CN112332809A - 一种幅度非衰减均衡相位的分数阶椭圆滤波器设计方法 - Google Patents

一种幅度非衰减均衡相位的分数阶椭圆滤波器设计方法 Download PDF

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Abstract

本发明提供一种幅度非衰减均衡相位的分数阶椭圆滤波器设计方法，具体包括：首先算法初始化，设计了一种幅度为衰减的全通滤波器，使得椭圆滤波器的阶数由只能取整数转变为任意正实数，然后引入幅度未衰减逆向滤波器，估计误差信号幅度未衰减，而相位呈现负相位，有效补偿分数阶模拟滤波器的相位；因此，本发明提出的幅度非衰减均衡相位的分数阶椭圆滤波器设计方法，滤波器的阶数调节变得更加灵活，由于逆向滤波器的引入，有效补偿了滤波器的相位延迟，提高了椭圆滤波器的线性度，同时滤波器的幅度未衰减，因此椭圆滤波器陡峭的过渡带特性并未改变，滤波器的综合性能得以提高，具有较好的工程实用性。

Description

一种幅度非衰减均衡相位的分数阶椭圆滤波器设计方法
技术领域
本发明涉及滤波器设计领域，特别是指一种幅度非衰减均衡相位的分数阶椭圆滤波器设计方法。
背景技术
在现代智能系统设计中，椭圆滤波器得到广泛应用。相比于其他滤波器，诸如切比雪夫I型和II型滤波器具有阻带和通带平滑特性，以及巴特沃斯滤波器通带和阻带同时具有平滑特性，椭圆滤波器牺牲了通带和阻带的平滑线和线性度以期获得过渡带陡峭的特性。理论研究表明，在滤波器其他性能条件相同时，椭圆滤波器具有最优的通带和阻带等纹波，以及最陡峭的过渡带。究其原因，它的滤波器传递函数同时存在零点和极点。大量的零极点位置相互制约加快了过渡带内信号衰减速率，但同时增大了设计难度，降低了设计效率。
自然界存在分数阶现象，分数阶运算在很多问题的处理上具有优于整数阶运算的特点。分数阶傅里叶变换在系统分析和现代信号处理领域应用越来越广泛，已经成为近期国内外学者研究热点。然而，目前研究和设计分数阶滤波器才刚起步。整数阶滤波器虽然能够滤除大部分杂散信号及噪声信号，但是通常会使其丢失大部分边缘低频有用信号。同时，由于滤波器的加入，使系统中的信号延迟增大，造成相位失真。因此，通过滤波器的信号的信噪比虽然增大，但是引入的失真也会极大降低滤波器输出信号的准确度。为了不产生信号相位的失真，通常要求滤波器具有零相位。零相位滤波器具有截止频率明确、计算量小的优点。当滤波器是零相位滤波器时，虽然滤波器的输入与输出没有相位差，但是存在幅度差，也即是滤波器的输入与输出的幅度不相等。
由于传统椭圆滤波器都是直接或间接利用整数阶滤波器构建相应滤波器模型，较难平衡有效低频信号与抑制噪声信号。分数阶运算的幅度特性与相位特性均由分数阶次调节，将其应用到椭圆滤波器设计可以抑制低频噪声，对高频杂散信号有效去除的同时保留部分甚高频信号进行非线性保留。但是，由于分数阶微分的引入，导致椭圆滤波器的相位特性较差，输出时延较大。
发明内容
本发明的主要目的在于克服现有技术中的上述缺陷，提出一种幅度非衰减均衡相位的分数阶椭圆滤波器线性设计方法，该方法设计一种幅度非衰减的全通滤波器，校正分数阶椭圆滤波器的相位延迟，同时滤波器的幅度未衰减，因此椭圆滤波器陡峭的过渡带特性并未改变，滤波器的综合性能得以提高，具有较好的工程实用性。
本发明采用如下技术方案：
一种幅度非衰减均衡相位的分数阶椭圆滤波器设计方法,其特征在于，包括如下步骤
S1：算法初始化，设定分数阶椭圆滤波器的阶数为L(L>0)，最大通带纹波衰减为ΩpdB，最小阻带纹波衰减为ΩadB，选择系数k，设置初始迭代次数ξ＝1，椭圆滤波器最大迭代次数为ξmax，椭圆滤波器的设计参数初始值为
Figure BDA0002786998600000021
搜索步长分别为△ai，△bi，△ci，设置最大迭代次数分别为ξ1m，ξ2m和ξ3m，迭代初始数值分别为ξ1＝0，ξ2＝0和ξ3＝0，幅度非衰减逆向滤波器的时间周期为N＝N0，采样周期为T＝T0；
S2：
Figure BDA0002786998600000022
其中
Figure BDA0002786998600000023
S3：执行
Figure BDA0002786998600000024
令
Figure BDA0002786998600000025
如果
Figure BDA0002786998600000026
则更新当前
Figure BDA0002786998600000027
ξ1＝ξ1+1，否则
Figure BDA0002786998600000028
S4：执行
Figure BDA0002786998600000029
如果
Figure BDA00027869986000000210
则更新当前
Figure BDA00027869986000000211
ξ2＝ξ2+1，否则
Figure BDA00027869986000000212
S5：执行
Figure BDA00027869986000000213
如果
Figure BDA00027869986000000214
则更新当前
Figure BDA00027869986000000215
ξ3＝ξ3+1，否则
Figure BDA00027869986000000216
S6：对r个零极点重复执行步骤S3-S5，直至迭代次数同时满足ξ1＝ξ1m，ξ2＝ξ2m和ξ3＝ξ3m，输出分数阶椭圆滤波器的最优ai，bi和ci，i＝1,2,3,…,r。
具体地，步骤S2中
Figure BDA00027869986000000217
具体包括：
Figure BDA00027869986000000218
定义为：
Figure BDA0002786998600000031
具体地，步骤S2中f(ai,bi,ci)具体为：
Figure BDA0002786998600000032
其中T为采样周期，z＝ejΩT为复数变量，j为虚数单位，Ω为频率，
