CN111832205A - 一种适应波群传递界面动态变化的能量有限元分析方法 - Google Patents

一种适应波群传递界面动态变化的能量有限元分析方法 Download PDF

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CN111832205A CN202010632955.4A CN202010632955A CN111832205A CN 111832205 A CN111832205 A CN 111832205A CN 202010632955 A CN202010632955 A CN 202010632955A CN 111832205 A CN111832205 A CN 111832205A
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Abstract

一种适应波群传递界面动态变化的能量有限元分析方法，以经过时间与空间平均的能量密度作为分析指标，基于能量平衡条件建立能量平衡方程，在“独立单元网格”中对设计域进行离散化处理以及单元矩阵的组装，采用能量有限元方法分析得到机械结构系统内部的能量响应水平；本发明构建的新型能量有限元能够在不连续物理场界面动态变化的前提下避免重建网格，获得准确的分析结果，从而大大降低了运算量，提高了运算效率，为高频大尺寸结构复杂工况下的不连续能量密度场界面动态变换的结构动力学分析预测及迭代优化提供一种高效可行的分析方法。

Description

一种适应波群传递界面动态变化的能量有限元分析方法
技术领域
本发明属于结构动力学有限元分析技术领域，具体涉及一种适应波群传递界面动态变化的能量有限元分析方法。
技术背景
随着科技发展，机械工程设施尤其是高端机械设备的工作环境越来越复杂，机械结构往往会面临例如高频、强振动、多物理场耦合等问题，而经典有限元方法在面对高频大尺寸结构时，网格尺寸应小于机械波波长的六分之一，否则计算结果将不准确；这导致网格密度增加，计算量增大，现有硬件水平无法往往无法胜任，给普通设计者带来难题；
同时，有限元分析常常涉及不连续物理场；在不连续物理场分析中，常见有限元方法通常在不连续界面两侧分别添置节点，以模拟物理场的不连续性；因此，当分析域内不连续结构或多相材料分布边界处于动态变化状态时，必须不断重建网格，计算量大效率低；这一问题常见于加筋板机械波传递结构的迭代优化以及动态变化的多相结构的能量密度场分析中；
基于上述技术背景，分析设计人员当前亟需一项能够以较小的计算成本实现动态变化的高频大尺寸结构动态性能分析方法；这将为迭代优化设计及动态变化过程分析提供一个良好的技术支持。
发明内容
为了克服上述现有技术的缺点，本发明的目的在于提供一种适应波群传递界面动态变化的能量有限元分析方法，在“独立单元网格”下进行能量有限元的离散化处理以及相应的单元组装，可以适应由结构变化引起的能量密度场不连续界面动态变换，避免边界重建，大大降低了运算量，提高了运算效率，并保证了分析结果的准确度。
为了达到上述目标，本发明采取的技术方案为：
一种适应波群传递界面动态变化的能量有限元分析方法，包括以下步骤：
1)定义设计工况：
设计域的结构上表面承受均布动态载荷，波群传递界面在设计域上不同界面交接处发生变化；
2)离散化处理：
将设计域离散为若干单元组成的网格，单元类型为四节点矩形单元，单元间相互独立，各自使用自身所属节点，不共用节点和边界，每个单元从左下角节点开始进行逆时针编号，得到无公共节点的网格，命名为“独立单元网格”；单元间不使用公共节点，而是在相同空间位置处布置只从属于各自单元的节点，命名为“同位节点”，同位节点形成的边界称为“同位边界”；
在设计域加载动态力载荷，结构中波群速度cg表达式为：
Figure BDA0002566259480000021
其中，Υ为弹性模量，h为厚度，λ为泊松比，ρ为密度；
