CN112306076B - 一种混合驱动水下机器人动力学模型建立方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及水下机器人动力学建模技术领域，提供了一种混合驱动水下机器人动力学模型建立方法。首先确定该水下机器人的运动参数和自由度；将所有支撑腿折合成一条有质量的虚拟支撑腿，利用拉格朗日原理建立在水动力和驱动力作用下的混合驱动水下机器人矢状面动力学模型；在此基础上，针对有质量摆动腿难以建模问题，将其对水下机器人动力学模型的影响参数化，建立有质量摆动腿的混合驱动水下机器人的矢状面动力学模型。根据本发明的动力学模型能揭示混合驱动水下机器人在壁面攀爬的运动机理，以便于分析虚拟支撑腿和摆动腿对混合驱动水下机器人本体的影响，能提供混合驱动水下机器人运动所需的控制力，且为控制器的设计奠定了良好的基础。

Description

一种混合驱动水下机器人动力学模型建立方法

技术领域

本发明涉及水下机器人动力学建模技术领域，具体为一种混合驱动水下机器人动力学模型建立方法。

背景技术

水下机器人是海洋资源开发，海洋监测以及海洋生态保护的重要装备之一。通过搭载不同类型的传感器和执行器，水下机器人能够有效地实现对海洋探索、开发、监测以及侦查等多项任务，具体可用于海洋资源开发和利用、海洋牧场建设、水下文化遗产保护、搜集和打捞、水库大坝的安全检查、船舶清洗和日常保养、水下安全等领域。

当水下机器人面向船侧、大坝、桥墩等复杂不平整工作面执行攀爬或行走等作业任务时，就需要确保水下机器人具有一定的越障能力。腿式机器人作为一种具有卓越越障能力的机器人受到国内学者的广泛关注。因此，研究一类由多推进器和六条半圆形刀锋腿混合驱动的，且能在复杂不平整工作面行走或攀爬的水下机器人具有重要的经济和社会效益。

腿式机器人的控制策略大致可以分为两类：基于模型的控制方法和基于学习的控制方法。前者利用水下机器人动力学模型的基础上，采用李雅普诺夫稳定定理或庞加莱映射定理设计合适的控制律。后者将步态参数化，设计合适的性能指标，在大量先验数据支撑下，学习面向性能指标最优的步态或控制力矩；但是，为了加快学习效率，通常需利用水下机器人的动力学模型来获取大量数据。因此，无论采用上述哪种控制方法，混合驱动水下机器人的动力学模型都是必不可少。

目前尚无文献开展这类由多推进器和六条半圆形刀锋腿混合驱动水下机器人动力学模型的研究。针对陆地上的半圆形刀锋腿水下机器人的建模研究主要有：1)Wei-ChunLu等针对半圆形刀锋腿机器人矢状面动力学建模问题，在线性倒立摆的基础上，充分考虑半圆形刀锋腿的滚动特性，提出了滚动倒立摆动力学；但该模型忽略了支撑腿和摆动腿对机器人本体的影响。2)Ya-Cheng Chou等针对基于半圆形刀锋腿的六足机器人跳跃动力学建模问题，将机器人简化为三个无质量刀锋腿和机器人本体，利用牛顿第二运动定律建立了其跳跃动力学模型；同上，该模型也忽略了支撑腿和摆动腿对机器人本体的影响。

当支撑腿和摆动腿质量之和较小时，陆上半圆形刀锋腿机器人通常可以忽略腿对机器人数学模型的影响。但是，当考虑多推进器和六条半圆形刀锋腿混合驱动水下机器人时，由于刀锋腿旋转导致的水动力通常较大，故无法忽略腿对该水下机器人的动力学影响。

综上所述，一类由多推进器和六条半圆形刀锋腿混合驱动水下机器人动力学建模存在以下难点：1、如何将复杂的多体水下机器人的建模因素进行合理的数学表征，且兼顾模型有效性和简洁性；2、如何分析水动力、有质量支撑腿和摆动腿对这类混合驱动水下机器人运动机理的影响。

