CN107972034B - 一种基于ros平台的复杂工件轨迹规划仿真系统 - Google Patents

Abstract

本发明适用于机器人轨迹规划技术领域，提供了一种基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真系统，包括:模型描述模块，将导入的三维工件模型及三维机器人模型转换为URDF数据格式；造型处理模块，基网格算法对工件划分三角面片，并提取三角面片信息；运动规划模块，基于选定区域的三角面片信息进行机器人运动轨迹的规划；仿真模块，能图形化显示三维机器人及末端执行器基于规划轨迹的运动，并给出末端执行器的作业数据；轨迹优化模块，基于仿真结果，通过人机交互界面对规划的轨迹进行优化；程序生成模块，将优化后的机器人运动轨迹转变成程序语言；通讯模块，将程序生成模块生成的程序语言发送至机器人控制器，能实现对复杂工件的轨迹规划。

Description

一种基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真系统

技术领域

本发明属于机器人轨迹规划技术领域，提供了一种基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真软件。

背景技术

机器人技术是集机械、电子、控制、软件、传感器、人工智能等多学科先进技术于一体的现代制造业重要的自动化技术，是《中国制造2025》规划的十大重点领域。而软件系统作为机器人大脑，是决定机器人智能化水平的重要指标。

目前，工业现场绝大多数机器人应用是以示教形式获得机器人运动程序的，这种方式不仅需要极富经验的机器人操作人员，而且难以保证机器人运动精度。而且面对复杂的运动轨迹，人工示教往往难以胜任，使用机器人规划仿真软件系统进行离线规划和控制可以保证更高的运动精度、更快的编程效率，还可以保证操作人员的绝对安全，但现有的机器人规划仿真软件系统只能对点、线或轮廓线进行规划，对复杂曲面无法实现轨迹规划。

发明内容

本发明实施例提供一种基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真软件系统，旨在解决现有机器人规划仿真软件系统只能对点、线或轮廓线进行规划，对复杂曲面无法实现轨迹规划的问题。

本发明是这样实现的，基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真软件系统，所述系统包括：模型描述模块、造型处理模块、运动规划模块、仿真模块及轨迹优化模块、程序生成模块、通讯模块以及数据库模块；其中，

模型描述模块，将导入的三维工件模型及三维机器人模型转换为URDF数据格式；

造型处理模块，基网格算法对工件划分三角面片，并提取三角面片信息，三角面片信息包括：三角面片的顶点坐标及法向向量；

运动规划模块，基于选定区域的三角面片信息进行机器人运动轨迹的规划；

仿真模块，能图形化显示三维机器人及末端执行器基于规划轨迹的运动，并给出末端执行器的作业数据；

轨迹优化模块，基于三维机器人在仿真过程中的运动空间可达性分析及对工件与外围环境间的碰撞检测，通过人机交互界面对规划的轨迹进行优化；

程序生成模块，将优化后的机器人运动轨迹转变成程序语言；

通讯模块，用于程序生成模块与机器人控制器间通讯，将程序生成模块生成的程序语言发送至机器人控制器，以使控制机器人规划轨迹控制机器人运动。

进一步的，所述系统包括：

数据库模块，用于保存工件模型信息、生成的轨迹程序及用户建立的参数模板。

进一步的，所述运动规划模块包括：区域分割单元、区域融合单元、最小包围盒获取单元、规划行程生成单元、以及规划轨迹形成单元，其中，

区域分割单元，基于三角面片间的连续性对stl工件模型进行n次区域分割，分割成n个区域；

区域融合单元，将指定的相邻分割区域融合成一个规划区域；

最小包围盒获取单元，获取规划区域的最小包围盒，最小包围盒的是指将规划区域完全包围的最小立方体；

规划行程生成单元，以最小包围盒的任一截面作为标定面，生成一组平行于标定面的平面簇，基于平面簇中各平面的排列顺序，依次获取每个平面与规划区域内三角网格的交点，并将交点依次连接，形成一条条规划行程，其中任意两平面间的距离为d，

