CN112396690A - 基于改进型向心参数化法的曲面高精重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明基于改进型向心参数化法的曲面高精重构方法属于点云数据的曲面重构领域，涉及一种基于改进型向心参数化法的曲面高精重构方法。该方法针对具有高陡度、频凹凸、周向起伏甚至非连续特征的复杂曲面零件的点云数据，从建立数据点间弧长精确估计入手，在向心参数化方法的基础上引入修正因子，采用数据点密切圆弧长与对应弦长间法向距离的平均值作为修正公差，对采用弦长平方根的弧长估计进行修正，以重构误差、保形性为考量对控制顶点固定的参数化结果进行优化。该方法具有计算过程简单、计算效率高、重构精度高等特点，克服现有的未虑及复杂曲面点云数据的几何特征导致重构精度较低的技术缺陷与不足，有效提升复杂曲面点云数据的重构精度。

Description

基于改进型向心参数化法的曲面高精重构方法

技术领域

本发明属于点云数据的曲面重构领域，涉及一种基于改进型向心参数化法的曲面高精重构方法。

背景技术

高端装备用复杂型面零件为具有高陡度、频凹凸、周向起伏甚至非连续特征的自由曲面，在现代工业中通常采用数字化测量技术获取已知样件表面离散点几何坐标数据，再结合计算机辅助几何造型方法通过曲线、曲面重构来构造产品的数字化模型，并以此为依据完成复杂型面零件的制造。然而，此过程需保持点云数据所在参数区间上的单调、凹凸性质，而非平滑连续曲面点云数据常具有较大角度、弦长突变甚至非连续特征，对重构保形性提出了巨大挑战。

目前，国内外对于形状特殊性无法以一般曲面组合或统一数学方程精确表达的复杂曲面点云数据，现已开发隐式曲面法、细分曲面法、参数曲面法、基于物理变形的方法、基于神经网络的方法和网格剖分法等来实现其重构，此类方法往往将选用参数化方法与重构结果保形性割裂开来，对于参数速率与点云拓扑分布间的关联性鲜有研究。现有技术文献1“B-spline surface fitting with knot position optimization”，YuhuaZhang等，2016，15(4):399-416，该文献研究了节点矢量选择对重构曲面质量的影响，提出了一种迭代曲面拟合算法，该方法结合输入数据的几何特征分布采用坐标下降算法进行最优节点计算，在几何结构复杂、拟合误差过大处自适应插入更多等值线，使重构曲面质量逐渐提高到指定阈值，可有效地提高了计算精度但也大大降低了计算效率；现有技术文献2“Piecewise-quadratics and exponential parameterization for reduced data”，RyszardKozera等，Applied Mathematics and Computation，2013，221:620-638，该文献从参数化数学和物理意义的角度，研究了稀疏数据点重构时指数参数化方法选用指数对节点处参数速率的影响，进一步证明了弦长参数化以及向心参数化的优越性能，但其仅从数学角度开展分析，并未考虑点云实际拓扑分布与参数化结果之间的相互作用关系。

发明内容

本发明旨在克服现有的未虑及复杂曲面点云数据的几何特征导致重构精度较低的技术缺陷与不足，针对非平滑连续曲面测量点云数据角度、弦长突变以及非连续特征导致的重构难题，从建立数据点间弧长精确估计入手，开展非平滑连续曲面重构高保形参数化以及参数优化方法研究，发明一种基于改进型向心参数化法的曲面高精重构方法。该方法面向高精度非平滑连续曲面零件需求，在现有向心参数化方法的基础上改进，生成节点矢量实现复杂曲面点云重构，获得具有高精度的重构非平滑连续曲面，该方法可更有效地应用于点云数据的曲面高精重构中，克服现有的未虑及复杂曲面点云数据的几何特征导致重构精度较低的技术缺陷与不足，为提高复杂曲面点云数据的重构精度提供保障，对获取具有高保形性的重构非平滑连续曲面具有重要意义。