3)构建单元能量平衡控制方程：
定义Ωm为“独立单元网格”中编号为m(m＝1,2,...,nel)的单元，nel为单元总数，Γm为单元Ωm的边界，在单元Ωm上根据能量流平衡条件建立能量平衡控制方程：
[Km]{Em}＝{Fm}-{Qm} (2)
上式中，[Km]为单元能量矩阵，{Em}为单元节点能量密度向量，{Fm}为单元输入功率向量，{Qm}为单元边界上的能量流向量，各矩阵和向量的表达式为：
Figure BDA0002566259480000031
其中，[N]为形函数矩阵，η为阻尼系数，ω为动态力载荷的激振角频率，πin为输入功率，q为能量流；
4)能量平衡方程在单元上的应用：
4.1)计算单元能量矩阵：
定义局部空间坐标系为ξ＝(ξ,ζ)，全局空间坐标系为x＝(x,y)，设计域已被离散为四节点矩形单元网格，将全局空间坐标系下的四节点矩形单元映射到局部空间坐标系下的等参单元，每个四节点矩形单元的形函数矩阵表达式为：
N＝[N1 N2 N3 N4] (4)
其中：
Figure BDA0002566259480000041
全局空间坐标系与局部空间坐标系下单元的面积转换公式为：
dxdy＝det J·dξdζ (6)
上式中雅克比矩阵J的表达式为：
Figure BDA0002566259480000042
其中，(xmk,ymk)为单元m的节点k在全局空间坐标系下的坐标；
几何矩阵B的表达式为：
Figure BDA0002566259480000043
采用标准高斯积分法得到单元能量矩阵元素表达式：
Figure BDA0002566259480000044
Figure BDA0002566259480000045
4.2)计算单元节点能量密度向量：
应用于四节点矩形单元上的单元节点能量密度向量元素表达式为：
Figure BDA0002566259480000046
4.3)计算单元输入功率向量：
应用于四节点矩形单元上的单元输入功率向量元素表达式为：
Figure BDA0002566259480000051
4.4)计算单元边界上的能量流向量：
单元间无公共节点，定义
Figure BDA0002566259480000052
表示两单元m和m+1的共位边界，四节点矩形单元边界
Figure BDA0002566259480000053
上的能量流向量元素表达式为：
Figure BDA0002566259480000054
其中，
Figure BDA0002566259480000057
表示单元边界
Figure BDA0002566259480000055
上的单元边界矩阵，L(m)和L(m+1)为边界单元的长度，τmm+1和rmm分别表示能量传递系数和反射系数；
5)构建全局能量平衡控制方程：
依据“独立单元网格”下的节点编号构建全局能量平衡控制方程：
([K]0+[Kq]0){E}＝{F} (14)
其中[K]0、[Kq]0分别为单元能量矩阵[Km]、单元边界矩阵
Figure BDA0002566259480000056
对应的未耦合的全局矩阵，{E}和{F}分别为单元节点能量密度向量{Em}和单元输入功率向量{Fm}对应的全局向量；
6)在“独立单元网格”下对全局矩阵进行组装：
“独立单元网格”下单元间无公共节点，由此构建的能量有限元全局矩阵需要对连续边界上的单元节点进行耦合处理：
假设单元i与单元j为连续边界上的相邻两单元，单元i所属四节点的编号为i1、i2、i3、i4，单元j所属节点编号为j1、j2、j3、j4，节点i4与节点j1共位，则在未耦合的全局矩阵中将Ki4,i1、Ki4,i2、Ki4,i3、Ki4,i4位置处的元素加到Kj1,i1、Kj1,i2、Kj1,i3、Kj1,i4位置处，将Kj1,j1、Kj1,j2、Kj1,j3、Kj1,j4位置处的元素加到Ki4,j1、Ki4,j2、Ki4,j3、Ki4,j4位置处，以此实现节点i4与节点j1的耦合；
