CN111538948A - 分布动载荷识别的动态标定方法 - Google Patents

分布动载荷识别的动态标定方法 Download PDF

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Abstract

本发明提出了一种分布动载荷识别的动态标定方法，包括以下步骤：在目标结构体上设置多个测量点，获取测量点在分布动载荷作用下产生的位移响应；将频域内动载荷识别理论与广义傅里叶分解相结合，得到相应的动态标定矩阵的表达式；将高斯‑勒让德积分应用到动态标定过程中，通过选取相应的高斯点将无限维的动态标定转化为有限维的动态标定得到动态标定矩阵，建立系统响应与分布动载荷之间的联系；结合位移响应和动态标定矩阵，求解傅里叶分解表达式的系数并拟合分布动载荷，完成相应的分布动载荷识别。本发明的方法具有较高的识别精度且易于实施，适合于工程结构上的连续结构分布动载荷的识别。

Description

分布动载荷识别的动态标定方法
技术领域
本发明属于动载荷识别领域，具体涉及一种用于识别分布动载荷的动态标定方法。
背景技术
动载荷的动态标定技术研究的是系统动响应与动载荷之间的传递特性，在结构动力学中属于第二类逆问题，在交通运输、航空航天、建筑结构、防风抗灾等工程领域有着举足轻重的作用。它是有效运用现代化设计理论和方法的前提，也是满足实际工程要求的必要保证。分布动载荷作为工程实践中常见的载荷形式之一，在工程应用领域中占据十分重要的位置，如受风载荷作用的桥梁和建筑物，受风浪作用的船体和大坝等。针对分布动载荷的识别都需要进行动态标定，动态标定的好坏直接影响载荷识别的精度。在现有研究中，针对分布动载荷识别的动标定方法的相关文献相对较少，且均在连续系统上作用分布的正交多项式载荷进行动态标定，由于无限维的动标定的局限性导致其在工程实践中实施困难，故将分布动载荷识别中的无限维的动标定转换为有限维的动标定是理论及工程应用中极具研究价值的问题之一。
发明内容
发明目的：针对现有技术的不足，本发明提出一种分布动载荷识别的动态标定方法，具有较高的识别精度且易于实施。
技术方案：分布动载荷识别的动态标定方法，包括以下步骤：
在目标结构体上设置多个测量点，获取所述多个测量点在分布动载荷作用下产生的位移响应X；
根据频域内动载荷识别理论和广义傅立叶分解构造动态标定矩阵与位移响应的关系式，其中所述广义傅立叶分解基函数采用勒让德多项式，所述关系式形式为：QA=X，其中Q为动态标定矩阵；A为勒让德多项式系数；
应用高斯-勒让德积分求解动态标定矩阵Q，通过选取高斯点确定正交多项式载荷在目标结构体上的具体加载位置及施加的集中正交多项式载荷，以集中正交多项式载荷代替分布的载荷，得到各测量点的响应，进而组合成动态标定矩阵；
根据目标结构体的位移响应X和动态标定矩阵Q，求解在广义傅里叶分解下勒让德多项式系数A；
根据勒让德多项式系数A对作用在目标结构体上的分布动载荷进行拟合，完成相应的分布动载荷识别。
进一步地，所述根据频域内动载荷识别理论和广义傅立叶分解构造动态标定矩阵与位移响应的关系式包括：
所述根据频域内动载荷识别理论和广义傅立叶分解构造动态标定矩阵与位移响应的关系式包括：
在频率域内，一维分布载荷函数与结构单点响应函数之间的关系为：
Figure 758895DEST_PATH_IMAGE001
(8)
其中：x,k分别为激励点和响应点的位置，l为结构体长度，
Figure 849211DEST_PATH_IMAGE002
表示作用在结构体上的分布动载荷，
Figure 591646DEST_PATH_IMAGE003
表示在激励力频率
Figure 250160DEST_PATH_IMAGE004
的作用下响应点k的位移，
Figure 743458DEST_PATH_IMAGE005
表示分布动载荷作用下k点响应的频响函数；
将式（8）在复数域内用矩阵表示为：
Figure 778410DEST_PATH_IMAGE006
(9)
其中：上标r表示实部，i表示虚部，
Figure 673554DEST_PATH_IMAGE007
分别表示分布动载荷作用下k点响应的频响函数的实部和虚部；
对于固定的频率
Figure 299708DEST_PATH_IMAGE004
，用勒让德正交多项式来拟合激励力：
Figure 155668DEST_PATH_IMAGE008
(10)
Figure 118945DEST_PATH_IMAGE009
(11)
其中：