本发明采用的技术方案是一种基于改进型向心参数化法的曲面高精重构方法，其特征在于，该方法针对具有高陡度、频凹凸、周向起伏甚至非连续特征的复杂曲面零件的点云数据，从建立数据点间弧长精确估计入手，在向心参数化方法的基础上引入修正因子，采用数据点密切圆弧长与对应弦长间法向距离的平均值作为修正公差，对采用弦长平方根的弧长估计进行修正，以重构误差、保形性为考量对控制顶点固定的参数化结果进行优化，提升复杂曲面点云数据的重构精度；方法具体步骤如下：

步骤一：构建复杂曲面样件模型

构建具有高陡度、频凹凸、周向起伏甚至非连续特征的复杂曲面样件，以旋转抛物面为基础曲面，通过向曲面方程添加法向调制项形成凹凸特征，复杂曲面样件底部通过旋转抛物面与六棱柱拼合确定凹凸特征定位直边，给定六棱柱底边的起点与终点，以六棱柱底边和六棱柱与抛物面的交线为边界创建平面，形成“旋转抛物面基础轮廓+周向局部表面轮廓凹凸特征+口部六方基准平面”的模型结构。旋转抛物面的基础轮廓方程及周向局部表面轮廓的法向调制凹凸特征方程可分别表示为：

其中，C为旋转抛物面特征系数，k为二次曲面的圆锥系数，r为旋转抛物面任一点到光轴距离；F为法向调制量，A为凹凸特征幅值，a_i、b_i共同决定凹特征在曲面上的位置，c_i决定特征影响区域大小及效果，d_i决定特征的凹凸性，cosα、cosβ、cosγ为抛物面上任一点处法向量的方向余弦。

步骤二：获取复杂曲面离散点云数据

复杂曲面样件模型难以采用统一或分区域的数学表达式描述，在现代工业中通常采用数字化测量技术获取的复杂曲面样件表面离散点云作为样件高精度重构的基础。考虑该复杂曲面样件模型的几何特征，为了降低曲面重构的难度，以特定的方式选取离散点云数据，模拟离散点云的数字化测量过程。规定以复杂曲面样件模型的顶点为圆心，在柱坐标系r-θ中均匀取等角度分布的截面线，再将取得的截面线离散，得到离散点云数据。特别注意的是，由于复杂曲面样件模型有曲面和平面拼接的部分，因此平面对应的各行点云数据的数量不等。

由于六棱柱边界以离散点的方式给出，再加上旋转抛物面上凹特征法向偏置影响区域较大，通过六棱柱截取的抛物面边界呈现锯齿状，无法实现与直面的较好拼合，最终会导致交界线失真。因此，需要在旋转抛物面数据点阵中搜索其边界，根据边界点已知的偏置后坐标x_p、y_p通过解二元超越方程获取边界点偏置前的坐标x、y，再根据x、y的坐标对边界上的点进行偏置，获取连续平滑的旋转抛物面边界。偏置后的坐标可表示为：

步骤三：进行复杂曲面样件离散点云优化与重构

NURBS方法可实现各类不同结构曲面的灵活设计与修改，适用于解决复杂曲面表示和设计问题，因此，以复杂样件离散点云作为型值点进行双三次NURBS曲面插值，获得重构曲面。

NURBS曲面插值可以通过进行多次B样条曲线插值实现，考虑复杂曲面样件几何特征及结构，选取柱坐标系r-θ中的r轴正向为参数空间u向、选取θ轴正向为参数空间v向，对离散点云进行沿参数方向的重新编号排序，形成有序型值点集，计算各型值点对应的参数

以及节点矢量U、V，确定权因子ω，进而反求重构曲面控制点，完成复杂样件曲面重构。

考虑到复杂样件点云数据中存在角度、弦长突变以及非连续特征，为减少由空间域向参数域映射时的几何信息丢失，降低映射误差，基于点云数据拓扑分布，采用改进型向心参数化方法进行节点矢量的计算。以沿参数空间u向的一列型值点{P_i}(i＝0,…n)为例进行说明。

