第2k-1列和2k列，则

可表示为：

同理，

和

分别表示为：

则可将公式(3)的节点之间距离表示为：

其中，

A＝(e_i1-e_j1)(e_i1-e_j1)^T+(e_i2-e_j2)(e_i2-e_j2)^T (11)，

则公式(3)可以表示为公式(16)：

公式(16)为无约束的优化问题，可用交替修正牛顿法进行求解；

5)估计LU节点的粗略估计值：采用三边定位法估计LU节点的粗略估计值，三边定位法为：假设待测LU节点A，坐标为(x,y)，有B、C、D分别是三个不共线的LA节点，坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃)，B、C、D点到A点之间距离分别为r₁、r₂、r₃，r₁、r₂、r₃值小于通信半径R，分别以B、C、D为圆心，r₁、r₂、r₃为半径，画3个相交的圆，这些圆相交的点就是LU节点位置，对应的方程组如公式(17)所示：

求解公式(17)得到LU节点的坐标如公式(18)所示：

在实际情况中，传感器节点难以保证每个LU节点都有3个或者3个以上的LA邻居，采用以下规则估计LU节点的初始位置：

5-1)当LU节点有3个或3个以上的LA邻居时，采用三边定位法计算LU节点的初始位置；

5-2)当LU节点有1-2个LA邻居时，将距离LU节点最近的LA节点的位置作为其初始位置；

5-3)当LU节点没有LA邻居时，将传感器节点分布区域的中心作为LU节点的初始位置；

6)采用分布式方法对子区域优化问题求解：采用交替修正牛顿法对步骤5)三边定位方法得到的LU节点初始值进行迭代，在迭代优化LU节点之前，进行一阶求导和二阶求导，得

和

构建正定的

如公式(21)所示：

同理，在迭代优化LA节点之前，对式(16)分别进行一阶求导和二阶求导，得到

和

构建正定的

如公式(24)所示：

子区域中采用交替牛顿法优化求解的过程如下：

6-1)将n个LU节点，m个LA节点随机部署在[-0.5,0.5]²的单位正方形区域内，通信半径设为R，把WSN以LU节点为中心划分n个部分重叠子区域，n个子区域分别可以进行分布式运算，令t＝0，终止条件β＝1e-2；

6-2)对于子区域问题如公式(16)所示，采用三边定位方法获得LU节点粗略估计值x^(t)，作为基于单位步长的修正牛顿法的初始值；

6-3)采用子区域修正牛顿方法，得到多个子区域的LU节点估计值，子区域中采用修正牛顿法优化求解LU节点的过程如下：

输入：以三边定位的粗略值为LU节点初始值x^(t)，对应子区域s中的位置

设j＝0，终止条件δ＝1e-9；

6-3-1)：对子区域如公式(16)所示目标函数求梯度向量

和修正后的Hessian矩阵

6-3-2)：计算搜索方向：

6-3-3)：从

出发，沿方向

一维线性搜索，步长设为单位步长，则

更新子区域中的LU节点位置；

6-3-3)：设置判断终止条件，当

或迭代次数t＞100，迭代终止，则

是子区域的LU节点估计值，否则，令j＝j+1，返回步骤6-3-1)，对LU节点初步估计值进行融合求平均，得到最后的LU节点估计值

LU节点融合求平均如公式(25)所示：

公式(25)中，

表示包含LU节点i的所有子区域集合，x_i,s表示子区域中LU节点i的坐标，

表示融合后的LU节点坐标；

6-4)根据LU节点估计值

采用三边定位方法得到不准确的LA节点粗略估计值p^(t)，同理，采用基于单位步长的修正牛顿方法优化求解，子区域中采用基于单位步长的修正牛顿法优化LA节点的过程如下：

6-4-1)：根据LU节点估计值

采用三边定位方法得到的粗略估计值作为LA节点初始值p_s,0，i＝0；

6-4-2)：计算出

和修正后的

然后，计算搜索方向

6-4-3)：步长设为单位步长，沿着搜索方向更新子区域的LA节点位置，p_s,i+1＝p_s,i+d_s,i；

6-4-4)：当

(η是一个很小的数，为η＝1e-9)，迭代终止，输出p_s,i+1，否则，置i＝i+1，转到步骤6-4-2)，并对部分重叠的LA节点融合求平均，得到更为精准的LA节点位置