规划轨迹形成单元，在每条规划行程两端的反向延长线上分别添加一轨迹点，将前一规划行程末端对应的轨迹点与后一规划行程起点对应的轨迹点进行直线连线，即形成为规划轨迹。

进一步的，所述区域分割模块三角面片间的连续性对stl工件模型进行n次区域分割，所述分割过程具体如下：

将工件模型划分的所有三角面片设于集合R_s中，从集合R_s任选一个三角面片t₁，将位于三角面片t₁所在区域A₁的所有三角面片t_1r添加到集合T_s，将区域A₁中的所有三角面片t_1r从集合R_s中剔除；

从集合R_s任选第二个三角面片t₂，将三角面片t₂所在区域A₂的所有三角面片t_2r添加到集合T_s，将区域A₂中的所有三角面片t_2r从集合R_s中剔除；

以此类推，直至第n次区域分割模块从集合R_s任选第n个三角片面t_n，将位于第n个三角片面所在区域A_n的所有三角面片t_nr添加到集合T_s，集合R_s变为空集。

进一步的，所述区域分割模块每次分割都需要获取三角面片t_m所在区域A_m的所有三角面片t_mr，所述获取方法具体如下：

从集合R_s中查找与三角面片t_mg0共边的子三角面片t_mg1，判断各个子三角面片t_mg1是否满足条件T₁和条件T₂，将满足条件T₁和条件T₂的子三角面片t_mg1′添加到集合T_s中，并将子三角面片t_mg1′从集合R_s中删除，其中，三角面片t_mg0即为三角面片t_m，且m∈[1，n]；

从集合R_s中查找与三角面片t_mg1′片共边的子三角面片t_mg2，判断各个子三角面片t_mg2是否满足条件T₃和条件T₄，将满足条件T₃和条件T₄的子三角面片t_mg2′添加到集合T_s中，并将子三角面片t_mg2′从集合R_s中删除；

以此类推，直至三角面片t_mgi′共边的子三角面片t_mg(i+1)均不满足条件T_2i+1和/或条件T_2i+2，则t_mg1′、t_mg2′…t_mgi′的集合即组成三角面片t_m所在区域所有三角面片t_mr；其中，条件T_2i+1及条件T_2i+2分别表示如下：

条件T_2i+1：三角面片t_mgi与子三角面片t_mg(i+1)间的二面角γ₁小于阈值α；

条件T_2i+2：二面角γ₁与二面角γ₀的差值大于阈值β，其中，γ₀为三角面片t_mgi与父三角面片t_mg(i-1)间的二面角，其中，i为自然数，且三角片面t_mg0父三角平面即为三角片面t_mg0。

进一步的，所述最小包围盒获取单元包括：面积计算子单元、权重计算子单元、协方差获取子单元、特征向量获取子单元以及最小包围盒获取子单元，其中，

面积计算子单元，计算每个顶点p所在三角面片的面积之和sum(ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_k)，其中，ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_k分别为顶点p所在k个三角面片的面积，

权重计算子单元，并计算顶点p的权重ω_p＝sum(ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_k)/k；

协方差获取子单元，计算所有顶点的权重均值及协方差矩阵，其中，权重均值为

协方差矩阵为

其中n是顶点的个数，p_i是顶点p的坐标；

特征向量获取子单元，根据权重均值及协方差矩阵，计算特征向量v₁,v₂,v₃,将特征向量作为最小包围盒主轴方向；

最小包围盒获取子单元，将所有顶点分别在三个主轴上进行投影，获取包围各顶点投影点的最小立方体，即为最小包围盒。

进一步的，所述运动规划模块包括：

平滑单元，对规划行程生成单元生成的规划行程进行平滑处理。

进一步的，所述平滑单元包括：计算点获取单子元、半径计算子单元、平滑剔除子单元以及平滑子单元，其中，

计算点获取单子元，在规划行程上取N个点，N个点均匀分布在规划行程上；

半径计算子单元，依次计算连续三个相邻点构成的圆的半径r；

剔除子单元，若判断曲率1/r大于设定阈值，则剔除中间点；

平滑子单元，将与剔除点相邻的两个点连成直线。

进一步的，半径计算子单元依据下列公式计算圆的半径r：

其中，v₁₂＝p₂-p₁，v₂₃＝p₃-p₂，v₁₃＝p₃-p₁，p₁是指连续三个相连点中第一个点的坐标，p₂是指连续三个相连点中第二个点的坐标、p₃是指连续三个相连点中第三个点的坐标。