Figure 478382DEST_PATH_IMAGE010
表示归一化的广义傅里叶分解下勒让德多项式的第j项，
Figure 104798DEST_PATH_IMAGE011
分别为勒让德多项式第j项的实部系数和虚部系数；
将
Figure 182475DEST_PATH_IMAGE012
代入式（9）中得到：
Figure 949443DEST_PATH_IMAGE013
(12)
其中n表示结构体上测量点个数，
Figure 428966DEST_PATH_IMAGE014
表示结构体上k点位移响应的实部和虚部；
令：
Figure 990397DEST_PATH_IMAGE015
（13）
Figure 352108DEST_PATH_IMAGE016
，
Figure 532554DEST_PATH_IMAGE017
，
Figure 991217DEST_PATH_IMAGE018
，则QA=X，Q为动态标定矩阵。
进一步地，所述应用高斯-勒让德积分求解动态标定矩阵Q包括：
在式（13）中，令
Figure 333337DEST_PATH_IMAGE019
，
Figure 8775DEST_PATH_IMAGE020
，将动态标定矩阵Q表示为高斯-勒让德积分形式：
Figure 727333DEST_PATH_IMAGE022
令
Figure 978185DEST_PATH_IMAGE024
则
Figure 881419DEST_PATH_IMAGE025
，其中N为高斯点数目，
Figure 155406DEST_PATH_IMAGE026
为高斯-勒让德积分公式中的求积系数，
Figure 802288DEST_PATH_IMAGE027
表示第s个高斯点的值；
当u确定时，相应的正交多项式载荷
Figure 110909DEST_PATH_IMAGE028
及作用位置x也随之确定，因此，在目标结构体上施加各个集中的正交多项式载荷，施加载荷的个数即为高斯点数，载荷的激励位置分别为
Figure 185045DEST_PATH_IMAGE029
，得到各个测量点的响应，即可组合成动态标定矩阵Q。例如：针对Q中的
Figure 743065DEST_PATH_IMAGE030
项，分别将高斯点u的值代入
Figure 69004DEST_PATH_IMAGE031
，得到N个集中的正交多项式载荷
Figure 592652DEST_PATH_IMAGE032
和激励位置，从而得到第一个测量点的实部响应，其他项以此类推即可求出Q。
有益效果：本发明将广义傅里叶分解与高斯-勒让德积分相结合进行分布动载荷的动态标定，将高斯-勒让德积分应用到动态标定过程中，通过选取相应的高斯点将无限维的动态标定转化为有限维的动态标定，实现对作用在连续结构上的分布动载荷的识别，通过实测载荷识别验证表明该动态标定方法正确有效，并且具有一定的抗噪性能。相比于现有方法，本发明提高了识别效率，具有较高的识别精度且易于实施，适合于工程结构上的连续结构分布动载荷的识别。
附图说明
图1是分布动载荷识别的动态标定方法的流程图；
图2是实施例中分布力作用下的简支梁模型图；
图3是响应未受到噪声污染的分布动载荷实部识别结果示意图；
图4是响应未受到噪声污染的分布动载荷虚部识别结果示意图；
图5是图3所示识别结果与真实值之间的误差示意图；
图6是图4所示识别结果与真实值之间的误差示意图；
图7是响应受到1%噪声污染的分布动载荷实部识别结果示意图；
图8是响应受到1%噪声污染的分布动载荷虚部识别结果示意图；
图9是图7所示识别结果与真实值之间的误差示意图；
图10是图8所示识别结果与真实值之间的误差示意图；
图11是响应受到5%噪声污染的分布动载荷实部识别结果示意图；
图12是响应受到5%噪声污染的分布动载荷虚部识别结果示意图；
图13是图11所示识别结果与真实值之间的误差示意图；
图14是图12所示识别结果与真实值之间的误差示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的技术方案作进一步说明。出于简明和说明的目的，实施例的原理主要通过参考例子来描述。在以下描述中，很多具体细节被提出用以提供对实施例的彻底理解。然而明显的是，对于本领域普通技术人员，这些实施例在实践中可以不限于这些具体细节。在一些实例中，没有详细地描述公知方法和结构，以避免无必要地使这些实施案例变得难以理解。
