CN112330679A - 一种面向数控加工的自由曲面的分割方法及系统 - Google Patents

一种面向数控加工的自由曲面的分割方法及系统 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种面向数控加工的自由曲面的分割方法及系统。该方法包括：获取面向数控加工的约束条件，并简化所述约束条件，确定简化后的约束条件；所述约束条件包括加工方向约束条件、可达性约束条件、曲面片数量约束条件以及边界约束条件；根据所述简化后的约束条件建立能量函数；构建自由曲面的加权图，并基于最小割理论，根据所述加权图利用α‑expansion求解所述能量函数的能量最小值，分割曲面，确定分割后的曲面片。本发明的收敛速度快，鲁棒性高，能够在保证曲面分割精度的同时，降低计算量。

Description

一种面向数控加工的自由曲面的分割方法及系统
技术领域
本发明涉及数控加工领域，特别是涉及一种面向数控加工的自由曲面的分割方法及系统。
背景技术
高精数控加工技术在复杂工件制造中占有越来越大的比重；数控加工的主要流程包含计算机辅助设计(Computer Aided Design，CAD)、计算机辅助制造(Computer AidedManufacturing，CAM)、后处理过程以及机床加工。
随着数控机床的快速发展，人们在实际数控加工对CAM的精度和效率提出了更高的要求，而刀具路径规划在CAM中扮演了很重要的角色，因为刀具必须沿着规划好的刀位点的轨迹行进，因此，刀位点轨迹的优劣在一定程度上决定了加工精度和加工效率，而在规划刀具路径之前，需要先配置一个刀具加工方向，此时待加工曲面上任意一点的外法向量与刀具加工方向的内积必须大于0，所以在加工一个完整的复杂曲面时，由于数控机床加工空间自由度的限制，几乎不可能仅靠一个刀具方向来加工完成，因此，需要对这个复杂曲面进行分片处理，然后在每一片上进行路径规划并加工。
随着近几年CAD/CAM技术的快速发展，三角网格模型在离散几何建模、CNC数控加工编程、图形和图像等领域得到了广泛的应用，三角网格模型由于其简单、成熟的特点，已成为计算机图形学和数控加工中常用的自由曲面表示形式。因此，针对三角网格模型的曲面分割研究具有重要的现实意义。
关于针对三角网格模型的曲面分块的工作近几年已有很多：例如，Luo等人在做曲面分块时充分考虑了3D打印机的工作空间约束，并且要求分割后的面片可以完美拼接在一起不留缝隙；Julius等人将复杂曲面分割成几乎可展开的小块(developable patches)，使其能够由材料片制成，例如，用织物缝制填充玩具；同样地，Chen等人不断简化一个模型，直到该模型可由几种可以用激光切割机制作的多边形拼接而成。但是上述这两种方法只针对2轴生产设备，具有一定的局限性。
针对上述问题，McCrae等人和Hildebrand等人将形状分解为与输入模型相似的正交平面块；Vanek等人为了节省生产时间将模型分割成小块，并且每一小块严格满足生产空间约束；Stava等人利用满足误差约束的局部变形来保证预制物体的结构稳定性；然而，上述这些方法主要考虑了增材制造的约束，而没有考虑减数控加工的约束条件。
最近，Zhao等人将可达性(accessibility)的概念引入到曲面分块中，这样做的目的是使每一个分割好的面片避免与刀具发生碰撞，但是该方法复杂且不易实现，而且，该方法的理论并不完善，由于他们能量函数的双变量项不是度量的，而双变量项必须是度量的才能够使每一个分割好的面片避免与刀具发生碰撞。因此，现有的曲面分割方法无法以非度量的双变量项的能量函数以提高曲面分割精度，导致现有的曲面分割方法计算复杂且不容易实现，曲面分割精度低，鲁棒性差。
发明内容
本发明的目的是提供一种面向数控加工的自由曲面的分割方法及系统，以解决现有的曲面分割方法计算复杂且不容易实现，曲面分割精度低，鲁棒性差的问题。
为实现上述目的，本发明提供了如下方案：
一种面向数控加工的自由曲面的分割方法，包括：
获取面向数控加工的约束条件，并简化所述约束条件，确定简化后的约束条件；所述约束条件包括加工方向约束条件、可达性约束条件、曲面片数量约束条件以及边界约束条件；
根据所述简化后的约束条件建立能量函数；
构建自由曲面的加权图，并基于最小割理论，根据所述加权图利用α-expansion求解所述能量函数的能量最小值，分割曲面，确定分割后的曲面片。
可选的，所述获取面向数控加工的约束条件，并简化所述约束条件，确定简化后的约束条件，具体包括：
根据
Figure BDA0002757965460000021
简化所述加工方向约束条件，确定简化后的加工方向约束条件；其中，L(fi)为第i个三角形简化后的加工方向约束条件的集合；i为任意一个三角形的序号；
Figure BDA0002757965460000031
为第i个加工方向；fi为第i个三角形；di(fi)为三角形集合，所述三角形集合中的三角形均满足以
Figure BDA0002757965460000032
