CN112329304B - 一种连续结构动态载荷区间辨识方法 - Google Patents

一种连续结构动态载荷区间辨识方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种连续结构动态载荷区间辨识方法，该方法针对具有区间不确定性的连续结构，利用有限的位移响应和样本信息识别动态载荷的区间边界。该方法首先建立连续结构的有限元模型，将其转换到状态空间中，采用拉丁超立方抽样方法在采样空间内随机产生若干样本点。在每个样本点处，基于最小方差无偏估计，利用结构状态估计值和结构观测信息实现一步延迟载荷辨识，进而在卡尔曼滤波框架下实现状态估计和状态估计协方差矩阵的进一步更新。在每个采样时刻，基于不确定变量‑不确定动态载荷样本集，建立载荷在区间凸模型上的随机森林代理模型，通过寻找代理模型在区间不确定域上的最值以实现载荷区间边界的辨识。

Description

一种连续结构动态载荷区间辨识方法
技术领域
本发明涉及航空航天领域，具体涉及一种连续结构动态载荷区间辨识方法。
背景技术
在工程实际中，为了准确掌握飞行器的振动状态，往往需要获取作用在结构上的外部激励信息。然而，由于力传感器价格昂贵且安装困难，直接通过力传感器获取载荷信息往往是不可行的。近年来，通过结构的振动响应数据(位移、加速度、应变等)，结合结构系统特性(质量、刚度、模态)来进行反演的载荷辨识的方法，受到了越来越多的关注。不同于直接求解二次微分方程的结构动力学正问题，载荷辨识的求逆过程中往往伴随着许多不适定问题，从而导致无解或多解的情况，经典的载荷辨识方法大多是基于频域法和时域法完成的。
随着科技的发展，一些新方法已成功应用到动态载荷辨识领域，起源于控制领域的卡尔曼滤波算法即为其中一种，它是在系统状态空间方程中进行的。传统的卡尔曼滤波是在输入信息已知的前提下，假设系统过程和测量过程均伴有高斯白噪声，递推得到系统状态的解析解。对于动态载荷辨识问题，输入载荷信息是未知的，需要对传统的算法进行改进，才可用于该问题。目前大多数基于卡尔曼滤波的载荷识别是将未知载荷向量扩充到状态向量中，通过对扩充的状态进行估计来求解外部输入载荷，由于状态向量未知参数的增加，计算量也大大增加。
载荷识别过程中，普遍存在着多源不确定因素，既包括材料分散性、几何公差等的静态不确定性，也包括材料性能退化、传感器测量误差等的动态不确定性。由于不确定性的传递性，辨识的动态载荷也将是不确定的。在概率密度函数和隶属度函数未知的情况下，基于非概率凸模型的区间分析方法被广泛应用到不确定载荷辨识中，该方法是将不确定性参数包络在一个多维区间内，它在样本信息匮乏的情况下具有一定的优势。当前的区间不确定性传播分析方法主要有顶点组合法、摄动方法、基于泰勒级数展开的方法，但这些方法分别适用于单调问题、小不确定性问题和线性问题等较为简单的问题。区间不确定性传播分析的本质是寻找不确定载荷的上、下边界，因此，可以考虑基于机器学习的算法解决复杂的不确定传播问题。
发明内容
本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种连续结构动态载荷区间辨识方法，该方法结合卡尔曼滤波算法与随机森林算法，通过有限的位移响应对动态载荷的区间边界进行辨识。相比传统方法，该发明的不确定性传播分析更可靠，可用于结构存在不确定变量且变量信息较少的情况。
本发明采用的技术方案为：一种连续结构动态载荷区间辨识方法，该方法基于卡尔曼滤波和随机森林算法实现；在状态空间内，针对具有区间不确定性的连续结构，利用前一时刻的结构状态估计值和当前时刻的观测信息递推前一时刻的外部载荷，基于随机森林算法建立不确定载荷在区间凸模型上的代理模型，进而辨识外部载荷的区间边界时间历程，具体实现步骤如下：
第一步：确定载荷辨识时间历程及时间间隔，建立连续结构的有限元模型，将结构状态转换到离散状态空间，确定结构的状态初始值、状态估计协方差初始值、模型误差协方差矩阵和观测噪声协方差矩阵；所述状态空间的状态向量由有限元模型所有自由度的位移响应和速度响应组成，观测向量由有限元模型部分自由度的位移响应组成；
第二步：确定连续结构的不确定变量及区间不确定域，生成一个大于区间不确定域的采样空间，利用拉丁超立方采样方法在采样空间上产生若干个不确定变量样本，获取每个样本点处部分自由度的位移响应，并作为观测信息；