LA节点融合求平均的公式如公式(26)：

其中，

表示包含LA节点k的所有子区域集合，p_s,k表示子区域中LA节点k的坐标，

表示局部融合后的LA节点坐标；

6-5)根据更为精准的LA节点位置

再依照步骤6-3)迭代更新得LU节点最终估计值

6-6)设置判断条件：当

时，则迭代终止，

作为最终估计值，否则

作为初始值，设t＝t+1并返回步骤6-3)迭代，

作为最终估计值。

这种方法能解决大规模无线传感器网络中存在锚节点位置误差难以实现高精度定位的问题，且计算复杂度低。

附图说明

图1为实施例中部分重叠的子区域示意图；

图2为实施例方法和现有方法1、现有方法2、现有办法3在不同锚节点比例下的定位整体性能对比示意图；

图3为实施例方法和现有方法1、现有方法2、现有办法3在不同通信半径下的定位整体性能对比示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的内容作进一步的阐述，但不是对本发明的限定。

实施例：

基于交替修正牛顿法的分布式传感器节点定位方法，包括步骤如下：

1)定义网络：在需要检测的区域内随机部署N个传感器节点，本例在需要检测的区域[-0.5,0.5]²内随机部署N个传感器节点构成无线传感器网络，对其中m个节点添加BDS或GPS模块作为已知位置节点，剩余的n个节点作为未知位置节点，即待定位节点；

2)将WSN定位问题归结为无约束的优化问题：在特定区域部署传感器节点，这些节点构成WSN，WSN中共有N个节点，其中有m个LA节点，n个LU节点，LU节点位置表示为x₁,x₂,…x_n，LU节点在i点坐标表示为x_i＝[x_i,y_i]^T，准确位置的LA节点表示为a₁,a₂,...a_m，LA节点在k点坐标表示为a_k＝[x_k,y_k]^T，用d_ij表示LU节点i和节点j之间带噪距离，d_ij＝d_ji，d_ik表示LU节点i和LA节点k之间带噪距离，w_ij和w_ik是根据带噪距离的反比取得的归一化权重，

表示LU节点之间可测得距离的节点集合，

表示LU节点和LA节点之间可测得距离的节点集合，利用这些信息可以将WSN定位问题归结为一个无约束优化问题如公式(1)所示：

3)将WSN划分为部分重叠的子区域：在区域内随机部署传感器节点，由于受到功率限制，只有在通信半径R范围内的传感器节点之间才可以正常通信，正常通信的传感器节点之间能获取距离信息，根据距离信息，将WSN表示为一个无向图，即

其中

表示传感器节点的集合，ε表示节点之间边的集合，将WSN表示的无向图以LU为中心划分为多个部分重叠的子图，每一个子图就是一个子区域，得到多个部分重叠的子区域，如图1所示，其中，菱形代表LA节点，圆圈代表LU节点，即有：

其中，

s＝1,2,…n表示第s个子区域，

表示为子区域s中所有节点的集合，ε_s表示为子区域s中节点之间边的集合；

4)重新构建子区域优化问题：将WSN划分成多个部分重叠的子区域后，把目标函数构建成多个子区域内的优化问题，因此，将如公式(1)所示无约束优化问题重新构建为子区域无约束优化问题如公式(3)所示：