为加工方向的加工方向约束；
根据公式
Figure BDA0002757965460000033
简化确定简化后的可达性约束条件；
简化所述曲面片数量约束条件以及所述边界约束条件，确定简化后的曲面片数量约束条件以及简化后的边界约束条件；所述简化后的曲面片数量约束条件以及所述简化后的边界约束条件使得相邻的分割后的曲面片之间的边界长度最小。
可选的，所述根据所述简化后的约束条件建立能量函数，具体包括：
利用公式∈＝∑i∈FDi(di)+∑(i，j)∈F×FVi，j(di，dj)建立能量函数；其中，∈为能量函数；单变量项Di(di)为与所述简化后加工方向约束以及所述简化后的可达性约束相关的能量代价；di为第i个三角形上的标签；F为三角形的顶点索引；j为任意一个三角形的序号；双变量项Vi,j(di,dj)为满足所述简化后的曲面片数量约束条件以及所述简化后的边界约束条件的相邻三角形之间的关系；dj为第j个三角形上的标签。
可选的，所述单变量项Di(di)为：
Figure BDA0002757965460000034
可选的，所述双变量项Vi,j(di,dj)为：
Figure BDA0002757965460000035
一种面向数控加工的自由曲面的分割系统，包括：
约束条件简化模块，用于获取面向数控加工的约束条件，并简化所述约束条件，确定简化后的约束条件；所述约束条件包括加工方向约束条件、可达性约束条件、曲面片数量约束条件以及边界约束条件；
能量函数建立模块，用于根据所述简化后的约束条件建立能量函数；
分割模块，用于构建自由曲面的加权图，并基于最小割理论，根据所述加权图利用α-expansion求解所述能量函数的能量最小值，分割曲面，确定分割后的曲面片。
可选的，所述约束条件简化模块，具体包括：
加工方向约束条件简化单元，用于根据
Figure BDA0002757965460000041
简化所述加工方向约束条件，确定简化后的加工方向约束条件；其中，L(fi)为第i个三角形简化后的加工方向约束条件的集合；i为任意一个三角形的序号；
Figure BDA0002757965460000042
为第i个加工方向；fi为第i个三角形；di(fi)为三角形集合，所述三角形集合中的三角形均满足以
Figure BDA0002757965460000043
为加工方向的加工方向约束；
可达性约束条件简化单元，用于根据公式
Figure BDA0002757965460000044
简化确定简化后的可达性约束条件；
曲面片数量约束条件以及边界约束条件简化单元，用于简化所述曲面片数量约束条件以及所述边界约束条件，确定简化后的曲面片数量约束条件以及简化后的边界约束条件；所述简化后的曲面片数量约束条件以及所述简化后的边界约束条件使得相邻的分割后的曲面片之间的边界长度最小。
可选的，所述能量函数建立模块，具体包括：
能量函数建立单元，用于利用公式∈＝∑i∈FDi(di)+∑(i，j)∈F×FVi，j(di，dj)建立能量函数；其中，∈为能量函数；单变量项Di(di)为与所述简化后加工方向约束以及所述简化后的可达性约束相关的能量代价；di为第i个三角形上的标签；F为三角形的顶点索引；j为任意一个三角形的序号；双变量项Vi,j(di,dj)为满足所述简化后的曲面片数量约束条件以及所述简化后的边界约束条件的相邻三角形之间的关系；dj为第j个三角形上的标签。
可选的，所述单变量项Di(di)为：
Figure BDA0002757965460000045
可选的，所述双变量项Vi,j(di,dj)为：
Figure BDA0002757965460000051
根据本发明提供的具体实施例，本发明公开了以下技术效果：本发明提供了一种面向数控加工的自由曲面的分割方法及系统，约束条件直接应用复杂，本发明先对约束条件进行简化处理，根据简化后的约束条件将曲面分割问题转换为能量最小化问题，并利用最小割理论求解能量最小化问题，基于能量最小化进行曲面分割，使得分割后的曲面片满足简化后的约束条件；在求解时只需做多次最小割算法即可得到能量最小化的结果，收敛速度快，鲁棒性高；且在此过程中，能量函数所涉及的双变量项即使为非度量也能够在保证曲面分割精度的同时，降低计算量。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明所提供的面向数控加工的自由曲面的分割方法流程图；
图2为二维平面下的锥体示意图；图2(a)为A点的可达性锥示意图；
图2(b)为B点的可达性锥示意图；
图3为加权图；
图4为对于{p，q}的最小割的情况示意图；图4(a)为引理1的陈述1证明示意图；图4(b)为引理1的陈述2证明示意图；图4(c)为引理1的陈述3证明示意图；图4(d)为引理1的陈述4证明示意图；
图5为对于{q，r}的最小割的情况示意图；图5(a)为引理2的陈述1证明示意图；图5(b)为引理2的陈述2证明示意图；图5(c)为引理2的陈述3证明示意图；图5(d)为引理2的陈述4证明示意图；