按照上述规则遍历所有耦合节点，分别对未耦合的全局能量矩阵[K]0和全局边界矩阵[Kq]0进行水平连续边界上、垂直连续边界上以及对角线连续边界上的单元节点耦合处理，得到耦合处理后的全局能量矩阵[K]1和全局边界矩阵[Kq]1；
7)构建全局能量系数矩阵：
7.1)定义“独立单元网格”下的全局能量系数矩阵[KQ]1：
[KQ]1＝[K]1+[Kq]1 (15)
7.2)全局能量系数矩阵的系数调整：
统计每个节点的被耦合次数，假设节点i1被耦合次数为s，则将耦合后的全局能量系数矩阵[KQ]1的第i1行所有元素乘以系数1/(s+1)，遍历所有节点，获得系数调整后的全局能量矩阵[KQ]2；
7.3)全局能量系数矩阵的满秩调整：
假设节点ia与jb为连续边界上的同位耦合节点，则将全局能量矩阵[KQ]2中位于KQjb,jb位置处元素加到KQjb,ia位置处，并将KQjb,jb位置处元素置零，遍历所有节点，获得满秩的全局能量矩阵[KQ]；
至此完成能量有限元全局矩阵的组装与调整，得到全局能量平衡控制方程：
[KQ]{E}＝{F} (16)
8)适应性处理：
应用所得的全局能量平衡控制方程进行结构的动力学分析计算，在波群传递界面发生动态变换时无需添加新边界。
为适应不同设计需求，使用本方法时并不局限于四节点矩形单元，同样适用于三节点线性单元以及多种单元的混合；本方法旨在应用能量有限元方法对结构的能量密度分析进行求解，能够适应包括但不限于波群传递界面、热应变传递界面、磁场力传递界面等的动态变化。
本发明的有益效果为：
由于本发明方法以能量密度作为分析指标，采用能量有限元方法分析结构系统内部的能量响应水平，可以减少网格数量，能够在高频、强振动等复杂工况下得到较为准确的分析结果；在不连续物理场分析时，需要在不连续物理场界面两侧分别添加节点，以描述不连续性；因为本方法构建的能量有限元分析方法是在“独立单元网格”下进行能量有限元的离散化处理以及相应的单元组装，所有可能添加的节点已先行添加在独立单元网格中，从而保证其可以适应由结构变化引起的能量密度场不连续界面的动态变换，避免边界重建，大大降低了运算量，提高了运算效率，并保证了分析结果的准确度；为复杂工况下波群传递界面动态变化的结构动力学分析及迭代优化提供一种高效可行的分析方法。
附图说明
图1为本发明的流程示意图。
图2为本发明实施例的边界条件示意图。
图3为本发明实施例中单元能量平衡示意图。
图4为本发明实施例中单元映射示意图。
图5为本发明实施例中不同厚度边界处能量反射和折射示意图。
图6为本发明实施例中能量密度响应示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明，实施例采用矩形加筋板结构。
参照图1，一种适应波群传递界面动态变化的能量有限元分析方法，包括以下步骤：
1)定义设计工况：
设计域的结构为矩形加筋板，加筋板由基板和加强筋组成，基板和加强筋均采用均质铝材料，基板尺寸参数为3m×3m×0.01m，基板由厚度为0.01m的矩形加强筋加强，加筋板的四边固定，在上表面承受均布动态载荷，波群传递界面在基板与加强筋交接处发生变化，如图2所示；
2)离散化处理：
将设计域离散为四节点矩形单元组成的网格，网格单元间不共用节点和边界，每个单元从左下角节点开始进行逆时针编号，得到无公共节点的“独立单元网格”；
在设计域加载动态力载荷，结构中波群速度cg表达式为：
Figure BDA0002566259480000091
其中，Υ为弹性模量，取Υ＝7.1×1010N·m2，h为厚度，λ为泊松比，取0.35，ρ为材料密度，取2700kg/m2；
3)构建单元能量平衡控制方程：
定义Ωm为“独立单元网格”中编号为m(m＝1,2,...,nel)的单元，nel为单元总数，Γm为单元Ωm的边界，在单元Ωm上根据能量流平衡条件建立能量平衡控制方程：
[Km]{Em}＝{Fm}-{Qm} (2)