其中，s＝1,2,…n表示第s个子区域，

表示第s个子区域内的第i个LU节点坐标，

表示第s个子区域的第j个LU节点坐标，

表示第s个子区域的第k个LA节点坐标，

和

表示子区域内节点之间带噪声的测距，测距噪声模型如公式(4)和公式(5)所示，LA节点噪声模型如公式(6)所示：

其中，τ₁∈[0,1]是距离噪声因子，

是LA节点真实位置，τ₂∈[0,1]是LA节点位置噪声因子，

和

是随机噪声，是正态随机变量N(0,1)，

公式(3)中，

和

表示子区域中基于节点之间距离取反比的归一化权重，

和

分别如公式(7)和公式(8)所示：

把子区域内所有的LU节点和LA节点的坐标分别组成列向量x_s和p_s，表示为：

令e_i1、e_i2、e_j1、e_j2分别表示单位矩阵I_2l的第2i-1列、第2i列、第2j-1列、第2j列，e_k1、e_k2分别表示I_2h单位矩阵的第2k-1列和2k列，则

可表示为：

同理，

和

分别表示为：

则可将公式(3)的节点之间距离表示为：

其中，

A＝(e_i1-e_j1)(e_i1-e_j1)^T+(e_i2-e_j2)(e_i2-e_j2)^T (11)，

则公式(3)可以表示为公式(16)：

公式(16)为无约束的优化问题，可用交替修正牛顿法进行求解；

5)估计LU节点的粗略估计值：采用三边定位法估计LU节点的粗略估计值，三边定位法为：假设待测LU节点A，坐标为(x,y)，有B、C、D分别是三个不共线的LA节点，坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃)，B、C、D点到A点之间距离分别为r₁、r₂、r₃，r₁、r₂、r₃值小于通信半径R，分别以B、C、D为圆心，r₁、r₂、r₃为半径，画3个相交的圆，这些圆相交的点就是LU节点位置，对应的方程组如公式(17)所示：

求解公式(17)得到LU节点的坐标如公式(18)所示：

在实际情况中，传感器节点难以保证每个LU节点都有3个或者3个以上的LA邻居，采用以下规则估计LU节点的初始位置：

5-1)当LU节点有3个或3个以上的LA邻居时，采用三边定位法计算LU节点的初始位置；

5-2)当LU节点有1-2个LA邻居时，将距离LU节点最近的LA节点的位置作为其初始位置；

5-3)当LU节点没有LA邻居时，将传感器节点分布区域的中心作为LU节点的初始位置；

6)采用分布式方法对子区域优化问题求解：对于全局优化问题如公式(1)所示，首先将WSN划分为多个子区域，建立可以独立求解的多个子区域优化问题如公式(16)所示，但公式(16)所示中优化求解LU节点的优化问题是非凸优化问题，需要一个初始值以便沿着目标函数下降的方向进行搜索，因三边定位算法易于维护和实现，所以采用三边定位法获取LU节点粗略的初始值，然后采用交替修正牛顿法进行下一步的迭代运算，本例采用交替修正牛顿法对步骤5)三边定位方法得到的LU节点初始值进行迭代，在迭代优化LU节点之前，进行一阶求导和二阶求导，得

和

式(20)中的Hessian矩阵

不一定是正定的，进而牛顿方向不一定是下降方向，可能导致算法失败。解决Hessian矩阵

非正定基本思想是：构建正定的

如公式(21)所示：

同理，对公式(16)分别进行一阶求导和二阶求导，得到

和

公式(23)中，包括两项求和，前项(2Ep_s-C^Tx_s-Dx_s)·(2Ep_s-C^Tx_s-Dx_s)^T是正定的，而后项

并不能保证其正定性，因此对公式(23)修正为：

子区域中采用交替牛顿法优化求解的过程如下：

6-1)将n个LU节点，m个LA节点随机部署在[-0.5,0.5]²的单位正方形区域内，通信半径设为R，把WSN以LU节点为中心划分n个部分重叠子区域，n个子区域分别可以进行分布式运算，令t＝0，终止条件β＝1e-2；