本发明目的是在分布动载荷识别过程中通过无限维到有限维的转化来实现识别过程中的动态标定，进而识别分布动载荷，图1示出了该动态标定方法的流程图，首先根据广义傅里叶分解理论和勒让德多项式对分布动载荷进行拟合，转换为求解未知的系数向量；再由频域内动载荷识别理论和高斯-勒让德积分进行有限维的动态标定，求出动态标定矩阵；然后根据动态标定矩阵和连续结构的响应求出未知的系数向量，通过正交多项式系数向量对分布动载荷进行拟合识别。最后通过与实际载荷进行比较，验证本方法的性能。
在本实施例中，通过采用分布力作用下的简支梁模型，着重研究在分布动载荷识别过程中的动态标定过程，具体的操作步骤如下：
步骤S1，建立简支梁模型。
如图2所示，实施例中简支梁的长l=1m，截面尺寸为0.01×0.01m 2，弹性模量E=2.1×1011 Pa，密度ρ=7800Kg/m 3，泊松比μ=0.3，阻尼比ζ=0.02，共划分10个梁单元。作用在梁上的分布动载荷形式为：
Figure 713054DEST_PATH_IMAGE033
(1)
其中ω=20Hz，为激励力的频率，t表示时间，j表示分布动载荷的虚部，x表示动载荷在简支梁上的作用范围，
Figure 23950DEST_PATH_IMAGE034
是与x相关的动载荷函数。
步骤S2，将频域内动载荷识别理论与广义傅里叶分解相结合，得到相应的动态标定矩阵的表达式。
本发明中广义傅里叶分解基函数采用勒让德多项式，拟合函数的推导过程如下：
勒让德函数是指勒让德微分方程的解：
Figure 12635DEST_PATH_IMAGE035
(2)
当
Figure 30269DEST_PATH_IMAGE036
依次取值时，随m取值的变化其微分方程的解也发生相应变化，构成一组由正交多项式构成的多项式序列，这组序列即为勒让德多项式
Figure 446207DEST_PATH_IMAGE037
，其表达式为：
Figure 182082DEST_PATH_IMAGE038
(3)
其中，
Figure 646561DEST_PATH_IMAGE039
，权函数
Figure 643336DEST_PATH_IMAGE040
。
当
Figure 105541DEST_PATH_IMAGE041
时，做变量代换
Figure 951881DEST_PATH_IMAGE042
，则自变量区间由
Figure 157735DEST_PATH_IMAGE043
变换为
Figure 946699DEST_PATH_IMAGE044
，变换后的勒让德多项式为：
Figure 970019DEST_PATH_IMAGE045
(4)
其中，
Figure 149327DEST_PATH_IMAGE046
。归一化后其表达式为；
Figure 283505DEST_PATH_IMAGE047
(5)
若函数
Figure 192556DEST_PATH_IMAGE048
在区间
Figure 996564DEST_PATH_IMAGE043
上连续且加权可积，则将
Figure 318960DEST_PATH_IMAGE048
利用广义傅里叶分解可展开为：
Figure 601037DEST_PATH_IMAGE049
(6)
其中
Figure 193955DEST_PATH_IMAGE050
为广义傅里叶分解展开后的勒让德多项式系数，变换为矩阵形式为：
Figure 965602DEST_PATH_IMAGE051
(7)
在频率域内，一维分布载荷函数与结构单点响应函数之间的关系为：
Figure 650661DEST_PATH_IMAGE052
(8)
其中：x,k分别为激励点和响应点的位置，
Figure 126642DEST_PATH_IMAGE053
表示作用在整个结构上的分布动载荷，
Figure 947967DEST_PATH_IMAGE054
表示在激励力频率ω的作用下响应点k的位移，
Figure 218412DEST_PATH_IMAGE055
表示分布动载荷作用下k点响应的频响函数。将式（8）在复数域内用矩阵可表示为：
Figure 125188DEST_PATH_IMAGE056
(9)
对于固定的频率ω，激励力可用勒让德正交多项式的来拟合：
Figure 811384DEST_PATH_IMAGE057
(10)
Figure 877429DEST_PATH_IMAGE058
(11)
选取等距分布的10个测点，为保证载荷的拟合精度，正交多项式取7阶，将
Figure 928562DEST_PATH_IMAGE059
代入式（9）中可得：