上式中，[Km]为单元能量矩阵，{Em}为单元节点能量密度向量，{Fm}为单元输入功率向量，{Qm}为单元边界上的能量流向量，各矩阵和向量的表达式为：
Figure BDA0002566259480000092
其中，[N]为形函数矩阵，η为阻尼系数，取0.08，ω为动态载荷的激振角频率，取ω＝1000rad/s，πin为输入功率，q为能量流；
4)能量平衡方程在单元上的应用：
在四节点矩形单元上应用能量平衡方程，其它类型单元的计算方法类似；
4.1)计算单元能量矩阵：
定义局部空间坐标系为ξ＝(ξ,ζ)，全局空间坐标系为x＝(x,y)，设计域被离散为四节点矩形单元网格，将全局空间坐标系下的四节点矩形单元映射到局部空间坐标系下的等参单元，如图3所示，每个四节点矩形单元的形函数矩阵表达式为：
N＝[N1 N2 N3 N4] (4)
其中：
Figure BDA0002566259480000101
全局空间坐标系与局部空间坐标系下单元的面积转换公式为：
dxdy＝det J·dξdζ (6)
上式中雅克比矩阵J的表达式为：
Figure BDA0002566259480000102
其中，(xmk,ymk)为单元m的节点k在全局空间坐标系下的坐标；
几何矩阵B的表达式为：
Figure BDA0002566259480000103
采用标准高斯积分法得到单元能量矩阵元素表达式：
Figure BDA0002566259480000111
Figure BDA0002566259480000112
4.2)计算单元节点能量密度向量：
应用于四节点矩形单元上的单元节点能量密度向量元素表达式为：
Figure BDA0002566259480000113
4.3)计算单元输入功率向量：
应用于四节点矩形单元上的单元输入功率向量元素表达式为：
Figure BDA0002566259480000114
4.4)计算单元边界上的能量流向量：
定义
Figure BDA0002566259480000115
表示两单元m和m+1的共位边界，四节点矩形单元边界
Figure BDA0002566259480000116
上的能量流向量元素表达式为：
Figure BDA0002566259480000117
其中，
Figure BDA0002566259480000119
表示单元边界
Figure BDA0002566259480000118
上的单元边界矩阵，L(m)和L(m+1)为边界单元的长度，τmm+1和rmm分别表示能量传递系数和反射系数，如图4所示，具体计算见已有学术研究，此处不再赘述；
5)构建全局能量平衡控制方程：
依据“独立单元网格”下的节点编号构建全局能量平衡控制方程：
([K]0+[Kq]0){E}＝{F} (14)
其中[K]0、[Kq]0分别为单元能量矩阵[Km]、单元边界矩阵
Figure BDA0002566259480000121
对应的未耦合的全局矩阵，{E}和{F}分别为单元节点能量密度向量{Em}和单元输入功率向量{Fm}对应的全局向量；
6)在“独立单元网格”下对全局矩阵进行组装：
如图5所示，“独立单元网格”单元间无公共节点，由此构建的能量有限元全局矩阵需要对连续边界上的单元节点进行耦合处理：
单元1(所属四节点的编号为1、2、3、4)与单元2(所属节点编号为5、6、7、8)为连续边界上的相邻两单元，节点4与节点5共位，则在未耦合的全局矩阵中将K4,1、K4,2、K4,3、K4,4位置处的元素加到K5,1、K5,2、K5,3、K5,4位置处，将K5,5、K5,6、K5,7、K5,8位置处的元素加到K4,5、K4,6、K4,7、K4,8位置处，以此实现节点4与节点5的耦合；
按照上述规则遍历所有耦合节点，分别对未耦合的全局能量矩阵[K]0和全局边界矩阵[Kq]0进行水平连续边界上、垂直连续边界上以及对角线连续边界上的单元节点耦合处理，得到耦合处理后的全局能量矩阵[K]1和全局边界矩阵[Kq]1；
7)构建全局能量系数矩阵：