发明内容

(1)技术问题

针对一类由多推进器和六条半圆形刀锋腿混合驱动水下机器人的动力学建模需求，在分析水动力、有质量支撑腿和摆动腿对这类机器人运动机理的基础上，本发明利用拉格朗日方程法和混合高斯模型估计方法，提出了一种兼顾有效性和简洁性水下机器人的动力学模型。

(2)技术方案

根据本发明的一方面提供了一种混合驱动水下机器人动力学模型建立方法，包括如下步骤：

步骤1：建立地面坐标系和与水下机器人固连的体坐标系，构建水下机器人虚拟支撑腿模型；

步骤2：计算作用在水下机器人本体和虚拟支撑腿的非有势力，非有势力包括水动力、推进器推力和虚拟支撑腿的驱动力；

步骤3：建立混合驱动水下机器人的拉格朗日函数，利用拉格朗日原理建立混合驱动水下机器人的动力学模型；

步骤4：考虑摆动腿对混合驱动水下机器人矢状面动力学模型的影响，将其影响参数化，调整混合驱动水下机器人的动力学模型。

由于该水下机器人的运动体数量较多，如果不进行适当简化而直接采用牛顿欧拉法或拉格朗日法进行建模，将导致动力学方程极其复杂，难以直接用于动力学分析和控制器设计。此外，基于半圆形刀锋腿的机器人常采用交替步态行走，例如腿1-4-5与腿2-3-6交替支撑与摆动，腿3-4与腿1-2-5-6交替支撑与摆动；为了保持矢状面行走的稳定性，各支撑腿的角度和角速度通常是一致的。基于上述两点原因，本发明引入虚拟支撑腿的概念以减小该水下机器人动力学方程的复杂度。具体地，虚拟支撑腿的大小、形状与真实水下机器人的半圆形刀锋腿相同，且其髋关节与机器人本体的浮心相连；因此，可以近似认为虚拟支撑腿对机器人本体的作用力与水下机器人中所有支撑腿对机器人本体作用力等效。

步骤1中的地面坐标系O₀X₀Y₀Z₀的各轴相对地面静止不动。地面系的原点选在行走初始时刻虚拟支撑腿与地面的接触点，其中，虚拟支撑腿由角速度和角度一致的支撑腿折合而成，且虚拟支撑腿的髋关节与机器人本体中心点连接。O₀X₀轴在水平面内并指向前进方向；O₀Y₀轴铅直向上；O₀Z₀轴垂直于O₀X₀和O₀Y₀轴，其方向使该坐标系成为右手坐标系。

体坐标系OXYZ与机器人本体固连，即相对机器人本体静止不动的坐标系。体坐标系的原点选在机器人本体的浮心；OX轴沿机器人本体纵轴并指向前方；OY轴垂直于OX轴并指向上方；OZ轴垂直于轴OX和OY，其方向满足右手坐标系旋转法则。

具体地，x₀，y₀为水下机器人本体浮心在地面坐标中前向和铅锤方向的投影；x₁，y₁为水下机器人虚拟支撑腿的质心在地面坐标中前向和铅锤方向的投影；θ为机器人本体的俯仰角，当机器人本体抬头时，θ为正；v为机器人本体的运动速度，其方向垂直于浮心与足端之间连线；α为机器人本体的攻角，当速度方向在机器人本体下方时，α为正，其描述了机器人本体相对于水流的方位；q为虚拟支撑腿的旋转角度，规定逆时针为正，且规定向量OO′与O₀X₀轴反向一致时角度q为零。

上述部分运动参数之间的关系，即水下机器人本体的浮心位置(x₀,y₀)、虚拟支撑腿质心位置(x₁,y₁)与虚拟支撑腿的旋转角度q之间关系可表示为

其中，q₀为虚拟支撑腿的初始旋转角度，r为半圆形刀锋腿的半径。

步骤2中机器人本体在地面坐标系下O₀X₀与O₀Y₀方向受到的外力，以及俯仰力矩分别为

其中，R_λx、X_aμ、X_wμ和R_λy、Y_αμ、Y_wμ分别为理想流体惯性力、流体黏性位置力、流体黏性阻尼力在体坐标系OX与OY方向的分量；M_λz、M_αμz和M_wμz分别为理想流体惯性力、流体黏性位置力、流体黏性阻尼力作用于机器人本体产生的俯仰力矩；X_T、Y_T、M_Tz分别为多推进器作用力在体坐标系OX与OY方向的分量以及俯仰力矩。