第三步：在每个样本点处，结合离散状态空间方程，基于卡尔曼滤波算法进行一步延迟载荷辨识和同步状态估计，生成不确定变量-不确定动态载荷样本集，其中，载荷辨识和状态估计按如下方式实现：根据前一时刻的状态估计进行当前时刻的不完整状态预测与观测预测，定义观测残差，基于最小方差无偏估计计算前一时刻的未知输入载荷，实现载荷辨识；得到一步延迟载荷后，对当前时刻状态进行重新预测，并计算状态预测的协方差矩阵，实现时间更新；结合观测信息，利用卡尔曼滤波增益矩阵对状态预测值进行修正得到状态估计，并更新状态估计协方差矩阵，实现状态更新；所述的卡尔曼滤波增益矩阵通过最小化状态估计协方差矩阵得到；
第四步：在每个采样时刻，建立由若干决策树构成的随机森林代理模型，利用有放回重采样方法在不确定变量-不确定动态载荷样本集中随机抽取用于决策树训练的子样本集，并从结构不确定变量中随机选取用于决策树训练的不确定变量子集；所述的决策树由一个根节点、若干内部节点和若干叶节点组成，根节点和内部节点通过判定不确定变量子集中的一个变量，不断地将训练样本分裂成两个子集，当到达叶子节点时停止分裂，每个叶子结点的训练样本平均值作为输出载荷值，不同的决策树将区间不确定域分成若干不同的区域，当输入新的不确定变量时，决策树会根据其位置预测载荷值，随机森林代理模型的输出结果为若干决策树预测载荷的平均值；
第五步：在每个采样时刻，通过蒙特卡洛算法或全局优化算法求解随机森林代理模型在区间不确定域上的最大值和最小值，并作为该采样时刻的载荷区间上界和区间下界，遍历所有采样时刻，实现不确定载荷区间边界的时间历程辨识。
其中，所述不确定变量包括材料分散性、刚度退化、几何公差、模型误差和观测噪声，其中，材料分散性和几何公差为区间不确定变量，模型误差和观测噪声为高斯不确定变量。
优选地，所述随机森林代理模型根节点和内部节点的分裂方式如下：记训练样本的载荷与节点输出值的均方和误差为平方误差，其中节点输出值为节点内训练样本载荷的平均值，节点分裂的目标是最大程度地减小平方误差，即最大化分裂前节点的平方误差减去分裂后两个节点的平方误差。
本发明的原理在于：一种连续结构动态载荷区间辨识方法，该方法采用拉丁超立方抽样方法随机产生若干个不确定参数样本点，在卡尔曼滤波框架下，将有限位移响应视作观测信息，在每个样本点处进行一步延迟载荷辨识和同步状态估计，进而生成不确定变量-不确定动态载荷样本集。在每个采样时刻，采用有放回重采样方法生成若干决策树训练集，建立随机森林代理模型，逼近不确定载荷与不确定变量的关系。最后，通过寻找随机森林代理模型在区间不确定域上的最值，辨识动态载荷区间边界的时间历程。
本发明与现有技术相比的优点在于：
(1)本发明基于卡尔曼滤波算法，仅需已知前一时刻结构的状态信息，通过当前时刻结构的观测信息，即可不断辨识载荷和更新状态，相比于传统的基于频域法和时域法的载荷识别方法，对初值依赖小，对计算机存储要求低。
(2)本发明基于随机森林算法，由于在每颗决策树的训练过程中，训练样本和分裂特征具有随机性和多样性，生成的随机森林代理模型泛化能力和抗过拟合能力强，相比于传统的区间摄动、顶点组合等方法而言，区间不确定性传播分析可靠度更高。
(3)本发明将载荷辨识过程中的一些不确定参数视为区间不确定变量，不需要通过大量样本获取不确定参数的概率密度函数和隶属度函数，仅知道参数的上界及下界即可，对不确定参数的数据信息要求较低。
附图说明
图1是本发明一种连续结构动态载荷区间辨识方法的流程示意图；
图2是本发明的连续梁结构的有限元模型示意图；
图3是本发明的连续梁结构动态载荷辨识结果，(a)为结点6处动态载荷辨识结果，(b)为结点11处动态载荷辨识结果；
图4是本发明的连续板结构的有限元模型示意图；
图5是本发明的连续板结构动态载荷辨识结果。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。
如图1所示，本发明的一种连续结构动态载荷区间辨识方法，在状态空间内，针对具有区间不确定性的连续结构，利用前一时刻的结构状态估计值和当前时刻的观测信息递推前一时刻的外部载荷，基于随机森林算法建立不确定载荷在区间凸模型上的代理模型，进而辨识外部载荷的区间边界时间历程，具体实现步骤如下：
第一步：确定载荷辨识时间历程T及时间间隔△t，建立连续结构的有限元模型