在向心参数化方法中，通常以弦长平方根来近似弧长，则对于型值点集{P_i}(i＝0,…n)中的第i段弧长的估计量可表示为：

考虑到相邻数据点间的距离信息已经表明，改进型向心参数化方法所采用的修正公差项e_i根据其它几何特征指定，即型值点P_i处的角度变化。修正公差项e_i的实质是补偿向心参数化以弦线代替弧线时丢失的前后段折拐的微小位移量。为计算修正公差项e_i，需要确定型值点P_i处的密切圆，一般可将曲线上三个间距极小的连续点的外接圆看作中间一点的密切圆，且间距极小时能以中间一点为顶点的等腰三角形的外接圆来近似该密切圆，对于型值点P_i及弦线

取其相邻型值点P_i-1、P_i、P_i+1为顶点所构成的ΔP_i-1P_iP_i+1进行分析，选取

中最短边边长l为腰长，以P_i为顶点作等腰三角形ΔP′_{i- 1}P_iP′_i+1，计算其外接圆O_i，半径记为r_i，P_i前后弦长转角记为θ_i，则其几何关系可表示为：

根据正弦定理及三角函数变换，则几何关系经进一步整理可表示为：

通过求解方程组，可解得外接圆半径r_i，则根据结合密切圆计算原理，以密切圆弧

作为前后段折拐时以弦线代替弧线丢失的补偿量ds，利用该补偿量计算点P_i处的修正公差最优值。此时重构曲线理论最优路径通过P_i处密切圆及弦线

间的包围区域，采用圆弧段

和弦线

的平均值来对该补偿量作更精确的计算，引入缩放系数α，弧长丢失的补偿量ds和点P_i处的修正公差最优值可分别表示为：

修正后型值点集{P_i}(i＝0,…n)中的第i段弧长的估计量可表示为：

采用改进型向心参数化方法的节点矢量U的计算方法为：

在曲面重构过程中，首先，沿参数空间u向各行型值点进行三次NURBS曲线插值，对每条插值曲线，再以等参数间隔计算出插值曲线上的一组点作为新的型值点，然后，以各点在原三次插值曲线上的参数值为内节点形成节点矢量，进行第二次NURBS曲线插值，经第二次插值后的曲线具有相同的节点矢量，便于沿参数空间v向进行双三次NURBS曲面重构，但由于其为基于型值点的初次插值拟合，其拟合误差尚未满足技术要求，为保证复杂样件曲面的重构精度，需采用全局平方距离最小化算法结合节点插入算法对二次插值曲线控制点进行优化处理。

进行曲线全局平方距离最小化时，令C为初始NURBS曲线，X_num为在曲线外的一个数据点，O＝S(u_num,v_num)为点X_num在曲线上对应的垂足点，则点X_num到曲线C的距离可表示为：

d＝||X_num-O|| (11)

以O为原点，曲线C在O点的切矢T_num、法矢Ν_num为坐标轴建立平面局部坐标系Γ，设曲线C在O点的曲率半径的绝对值为r_num，则点X_num邻域内的点

到曲线的C平方距离函数可表示为：

其中，d_num为点X_num到曲线C的距离，x₁、x₂是点

在局部坐标系Γ下的坐标，则x₁、x₂可表示为：

其中，C(u_num)为数据点X_num在曲线C上对应的垂足点。

设

表示调整后的控制点，ΔP表示控制点变化量，

表示调整后的曲线。由于控制点改变，数据点X_num在曲线上的垂足点及其切矢、法矢、曲率半径以及离散点对应的重构误差都发生改变。为了建立离散点到调整后曲面的误差函数，在控制点调整量比较小的情况下可假设X_num在曲线

上的垂足点参数值不变，

处的切矢

与法矢

以及曲率半径

分别满足关系

由于曲线在点

的移动是相对于点X_num的，该移动近似看作X_num相对曲线

发生了移动，则数据点X_num到调整后曲线

的误差可表示为：

其中，调整后的点

在局部坐标系Γ下的坐标

可表示为：

由此，可建立平方距离最小化算法的目标函数，目标函数可表示为：

其中，E(X_num)表示各点的误差函数，可采用拟牛顿法迭代计算F的最小值。

在二次插值曲线优化过程中，对超差的位置进行节点插入并再次进行优化，获得每一行型值点的优化二次插值曲线之后，对其节点矢量进行统一化，再进行参数空间v向插值，生成NURBS曲面，完成复杂曲面样件的曲面重构。