虚拟支撑腿在地面坐标系下O₀X₀与O₀Y₀方向受到水动力分别为F_x1和F_y1，受到的驱动力矩为

其中，τ_i为第i个腿的驱动力，且规定逆时针为正，

N_i(i＝1,L,6)为水下机器人第i个腿与地面接触时的压力值。

步骤3中，水下机器人的拉格朗日函数可表示为

其中，m₀、J₀分别为水下机器人本体的质量和俯仰转动惯量；

分别为水下机器人虚拟支撑腿的质量和相对于虚拟支撑腿髋关节的转动惯量；m_l和J_l分别为支撑腿的质量和相对于支撑腿髋关节的转动惯量；g为重力加速度；B₀和B₁分别为水下机器人本体和虚拟支撑腿的浮力。

具体地，拉格朗日函数可进一步表示为

非有势力对此系统的虚功可表示为

δA＝F_x0δx₀+F_y0δy₀+M_z0δθ+F_x1δx₁+F_y1δy₁+M_z1δq＝T_qδq+M_z0δθ

其中，

为作用于机器人虚拟支撑腿旋转通道的外力矩。

求拉格朗日函数L关于θ、q、

和

的偏导数，可得

由拉格朗日方程，可得

其中，Δ_q为有质量摆动腿对水下机器人矢状面动力学模型的不确定性干扰，

为作用于机器人本体俯仰通道的外力矩，Δ_θ为有质量摆动腿对水下机器人矢状面机器人本体俯仰通道的不确定性影响,g_j的定义为

g_j＝N_2j-1+N_2j,j＝1,2,3

其中，N_2j-1和N_2j分别为水下机器人第2j-1个和第2j个腿与地面接触时的压力值。具体地，当g_j＝0时，说明第j组腿均未着地；当g_j≠0时，说明第j组腿中至少有一条腿着地。