Figure BDA0002760455500000041
其中b表示载荷辨识过程中的不确定变量，包括材料分散性、刚度退化、几何公差、模型误差和观测噪声，材料分散性和几何公差为区间不确定变量，模型误差和观测噪声为高斯不确定变量。Mt(b)、Ct(b)和Kt(b)分别为质量、阻尼、刚度矩阵，ut(b)、
Figure BDA0002760455500000042
和
Figure BDA0002760455500000043
分别为位移、速度、加速度响应向量，Ft(b)为外部载荷向量，LF为载荷位置矩阵。首先引入状态向量
Figure BDA0002760455500000044
则状态空间方程为：
Figure BDA0002760455500000045
yt(b)＝C0t(b)xt(b)
其中，
Figure BDA0002760455500000046
C0t＝[Lu0]，yt(b)为观测向量。考虑模型误差和观测噪声，将其转换到离散状态空间内，即：
xk(b)＝Ak-1(b)xk-1(b)+Bk-1(b)Fk-1(b)+wk-1
yk(b)＝Ck(b)xk(b)+vk
其中，xk(b)、yk(b)表示第k个采样时刻结构系统的状态向量、观测向量，且Ak(b)＝exp[A0k(b)△t]，
Figure BDA0002760455500000047
Ck(b)＝C0k(b)，wk、vk分别为模型误差和观测噪声，其协方差矩阵分别为Qk和Rk。确定结构的状态初始值x0(b)、状态估计协方差初始值
Figure BDA0002760455500000048
第二步：确定连续结构的不确定变量b＝[b1,b2,…,bs]及区间不确定域
Figure BDA0002760455500000051
其中，s为不确定变量的维度，且满足：
Figure BDA0002760455500000052
其中，I表示区间，b i、
Figure BDA0002760455500000053
分别表示第i个不确定变量的区间下界和上界，因此，
Figure BDA0002760455500000054
不确定变量b也可写作标准化的不确定变量χ。生成一个大于区间不确定域的采样空间
Figure BDA0002760455500000055
即区间
Figure BDA0002760455500000056
包含在区间
Figure BDA0002760455500000057
内。利用拉丁超立方采样方法在采样空间上产生若干个不确定变量样本
Figure BDA0002760455500000058
通过有限元仿真或试验方法获取每个样本点处部分自由度的位移响应ut(b)，并作为观测信息yk(b)；
第三步：在每个样本点处，结合离散状态空间方程，基于卡尔曼滤波算法进行一步延迟载荷辨识和同步状态估计，生成不确定变量-不确定动态载荷样本集
Figure BDA0002760455500000059
其中，载荷辨识和状态估计按如下方式实现：由于外部载荷是未知的，根据前一时刻的状态估计
Figure BDA00027604555000000510
进行当前时刻的不完整状态预测，即：
Figure BDA00027604555000000511
定义状态估计误差：
Figure BDA00027604555000000512
其协方差矩阵为
Figure BDA00027604555000000513
由不完整的状态预测得到的系统观测值为
Figure BDA00027604555000000514
定义观测残差：
Figure BDA00027604555000000515
其中，
Figure BDA00027604555000000516
记
Figure BDA00027604555000000517
的协方差矩阵为
Figure BDA00027604555000000518
基于最小方差无偏估计计算前一时刻的未知输入载荷Fk-1(χ)，即：
Figure BDA00027604555000000519
其中
Figure BDA00027604555000000520
且Mk(χ)Ck(χ)Bk-1(χ)＝I。定义载荷估计误差
Figure BDA00027604555000000521
代入上式，可得：