本发明的显著效果和益处是针对具有高陡度、频凹凸、周向起伏甚至非连续特征的复杂曲面零件的点云数据在角度、弦长突变以及非连续特征方面导致的重构难题，提出一种基于改进型向心参数化法的曲面高精重构方法。从建立数据点间弧长精确估计入手，采用数据点密切圆弧长与对应弦长间法向距离的平均值作为修正公差，对采用弦长平方根的弧长估计进行修正，以重构误差、保形性为考量对控制顶点固定的参数化结果进行优化，有效提升复杂曲面点云数据的重构精度。该方法为提高复杂曲面点云数据的重构精度提供保障，对获取具有高保形性的重构非平滑连续曲面具有重要意义。

附图说明

图1—基于改进型向心参数化法的曲面高精重构方法流程图。

图2—改进型向心参数化方法型值点P_i处的密切圆计算原理图；其中，P_i-1、P_i、P_i+1-一组构成三角形的相邻型值点，l-三角形最短边的边长，P′_i-1、P′_i+1-以l为腰、以点P_i为顶点的等腰三角形其余两个点，O_i-该等腰三角形的外接圆圆心，r_i-该等腰三角形的外接圆半径，θ_i-点P_i前后弦长转角。

图3—改进型向心参数化修正公差的精确化计算原理图，其中，P′_i-1、P_i、P′_i+1-以相邻型值点P_i-1、P_i、P_i+1构成三角形中最短边为腰构成等腰三角形的三个点，T-点P_i处的切向量，ds-前后段折拐时以弦线代替弧线丢失的补偿量。

图4—复杂曲面样件的点云数据图；其中，X-空间直角坐标系中的X轴，单位为mm；Y-空间直角坐标系中的Y轴，单位为mm；竖直轴Z-空间直角坐标系中的Z轴，单位为mm。

图5—复杂曲面样件的交界线失真模型俯视图；其中，水平轴X-平面直角坐标系中的X轴，单位为mm；竖直轴Y-平面直角坐标系中的Y轴，单位为mm。

图6—复杂曲面样件的交界线平滑处理后修正模型俯视图；其中，水平轴X-平面直角坐标系中的X轴，单位为mm；竖直轴Y-平面直角坐标系中的Y轴，单位为mm。

图7—复杂曲面样件的重构曲面轴测图；其中，X-空间直角坐标系中的X轴，单位为mm；Y-空间直角坐标系中的Y轴，单位为mm；竖直轴Z-空间直角坐标系中的Z轴，单位为mm。

图8—复杂曲面样件的重构误差结果图；其中，X-空间直角坐标系中的X轴，单位为mm；Y-空间直角坐标系中的Y轴，单位为mm；竖直轴Z-重构误差结果，单位为mm。

具体实施方式

以下结合技术方案和附图详细叙述本发明的具体实施方式。

附图1是本发明一种基于改进型向心参数化法的曲面高精重构方法流程图，计算方法流程的具体步骤如下：

第一步构建复杂曲面样件模型。

复杂曲面样件的模型由主体旋转抛物面结构、法向偏置形成的凹特征结构和口部六方定位直面结构组成。在计算分析过程中，要为复杂曲面样件模型特征指定具体的几何参数。基于公式(1)和公式(2)，设旋转抛物面的特征系数为C＝0.042，二次曲面的圆锥系数为k＝-1，旋转抛物面的最大口径为r_max＝50，凹特征的幅值为A＝3；四个凹特征在曲面上的位置系数分别为a₁＝-29.5，b₁＝-14.6，a₂＝28.2，b₂＝-15.9，a₃＝-27.5，b₃＝-16，a₄＝30.5，b₄＝14；四个凹特征在曲面上的影响区域大小及效果系数分别为c₁＝29.1，c₂＝28.4，c₃＝30.5，c₄＝31.5；四个凹特征内的凹程度系数分别为：d₁＝d₂＝d₃＝d₄＝-1。