图6为在具有相同标签的相邻面片节点处构造的最小割对比示意图；图6(a)为现有分割方法构建的最小割示意图；图6(b)为本发明所提供的最小割示意图；
图7为四个模型的曲面分割图；图7(a)为Bunny模型的左侧分割示意图；图7(b)为Bunny模型的右侧分割示意图；图7(c)为Squirrel模型的左侧分割示意图；图7(d)为Squirrel模型的右侧分割示意图；图7(e)为Kitten模型的左侧分割示意图；图7(f)为Kitten模型的右侧分割示意图；图7(g)为Pig模型的正面分割示意图；图7(h)为Pig模型的背面分割示意图；
图8为两个自由曲面上的刀具路径轨迹示意图；图8(a)为bunny模型的曲面分割结果示意图；图8(b)为Bunny模型路径轨迹示意图；图8(c)为Squirrel模型的曲面分割结果示意图；图8(d)为Squirrel模型的路径轨迹示意图；图8(e)为Bunny模型第一个EHF上的路径轨迹示意图；图8(f)为Bunny模型第二个EHF上的路径轨迹示意图；图8(g)为Bunny模型第三个EHF上的路径轨迹示意图；图8(h)为Squirrel模型第一个EHF上的路径轨迹示意图；图8(i)为Squirrel模型第二个EHF上的路径轨迹示意图；图8(j)为Squirrel模型第三个EHF上的路径轨迹示意图；图8(k)为Squirrel模型第四个EHF上的路径轨迹示意图；
图9为本发明所提供的面向数控加工的自由曲面的分割系统结构图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明的目的是提供一种面向数控加工的自由曲面的分割方法及系统，收敛速度快，鲁棒性高，能够在保证曲面分割精度的同时，降低计算量。
为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。
本发明最终要达到的目的是将由三角网格表示的自由曲面分割为多个满足数控减材加工要求的曲面片。
由于想要得到满足减材加工的约束条件的曲面片，因此曲面分割中针对减材加工的约束条件如下所述：
输入的自由曲面的表达形式为三角网格模型M＝(V，F)，
Figure BDA0002757965460000071
表示三角网格的顶点集合以及各自对应坐标；而网格里的三角形集合可表示为它们的顶点索引集合F＝{(vi,vj,vk)}；其中，Ei是从给定曲面分割出来后的曲面片，vi，vj，vk为顶点索引，即构成三角形的三个顶点标号。
目标就是将三角网格模型分割成少量的三角曲面片，以便每个曲面片都适合用于减材制造加工，也就是说，要满足接下来要提到的一些约束：
Figure BDA0002757965460000072
Figure BDA0002757965460000073
使得分割后的三角面片个数N为最小，对于每一个三角面片Ei，都有一个对应的加工方向di，并且Ei和di满足以下公式：
Figure BDA0002757965460000074
图1为本发明所提供的面向数控加工的自由曲面的分割方法流程图，如图1所示，一种面向数控加工的自由曲面的分割方法，包括：
步骤101：获取面向数控加工的约束条件，并简化所述约束条件，确定简化后的约束条件；所述约束条件包括加工方向约束条件、可达性约束条件、曲面片数量约束条件以及边界约束条件。
加工方向约束：对于每一个曲面片Ei，都要给定一个加工方向
Figure BDA0002757965460000075
使得整个Ei都可以被加工到，也就是说，Ei上任意一个三角形的外法向量
Figure BDA0002757965460000076
与
Figure BDA0002757965460000077
的内积均大于0：
Figure BDA0002757965460000078
可达性约束：在数控加工中，需要无碰撞地加工曲面，在待加工曲面上任意一点都有一个方向集合，该集合包含所有在该点加工时刀具与曲面无碰撞的方向。这个集合被称为可达性锥。
图2显示了二维平面下的锥体，而在三维空间下这个方向集合往往会形成一个圆锥体，一个三角形上所有点的可达性锥的交构成了这个三角形的可达性锥。一个曲面片Ei满足可达性约束，即为Ei上所有点的可达性锥的交不为空集：
Figure BDA0002757965460000081
其中Conej是点pj的可达性锥，pj指的是曲面片Ei的任意点。
曲面片数量约束：在加工一个完整的复杂曲面时，由于数控机床加工空间自由度的限制，几乎不可能仅靠一个刀具方向来加工完成，需要对这个复杂曲面进行分片处理，然后在每一片上进行路径规划并加工，每加工一个分片后的曲面片，都需要对刀具进行一次装卡定位，而这样的操作费时费力，所以总希望装卡定位操作的次数尽量少，也就是说，分割后的曲面片数量要尽量少。因此，应该将待加工自由表曲面分割成少量的曲面片，即为曲面片数量约束。