本发明提供的基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真系统具有如下有益效果：

1.运动规划模块能实现对复杂工件进行机器人运动轨迹的规划；

2.系统中的运动规划模块实现Linux系统的ROS平台下stl工件模型的轨迹规划，ROS是专业的开发机器相关软件的框架，使用该框架开发的软件，如模型显示软件Rviz、运动规划软件MoveIt等，都是完全开源且免费的，可以方便地对软件源码进行修改以实现期望的效果，极大地缩短了开发周期、降低了研发成本；

3.只需人工设定部分参数，即可自动生成机器人运动轨迹，人工参与少，自动化程度高，无需占用大量机器人实际投入使用的时间，提高工作效率。

4.基于最小包围盒来规划喷涂行程，以使规划行程最短，节省涂料。

附图说明

图1为本发明实施例提供的基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真系统的结构示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

图1为本发明实施例提供的基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真系统的结构示意图，为了便于说明，仅示出与本发明实施例相关的部分。

本发明实施例提供的基于ROS平台的复杂工件机器人规划仿真软件系统，包括：计算机操作系统层、机器人系统层、规划仿真软件层；

其中，Linux系统作为底层操作系统，用于管理计算机软硬件，ROS系统作为机器人系统框架，提供一个标准的硬件抽象、底层设备控制、通用功能的实现、进程间消息转发和功能包管理等系统功能，规划仿真软件集成ROS系统中功能模块，实现复杂曲面轨迹规划和仿真功能，并能与机器人控制器实现数据和程序的交互。

其中，机器人系统层包括如下功能包：URDF，定义机器人模型，作为三维模型在ROS平台下的数据格式；TF，实现坐标系的变换；Rviz，3D可视化工具；Moveit，集成运动学插件和运动规划，Qt C++，软件开发工具。

在本发明实施例中，基于ROS平台的复杂工件机器人规划仿真软件系统包括：模型描述模块1、造型处理模块2、运动规划模块3、仿真模块4及轨迹优化模块5、程序生成模块6、以及通讯模块7；其中，

模型描述模块1，将导入的三维工件模型及三维机器人模型转换为URDF数据格式，URDF数据格式为ROS系统所能识别的数据格式；

造型处理模块2，基网格算法对工件划分三角面片，并提取三角面片信息，三角面片信息包括：三角面片的顶点坐标及法向向量；

运动规划模块3，基于选定区域的三角面片信息进行运动轨迹的规划；

仿真模块4，能图形化显示三维机器人及末端执行器基于规划轨迹的运动，并给出末端执行器的作业数据；

轨迹优化模块5，基于三维机器人在仿真过程中的运动空间可达性分析及对工件与外围环境间的碰撞检测，通过人机交互界面对规划的轨迹进行优化；

程序生成模块6，将优化后的机器人运动轨迹转变成程序语言；

通讯模块7，用于程序生成模块与机器人控制器间通讯，并预留视觉通讯接口，将程序生成模块生成的程序语言发送至机器人控制器，以使控制机器人规划轨迹控制机器人运动；

数据库模块8，用于保存工件模型信息、生成的轨迹程序及用户建立的参数模板。

在本发明实施例中，运动规划单元3包括：区域分割单元31、区域融合单元32、最小包围盒获取单元33、规划行程生成单元34以及规划轨迹形成单元35，其中，

区域分割单元31，基于三角面片间的连续性对stl工件模型进行n次区域分割，分割成n个区域；

区域融合单元32，将指定的相邻分割区域融合成一个规划区域；

最小包围盒获取单元33，获取规划区域的最小包围盒，最小包围盒的是指将规划区域完全包围的最小立方体；

规划行程生成单元34，以最小包围盒的任一截面作为标定面，生成一组平行于标定面的平面簇，基于平面簇中各平面的排列顺序，依次获取每个平面与规划区域内三角网格的交点，并将交点依次连接，形成一条条规划行程，其中任意两平面间的距离为d，d为设定数值。