第二步获取复杂曲面离散点云数据。

以复杂曲面样件模型的顶点为圆心，在柱坐标系r-θ中均匀取等角度分布的截面线，再将取得的截面线离散，得到离散的数据点，如附图4所示，作为曲面重构时所使用的初始点云数据，而从附图5所示的复杂曲面样件点云数据俯视图可清晰得看出，离散后的数据点存在明显的旋转抛物面交界线失真的问题。为解决这一问题，基于公式(3)，在旋转抛物面数据点阵中搜索其边界，根据边界点已知的偏置后坐标x_p、y_p通过解二元超越方程获取边界点偏置前的坐标x、y，再根据x、y的坐标对边界上的点进行偏置，获取连续平滑的旋转抛物面边界，如附图6所示。

第三步改进型向心参数化法计算节点矢量。

首先考虑复杂曲面样件几何特征及结构，选取柱坐标系r-θ中的r轴正向为参数空间u向、选取θ轴正向为参数空间v向，对离散点云进行沿参数方向的重新编号排序，形成有序型值点集；然后利用如附图2所示的型值点P_i处的密切圆计算原理，结合如附图3所示的修正公差项e_i的精确化计算原理，对型值点的弧长估计值进行修正；最后引入缩放系数α获得弧长丢失的补偿量ds和点P_i处的修正公差最优值，并代入公式(10)完成基于改进型向心参数化法的节点矢量计算。

第四步实现复杂曲面离散点云的高精重构。

首先，对每条插值曲线，以等参数间隔计算出各条插值曲线上的一组点作为新的型值点，以各点在原三次插值曲线上的参数值为内节点形成节点矢量，进行第二次NURBS曲线插值，获得具有相同节点矢量的二次插值曲线，便于沿参数空间v向进行双三次NURBS曲面重构；然后，对二次插值曲线采用平方距离最小化算法进行分析与改良，基于公式(13)，计算点X_num到曲线C的距离，再以O为原点，曲线C在O点的切矢T_num、法矢N_num为坐标轴建立平面局部坐标系Γ，设曲线C在O点的曲率半径的绝对值为r_num，基于公式(14)、(15)、(16)，计算点X_num邻域内的点

到曲线C的平方距离函数，设

表示调整后的控制点，ΔP表示控制点变化量，

表示调整后的曲线，基于公式(17)、(18)、(19)，计算数据点X_num到调整后曲线

的误差，并基于公式(20)，建立平方距离最小化算法的目标函数，获得各点的误差函数E(X_num)，并采用拟牛顿法迭代计算F的最小值F_min＝1.8264×10^-4；最后，设定最终重构误差目标精度ε＝0.001，依据平方距离最小化算法进行节点插入与控制点微调，获得精化后拟合误差满足目标精度要求的插值曲线，并对超差的位置进行节点插入并再次进行优化，获得每一行型值点的优化二次插值曲线之后，对其节点矢量进行统一化，再进行参数空间v向插值，生成NURBS曲面，完成复杂曲面样件的点云高精重构，曲面重构结果如附图7所示。

经过对如附图8所示的复杂曲面样件的重构误差结果图进行分析可知，采用改进型向心参数化方法进行复杂曲面样件的曲面重构，其重构误差的最大值为0.99μm，平均值为7.6nm，故可知采用改进型向心参数化方法进行复杂曲面样件的曲面重构，可较好地满足曲面重构精度的要求，且六棱柱定位面接合处具有较好的重构处理效果。

本发明一种基于改进型向心参数化法的曲面高精重构方法，针对具有高陡度、频凹凸、周向起伏甚至非连续特征的复杂曲面零件的点云数据在角度、弦长突变以及非连续特征方面导致的重构难题，该方法具有计算过程简单、计算效率高、重构精度高等优点，克服现有的未虑及复杂曲面点云数据的几何特征导致重构精度较低的技术缺陷与不足，有效提升复杂曲面点云数据的重构精度，为提高复杂曲面点云数据的重构精度提供保障，对获取具有高保形性的重构非平滑连续曲面具有重要意义。

Claims (1)