Figure BDA0002786998600000033
Figure BDA0002786998600000034
[·]代表取整。
由上述对本发明的描述可知，与现有技术相比，本发明具有如下有益效果：
本发明提出一种幅度非衰减分数阶椭圆滤波器设计方法，使得椭圆滤波器的阶数由只能取整数转变为任意正实数。因此，滤波器的阶数调节变得更加灵活，同时，由于逆向滤波器的引入，有效补偿了滤波器的相位延迟，提高了椭圆滤波器的线性度。
附图说明
图1幅度非衰竭分数阶椭圆滤波器示意图。
以下结合附图和具体实施例对本发明作进一步详述。
具体实施方式
本发明提出一种幅度非衰减分数阶椭圆滤波器设计方法，使得椭圆滤波器的阶数由只能取整数转变为任意正实数。因此，滤波器的阶数调节变得更加灵活，同时，由于逆向滤波器的引入，有效补偿了滤波器的相位延迟，提高了椭圆滤波器的线性度。
L(L>0)阶分数阶椭圆低通滤波器的传递函数模的平方为：
Figure BDA0002786998600000035
其中，RL(Ω)为改进的雅可比函数，
Figure BDA0002786998600000036
Figure BDA0002786998600000041
ε为椭圆滤波器的纹波系数。
已知椭圆低通滤波器的最大通带纹波衰减为ΩpdB，最小阻带纹波衰减为ΩadB，选择系数k，那么分数阶椭圆滤波器的设计目标为设计ai，bi和ci(i＝1,2,3,…,r)使得
Figure BDA0002786998600000042
其中，
Figure BDA0002786998600000043
[·]代表取整，
Figure BDA0002786998600000044
t＝l+2l5+15l9+150l13，
Figure BDA0002786998600000045
Figure BDA0002786998600000046
联立(1)和(2)，并对分数阶椭圆滤波器做双线性变换，将
Figure BDA0002786998600000047
代入，得到
Figure BDA0002786998600000048
其中T为采样周期，z＝ejΩT为复数变量(j为虚数单位，Ω为频率)。对(3)化简，得到
Figure BDA0002786998600000049
椭圆滤波器的相位为
Figure BDA00027869986000000410
对于幅度非衰减逆向滤波器：
假定分数阶模拟滤波器的传递函数为H(ejΩT)＝f(ai,bi,ci)，其中f(ai,bi,ci)为(4)所示，估计误差信号为me(n)，n∈[0,N]。那么它首先经过一次时间周期为N的逆向变换后，其误差信号为
Figure BDA0002786998600000051
其次，将得到的误差信号
Figure BDA0002786998600000052
输入到分数阶模拟滤波器中，得到输出信号为
Figure BDA0002786998600000053
最后，对
Figure BDA0002786998600000054
进行时间周期为N的逆向变换，得到
Figure BDA0002786998600000055
对上述过程转换为频域表达为
Figure BDA0002786998600000056
对(6)化简可得
Figure BDA0002786998600000057
由(7)可知，估计误差信号为me(n)幅度未衰减，而相位呈现负相位，有效补偿分数阶模拟滤波器的相位延迟。
对于幅度非衰竭分数阶椭圆滤波器设计方法：
幅度非衰竭分数阶椭圆滤波器设计方法如图1所示，具体执行步骤如下：
1)算法初始化。设定分数阶椭圆滤波器的阶数为L(L>0)，最大通带纹波衰减为ΩpdB，最小阻带纹波衰减为ΩadB，选择系数k。设置初始迭代次数ξ＝1，椭圆滤波器最大迭代次数为ξmax，椭圆滤波器的设计参数初始值为
Figure BDA0002786998600000058
其搜索步长分别为△ai，△bi，△ci。设置最大迭代次数分别为ξ1m，ξ2m和ξ3m，迭代初始数值分别为ξ1＝0，ξ2＝0和ξ3＝0，幅度非衰减逆向滤波器的时间周期为N＝N0，采样周期为T＝T0；
2)设
Figure BDA0002786998600000059
Figure BDA00027869986000000510
其中f(ai,bi,ci)由(4)确定，
Figure BDA00027869986000000511
范数的定义为
Figure BDA0002786998600000061
3)执行
Figure BDA0002786998600000062
令
Figure BDA0002786998600000063
如果
Figure BDA0002786998600000064
则更新当前
Figure BDA0002786998600000065
ξ1＝ξ1+1，否则
Figure BDA0002786998600000066
4)执行
Figure BDA0002786998600000067
如果
Figure BDA0002786998600000068
则更新当前
Figure BDA0002786998600000069
ξ2＝ξ2+1，否则
Figure BDA00027869986000000610
5)执行
Figure BDA00027869986000000611
如果
Figure BDA00027869986000000612
则更新当前
Figure BDA00027869986000000613
ξ3＝ξ3+1，否则
Figure BDA00027869986000000614
6)对r个零极点重复执行步骤(3)～步骤(5)，直至迭代次数同时满足为ξ1＝ξ1m，ξ2＝ξ2m和ξ3＝ξ3m，输出分数阶椭圆滤波器的最优ai，bi和ci(i＝1,2,3,…,r)。
上述仅为本发明的具体实施方式，但本发明的设计构思并不局限于此，凡利用此构思对本发明进行非实质性的改动，均应属于侵犯本发明保护范围的行为。