Figure 945803DEST_PATH_IMAGE060
(12)
其中：
Figure 638952DEST_PATH_IMAGE061
，
Figure 231608DEST_PATH_IMAGE062
分别表示分布动载荷作用下k点响应的频响函数的实部和虚部，
Figure 109434DEST_PATH_IMAGE063
表示归一化的广义傅里叶分解下勒让德多项式的第j项（
Figure 725223DEST_PATH_IMAGE064
），
Figure 81118DEST_PATH_IMAGE065
分别为勒让德多项式第j项的实部系数和虚部系数，
Figure 731542DEST_PATH_IMAGE066
分别表示梁上k点位移响应的实部和虚部。
令：
Figure 452373DEST_PATH_IMAGE067
（13）
Figure 945672DEST_PATH_IMAGE068
，
Figure 715044DEST_PATH_IMAGE069
，
Figure 846074DEST_PATH_IMAGE070
，则QA=X。Q定义为动态标定矩阵，可通过高斯-勒让德积分求解。
步骤S3，根据频域内动载荷识别理论和高斯-勒让德积分求解动态标定矩阵Q。
高斯-勒让德积分求解的理论推导过程如下：
一般高斯积分表达式为：
Figure 941069DEST_PATH_IMAGE071
(14)
其中，
Figure 593767DEST_PATH_IMAGE072
为权函数，
Figure 291465DEST_PATH_IMAGE073
为求积系数，
Figure 916481DEST_PATH_IMAGE074
为高斯点。
若权函数
Figure 41432DEST_PATH_IMAGE075
，
Figure 119109DEST_PATH_IMAGE076
，则
Figure 558181DEST_PATH_IMAGE077
，此为高斯-勒让德求积公式。在高斯积分公式中，若积分区间为[a,b]，令
Figure 162337DEST_PATH_IMAGE078
，此处z仅表示一个变量符号，将区间[a,b]变换为[-1,1]，即可使用高斯-勒让德积分公式，其求解过程如下：
Figure 333556DEST_PATH_IMAGE079
(15)
基于测量点数目和目标结构体长度，通过高斯-勒让德积分的应用，可以将无限维的动态标定转化为有限维的动态标定，关键在于：通过选取相应的高斯点可以确定正交多项式载荷在目标结构体上的具体加载位置及施加的集中正交多项式载荷，从而得到测量点的响应，进而组合成动态标定矩阵，即，在目标结构体上作用集中的正交多项式载荷来代替分布的多项式载荷进行求解动态标定矩阵，其核心在于无限维的动态标定到有限维的动态标定的转化。
在本实施例中，动态标定矩阵Q可通过有限维的动标定即在简支梁上作用集中载荷来获得，具体过程如下：
在式（13）中，令
Figure 545136DEST_PATH_IMAGE080
，
Figure 460002DEST_PATH_IMAGE081
，为保证精度，取高斯点数为11，则Q表示为：
Figure 184245DEST_PATH_IMAGE022
(16)
令
Figure 588681DEST_PATH_IMAGE024
则
Figure 640951DEST_PATH_IMAGE082
，其中N=11，
Figure 218563DEST_PATH_IMAGE083
为高斯-勒让德积分公式中的求积系数。
在动态标定过程中，高斯点数决定了施加在简支梁上的集中正交多项式载荷的个数和作用位置。可以任意取，通常高斯点数越多，结果越精确，本实施例中高斯点数取11个已满足精度要求。表1为本实施例的高斯点及其相对应的求积系数。
表1 高斯点及求积系数表
Figure 672678DEST_PATH_IMAGE084
在动态标定矩阵Q中，当u确定时，则相应的正交多项式载荷
Figure 575912DEST_PATH_IMAGE085
及作用位置x也随之确定。根据式（15），在简支梁上施加各个集中的正交多项式载荷，施加载荷的个数即为高斯点数N=11，载荷的激励位置分别为
Figure 912215DEST_PATH_IMAGE086
，得到各个测量点的响应，即可组合成动态标定矩阵Q。例如：针对Q中的
Figure 434463DEST_PATH_IMAGE087
项，分别将高斯点u的值代入
Figure 103604DEST_PATH_IMAGE088