1.一种基于改进型向心参数化法的曲面高精重构方法，其特征在于，该方法针对具有高陡度、频凹凸、周向起伏甚至非连续特征的复杂曲面零件的点云数据，从建立数据点间弧长精确估计入手，在向心参数化方法的基础上引入修正因子，采用数据点密切圆弧长与对应弦长间法向距离的平均值作为修正公差，对采用弦长平方根的弧长估计进行修正，以重构误差、保形性为考量对控制顶点固定的参数化结果进行优化，提升复杂曲面点云数据的重构精度；方法具体步骤如下：

步骤一：构建复杂曲面样件模型；

构建具有高陡度、频凹凸、周向起伏甚至非连续特征的复杂曲面样件，以旋转抛物面为基础曲面，通过向曲面方程添加法向调制项形成凹凸特征，复杂曲面样件底部通过旋转抛物面与六棱柱拼合确定凹凸特征定位直边，给定六棱柱底边的起点与终点，以六棱柱底边和六棱柱与抛物面的交线为边界创建平面，形成“旋转抛物面基础轮廓+周向局部表面轮廓凹凸特征+口部六方基准平面”的模型结构，旋转抛物面的基础轮廓方程及周向局部表面轮廓的法向调制凹凸特征方程分别表示为：

其中，C为旋转抛物面特征系数，k为二次曲面的圆锥系数，r为旋转抛物面任一点到光轴距离，F为法向调制量，A为凹凸特征幅值，a_i、b_i共同决定凹特征在曲面上的位置，c_i决定特征影响区域大小及效果，d_i决定特征的凹凸性，cosα、cosβ、cosγ为抛物面上任一点处法向量的方向余弦；

步骤二：获取复杂曲面离散点云数据；

在现代工业中，通常采用数字化测量技术获取的复杂曲面样件表面离散点云作为样件高精度重构的基础，考虑该复杂曲面样件模型的几何特征，为了降低曲面重构的难度，以特定的方式选取离散点云数据，模拟离散点云的数字化测量过程；规定以复杂曲面样件模型的顶点为圆心，在柱坐标系r-θ中均匀取等角度分布的截面线，再将取得的截面线离散，得到离散点云数据，特别注意的是，由于复杂曲面样件模型有曲面和平面拼接的部分，因此平面对应的各行点云数据的数量不等；

由于六棱柱边界以离散点的方式给出，再加上旋转抛物面上凹特征法向偏置影响区域较大，通过六棱柱截取的抛物面边界呈现锯齿状，无法实现与直面的较好拼合，最终会导致交界线失真；因此，需要在旋转抛物面数据点阵中搜索其边界，根据边界点已知的偏置后坐标x_p、y_p通过解二元超越方程获取边界点偏置前的坐标x、y，再根据x、y的坐标对边界上的点进行偏置，获取连续平滑的旋转抛物面边界，偏置后的坐标表示为：

步骤三：进行复杂曲面样件离散点云优化与重构；

NURBS方法可实现各类不同结构曲面的灵活设计与修改，适用于解决复杂曲面表示和设计问题，因此，以复杂样件离散点云作为型值点进行双三次NURBS曲面插值，获得重构曲面；

NURBS曲面插值可以通过进行多次B样条曲线插值实现，考虑复杂曲面样件几何特征及结构，选取柱坐标系r-θ中的r轴正向为参数空间u向、选取θ轴正向为参数空间v向，对离散点云进行沿参数方向的重新编号排序，形成有序型值点集，计算各型值点对应的参数

以及节点矢量U、V，确定权因子ω，进而反求重构曲面控制点，完成复杂样件曲面重构；

考虑到复杂样件点云数据中存在角度、弦长突变以及非连续特征，为减少由空间域向参数域映射时的几何信息丢失，降低映射误差，基于点云数据拓扑分布，采用改进型向心参数化方法进行节点矢量的计算，以沿参数空间u向的一列型值点{P_i}(i＝0,…n)为例进行说明；