规划轨迹形成单元35，在每条规划行程两端的反向延长线上分别添加一轨迹点，将前一规划行程末端对应的轨迹点与后一规划行程起点对应的轨迹点进行直线连线，即形成的规划轨迹。

在本发明实施例中，区域分割模块31对stl工件模型进行n次区域分割，分割过程具体如下：

将工件模型划分的所有三角面片设于集合R_s中，从集合R_s任选一个三角面片t₁，将位于三角面片t₁所在区域A₁的所有三角面片t_1r添加到集合T_s，将区域A₁中的所有三角面片t_1r从集合R_s中剔除；

从集合R_s任选第二个三角面片t₂，将三角面片t₂所在区域A₂的所有三角面片t_2r添加到集合T_s，将区域A₂中的所有三角面片t_2r从集合R_s中剔除；

以此类推，直至第n次区域分割模块从集合R_s任选第n个三角片面t_n，将位于第n个三角片面所在区域A_n的所有三角面片t_nr添加到集合T_s，集合R_s变为空集。

在本发明实施例中，区域分割模块31每次分割都需要获取三角面片t_m所在区域A_m的所有三角面片t_mr，该获取方法具体如下：

从集合R_s中查找与三角面片t_mg0共边的子三角面片t_mg1，判断各个子三角面片t_mg1是否满足条件T₁和条件T₂，将满足条件T₁和条件T₂的子三角面片t_mg1′添加到集合T_s中，并将子三角面片t_mg1′从集合R_s中删除，其中，三角面片t_mg0即为三角面片t_m，且m∈[1，n]；

从集合R_s中查找与三角面片t_mg1′片共边的子三角面片t_mg2，判断各个子三角面片t_mg2是否满足条件T₃和条件T₄，将满足条件T₃和条件T₄的子三角面片t_mg2′添加到集合T_s中，并将子三角面片t_mg2′从集合R_s中删除；

以此类推，直至三角面片t_mgi′共边的子三角面片t_mg(i+1)均不满足条件T_2i+1和/或条件T_2i+2，则t_mg1′、t_mg2′…t_mgi′的集合即组成三角面片t_m所在区域所有三角面片t_mr；其中，条件T_2i+1及条件T_2i+2分别表示如下：

条件T_2i+1：三角面片t_mgi与子三角面片t_mg(i+1)间的二面角γ₁小于阈值α；

条件T_2i+2：二面角γ₁与二面角γ₀的差值大于阈值β，其中，γ₀为三角面片t_mgi与父三角面片t_mg(i-1)间的二面角，其中，i为自然数，且三角片面t_mg0父三角平面即为三角片面t_mg0。

在本发明实施例中，最小包围盒获取单元33包括：面积计算子单元331、权重计算子单元332、协方差获取子单元333、特征向量获取子单元334以及最小包围盒获取子单元335，其中，

面积计算子单元331，计算每个顶点p所在三角面片的面积之和sum(ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_k)，其中，ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_k分别为顶点p所在k个三角面片的面积，

权重计算子单元332，并计算顶点p的权重ω_p＝sum(ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_k)/k；

协方差获取子单元333，计算所有顶点的权重均值及协方差矩阵，其中，权重均值为

协方差矩阵为

其中n是顶点的个数，p_i是顶点p的坐标；

特征向量获取子单元334，根据权重均值及协方差矩阵，计算特征向量v₁,v₂,v₃,将特征向量作为最小包围盒主轴方向；

最小包围盒获取子单元335，将所有顶点分别在三个主轴上进行投影，获取包围各顶点投影点的最小立方体，即为最小包围盒。

该运动规划模块3还包括：平滑单元36，对规划行程生成单元生成的规划行程进行平滑处理。

在本发明实施例中，该平滑单元36包括：计算点获取单子元361、半径计算子单元362、剔除子单元363以及平滑子单元364，其中，

计算点获取单子元361，在规划行程上取N个点，N个点均匀分布在规划行程上；

半径计算子单元362，依次计算连续三个相邻点构成的圆的半径r；

在本发明实施例中，半径计算子单元362依据下列公式计算圆的半径r：

其中，v₁₂＝p₂-p₁，v₂₃＝p₃-p₂，v₁₃＝p₃-p₁，p₁是指连续三个相连点中第一个点的坐标，p₂是指连续三个相连点中第二个点的坐标、p₃是指连续三个相连点中第三个点的坐标。