，得到11个集中的正交多项式载荷
Figure 53106DEST_PATH_IMAGE089
和激励位置，从而得到第一个测量点的实部响应，其他项以此类推即可求出Q。本方法的关键是将无限维的动标定转化为有限维的动标定，重点在于高斯点的选取。
步骤S4，识别作用在简支梁结构上的分布动载荷。
结合步骤S3中求出的动态标定矩阵Q和利用结构动力学理论计算出的简支梁结构的位移响应X，求解分布动载荷的拟合系数，即广义傅里叶分解下勒让德多项式系数：
n表示响应点数，当j=n时，可以对矩阵直接求逆：
Figure 611126DEST_PATH_IMAGE090
；
当j<n时，利用最小二乘广义逆求解：
Figure 61699DEST_PATH_IMAGE091
；
具体求解方法此处不再赘述。
勒让德多项式系数A包含实部系数A 1 和虚部系数B 1 ，分别将系数值代入广义傅里叶级数拟合公式，即可得到对应的分布动载荷表达式：
Figure 224827DEST_PATH_IMAGE092
(17)
Figure 469864DEST_PATH_IMAGE093
(18)
将这些点再拟合成线，得到识别的分布动载荷实部与虚部。
以上所述为针对简支梁结构的示例性分布动载荷识别过程。更一般的，本方法同样适用于其他结构，如薄板结构等等，其应用过程均与本实施例中相同，即通过获取目标结构体上各测量点的位移，再根据测量点个数和目标结构体长度或面积通过式（16）计算出动标定矩阵，反算出系数矩阵，进而拟合分布动载荷。
为了验证所提出方法的可行性和有效性，在响应不含噪声和响应分别添加1%、5%随机噪声的情况下，运用仿真技术分别模拟了作用在简支梁上的分布动载荷
Figure 718442DEST_PATH_IMAGE094
（
Figure DEST_PATH_IMAGE095
）的识别情况。具体利用Matlab编写程序求出动态标定矩阵，进而识别作用在简支梁上的分布动载荷并分析识别效果。仿真结果表明：该动态标定方法能够完成分布动载荷的识别，且对于分布动载荷的识别具有较高的精度和良好的抗噪性能。
参照图3-14，其中图3和图4分别显示了位移响应未受到噪声污染的分布动载荷实部和虚部识别结果，图5和图6分别是位移响应未受到噪声污染的分布动载荷实部和虚部识别结果与真实值之间的绝对误差；图7、图8分别显示了在响应中混入1%的随机误差下的分布动载荷实部和虚部识别结果，图9和图10分别为1%误差下实部和虚部识别结果与真实值之间的绝对误差；图11、图12分别显示了在响应中混入5%的随机误差下的分布动载荷实部和虚部识别结果，图13和图14分别是5%误差下实部和虚部识别结果与真实值之间的绝对误差。从图中可以看出，响应不含噪声和混有1%随机噪声的情况下，本发明的方法对于分布动载荷的识别有较为理想的识别效果；当混入5%的随机噪声时，虽然识别误差增大，识别结果略有偏移，但整体载荷的趋势与真实值是相吻合的，其误差在可接受的范围内，由此可见，本发明的方法对于分布动载荷的识别是有效的，并且具有一定的抗噪性能。并且本方法运算量不大，时间成本较低，整体性能和效果都很好，适用于工程结构上的连续结构分布动载荷的识别。

Claims (5)

1.一种分布动载荷识别的动态标定方法，其特征在于，包括以下步骤：
在目标结构体上设置多个测量点，获取所述多个测量点在分布动载荷作用下产生的位移响应X；
根据频域内动载荷识别理论和广义傅立叶分解构造动态标定矩阵与位移响应的关系式，其中所述广义傅立叶分解基函数采用勒让德多项式，所述关系式形式为：QA=X，其中Q为动态标定矩阵；A为勒让德多项式系数；
应用高斯-勒让德积分求解动态标定矩阵Q，通过选取高斯点确定正交多项式载荷在目标结构体上的具体加载位置及施加的集中正交多项式载荷，以集中正交多项式载荷代替分布的载荷，得到各测量点的响应，进而组合成动态标定矩阵；
根据目标结构体的位移响应X和动态标定矩阵Q，求解在广义傅里叶分解下勒让德多项式系数A；
根据勒让德多项式系数A对作用在目标结构体上的分布动载荷进行拟合，完成相应的分布动载荷识别。
2.根据权利要求1所述的分布动载荷识别的动态标定方法，其特征在于，所述根据频域内动载荷识别理论和广义傅立叶分解构造动态标定矩阵与位移响应的关系式包括：
在频率域内，一维分布载荷函数与结构单点响应函数之间的关系为：
Figure 165264DEST_PATH_IMAGE001
(8)
其中：x,k分别为激励点和响应点的位置，l为结构体长度，
Figure 347984DEST_PATH_IMAGE002
