CN114900155B - 一种iir数字多通带滤波器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种IIR数字多通带滤波器设计方法，它利用解析方法确定传输零点和反射零点的初始位置，再引入外加传输零点以及移动反射零点位置，使每个通带中的纹波相等。本方法具有可灵活控制频率响应以及收敛速度快的优点。它可实现复杂的响应以满足更严格的技术要求。

Description

一种IIR数字多通带滤波器设计方法

技术领域

本发明属于通信技术领域，具体涉及一种IIR数字多通带滤波器设计方法。

背景技术

数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域具有广泛的应用。数字滤波器是对数字信号进行滤波处理以得到期望响应特性的离散时间系统。它主要用于对信号进行变换、增强、滤波、估计与识别等操作，是信息获取、处理和利用过程的重要环节。

从结构上来说，数字滤波器可以分为有限冲击响应(FIR)数字滤波器和无限冲击响应(IIR)数字滤波器两大类。目前，IIR数字滤波器的设计方法主要包括主间接设计方法和直接设计方法两大类。直接设计方法是依据特定设计准则直接设计IIR数字滤波器以使其满足期望的频率响应特性，主要使用一些优化算法来进行设计。但是它们都有一些缺点，如收敛速度慢和陷入局部极值等，IIR数字滤波器优化设计的困难之一是优化问题的非凸性。另外由于传递函数分母的存在，IIR数字滤波器没有内秉稳定性，因而如何保证所设计滤波器稳定，是IIR数字滤波器优化设计的另一难题。间接设计方法主要有双线性变换法、脉冲响应不变法、阶跃响应不变法和频率变换法等。它的思路是先设计一个合适的模拟滤波器,然后将其数字化,通过变换得到IIR数字滤波器。用间接设计方法设计IIR数字滤波器可以利用现成的模拟滤波器设计公式,所以相对来说比较方便。间接设计方法主要基于几种现有的模拟低通原型，即巴特沃斯型、普通切比雪夫、广义切比雪夫型及椭圆函数型等。然而现有的这几种模拟低通原型的幅度响应必须是关于零频率是对称的，才能确保其系数为实的。这造成现有的间接方法缺乏足够的灵活性，难以设计具有更为复杂的非对称频率响应的IIR数字滤波器。另外，尚缺乏针对IIR数字多通带滤波器的设计方法。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中存在的不足和缺陷，解决现有的IIR数字滤波器设计方法中存在的问题，即难以实现非对称的频率响应和多通带的频率响应等缺点，提出一种新型的IIR数字多通带滤波器设计方法。

首先，根据滤波器理论，模拟滤波器由双端口网络参数描述。其中，两个散射参数S₂₁(s)和S₁₁(s)表示为

其中，s＝jΩ是复频率变量。P(s)是传输多项式，F(s)是反射多项式，E(s)是公共多项式。进一步，它们表示为以下形式。

E(s)·E(s)^*＝P(s)·P(s)^*+F(s)·F(s)^* (5)

这里，仅考虑传输零点和反射零点在虚轴上的情况。N₀代表位于零频率的传输零点个数。s_F,k表示位于正有限频率处的第k个传输零点，其个数为N_F。s_R,t表示位于正有限频率处第t个反射零点，其个数为N_R。ε是控制纹波幅度的纹波系数。β是用于保持E(s)的最高阶系数为1的参数。如果在无穷远处没有传输零点，β＝1，否则

特征函数K(s)定义为

待设计的IIR数字多通带滤波器具有L个通带，给出设计指标包括每个通带的中心频率、带宽等。本发明所述IIR数字多通带滤波器设计方法的实施步骤如图1所示，具体如下：

步骤1：获取每个通带的简化特征函数。

将IIR数字多通带滤波器的每个通带视为一个模拟单通带滤波器。第l个通带的简化特征函数K_0l(s)定义为

其中，l＝1、2、…和L。s_R,lt表示第l个通带的第t个反射零点，N_lR表示隶属第l个通带的反射零点个数。s_F,lk表示第l个通带的第k个正有限频率传输零点，N_lF表示隶属第l个通带的有限频率传输零点个数。N_l0表示第l个通带的零频率传输零点的个数。

步骤2:获取模拟多通带滤波器的初始简化特征函数。

将模拟单通带滤波器的简化特征函数相乘，将得到模拟多通带滤波器的初始简化特征函数K₀(s)，即

这样,可以灵活地控制每个通带的中心频率、带宽以及传输零点的位置。然而，各通带的特征函数相乘，会使特征函数彼此之间造成干扰，从而导致每个通带内的纹波不相等。图2中给出了L＝2时的例子。