6-2)对于子区域问题如公式(16)所示，采用三边定位方法获得LU节点粗略估计值x^(t)，作为基于单位步长的修正牛顿法的初始值；

6-3)采用子区域修正牛顿方法，得到多个子区域的LU节点估计值，子区域中采用修正牛顿法优化求解LU节点的过程如下：

输入：以三边定位的粗略值为LU节点初始值x^(t)，对应子区域s中的位置

设j＝0，终止条件δ＝1e-9；

6-3-1)：对子区域如公式(16)所示目标函数求梯度向量

和修正后的Hessian矩阵

6-3-2)：计算搜索方向：

6-3-3)：从

出发，沿方向

一维线性搜索，步长设为单位步长，则

更新子区域中的LU节点位置；

6-3-3)：设置判断终止条件，当

或迭代次数t＞100，迭代终止，则

是子区域的LU节点估计值，否则，令j＝j+1，返回步骤6-3-1)，不同子区域会重复优化求解同一个LU节点，得到不同的LU节点估计值，将会导致某个子区域的信息利用少，使得估计误差增大。因此，需要对子区域进行融合得到每个LU节点的估计值

可以有效减小LU节点估计误差，有利于促进子区域间的合作定位，提高整体的定位精度，LU节点融合求平均如公式(25)所示：

公式(25)中，

表示包含LU节点i的所有子区域集合，x_i,s表示子区域中LU节点i的坐标，

表示融合后的LU节点坐标；

6-4)根据LU节点估计值

采用三边定位方法得到不准确的LA节点粗略估计值p^(t)，同理，采用基于单位步长的修正牛顿方法优化求解，子区域中采用基于单位步长的修正牛顿法优化LA节点的过程如下：

6-4-1)：根据LU节点估计值

采用三边定位方法得到的粗略估计值作为LA节点初始值p_s,0，i＝0；

6-4-2)：计算出

和修正后的

然后，计算搜索方向

6-4-3)：步长设为单位步长，沿着搜索方向更新子区域的LA节点位置，p_s,i+1＝p_s,i+d_s,i；

6-4-4)：当

(η是一个很小的数，为η＝1e-9)，迭代终止，输出p_s,i+1，否则，置i＝i+1，转到步骤6-4-2)，同一个LA节点也会被多个重叠的子区域优化求解，存在来自多个不同子区域的局部优化值，为了有效的降低LA节点的估计误差，也需要对重叠部分子区域内的LA节点局部融合，得到更为精准的LA节点位置

LA节点融合求平均如公式(26)：

其中，

表示包含LA节点k的所有子区域集合，p_s,k表示子区域中LA节点k的坐标，

表示局部融合后的LA节点坐标；

6-5)根据更为精准的LA节点位置

再依照步骤6-3)迭代更新得LU节点最终估计值

6-6)设置判断条件：当

时，则迭代终止，

作为最终估计值，否则

作为初始值，设t＝t+1并返回步骤6-3)迭代，

作为最终估计值。

采用仿真实验，对本例方法性能进行说明：

仿真例1：

本例仿真为了研究WSN存在锚节点位置误差时，锚节点数目对定位精度的影响，本例改变LA节点数目在WSN中占总节点数的比例p进行仿真，仿真参数设置如下：节点数目N为200，通信半径R为0.30，距离噪声因子τ₁为0.10，LA节点位置噪声因子τ₂为0.10，p的范围是0.10到0.30，如图2所示，随着LA节点数目所占比例p增加，现有方法1、现有方法2、现有办法3的平均定位误差均在减小，定位精度得到提高，但是与本例的方法相比较，本例在不同LA节点比例下，平均定位误差明显小于对比现有办法，定位精度更高，原因是：随着锚节点数目增多，使得LU节点获得更多邻居信息和更好的初始值，从而使得定位精度有所提高，这意味着，大规模WSN存在锚节点位置误差时，本例可以用较少LA节点数目达到较好定位效果，从而降低部署成本；

仿真例2：

本例仿真为了研究WSN存在锚节点位置误差时，通信半径R对于定位精度的影响，本例将改变不同R进行仿真，仿真参数如下：节点数目N为200，LA所占比例p为0.15，距离噪声因子τ₁为0.10，LA节点位置噪声因子τ₂为0.10。通信半径R从0.22增加到0.30，如图3所示，随着通信半径R增加，现有方法1、现有方法2、现有办法3对比结果的平均定位误差逐渐增大，但与本例的方法相比较，本例的平均定位误差在不同R下始终保持最小，定位精度更高，原因是：通信半径R增加，但随之增大的通信量和计算量也会影响定位性能，这意味着，大规模WSN存在锚节点位置误差时，本例用较小通信半径R达到更好定位效果，进而降低传感器能量消耗，提高整个WSN寿命。