表示作用在结构体上的分布动载荷，
Figure 845830DEST_PATH_IMAGE003
表示在激励力频率
Figure 444302DEST_PATH_IMAGE004
的作用下响应点k的位移，
Figure 727516DEST_PATH_IMAGE005
表示分布动载荷作用下k点响应的频响函数；
将式（8）在复数域内用矩阵表示为：
Figure 18820DEST_PATH_IMAGE006
(9)
其中：上标r表示实部，i表示虚部，
Figure 551432DEST_PATH_IMAGE007
分别表示分布动载荷作用下k点响应的频响函数的实部和虚部；
对于固定的频率
Figure 969906DEST_PATH_IMAGE004
，用勒让德正交多项式来拟合激励力：
Figure 842047DEST_PATH_IMAGE008
(10)
Figure 304253DEST_PATH_IMAGE009
(11)
其中：
Figure 527424DEST_PATH_IMAGE010
表示归一化的广义傅里叶分解下勒让德多项式的第j项，
Figure 530015DEST_PATH_IMAGE011
分别为勒让德多项式第j项的实部系数和虚部系数；
将
Figure 771509DEST_PATH_IMAGE012
代入式（9）中得到：
Figure 404616DEST_PATH_IMAGE013
(12)
其中n表示结构体上测量点个数，
Figure 115083DEST_PATH_IMAGE014
表示结构体上k点位移响应的实部和虚部；
令：
Figure 655786DEST_PATH_IMAGE015
（13）
Figure 768098DEST_PATH_IMAGE016
，
Figure 54330DEST_PATH_IMAGE017
，
Figure 252093DEST_PATH_IMAGE018
，则QA=X，Q为动态标定矩阵。
3.根据权利要求2所述的分布动载荷识别的动态标定方法，其特征在于，所述应用高斯-勒让德积分求解动态标定矩阵Q包括：
在式（13）中，令
Figure 596486DEST_PATH_IMAGE019
，
Figure 563305DEST_PATH_IMAGE020
，将动态标定矩阵Q表示为高斯-勒让德积分形式：
Figure 538215DEST_PATH_IMAGE021
令
Figure 206962DEST_PATH_IMAGE022
则
Figure 355047DEST_PATH_IMAGE023
，其中N为高斯点数目，
Figure 910793DEST_PATH_IMAGE024
为高斯-勒让德积分公式中的求积系数，
Figure 322183DEST_PATH_IMAGE025
表示第s个高斯点的值；
当u确定时，相应的正交多项式载荷
Figure 25697DEST_PATH_IMAGE026
及作用位置x也随之确定，因此，在目标结构体上施加各个集中的正交多项式载荷，施加载荷的个数即为高斯点数，载荷的激励位置分别为
Figure 915155DEST_PATH_IMAGE027
，得到各个测量点的响应，即可组合成动态标定矩阵Q。
4.根据权利要求1所述的分布动载荷识别的动态标定方法，其特征在于，所述求解在广义傅里叶分解下勒让德多项式系数A包括：
n表示响应点数，j表示第j项勒让德多项式，当j=n时，对矩阵直接求逆：
Figure 341720DEST_PATH_IMAGE028
；当j<n时，利用最小二乘广义逆求解：
Figure 924011DEST_PATH_IMAGE029
。
5.根据权利要求1所述的分布动载荷识别的动态标定方法，其特征在于，所述根据勒让德多项式系数A对作用在结构体上的分布动载荷进行拟合包括：
勒让德多项式系数A包含实部系数
Figure 114821DEST_PATH_IMAGE030
和虚部系数
Figure 807970DEST_PATH_IMAGE031
，分别将系数值代入广义傅里叶级数拟合公式，得到对应的分布动载荷表达式：
Figure 338309DEST_PATH_IMAGE032
其中
Figure 340768DEST_PATH_IMAGE010
表示归一化的广义傅里叶分解下勒让德多项式的第j项；
将这些点拟合成线，得到识别的分布动载荷实部与虚部。
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