边界约束：在曲面分割后，需要在各个曲面片上生成刀具加工路径，而现有的很多刀具路径生成算法都会基于曲面边界做偏置生成路径轨迹。因此，曲面片边界的光滑性影响着刀具路径的质量。拥有太多拐点的边界可能会导致这个曲面片上生成的路径轨迹也充满了拐点，从而降低了进给速率，影响加工效率。因此，每个曲面片的边界必须足够光滑，这就是边界约束。
在以上四个约束中，加工方向约束和可达性约束用来保证刀具在不与待加工曲面发生碰撞的前提下能够加工到曲面的任意一点；曲面片数量约束用来缩短曲面的总加工时间，尽量减少不必要的刀具装卡时间。
边界约束是为了让刀具路径轨迹足够光滑，这是高速高精度加工所必需的，如果分割后的曲面片满足上述四个约束条件，称其为增强型高度域(enhanced height field，EHF)。
将上述的四个约束条件转换成更加直观的形式。
对于加工方向约束，可以在高斯球面(Gaussian sphere)上均匀采样大量的加工方向。
对于任意一个采样得到的方向
Figure BDA0002757965460000082
可以通过公式(1)可得到一个三角形集合di(f)，该集合中的三角形均满足以
Figure BDA0002757965460000083
为加工方向的加工方向约束。反之，曲面上的每个三角形都包含在许多这样的集合中。这样，对于任意一个三角形fi，总可以得到一个由方向组成的集合：
Figure BDA0002757965460000091
对于可达性约束，很难直接计算各个点的可达性锥。所以考虑各采样方向的可达性。对于任意一个采样方向
Figure BDA0002757965460000092
需要找到哪些三角形的可达性锥包含这个方向。将这个方向看成是一组平行射线，如果一个三角形在这组射线上完全可见，那么该三角形在这个方向上不被曲面的其他三角形所遮挡，即为该三角形的可达性锥包含采样方向
Figure BDA0002757965460000093
所以只须考虑各三角形在所有采样方向下的可见性而不是计算其可达性锥。实际上，对于一个采样方向
Figure BDA0002757965460000094
将所有三角形投影到与该方向垂直的平面上。然后以适当的分辨率将每个三角形离散成像素，利用z-buffer算法来判断哪个三角形是可见的，同时，一个三角形fi可能在多个采样方向下是可见的，所以可以得到fi的可达性集合：
Figure BDA0002757965460000095
对于曲面片数量约束和边界约束，可以通过最小化EHF之间的边界长度来满足这两个约束条件。
步骤102：根据所述简化后的约束条件建立能量函数。
第一步：将根据上述四个简化后的约束条件建立能量函数。然后将曲面分割问题转换成能量最小化问题。
将可达性约束加入到能量函数中使得无须再额外考虑曲面的可达性，这样使的方法相比的算法更加简单。
第二步，使用α-expansion算法来解决能量最小化问题。
基于以上分析，只须给定各个三角形一个合理的采样方向使得拥有相同采样方向的三角形共同组成一个满足上诉四个约束条件的曲面片，也就是EHF。
将各个采样方向看成是标签，这样曲面分割问题就变成了离散打标签问题。
为了简单起见，用i表示三角形，用di表示这个三角形上的标签。每一个标签集合{di}i∈F对应一个曲面分割情况，利用能量函数来解决这个打标签问题，对于任意一个标签集合{di}i∈F，其能量函数为：
∈＝∑i∈FDi(di)+∑(i，j)∈F×FVi，j(di，dj) (5)
其中单变量项Di(di)表示与加工方向约束、可达性约束相关的能量代价。
若令三角形fi的标签为di，则该项为：
Figure BDA0002757965460000101
最小化Di将得到一个关于加工方向约束和可达性约束的合理标签。而双变量项Vi，j用来满足曲面片数量约束和边界约束：
Figure BDA0002757965460000102
这个双变量项仅仅作用于两个相邻的三角形fi、fj，该项鼓励相邻的三角形拥有相同的标签。
|fi∩fj|是这两个三角形公共边的长度。该项可以使曲面片边界总长度最小，间接满足曲面片数量约束和边界约束。
本发明的能量函数引入了可达性，换句话说，通过最小化能量函数，可以自动确保每个EHF的可达性。这使得的方法比以前的算法更简单。
所以现在的目标是找到合理的标签集合使函数(5)最小化。使用α-expansion算法来解决这个问题，表1为α-expansion算法步骤示意表，如表1所示。在这个算法中，Γ表示所有标签的集合，不断重复α-expansion操作直到能量最小化。
表1
Figure BDA0002757965460000111
步骤103：构建自由曲面的加权图，并基于最小割理论，根据所述加权图利用α-expansion求解所述能量函数的能量最小值，分割曲面，确定分割后的曲面片。
引入最小割来实现α-expansion操作。
在以往的基于图论的曲面分割研究中，最小割可以有效地解决能量最小化问题。然而，他们能量函数中的双变量项Vi，j不是度量的；根据Boykov等人提出的只有双变量项是度量的，最小割的权值才能等于能量函数的最小值的理论，这可能会导致最小割的权值不等于能量函数的最小值。改进图的结构以避免这一缺陷，在本发明中，即使双变量项也不是度量，改进图的最小割权值严格等价于能量函数(5)的最小值。