7.1)定义“独立单元网格”下的全局能量系数矩阵[KQ]1：
[KQ]1＝[K]1+[Kq]1 (15)
7.2)全局能量系数矩阵的系数调整：
统计每个节点的被耦合次数，假设节点i1被耦合次数为s，则将耦合后的全局能量系数矩阵[KQ]1的第i1行所有元素乘以系数1/(s+1)，遍历所有节点，获得系数调整后的全局能量矩阵[KQ]2；
7.3)全局能量系数矩阵的满秩调整：
假设节点ia与jb为连续边界上的同位耦合节点，则将全局能量矩阵[KQ]2中位于KQjb,jb位置处元素加到KQjb,ia位置处，并将KQjb,jb位置处元素置零，遍历所有节点，获得满秩的全局能量矩阵[KQ]；
至此完成能量有限元全局矩阵的组装与调整，得到全局能量平衡控制方程：
[KQ]{E}＝{F} (16)
8)适应性处理：
应用所得的全局能量平衡控制方程进行结构的动力学分析计算，得到加筋板的能量密度响应，如图6所示，且在波群传递界面发生动态变换时无需添加新边界。
为适应不同设计需求，使用本方法时并不局限于上文所述的四节点矩形单元，本方法同样适用于三节点线性单元以及多种单元的混合；本方法旨在应用能量有限元方法对结构的能量密度分析进行求解，可适应包括但不限于波群传递界面、热应变传递界面、磁场力传递界面等的动态变化。

Claims (2)

1.一种适应波群传递界面动态变化的能量有限元分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)定义设计工况：
设计域的结构上表面承受均布动态载荷，波群传递界面在设计域上不同界面交接处发生变化；
2)离散化处理：
将设计域离散为若干单元组成的网格，单元类型为四节点矩形单元，单元间相互独立，各自使用自身所属节点，不共用节点和边界，每个单元从左下角节点开始进行逆时针编号，得到无公共节点的网格，命名为“独立单元网格”；单元间不使用公共节点，而是在相同空间位置处布置只从属于各自单元的节点，命名为“同位节点”，同位节点形成的边界称为“同位边界”；
在设计域加载动态力载荷，结构中波群速度cg表达式为：
Figure FDA0002566259470000011
其中，Υ为弹性模量，h为厚度，λ为泊松比，ρ为密度；
3)构建单元能量平衡控制方程：
定义Ωm为“独立单元网格”中编号为m(m＝1,2,...,nel)的单元，nel为单元总数，Γm为单元Ωm的边界，在单元Ωm上根据能量流平衡条件建立能量平衡控制方程：
[Km]{Em}＝{Fm}-{Qm} (2)
上式中，[Km]为单元能量矩阵，{Em}为单元节点能量密度向量，{Fm}为单元输入功率向量，{Qm}为单元边界上的能量流向量，各矩阵和向量的表达式为：
Figure FDA0002566259470000021
其中，[N]为形函数矩阵，η为阻尼系数，ω为动态力载荷的激振角频率，πin为输入功率，q为能量流；
4)能量平衡方程在单元上的应用：
4.1)计算单元能量矩阵：
定义局部空间坐标系为ξ＝(ξ,ζ)，全局空间坐标系为x＝(x,y)，设计域已被离散为四节点矩形单元网格，将全局空间坐标系下的四节点矩形单元映射到局部空间坐标系下的等参单元，每个四节点矩形单元的形函数矩阵表达式为：
N＝[N1 N2 N3 N4] (4)
其中：
Figure FDA0002566259470000022
全局空间坐标系与局部空间坐标系下单元的面积转换公式为：
dxdy＝detJ·dξdζ (6)
上式中雅克比矩阵J的表达式为：
Figure FDA0002566259470000031
其中，(xmk,ymk)为单元m的节点k在全局空间坐标系下的坐标；
几何矩阵B的表达式为：
Figure FDA0002566259470000032
采用标准高斯积分法得到单元能量矩阵元素表达式：
Figure FDA0002566259470000033
Figure FDA0002566259470000034
4.2)计算单元节点能量密度向量：