Figure BDA0002760455500000061
至此，实现了一步延迟载荷辨识。
得到一步延迟载荷
Figure BDA0002760455500000062
后，对结构状态进行重新预测：
Figure BDA0002760455500000063
定义状态预测误差：
Figure BDA0002760455500000064
可将其简化为：
Figure BDA0002760455500000065
其中
Figure BDA0002760455500000066
和
Figure BDA0002760455500000067
的表达式分别为
Figure BDA0002760455500000068
Figure BDA0002760455500000069
令
Figure BDA00027604555000000610
完整状态预测误差
Figure BDA00027604555000000611
的协方差矩阵为：
Figure BDA00027604555000000612
至此，实现了时间更新。根据上一时刻估计的结构状态
Figure BDA00027604555000000613
对系统状态进行修正，即：
Figure BDA00027604555000000614
式中，Kk(χ)为卡尔曼滤波增益矩阵。将上式带入状态估计误差，可得：
Figure BDA00027604555000000615
记
Figure BDA00027604555000000616
状态估计误差的协方差矩阵
Figure BDA00027604555000000617
可写为：
Figure BDA00027604555000000618
上式可简化为：
Figure BDA00027604555000000619
其中，
Figure BDA00027604555000000620
分别为
Figure BDA00027604555000000621
Figure BDA00027604555000000622
至此，实现了同步状态估计。其中，所述的卡尔曼滤波增益矩阵Kk(χ)通过最小化状态估计协方差矩阵得到，即使状态估计协方差矩阵
Figure BDA0002760455500000071
的迹最小，其迹为：
Figure BDA0002760455500000072
对Kk(χ)求导，并令其等于零，即：
Figure BDA0002760455500000073
Kk(χ)的值由下式给出
Figure BDA0002760455500000074
其中，
Figure BDA0002760455500000075
为任意矩阵，
Figure BDA00027604555000000710
p为观测量的数目。
第四步：在每个采样时刻，建立由ntree颗决策树构成的随机森林代理模型，利用有放回重采样方法在样本集S中随机抽取用于决策树训练的子样本集，并从不确定变量b＝[b1,b2,…,bs]中随机选取mtry个用于决策树训练的不确定变量子集，mtry的默认值为s/3；所述的决策树由一个根节点、若干内部节点和若干叶节点组成，根节点和内部节点通过判定不确定变量子集中的一个变量，不断地将训练样本分裂成两个子集。所述的随机森林代理模型根节点和内部节点的分裂方式如下：假设第k个采样时刻。节点D处载荷的输出值为
Figure BDA0002760455500000076
即为节点内训练样本载荷的平均值，记训练样本的载荷与节点输出值的均方和误差为平方误差E(D)，即：
Figure BDA0002760455500000077
式中，nD为节点D中含有的样本数，
Figure BDA0002760455500000078
为节点D中第i个训练子样本集载荷。将节点D的载荷输出值带入上式，可得：
Figure BDA0002760455500000079
对节点D进行分裂时，定义两个子节点DL和DR：
Figure BDA0002760455500000081
同样可以构造出分裂子节点DL和DR的平方误差E(DL)和E(DR)。节点分裂的目标是最大程度地减小平方误差，即最大化分裂前节点的平方误差减去分裂后两个节点的平方误差：
Figure BDA0002760455500000082
将平方误差的计算公式带入上式，可得：