以任意一个三角曲面片为例：
首先，给出一个基于给定标签集{di}i∈F和标签α的图Gα＝<Nα，Lα>的结构，如图3所示，代表三角形的面片节点集合为{p，q，r，s}。p的标签为d1；q和r的标签为d2；s的标签为α。在相邻节点之间引入了两种类型的辅助节点，为了便于理解，该图展示了一维情况。
加权图的节点包含两个终端节点α、
Figure BDA0002757965460000112
和用来表示所有曲面三角形的面片节点(图中用正方形表示)，其中不同的颜色代表不同的标签。
此外，对于每对标签不同的相邻面片节点{p，q}，添加辅助节点a{p，q}。因为的双变量项不满足交换律，所以同样需要在标签相同的相邻面片节点{q，r}之间添加辅助节点b{q，r}。
那么图的节点集合为：
Figure BDA0002757965460000121
每个面片节点p分别通过t边
Figure BDA0002757965460000122
和
Figure BDA0002757965460000123
与终端节点α、
Figure BDA0002757965460000124
相连。对于每一对拥有不同标签的相邻面片节点{p，q}，建立一组边
Figure BDA0002757965460000125
连接关系如图3所示。对于每一对拥有相同标签的相邻面片节点{q，r}，建立一组边η{q，r}＝{e{q，b}，e{b，r}}。各边的权值如表2所示。则加权图的边的集合为：
Figure BDA0002757965460000126
表2
Figure BDA0002757965460000127
根据Boykov等人的理论，图Gα上的割都必须包含每个面片节点的一个t边。这样就可以很自然地定义一个与割C对应的标签集合
Figure BDA0002757965460000128
对于任意的三角形(面片节点)p∈F，可以定义：
Figure BDA0002757965460000129
现在考虑面片节点与辅助节点之间的边。对于一对不同标签的相邻面片节点，在固定被割的t边时，总有不止一种方法切割边集合ζ{p，q}。但是最小割是唯一的。换句话说，一旦确定了p和q被割的t边，那么就可以在ζ{p，q}中找到唯一的最小割。
以下内容是利用最小割求解能量函数最小值的证明。
引理1.令p和q为相邻两面片节点并且dp≠dq，那么最小割C总属于以下一种陈述:
陈述1：若
Figure BDA0002757965460000131
那么
Figure BDA0002757965460000132
陈述2：若
Figure BDA0002757965460000133
那么
Figure BDA0002757965460000134
陈述3：若
Figure BDA0002757965460000135
那么C∩ζ{p，q}＝e{a，q}。
陈述4：若
Figure BDA0002757965460000136
那么C∩ζ{p，q}＝e{p，a}。
这些陈述如图4所示。
证明：
陈述1可由割的定义得到：最小割C的任何真子集都不能将两终端节点分开。
对于陈述2，通过割的定义可以发现最小割只可能是两种情况：
Figure BDA0002757965460000137
或者
Figure BDA0002757965460000138
对于双变量项Vp，q，不等式Vp，q(dp，dq)≤Vp，q(dp，α)+Vp，q(αdq)总是成立。
可得：
如果Vp，q(dp，dq)＝0，那么不等式很显然成立；
如果Vp，q(dp，dq)＝K，其中K是三角形p和q的公共边长度，可得dp≠dq。因此，dp≠α或者dp≠α，则Vp，q(dp，α)≠0或者Vp，q(α，dq)≠0。可得K＝Vp，q(dp，dq)≤Vp，q(dp，α)+Vp，q(α，dq)；
如果Vp，q(dp，dq)＝∞，那么在
Figure BDA0002757965460000139
中，总有一个成立。因此，Vp，q(dp，α)＝∞或者Vp，q(α，dq)＝∞，这就说明：Vp，q(dp，dq)＝Vp，q＝(dp，α)+Vp，q(α，dq)＝∞。
则这个声明是正确的，进而可以推导出：最小割为
Figure BDA00027579654600001310
并且
Figure BDA00027579654600001311
证明陈述3。如图4所示，其中，虚线是被C包含的边，通过割的定义可以得到最小割C只能是两种情况：
Figure BDA0002757965460000141
或者
Figure BDA0002757965460000142
Vp，q(α，dq)≤Vp，q(dp，α)+Vp，q(dp，dq) (9)
用反证法来证明如果
Figure BDA0002757965460000143
那么公式(9)总是成立。