Claims (1)

1.基于交替修正牛顿法的分布式传感器节点定位方法，其特征在于，包括步骤如下：

1)定义网络：在需要检测的区域内随机部署N个传感器节点，构成无线传感器网络，对其中m个节点添加BDS或GPS模块作为已知位置节点，剩余的n个节点作为未知位置节点，即待定位节点；

2)将WSN定位问题归结为无约束的优化问题：在特定区域部署传感器节点，这些节点构成WSN，WSN中共有N个节点，其中有m个LA节点，n个LU节点，LU节点位置表示为x₁,x₂,…x_n，LU节点在i点坐标表示为x_i＝[x_i,y_i]^T，准确位置的LA节点表示为a₁,a₂,...a_m，LA节点在k点坐标表示为a_k＝[x_k,y_k]^T，用d_ij表示LU节点i和节点j之间带噪距离，d_ij＝d_ji，d_ik表示LU节点i和LA节点k之间带噪距离，w_ij和w_ik是根据带噪距离的反比取得的归一化权重，

表示LU节点之间可测得距离的节点集合，

表示LU节点和LA节点之间可测得距离的节点集合，则将WSN定位问题归结为一个无约束优化问题如公式(1)所示：

3)将WSN划分为部分重叠的子区域：在区域内随机部署传感器节点，在通信半径R范围内的传感器节点之间才可以正常通信，正常通信的传感器节点之间能获取距离信息，根据距离信息，将WSN表示为一个无向图，即

其中

表示传感器节点的集合，ε表示节点之间边的集合，将WSN表示的无向图以LU为中心划分为多个部分重叠的子图，每一个子图就是一个子区域，得到多个部分重叠的子区域，即有：

其中，

s＝1,2,…n表示第s个子区域，

表示为子区域s中所有节点的集合，ε_s表示为子区域s中节点之间边的集合；

4)重新构建子区域优化问题：将WSN划分成多个部分重叠的子区域后，把目标函数构建成多个子区域内的优化问题，因此，将如公式(1)所示无约束优化问题重新构建为子区域无约束优化问题如公式(3)所示：

其中，s＝1,2,…n表示第s个子区域，

表示第s个子区域内的第i个LU节点坐标，

表示第s个子区域的第j个LU节点坐标，

表示第s个子区域的第k个LA节点坐标，

和

表示子区域内节点之间带噪声的测距，测距噪声模型如公式(4)和公式(5)所示，LA节点噪声模型如公式(6)所示：

其中，τ₁∈[0,1]是距离噪声因子，

是LA节点真实位置，τ₂∈[0,1]是LA节点位置噪声因子，

和

是随机噪声，是正态随机变量N(0,1)，

公式(3)中，

和

表示子区域中基于节点之间距离取反比的归一化权重，

和

分别如公式(7)和公式(8)所示：

把子区域内所有的LU节点和LA节点的坐标分别组成列向量x_s和p_s，表示为：

令e_i1、e_i2、e_j1、e_j2分别表示单位矩阵I_2l的第2i-1列、第2i列、第2j-1列、第2j列，e_k1、e_k2分别表示I_2h单位矩阵的第2k-1列和2k列，则

可表示为：

同理，

和

分别表示为：

则可将公式(3)的节点之间距离表示为：

其中，

A＝(e_i1-e_j1)(e_i1-e_j1)^T+(e_i2-e_j2)(e_i2-e_j2)^T (11)，

则公式(3)可以表示为公式(16)：

5)估计LU节点的粗略估计值：采用三边定位法估计LU节点的粗略估计值，三边定位方法为：假设待测LU节点A，坐标为(x,y)，有B、C、D分别是三个不共线的LA节点，坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃)，B、C、D点到A点之间距离分别为r₁、r₂、r₃，r₁、r₂、r₃值小于通信半径R，分别以B、C、D为圆心，r₁、r₂、r₃为半径，画3个相交的圆，这些圆相交的点就是LU节点位置，对应的方程组如公式(17)所示：