剔除子单元363，若判断曲率1/r大于设定阈值，则剔除中间点；

平滑子单元364，将与剔除点相邻的两个点连成直线。

本发明提供的基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真系统具有如下有益效果：

1.运动规划模块能实现对复杂工件进行机器人运动轨迹的规划；

2.系统中的运动规划模块实现Linux系统的ROS平台下stl工件模型的轨迹规划，ROS是专业的开发机器相关软件的框架，使用该框架开发的软件，如模型显示软件Rviz、运动规划软件MoveIt等，都是完全开源且免费的，可以方便地对软件源码进行修改以实现期望的效果，极大地缩短了开发周期、降低了研发成本；

3.只需人工设定部分参数，即可自动生成机器人运动轨迹，人工参与少，自动化程度高，无需占用大量机器人实际投入使用的时间，提高工作效率。

4.基于最小包围盒来规划运动行程，以使规划行程最短，节省涂料。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真系统，其特征在于，所述系统包括：模型描述模块、造型处理模块、运动规划模块、仿真模块及轨迹优化模块、程序生成模块、通讯模块以及数据库模块；其中，

模型描述模块，将导入的三维工件模型及三维机器人模型转换为URDF数据格式；

造型处理模块，基于网格算法对工件划分三角面片，并提取三角面片信息，三角面片信息包括：三角面片的顶点坐标及法向向量；

运动规划模块，基于选定区域的三角面片信息进行机器人运动轨迹的规划；

仿真模块，能图形化显示三维机器人及末端执行器基于规划轨迹的运动，并给出末端执行器的作业数据；

轨迹优化模块，基于三维机器人在仿真过程中的运动空间可达性分析及对工件与外围环境间的碰撞检测，通过人机交互界面对规划的轨迹进行优化；

程序生成模块，将优化后的机器人运动轨迹转变成程序语言；

通讯模块，用于程序生成模块与机器人控制器间通讯，将程序生成模块生成的程序语言发送至机器人控制器，基于机器人运动轨迹控制机器人运动；

所述运动规划模块包括：区域分割单元、区域融合单元、最小包围盒获取单元、规划行程生成单元、以及规划轨迹形成单元，其中，

区域分割单元，基于三角面片间的连续性对stl工件模型进行n次区域分割，分割成n个区域；

区域融合单元，将指定的相邻分割区域融合成一个规划区域；

最小包围盒获取单元，获取规划区域的最小包围盒，最小包围盒是指将规划区域完全包围的最小立方体；

规划行程生成单元，以最小包围盒的任一截面作为标定面，生成一组平行于标定面的平面簇，基于平面簇中各平面的排列顺序，依次获取每个平面与规划区域内三角网格的交点，并将交点依次连接，形成一条条规划行程，其中任意两平面间的距离为d，

规划轨迹形成单元，在每条规划行程两端的反向延长线上分别添加一轨迹点，将前一规划行程末端对应的轨迹点与后一规划行程起点对应的轨迹点进行直线连线，即形成为规划轨迹；

所述区域分割单元基于三角面片间的连续性对stl工件模型进行n次区域分割，分割过程具体如下：

将工件模型划分的所有三角面片设于集合R_s中，从集合R_s任选一个三角面片t₁，将位于三角面片t₁所在区域A₁的所有三角面片t_1r添加到集合T_s，将区域A₁中的所有三角面片t_1r从集合R_s中剔除；