假设Vp，q(α，dq)＞Vp，q(dp，α)+Vp，q(dp，dq)，则根据定义可得最小割C为
Figure BDA0002757965460000144
可得Vp，q(α，dq)≠0，即dq≠α。之后，声明Vp，q(α，dq)＝∞。否则，如果Vp，q(α，dq)＝K，其中K是三角形p和q的公共边长度，那么K＞Vp，q(dp，α)+Vp，q(dp，dq)。可以推导出Vp，q(dp，α)＝0和Vp，q(dp，dq)＝0成立。这说明α＝dp＝dq，显然矛盾。所以Vp，q(α，dq)＝∞。那么根据单变量项(6)和双变量项(7)的定义，可得Dp(α)＝∞和Dq(dq)＝∞至少有一个成立，即
Figure BDA0002757965460000145
另一方面，Vp，q(dp，α)+Vp，q(dp，dq)≤2K＜∞，根据单变量项(6)和双变量项(7)的定义，可得Dp(dp)＝0和Dq(α)＝0同时成立，即
Figure BDA0002757965460000146
这样，就可以得到另一个割
Figure BDA0002757965460000147
其权值现然小于C。而C是最小割，很显然矛盾。所以声明成立，陈述3是正确的。类似地，可以证明陈述4。
对于一对拥有相同标签的相邻面片节点{q，r}，当被割的t边确定时，最小割C包含边集合η{q，r}里的哪条边同样可以确定。如引理2所示。
引理2.令q和r为相邻两面片并且dq＝dr，则最小割C总属于以下一种陈述：
陈述1：若
Figure BDA0002757965460000148
那么
Figure BDA0002757965460000149
陈述2：若
Figure BDA00027579654600001410
那么
Figure BDA00027579654600001411
陈述3：若
Figure BDA00027579654600001412
那么C∩η{q，r}＝e{b，r}。
陈述4：若
Figure BDA00027579654600001413
那么C∩η{q，r}＝e{q，b}。
这些陈述如图5所示。
证明:这个引理的陈述1和陈述2可由割的定义得到：最小割C的任何真子集都不能将两终端节点分开。
对于陈述3，如图5所示，通过割的定义可以得到最小割C只能是两种情况：
Figure BDA0002757965460000151
或者是
Figure BDA0002757965460000152
由表2可得，可得e{q，b}等于Vq，r(dq，α)；e{b，r}等于Vq，r(α，dq)。使用反证法来证明陈述3。
假设C∩η{q，r}＝e{q，b}而不是e{b，r}，则最小割为
Figure BDA0002757965460000153
有Vq，r(dq，α)＜Vq，r(α，dq)。那么，dq≠α、Vq，r(dq，α)＝K、Vq，r(α，dq)＝∞均成立，其中K是三角形q和r的公共边长度。因为Vq，r(α，dq)＝∞，则根据单变量项(6)和双变量项(7)的定义，Dq(α)＝∞和Dr(dq)＝∞至少有一个成立。因为Vq，r(dq，α)＝K，所以Dq(dq)＝0和Dr(α)＝0同时成立。因此，
Figure BDA0002757965460000154
这样就可以找到一个新的割
Figure BDA0002757965460000155
其权重小于C，显然矛盾。因此，陈述3是正确的。类似地，可以证明陈述4。
这样可以给出Boykov等人和在双变量项是度量的情况下得到定理1类似的结论，但是双变量项不是度量的。
定理1.在图Gα上的最小割C和经过α-expansion操作后的标签集合
Figure BDA0002757965460000156
总存在一一对应的关系。此外，最小割的权值严格等于能量函数的最小值。
证明：通过引理1和引理2，可以得到关于一对相邻面片节点的几种不同的最小割，并且这些割共同组合生成整个图的最小割C。对于任意两个相邻面片节点{p，q}，最小割的权值总是等于
Figure BDA0002757965460000157
也就是关于{p，q}的能量函数∈。剩余的证明可以参考Boykov等人所提出的只有双变量项是度量的，最小割的权值才能等于能量函数的最小值的理论中类似的内容。
回顾之前基于最小割的曲面分割方法，他们的双变量项不是度量的，因此他们无法在理论上保证图的最小割C和标签集合
Figure BDA0002757965460000158
的一一对应。他们的双变量项不是度量的原因是不满足交换律。如图6(a)所示，这样会导致一条边有两个不同的权值，从而造成歧义。为了修复这个缺陷，通过在有相同标签的相邻面片节点之间加入了辅助节点来改进图的结构，如图6(b)所示。此外通过引理1、引理2和定理1证明了最小割和标签集合具有一一对应关系。与最近的基于最小割的曲面分割方法相比，通过引理1，引理2和定理1共同证明本发明所提供的分割方法是理论完备的，在理论上具有正确性和完整性。
在自由曲面上做曲面分割的结果。曲面分割算法使用C++编程语言，在RAM 16G、