求解公式(17)得到LU节点的坐标如公式(18)所示：

采用以下规则估计LU节点的初始位置：

5-1)当LU节点有3个或3个以上的LA邻居时，采用三边定位法计算LU节点的初始位置；

5-2)当LU节点有1-2个LA邻居时，将距离LU节点最近的LA节点的位置作为其初始位置；

5-3)当LU节点没有LA邻居时，将传感器节点分布区域的中心作为LU节点的初始位置；

6)采用分布式方法对子区域优化问题求解：采用交替修正牛顿法对步骤5)三边定位方法得到的LU节点初始值进行迭代，在迭代优化LU节点之前，进行一阶求导和二阶求导，得

和

构建正定的

如公式(21)所示：

同理，在迭代优化LA节点之前，对公式(16)分别进行一阶求导和二阶求导，得到

和

构建正定的

如公式(24)所示：

子区域中采用交替牛顿法优化求解的过程如下：

6-1)将n个LU节点，m个LA节点随机部署在[-0.5,0.5]²的单位正方形区域内，通信半径设为R，把WSN以LU节点为中心划分n个部分重叠子区域，n个子区域分别可以进行分布式运算，令t＝0，终止条件β＝1e-2；

6-2)对于子区域问题如公式(16)所示，采用三边定位方法获得LU节点粗略估计值x^(t)，作为基于单位步长的修正牛顿法的初始值；

6-3)采用子区域修正牛顿方法，得到多个子区域的LU节点估计值，子区域中采用修正牛顿法优化求解LU节点的过程如下：

输入：以三边定位的粗略值为LU节点初始值x^(t)，对应子区域s中的位置

设j＝0，终止条件δ＝1e-9；

6-3-1)：对子区域如公式(16)所示目标函数求梯度向量

和修正后的Hessian矩阵

6-3-2)：计算搜索方向：

6-3-3)：从

出发，沿方向

一维线性搜索，步长设为单位步长，则

更新子区域中的LU节点位置；

6-3-3)：设置判断终止条件，当

或迭代次数t＞100，迭代终止，则

是子区域的LU节点估计值，否则，令j＝j+1，返回步骤6-3-1)，对LU节点初步估计值进行融合求平均，得到最后的LU节点估计值

LU节点融合求平均如公式(25)所示：

公式(25)中，

表示包含LU节点i的所有子区域集合，x_i,s表示子区域中LU节点i的坐标，

表示融合后的LU节点坐标；

6-4)根据LU节点估计值

采用三边定位方法得到不准确的LA节点粗略估计值p^(t)，同理，采用基于单位步长的修正牛顿方法优化求解，子区域中采用基于单位步长的修正牛顿法优化LA节点的过程如下：

6-4-1)：根据LU节点估计值

采用三边定位方法得到的粗略估计值作为LA节点初始值p_s,0，i＝0；

6-4-2)：计算出

和修正后的

然后，计算搜索方向

6-4-3)：步长设为单位步长，沿着搜索方向更新子区域的LA节点位置，p_s,i+1＝p_s,i+d_s,i；

6-4-4)：当

(η是一个很小的数，为η＝1e-9)，迭代终止，输出p_s,i+1，否则，置i＝i+1，转到步骤6-4-2)，并对部分重叠的LA节点融合求平均，得到更为精准的LA节点位置

LA节点融合求平均如公式(26)所示：

其中，

表示包含LA节点k的所有子区域集合，p_s,k表示子区域中LA节点k的坐标，

表示局部融合后的LA节点坐标；

6-5)根据更为精准的LA节点位置

再依照步骤6-3)迭代更新得LU节点最终估计值

6-6)设置判断条件：当

时，则迭代终止，

作为最终估计值，否则

作为初始值，设t＝t+1并返回步骤6-3)迭代，

作为最终估计值。

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