在向心参数化方法中，通常以弦长平方根来近似弧长，则对于型值点集{P_i}(i＝0,…n)中的第i段弧长的估计量表示为：

考虑到相邻数据点间的距离信息已经表明，改进型向心参数化方法所采用的修正公差项e_i根据其它几何特征指定，即型值点P_i处的角度变化，修正公差项e_i的实质是补偿向心参数化以弦线代替弧线时丢失的前后段折拐的微小位移量，为计算修正公差项e_i，需要确定型值点P_i处的密切圆；一般可将曲线上三个间距极小的连续点的外接圆看作中间一点的密切圆，且间距极小时能以中间一点为顶点的等腰三角形的外接圆来近似该密切圆，对于型值点P_i及弦线

取其相邻型值点P_i-1、P_i、P_i+1为顶点所构成的ΔP_i-1P_iP_i+1进行分析，选取

中最短边边长l为腰长，以P_i为顶点作等腰三角形ΔP′_i-1P_iP′_i+1，计算其外接圆O_i，半径记为r_i，P_i前后弦长转角记为θ_i，则其几何关系表示为：

根据正弦定理及三角函数变换，则几何关系经进一步整理表示为：

通过求解方程组，得到外接圆半径r_i，则根据结合密切圆计算原理，以密切圆弧

作为前后段折拐时以弦线代替弧线丢失的补偿量ds，利用该补偿量计算点P_i处的修正公差最优值，此时重构曲线理论最优路径通过P_i处密切圆及弦线

间的包围区域，采用圆弧段

和弦线

的平均值来对该补偿量作更精确的计算，引入缩放系数α，弧长丢失的补偿量ds和点P_i处的修正公差最优值分别表示为：

修正后型值点集{P_i}(i＝0,…n)中的第i段弧长的估计量表示为：

采用改进型向心参数化方法的节点矢量U的计算方法为：

在曲面重构过程中，首先，沿参数空间u向各行型值点进行三次NURBS曲线插值，对每条插值曲线，再以等参数间隔计算出插值曲线上的一组点作为新的型值点；然后，以各点在原三次插值曲线上的参数值为内节点形成节点矢量，进行第二次NURBS曲线插值，经第二次插值后的曲线具有相同的节点矢量，便于沿参数空间v向进行双三次NURBS曲面重构；但由于其为基于型值点的初次插值拟合，其拟合误差尚未满足技术要求，为保证复杂样件曲面的重构精度，需采用全局平方距离最小化算法结合节点插入算法对二次插值曲线控制点进行优化处理；

进行曲线全局平方距离最小化时，令C为初始NURBS曲线，X_num为在曲线外的一个数据点，O＝S(u_num,v_num)为点X_num在曲线上对应的垂足点，则点X_num到曲线C的距离表示为：

d＝||X_num-O|| (11)

以O为原点，曲线C在O点的切矢T_num、法矢Ν_num为坐标轴建立平面局部坐标系Γ，设曲线C在O点的曲率半径的绝对值为r_num，则点X_num邻域内的点

到曲线的C平方距离函数表示为：

其中，d_num为点X_num到曲线C的距离，x₁、x₂是点

在局部坐标系Γ下的坐标，则x₁、x₂表示为：

其中，C(u_num)为数据点X_num在曲线C上对应的垂足点；

设

表示调整后的控制点，ΔP表示控制点变化量，

表示调整后的曲线，由于控制点改变，数据点X_num在曲线上的垂足点及其切矢、法矢、曲率半径以及离散点对应的重构误差都发生改变，为了建立离散点到调整后曲面的误差函数，在控制点调整量比较小的情况下可假设X_num在曲线

上的垂足点参数值不变，

处的切矢

与法矢

以及曲率半径

分别满足关系

由于曲线在点

的移动是相对于点X_num的，该移动近似看作X_num相对曲线

发生了移动，则数据点X_num到调整后曲线

的误差表示为：

其中，调整后的点

在局部坐标系Γ下的坐标

表示为：

由此，建立平方距离最小化算法的目标函数，目标函数表示为：

其中，E(X_num)表示各点的误差函数，采用拟牛顿法迭代计算F的最小值；

在二次插值曲线优化过程中，对超差的位置进行节点插入，并再次进行优化，获得每一行型值点的优化二次插值曲线之后，对其节点矢量进行统一化，再进行参数空间v向插值，生成NURBS曲面，完成复杂曲面样件的曲面重构。

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