应用于四节点矩形单元上的单元节点能量密度向量元素表达式为：
Figure FDA0002566259470000035
4.3)计算单元输入功率向量：
应用于四节点矩形单元上的单元输入功率向量元素表达式为：
Figure FDA0002566259470000036
4.4)计算单元边界上的能量流向量：
单元间无公共节点，定义
Figure FDA0002566259470000037
表示两单元m和m+1的共位边界，四节点矩形单元边界
Figure FDA0002566259470000041
上的能量流向量元素表达式为：
Figure FDA0002566259470000042
其中，
Figure FDA0002566259470000043
表示单元边界
Figure FDA0002566259470000044
上的单元边界矩阵，L(m)和L(m+1)为边界单元的长度，τmm+1和rmm分别表示能量传递系数和反射系数；
5)构建全局能量平衡控制方程：
依据“独立单元网格”下的节点编号构建全局能量平衡控制方程：
([K]0+[Kq]0){E}＝{F} (14)
其中[K]0、[Kq]0分别为单元能量矩阵[Km]、单元边界矩阵
Figure FDA0002566259470000045
对应的未耦合的全局矩阵，{E}和{F}分别为单元节点能量密度向量{Em}和单元输入功率向量{Fm}对应的全局向量；
6)在“独立单元网格”下对全局矩阵进行组装：
“独立单元网格”下单元间无公共节点，由此构建的能量有限元全局矩阵需要对连续边界上的单元节点进行耦合处理：
假设单元i与单元j为连续边界上的相邻两单元，单元i所属四节点的编号为i1、i2、i3、i4，单元j所属节点编号为j1、j2、j3、j4，节点i4与节点j1共位，则在未耦合的全局矩阵中将Ki4,i1、Ki4,i2、Ki4,i3、Ki4,i4位置处的元素加到Kj1,i1、Kj1,i2、Kj1,i3、Kj1,i4位置处，将Kj1,j1、Kj1,j2、Kj1,j3、Kj1,j4位置处的元素加到Ki4,j1、Ki4,j2、Ki4,j3、Ki4,j4位置处，以此实现节点i4与节点j1的耦合；
按照上述规则遍历所有耦合节点，分别对未耦合的全局能量矩阵[K]0和全局边界矩阵[Kq]0进行水平连续边界上、垂直连续边界上以及对角线连续边界上的单元节点耦合处理，得到耦合处理后的全局能量矩阵[K]1和全局边界矩阵[Kq]1；
7)构建全局能量系数矩阵：
7.1)定义“独立单元网格”下的全局能量系数矩阵[KQ]1：
[KQ]1＝[K]1+[Kq]1 (15)
7.2)全局能量系数矩阵的系数调整：
统计每个节点的被耦合次数，假设节点i1被耦合次数为s，则将耦合后的全局能量系数矩阵[KQ]1的第i1行所有元素乘以系数1/(s+1)，遍历所有节点，获得系数调整后的全局能量矩阵[KQ]2；
7.3)全局能量系数矩阵的满秩调整：
假设节点ia与jb为连续边界上的同位耦合节点，则将全局能量矩阵[KQ]2中位于KQjb,jb位置处元素加到KQjb,ia位置处，并将KQjb,jb位置处元素置零，遍历所有节点，获得满秩的全局能量矩阵[KQ]；
至此完成能量有限元全局矩阵的组装与调整，得到全局能量平衡控制方程：
[KQ]{E}＝{F} (16)
8)适应性处理：
应用所得的全局能量平衡控制方程进行结构的动力学分析计算，在波群传递界面发生动态变换时无需添加新边界。
2.根据权利要求1所述的一种适应波群传递界面动态变化的能量有限元分析方法，其特征在于：为适应不同设计需求，使用本方法时并不局限于四节点矩形单元，同样适用于三节点线性单元以及多种单元的混合；本方法旨在应用能量有限元方法对结构的能量密度分析进行求解，能够适应波群传递界面、热应变传递界面、磁场力传递界面的动态变化。
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