Figure BDA0002757965460000161
CoreTM i5-6600k CPU 3.50GHz、Windows 10的环境下实现。的曲面分割结果如图7所示。对于每个模型，成功将曲面分割成小数量的增强型高度域(EHF)。每个EHF都有一个加工方向，且满足可达性约束。因此，的曲面分割适用于减材加工制造。表3显示各模型的运行时间和迭代次数示意表。可以发现的方法可以让能量函数很快收敛到最小值。
表3
模型 Bunny Squirrel Kitten Pig
迭代次数 18 27 28 21
EHF的数量 4 5 5 5
运行时间(s) 5.3 6.7 7.1 6.2
在Bunny模型和Squirrel模型上建立连通费马螺旋线刀具加工路径，如图8所示。可以看出在各EHF上生成的刀具路径没有太多拐点，路径比较光滑，说明本发明生成的曲面片满足边界约束。
图9为本发明所提供的面向数控加工的自由曲面的分割系统结构图，如图9所示，一种面向数控加工的自由曲面的分割系统，包括：
约束条件简化模块901，用于获取面向数控加工的约束条件，并简化所述约束条件，确定简化后的约束条件；所述约束条件包括加工方向约束条件、可达性约束条件、曲面片数量约束条件以及边界约束条件。
所述约束条件简化模块901具体包括：加工方向约束条件简化单元，用于根据
Figure BDA0002757965460000162
简化所述加工方向约束条件，确定简化后的加工方向约束条件；其中，L(fi)为第i个三角形简化后的加工方向约束条件的集合；i为任意一个三角形的序号；
Figure BDA0002757965460000163
为第i个加工方向；fi为第i个三角形；di(fi)为三角形集合，所述三角形集合中的三角形均满足以
Figure BDA0002757965460000164
为加工方向的加工方向约束；可达性约束条件简化单元，用于根据公式
Figure BDA0002757965460000165
简化确定简化后的可达性约束条件；曲面片数量约束条件以及边界约束条件简化单元，用于简化所述曲面片数量约束条件以及所述边界约束条件，确定简化后的曲面片数量约束条件以及简化后的边界约束条件；所述简化后的曲面片数量约束条件以及所述简化后的边界约束条件使得相邻的分割后的曲面片之间的边界长度最小。
能量函数建立模块902，用于根据所述简化后的约束条件建立能量函数。
所述能量函数建立模块902具体包括：能量函数建立单元，用于利用公式∈＝∑i∈ FDi(di)+∑(i，j)∈F×FVi，j(di，dj)建立能量函数；其中，∈为能量函数；单变量项Di(di)为与所述简化后加工方向约束以及所述简化后的可达性约束相关的能量代价；di为第i个三角形上的标签；F为三角形的顶点索引；j为任意一个三角形的序号；双变量项Vi,j(di,dj)为满足所述简化后的曲面片数量约束条件以及所述简化后的边界约束条件的相邻三角形之间的关系；dj为第j个三角形上的标签。
所述单变量项Di(di)为：
Figure BDA0002757965460000171
所述双变量项Vi,j(di,dj)为：
Figure BDA0002757965460000172
Figure BDA0002757965460000173
分割模块903，用于构建自由曲面的加权图，并基于最小割理论，根据所述加权图利用α-expansion求解所述能量函数的能量最小值，分割曲面，确定分割后的曲面片。
本发明提出了一种面向数控加工的自由曲面的分割方法及系统，对于任意一个由三角网格表示的自由曲面，在加工时为了避免刀具与待加工曲面发生碰撞，需要对这个自由曲面进行分片处理，本发明通过建立加权图并搜索图的最小割来实现能量最小化，给出了一种快速、鲁棒的曲面分割方法，相比于其他同类型方法，本发明更容易实现并且能够保证理论的完备性。
本说明书中各个实施例采用递进的方式描述，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处，各个实施例之间相同相似部分互相参见即可。对于实施例公开的系统而言，由于其与实施例公开的方法相对应，所以描述的比较简单，相关之处参见方法部分说明即可。
本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处。综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。

Claims (10)

1.一种面向数控加工的自由曲面的分割方法，其特征在于，包括：
获取面向数控加工的约束条件，并简化所述约束条件，确定简化后的约束条件；所述约束条件包括加工方向约束条件、可达性约束条件、曲面片数量约束条件以及边界约束条件；
根据所述简化后的约束条件建立能量函数；
构建自由曲面的加权图，并基于最小割理论，根据所述加权图利用α-expansion求解所述能量函数的能量最小值，分割曲面，确定分割后的曲面片。