Figure BDA0002760455500000083
节点D在的训练过程在数学上等价由于下面的优化问题：
Figure BDA0002760455500000084
式中，bbest1为最佳分裂变量，
Figure BDA0002760455500000085
为最佳切分点。由于nD和
Figure BDA0002760455500000086
是常数，上式最大化等价于让下式最大化：
Figure BDA0002760455500000087
采用启发式的算法，遍历节点D的全部mtry个不确定变量，对固定的切分变量bp扫描切分点
Figure BDA0002760455500000088
从而找到最佳切分变量bbest1和最佳切分点
Figure BDA0002760455500000089
这样，决策树的根节点和内部节点递归地二分不确定参数，当到达叶子节点时停止分裂。节点停止分裂的条件是节点中的样本数小于预定阈值，每个叶子结点的训练样本平均值作为输出载荷值。这样，随机森林代理模型中不同的决策树将区间不确定域分成若干不同的区域。以第i颗决策树为例，将区间不确定域划分为li个区域
Figure BDA00027604555000000810
li为第i颗决策树叶子结点的个数。当输入新的不确定变量b时，决策树会根据其位置预测载荷值，即：
Figure BDA00027604555000000811
式中，其中，
Figure BDA00027604555000000812
为第k个采样时刻第i颗决策树的预测载荷，
Figure BDA00027604555000000813
为在第k个采样时刻第i颗决策树的第j个区域
Figure BDA0002760455500000091
上的输出载荷值，I为指示函数，
Figure BDA0002760455500000092
随机森林代理模型的载荷输出结果Fk(b)为若干决策树预测载荷的平均值，即：
Figure BDA0002760455500000093
第五步：在每个采样时刻，通过蒙特卡洛算法或全局优化算法求解随机森林代理模型在区间不确定域上的最大值和最小值，并作为该采样时刻的载荷区间上界和区间下界，即：
F k(b)＝F k(χ)＝min{Fk(χ)|χ∈χI}且
Figure BDA0002760455500000094
式中，F k(b)和F k(χ)表示载荷区间下界，
Figure BDA0002760455500000095
和
Figure BDA0002760455500000096
表示载荷区间上界，min、max分别表示求最小值和最大值。遍历所有采样时刻，实现不确定载荷区间边界的时间历程辨识。
实施例1：
飞行器的弹体结构可以简化为一个连续梁的结构，连续梁结构的有限元模型如图2所示，连续梁的几何尺寸和材料参数如表1所示，其中，密度和弹性模量被视为区间不确定参数。连续梁结构被划分为10个欧拉梁单元，共11个结点，每个结点具有3个方向自由度。连续梁结构的第一个结点被固支，在第6个、第11个结点处各施加一个垂直动态载荷，表达式分别为f1(t)＝80000sin(10πt)、f2(t)＝20000sin(6πt)+30000sin(8πt)，载荷识别历程为1s，响应测量频率为1000Hz。在1.5倍区间不确定域的空间上进行采样，即密度的采样区间为[6630,8970]kg/m3，弹性模量的采样区间为[175.1,236.9]GPa。拉丁超立方抽样规模为200个，随机森林代理模型中决策树规模为500颗。传感器系统可以测量结点9处的位移响应。连续梁结构的动态载荷辨识结果如图3所示，其中，图3(a)为结点6处动态载荷辨识结果，图3(b)为结点11处动态载荷辨识结果。
表1
Figure BDA0002760455500000097
实施例2：
飞行器的机翼、舵面结构可以简化为一个连续板结构，连续板结构的有限元模型如图4所示。其中，密度和弹性模量被视为区间不确定参数，区间不确定域分别为[850,1150]kg/m3和[178.5,241.5]GPa。连续板结构被划分为12个单元，共20个结点，每个结点具有6个方向自由度。连续梁结构的第1～5个结点被固支，第13个结点处施加一个垂直动态载荷，表达式分别为f(t)＝900000sin(6πt)+500000sin(10πt)，载荷识别历程为2s，响应测量频率为1000Hz。密度不确定变量的采样区间为[800,1200]kg/m3，弹性模量不确定变量的采样区间为[168,252]GPa。拉丁超立方抽样规模为200个，随机森林代理模型中决策树规模为500颗。传感器系统可以测量结点6～20处的位移响应，连续板结构的动态载荷辨识结果如图5所示，