从集合R_s任选第二个三角面片t₂，将三角面片t₂所在区域A₂的所有三角面片t_2r添加到集合T_s，将区域A₂中的所有三角面片t_2r从集合R_s中剔除；

以此类推，直至第n次区域分割模块从集合R_s任选第n个三角片面t_n，将位于第n个三角片面所在区域A_n的所有三角面片t_nr添加到集合T_s，集合R_s变为空集；

所述区域分割单元每次分割都需要获取三角面片t_m所在区域A_m的所有三角面片t_mr，获取方法具体如下：

从集合R_s中查找与三角面片t_mg0共边的子三角面片t_mg1，判断各个子三角面片t_mg1是否满足条件T₁和条件T₂，将满足条件T₁和条件T₂的子三角面片t_mg1′添加到集合T_s中，并将子三角面片t_mg1′从集合R_s中删除，其中，三角面片t_mg0即为三角面片t_m，且m∈[1，n]；

从集合R_s中查找与三角面片t_mg1′共边的子三角面片t_mg2，判断各个子三角面片t_mg2是否满足条件T₃和条件T₄，将满足条件T₃和条件T₄的子三角面片t_mg2′添加到集合T_s中，并将子三角面片t_mg2′从集合R_s中删除；

以此类推，直至三角面片t_mgi′共边的子三角面片t_mg(i+1)均不满足条件T_2i+1和/或条件T_2i+2，则t_mg1′、t_mg2′…t_mgi′的集合即组成三角面片t_m所在区域所有三角面片t_mr；其中，条件T_2i+1及条件T_2i+2分别表示如下：

条件T_2i+1：三角面片t_mgi与子三角面片t_mg(i+1)间的二面角γ₁小于阈值α；

条件T_2i+2：二面角γ₁与二面角γ₀的差值大于阈值β，其中，γ₀为三角面片t_mgi与父三角面片t_mg(i-1)间的二面角，其中，i为自然数，且三角面片t_mg0的父三角面片即为三角面片t_mg0。

2.如权利要求1所述的基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真系统，其特征在于，所述系统包括：

数据库模块，用于保存工件模型信息、生成的轨迹程序及用户建立的参数模板。

3.如权利要求1所述的基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真系统，其特征在于，所述最小包围盒获取单元包括：面积计算子单元、权重计算子单元、协方差获取子单元、特征向量获取子单元以及最小包围盒获取子单元，其中，

面积计算子单元，计算每个顶点p所在三角面片的面积之和sum(ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_k)，其中，ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_k分别为顶点p所在k个三角面片的面积，

权重计算子单元，并计算顶点p的权重ω_p＝sum(ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_k)/k；

协方差获取子单元，计算所有顶点的权重均值及协方差矩阵，其中，权重均值为

协方差矩阵为

其中n是顶点的个数，p_i是顶点p的坐标；

特征向量获取子单元，根据权重均值及协方差矩阵，计算特征向量v₁,v₂,v₃,将特征向量作为最小包围盒主轴方向；

最小包围盒获取子单元，将所有顶点分别在三个主轴上进行投影，获取包围各顶点投影点的最小立方体，即为最小包围盒。

4.如权利要求1所述的基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真系统，其特征在于，所述运动规划模块包括：

平滑单元，对规划行程生成单元生成的规划行程进行平滑处理。

5.如权利要求4所述的基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真系统，其特征在于，所述平滑单元包括：计算点获取子单元、半径计算子单元、平滑剔除子单元以及平滑子单元，其中，

计算点获取子单元，在规划行程上取N个点，N个点均匀分布在规划行程上；

半径计算子单元，依次计算连续三个相邻点构成的圆的半径r；

平滑剔除子单元，若判断曲率1/r大于设定阈值，则剔除中间点；

平滑子单元，将与剔除点相邻的两个点连成直线。

6.如权利要求5所述的基于ROS平台的复杂工件轨迹规划仿真系统，其特征在于，半径计算子单元依据下列公式计算圆的半径r：

其中，v₁₂＝p₂-p₁，v₂₃＝p₃-p₂，v₁₃＝p₃-p₁，p₁是指连续三个相连点中第一个点的坐标，p₂是指连续三个相连点中第二个点的坐标、p₃是指连续三个相连点中第三个点的坐标。

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