步骤3:通带之间的纹波幅度调整。

公式(8)中的乘法运算(即分贝的和运算)将使模拟多通带滤波器的每个通带中产生不相等的纹波。接下来，需要调整纹波幅度，以补偿L个通带之间的纹波幅度差异。首先，定义一个参数——预估纹波幅度，第l通带的预估纹波幅度表示为U_l。

其中Ω_ld和Ω_lu代表第l个通带的下边缘截止频率和上边缘截止频率。两个不同通带之间的预估纹波幅度差可以用ΔU_ij来估计，其中i(或j)＝1、2、…和L。例如，第k个通带和第l个通带之间的预估纹波幅度差为ΔU_kl＝U_k-U_l。

为了补偿预估纹波幅度差，需引入一些外加传输零点(ETZ)。第k个外加传输零点表示为jΩ_E,k。如果所需的外加传输零点数量为N_E，则初始简化特征函数K₀(s)将修改为

K_E称为修正特征函数。如果应用分贝的概念，公式(10)中的乘法运算将对应于加法运算。为了说明，讨论加入一个外加传输零点jΩ_E的情况。公式(11)变为

这表明K_E(dB)是由K₀(dB)加公式(12)得到。

10lg|1/(jΩ-jΩ_E)| (12)

公式(12)中函数的响应如图3所示。当Ω靠近Ω_E时，该函数对K_E的补偿较大；而当Ω远离Ω_E时，补偿较小。可以通过控制外加传输零点的位置以对纹波幅度做出适当的调整。针对图1中的例子，K₀的第二通带的预估纹波幅度U₂小于第一通带的预估纹波幅度U₁，因此在第二通带的右侧放置了一个外加传输零点。假设Ω_C1和Ω_C2分别是第一通带和第二通带的中心频率。相应地，公式(12)在Ω_C2处的函数值大于在Ω_C1处的函数值。为了有效补偿两个通带之间的预估纹波幅度差ΔU₁₂，外加传输零点的位置Ω_E应满足以下要求。

与K₀中的第一通带和第二通带之间的预估纹波幅度差相比，K_E中两通带的预估纹波幅度差有所减小。针对之前所述的双通带例子，经过纹波幅度调整后，两通带之间的预估纹波幅度差得到了很好的补偿，如图4所示。

如果存在两个以上的通带，则应引入更多的外加传输零点。此时，需要从整体角度考虑对各通带之间的预估纹波幅度差进行补偿，需要满足如下标准。

其中,δ_U和E_U代表所有通带的预估纹波幅度U_l的方差和期望。当δ_U＝0时，所有通带的波纹幅度都相等。因此，需对外加传输零点的位置应进行进一步调整以满足这一要求。通过满足公式(14)，即可确定外加传输零点的位置。

步骤4：等纹波调整。

纹波幅度调整后，通带之间的预估纹波幅度差得到补偿，但各通带中的纹波仍然不相等。首先，需要找出每个通带内的纹波极大值点，在这些点上，K_E的导数值等于零。图4中，圆圈中的点即为一个纹波极大值点，它用jΩ_M表示。通常，每个通带中有一个或多个纹波极大值点。第l通带中的第k个纹波极大值点表示为jΩ_M,lk。它满足

此外，还需要考虑第l个通带的下边缘截止频率和上边缘截止频率，即Ω_ld和Ω_lu。所有这些点的|K_E|值的方差δ_l为

其中，R_l是第l个通带中纹波极大值点的个数。ξ_l是第l个通带中所有这些点的K_E值的期望。

最后，通过将每个通带的方差相加得到总方差δ。

为了在所有通带内实现相等的波纹，需要让公式(17)中的总方差最小化。当δ＝0时，每个通带中的纹波完全相等。这可以通过调整反射零点的位置来实现。

经过等纹波调整后，如果两个通带的纹波幅度相等，则设计过程结束。否则，应再进行一轮或多轮纹波均衡调整包括纹波幅度调整和等波纹调整，直到满足要求。针对前面图1提到的双通带模拟滤波器示例，经过第二轮纹波均衡调整，即可使两个通带中的纹波相等，如图5(a)和图5(b)所示。

步骤5:纹波系数确定。

在确定了所有传输零点和反射零点后，模拟多通带滤波器的最终特征函数K(s)可表示为

根据公式(6)中特征函数的定义，公式(18)中的分子和分母分别对应于P(s)和F(s)，将它们代入公式(5)后，可以导出E(s)。进一步，散射参数S₁₁和S₂₁可以通过公式(1)和(2)得到。ε可以由所要设计的IIR数字多通带滤波器的设计指标来确定，例如，S₂₁在特定频点上的指定值。