从以上实施例的结果可以看出，本发明能够对一维结构和二维结构的不确定动态载荷进行区间辨识，动态载荷辨识结果精度高且无区间扩张趋势，因此，本发明的一种连续结构动态载荷区间辨识方法具有较强的可行性。
以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于不确定动态载荷辨识问题的领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。
本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (3)

1.一种连续结构动态载荷区间辨识方法，其特征在于：所述方法在状态空间内，针对具有区间不确定性的连续结构，利用前一时刻的结构状态估计值和当前时刻的观测信息递推前一时刻的外部载荷，基于随机森林算法建立不确定载荷在区间凸模型上的代理模型，进而辨识外部载荷的区间边界时间历程，具体实现步骤如下：
第一步：确定载荷辨识时间历程及时间间隔，建立连续结构的有限元模型，将结构状态转换到离散状态空间，确定结构的状态初始值、状态估计协方差初始值、模型误差协方差矩阵和观测噪声协方差矩阵；所述状态空间的状态向量由有限元模型所有自由度的位移响应和速度响应组成，观测向量由有限元模型部分自由度的位移响应组成；
第二步：确定连续结构的不确定变量及区间不确定域，生成一个大于区间不确定域的采样空间，利用拉丁超立方采样方法在采样空间上产生若干个不确定变量样本，获取每个样本点处部分自由度的位移响应，并作为观测信息；
第三步：在每个样本点处，结合离散状态空间方程，基于卡尔曼滤波算法进行一步延迟载荷辨识和同步状态估计，生成不确定变量-不确定动态载荷样本集，其中，载荷辨识和状态估计按如下方式实现：根据前一时刻的状态估计进行当前时刻的不完整状态预测与观测预测，定义观测残差，基于最小方差无偏估计计算前一时刻的未知输入载荷，实现载荷辨识；得到一步延迟载荷后，对当前时刻状态进行重新预测，并计算状态预测的协方差矩阵，实现时间更新；结合观测信息，利用卡尔曼滤波增益矩阵对状态预测值进行修正得到状态估计，并更新状态估计协方差矩阵，实现状态更新；所述的卡尔曼滤波增益矩阵通过最小化状态估计协方差矩阵得到；
第四步：在每个采样时刻，建立由若干决策树构成的随机森林代理模型，利用有放回重采样方法在不确定变量-不确定动态载荷样本集中随机抽取用于决策树训练的子样本集，并从结构不确定变量中随机选取用于决策树训练的不确定变量子集；所述的决策树由一个根节点、若干内部节点和若干叶节点组成，根节点和内部节点通过判定不确定变量子集中的一个变量，不断地将训练样本分裂成两个子集，当到达叶子节点时停止分裂，每个叶子结点的训练样本平均值作为输出载荷值，不同的决策树将区间不确定域分成若干不同的区域，当输入新的不确定变量时，决策树会根据其位置预测载荷值，随机森林代理模型的输出结果为若干决策树预测载荷的平均值；
第五步：在每个采样时刻，通过蒙特卡洛算法或全局优化算法求解随机森林代理模型在区间不确定域上的最大值和最小值，并作为该采样时刻的载荷区间上界和区间下界，遍历所有采样时刻，实现不确定载荷区间边界的时间历程辨识。
2.根据权利要求1所述的连续结构动态载荷区间辨识方法，其特征在于：所述不确定变量包括材料分散性、刚度退化、几何公差、模型误差和观测噪声，其中，材料分散性和几何公差为区间不确定变量，模型误差和观测噪声为高斯不确定变量。
3.根据权利要求1所述的连续结构动态载荷区间辨识方法，其特征在于：所述第四步中，随机森林代理模型根节点和内部节点的分裂方式如下：记训练样本的载荷与节点输出值的均方和误差为平方误差，其中节点输出值为节点内训练样本载荷的平均值，节点分裂的目标是最大程度地减小平方误差，即最大化分裂前节点的平方误差减去分裂后两个节点的平方误差。
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