Claims (3)

1.一种幅度非衰减均衡相位的分数阶椭圆滤波器设计方法,其特征在于，包括如下步骤
S1：算法初始化，设定分数阶椭圆滤波器的阶数为L(L>0)，最大通带纹波衰减为ΩpdB，最小阻带纹波衰减为ΩadB，选择系数k，设置初始迭代次数ξ＝1，椭圆滤波器最大迭代次数为ξmax，椭圆滤波器的设计参数初始值为
Figure FDA0002786998590000011
搜索步长分别为△ai，△bi，△ci，设置最大迭代次数分别为ξ1m，ξ2m和ξ3m，迭代初始数值分别为ξ1＝0，ξ2＝0和ξ3＝0，幅度非衰减逆向滤波器的时间周期为N＝N0，采样周期为T＝T0；
S2：
Figure FDA0002786998590000012
其中
Figure FDA0002786998590000013
S3：执行
Figure FDA0002786998590000014
令
Figure FDA0002786998590000015
如果
Figure FDA0002786998590000016
则更新当前
Figure FDA0002786998590000017
ξ1＝ξ1+1，否则
Figure FDA0002786998590000018
S4：执行
Figure FDA0002786998590000019
如果
Figure FDA00027869985900000110
则更新当前
Figure FDA00027869985900000111
ξ2＝ξ2+1，否则
Figure FDA00027869985900000112
S5：执行
Figure FDA00027869985900000113
如果
Figure FDA00027869985900000114
则更新当前
Figure FDA00027869985900000115
ξ3＝ξ3+1，否则
Figure FDA00027869985900000116
S6：对r个零极点重复执行步骤S3-S5，直至迭代次数同时满足为ξ1＝ξ1m，ξ2＝ξ2m和ξ3＝ξ3m，输出分数阶椭圆滤波器的最优ai，bi和ci，i＝1,2,3,……,r。
2.根据权利要求1所述的一种幅度非衰减均衡相位的分数阶椭圆滤波器设计方法，其特征在于，步骤S2中
Figure FDA00027869985900000117
具体包括：
Figure FDA00027869985900000118
定义为：
Figure FDA00027869985900000119
3.根据权利要求1所述的一种幅度非衰减均衡相位的分数阶椭圆滤波器设计方法，其特征在于，步骤S2中f(ai,bi,ci)具体为：
Figure FDA0002786998590000021
其中：T为采样周期，z＝ejΩT为复数变量，j为虚数单位，Ω为频率，
Figure FDA0002786998590000022
Figure FDA0002786998590000023
[·]代表取整。
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