步骤6：将模拟多通带滤波器转换为IIR数字多通带滤波器。

得到散射参数S₂₁(s)后，通过以下公式转化为IIR数字多通带滤波器的传输函数。

其中，T是采样周期。

本发明所述IIR数字多通带滤波器设计方法的有益效果是：它利用解析方法确定传输零点和反射零点的初始位置，再引入外加传输零点以及移动反射零点位置，使每个通带中的纹波相等。本方法具有可灵活控制频率响应以及收敛速度快的优点。它可实现复杂的响应以满足更严格的技术要求。

附图说明

图1：IIR数字多通带滤波器设计方法实施步骤图；

图2：L＝2时的初始简化特征函数响应图；

图3：10lg|1/(jΩ-jΩ_E)|函数响应图；

图4：经过纹波幅度调整后的模拟双通带滤波器频率响应图；

图5(a)：经纹波均衡调整后，具有通带内纹波相等的模拟双通带滤波器频率响应整体图；

图5(b)：经纹波均衡调整后，具有通带内纹波相等的模拟双通带滤波器频率响应局部图；

图6(a)：实施例频率响应整体图；

图6(b)：实施例频率响应局部图；

图7：实施例的信号流图。

具体实施方式

为了体现本发明的创造性和新颖性，下面借助于实施例进行深入技术方案的实施和效果。在分析过程中，将结合附图和具体实施例进行阐述，但本发明的实施方式不限于此。

不失一般性，实施例为IIR数字三通带滤波器。三个通带分别覆盖[0.7389,0.7448]、[0.7551,0.7604]和[0.7695,0.7742]。所有通带中的纹波幅度相等，其值为-0.0436dB。指定的传输零点分别为0.0000、0.7483、0.7518、0.7635、0.7665和0.7886。实施例的响应如图6(a)所示，三个通带覆盖了所需的频率范围，带外性能由传输零点控制。每个通带中的纹波是相等的，如图6(b)所示。实施例的信号流图如图7所示。可以看出该流图由15个子流图级联构成，每个子流图有5个参数A_i、a_i1、a_i2、b_i1和b_i2，i＝1,2,...,15。这些参数列于表1，其中P_i表示第i个子流图的参数。

表1实施例信号流图中的参数.

以上所列举的实施例充分说明，本发明所述的IIR数字多通带滤波器设计方法，充分结合了解析方法和优化方法，具有中心频率、带宽和通带纹波灵活可控的显著优点，体现出显著的技术进步。本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种IIR数字多通带滤波器设计方法，其特征在于，将IIR数字多通带滤波器的每个通带视为一个模拟单通带滤波器；第l个通带的简化特征函数K_0l(s)定义为

其中，l＝1、2、…和L；s_R,lt表示第l个通带的第t个反射零点，N_lR表示隶属第l个通带的反射零点个数；s_F,lk表示第l个通带的第k个正有限频率传输零点，N_lF表示隶属第l个通带的有限频率传输零点个数；N_l0表示第l个通带的零频率传输零点的个数；

将模拟单通带滤波器的简化特征函数相乘，将得到模拟多通带滤波器的初始简化特征函数K₀(s)，即

这样,可以灵活地控制每个通带的中心频率、带宽以及传输零点的位置；

定义一个参数——预估纹波幅度，第l通带的预估纹波幅度表示为U_l，即

其中Ω_ld和Ω_lu代表第l个通带的下边缘截止频率和上边缘截止频率；两个不同通带之间的预估纹波幅度差可以用ΔU_ij来估计，其中i或j＝1、2、…或L；为了补偿预估纹波幅度差，需引入一些外加传输零点；需要从整体角度考虑对各通带之间的预估纹波幅度差进行补偿，需要满足如下标准：

其中,δ_U和E_U代表所有通带的预估纹波幅度U_l的方差和期望；当δ_U＝0时，所有通带的波纹幅度都相等；通过满足公式(4)，即可确定外加传输零点的位置；

在每个通带内的纹波极大值点、下边缘截止频率Ω_ld和上边缘截止频率Ω_lu处，构造方差δ_l为

其中，R_l是第l个通带中纹波极大值点的个数，ξ_l是第l个通带中所有这些点的K_E值的期望；最后，通过将每个通带的方差相加得到总方差为了在所有通带内实现相等的波纹，需要让总方差最小化；当δ＝0时，每个通带中的纹波完全相等，这可以通过调整反射零点的位置来实现；经过等纹波调整后，如果两个通带的纹波幅度相等，则设计过程结束；否则，应再进行一轮或多轮纹波均衡调整包括纹波幅度调整和等波纹调整，直到满足要求；

在确定了所有传输零点和反射零点后，模拟多通带滤波器的最终特征函数K(s)可表示为

进一步，可确定散射参数S₁₁和S₂₁；

得到散射参数S₂₁(s)后，通过以下公式转化为IIR数字多通带滤波器的传输函数:

其中，T是采样周期。