2.根据权利要求1所述的面向数控加工的自由曲面的分割方法，其特征在于，所述获取面向数控加工的约束条件，并简化所述约束条件，确定简化后的约束条件，具体包括：
根据
Figure FDA0002757965450000011
简化所述加工方向约束条件，确定简化后的加工方向约束条件；其中，L(fi)为第i个三角形简化后的加工方向约束条件的集合；i为任意一个三角形的序号；
Figure FDA0002757965450000012
为第i个加工方向；fi为第i个三角形；di(fi)为三角形集合，所述三角形集合中的三角形均满足以
Figure FDA0002757965450000013
为加工方向的加工方向约束；
根据公式
Figure FDA0002757965450000014
简化确定简化后的可达性约束条件；
简化所述曲面片数量约束条件以及所述边界约束条件，确定简化后的曲面片数量约束条件以及简化后的边界约束条件；所述简化后的曲面片数量约束条件以及所述简化后的边界约束条件使得相邻的分割后的曲面片之间的边界长度最小。
3.根据权利要求2所述的面向数控加工的自由曲面的分割方法，其特征在于，所述根据所述简化后的约束条件建立能量函数，具体包括：
利用公式∈＝∑i∈FDi(di)+∑(i，j)∈F×FVi，j(di，dj)建立能量函数；其中，∈为能量函数；单变量项Di(di)为与所述简化后加工方向约束以及所述简化后的可达性约束相关的能量代价；di为第i个三角形上的标签；F为三角形的顶点索引；j为任意一个三角形的序号；双变量项Vi,j(di,dj)为满足所述简化后的曲面片数量约束条件以及所述简化后的边界约束条件的相邻三角形之间的关系；dj为第j个三角形上的标签。
4.根据权利要求3所述的面向数控加工的自由曲面的分割方法，其特征在于，所述单变量项Di(di)为：
Figure FDA0002757965450000021
5.根据权利要求3所述的面向数控加工的自由曲面的分割方法，其特征在于，所述双变量项Vi,j(di,dj)为：
Figure FDA0002757965450000022
6.一种面向数控加工的自由曲面的分割系统，其特征在于，包括：
约束条件简化模块，用于获取面向数控加工的约束条件，并简化所述约束条件，确定简化后的约束条件；所述约束条件包括加工方向约束条件、可达性约束条件、曲面片数量约束条件以及边界约束条件；
能量函数建立模块，用于根据所述简化后的约束条件建立能量函数；
分割模块，用于构建自由曲面的加权图，并基于最小割理论，根据所述加权图利用α-expansion求解所述能量函数的能量最小值，分割曲面，确定分割后的曲面片。
7.根据权利要求6所述的面向数控加工的自由曲面的分割系统，其特征在于，所述约束条件简化模块，具体包括：
加工方向约束条件简化单元，用于根据
Figure FDA0002757965450000023
简化所述加工方向约束条件，确定简化后的加工方向约束条件；其中，L(fi)为第i个三角形简化后的加工方向约束条件的集合；i为任意一个三角形的序号；
Figure FDA0002757965450000024
为第i个加工方向；fi为第i个三角形；di(fi)为三角形集合，所述三角形集合中的三角形均满足以
Figure FDA0002757965450000025
为加工方向的加工方向约束；
可达性约束条件简化单元，用于根据公式
Figure FDA0002757965450000026
简化确定简化后的可达性约束条件；
曲面片数量约束条件以及边界约束条件简化单元，用于简化所述曲面片数量约束条件以及所述边界约束条件，确定简化后的曲面片数量约束条件以及简化后的边界约束条件；所述简化后的曲面片数量约束条件以及所述简化后的边界约束条件使得相邻的分割后的曲面片之间的边界长度最小。
8.根据权利要求7所述的面向数控加工的自由曲面的分割系统，其特征在于，所述能量函数建立模块，具体包括：
能量函数建立单元，用于利用公式∈＝∑i∈FDi(di)+∑(i，j)∈F×FVi，j(di，dj)建立能量函数；其中，∈为能量函数；单变量项Di(di)为与所述简化后加工方向约束以及所述简化后的可达性约束相关的能量代价；di为第i个三角形上的标签；F为三角形的顶点索引；j为任意一个三角形的序号；双变量项Vi,j(di,dj)为满足所述简化后的曲面片数量约束条件以及所述简化后的边界约束条件的相邻三角形之间的关系；dj为第j个三角形上的标签。
9.根据权利要求8所述的面向数控加工的自由曲面的分割系统，其特征在于，所述单变量项Di(di)为：
Figure FDA0002757965450000031
10.根据权利要求8所述的面向数控加工的自由曲面的分割系统，其特征在于，所述双变量项Vi,j(di,dj)为：
Figure FDA0002757965450000032
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