因此，可推导水下机器人矢状面动力学模型为

进一步地，水下机器人矢状面动力学模型可整理为

步骤4中利用传感器的历史数据和基于高斯混合模型(GMM)的参数化逼近方法离线估计模型误差函数Δ_q和Δ_θ。

定义数据集D为

其中，

和

分别代表第i(i＝1,…,6)个腿的第n(n＝1,…,N)组关节角度值和角速度值，N为数据总量。

利用K个高斯分布函数来逼近模型误差函数Δ_q和Δ_θ，即可表示为

其中，φ为高斯分布密度函数，

为第j个高斯分布密度函数的权重系数且满足

和

分别为第j个高斯模型的期望和方差，(·)代表变量q或θ。

具体地，利用极大似然原理和采集的数据集来估计K个高斯分布的权重系数、期望和方差，分两步进行迭代：E步，求期望；M步，求极大。

综上所述，该水下机器人矢状面动力学模型可进一步调整为

其中，λ₁₁和λ₂₂分别为水下机器人的前向和纵向附加质量，λ₃₃为水下机器人的侧向附加转动惯量，ρ为水的密度，

为水下机器人的速度；S_x和S_y分别为机器人本体在OX和OY方向的横截面积；C_x和C_y分别为以横截面积S_x和S_y为特征面积的阻力因数；

为水下机器人本体的俯仰力矩因数对攻角α的位置导数，L为水下机器人本体的长度，

水下机器人升力因数对角速度w_z的旋转导数，

水下机器人俯仰力矩因数对角速度w_z的旋转导数，

为无量纲角速度，T_i(i＝1,…,6)为第i个推进器的推力值；k₁和k₂均为大于零的常数。

(3)有益效果

(1)能体现机器人本体和刀锋腿所受到的水动力，以及有质量虚拟支撑腿和摆动腿对这类水下机器人运动状态的影响；

(2)提出了一种兼顾准确性和简洁性的水下机器人动力学模型，其即可准确反映水下机器人的运动机理，又能较好地直接用于控制器的设计。

附图说明

图1为根据本发明实施例的一种混合驱动水下机器人推进器安装示意图。

图2为根据本发明实施例的混合驱动水下机器人的虚拟支撑腿生成机制示意图。

具体实施方式

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述。

图1示出了一种根据本发明实施例的混合驱动水下机器人的推进器安装的示意图。根据本发明实施例的混合驱动水下机器人可具有6个推进器，其中，4个垂直方式安装(如图1所示)，2个推进器水平安装(可设置在混合驱动水下机器人的两侧)。需要说明的是，图1仅给出了本发明的混合驱动水下机器人适用的一种情形，并非用于混合驱动水下机器人进行限制性说明。实际应用时，推进器的数量和排布可不同于此。

根据本发明实施例的混合驱动水下机器人具备六条半圆形刀锋腿，分别对称分布在混合驱动水下机器人的左右两侧，其中，左侧3条腿从前向后分别命名为腿1、3、5，右侧3条腿从前向后分别命名为腿2、4、6。

图2为由多推进器和六条半圆形刀锋腿混合驱动水下机器人的虚拟支撑腿生成机制示意图。由于该水下机器人的运动体数量较多，如果不进行适当简化而直接采用牛顿欧拉法或拉格朗日法建模，将导致动力学方程极其复杂，难以直接用于动力学分析和控制器设计。此外，基于半圆形刀锋腿的机器人常采用交替步态行走，例如腿1-4-5与腿2-3-6交替支撑与摆动，腿3-4与腿1-2-5-6交替支撑与摆动；为了保持矢状面行走的稳定性，各支撑腿的角度和角速度通常是一致的。

基于此，本发明引入虚拟支撑腿的概念以减小该水下机器人动力学方程的复杂度。具体地，虚拟支撑腿的大小、形状与真实水下机器人的半圆形刀锋腿相同，且其髋关节与机器人本体的浮心相连。因此，可以近似认为虚拟支撑腿对机器人本体的作用力与水下机器人中所有支撑腿对机器人本体作用力等效。

因此，可以近似认为虚拟支撑腿对机器人本体的作用力与水下机器人中所有支撑腿对机器人本体作用力等效，即

考虑以下几点假设：

假设一：半圆形腿和机器人本体均为刚体，且机器人本体为长方体，关于纵平面XOY和横平面XOZ均对称；

假设二：水下机器人完全浸没于流体中，并处于全沾湿状态；

假设三：流体动力位置力和阻尼力满足线性假设；

假设四：不考虑刀锋腿与工作壁面之间的相对滑动，假设其为纯滚动运动；

假设五：六条刀锋腿的驱动电机均匀对称地固连于机器人本体两侧，且中间一组刀锋腿固连于机器人本体侧向的中心点处；同时，机器人本体的浮心在六台驱动电机构成的平面内；

假设六：水下机器人本体的质心与浮心重合。

基于上述假设，本发明提出了一种由多推进器和六条半圆形刀锋腿混合驱动水下机器人动力学模型建立方法，包括以下步骤：

步骤1：建立地面坐标系和与水下机器人固连的体坐标系；选取水下机器人矢状面运动参数，构建水下机器人虚拟支撑腿模型；

步骤2：计算作用在水下机器人本体和虚拟支撑腿的非有势力，具体包括水动力、推进器推力和虚拟支撑腿的驱动力；

步骤3：建立混合驱动水下机器人的拉格朗日函数，利用拉格朗日原理建立混合驱动水下机器人的动力学模型；

步骤4：考虑摆动腿对混合驱动水下机器人矢状面动力学模型的影响，将其影响参数化，调整混合驱动水下机器人的动力学模型。

具体地，步骤1：建立地面坐标系和与水下机器人固连的体坐标系；选取水下机器人矢状面运动参数，构建水下机器人虚拟支撑腿模型。

如图2所示，地面坐标系O₀X₀Y₀Z₀的各轴相对地面静止不动。地面系的原点选在行走初始时刻虚拟支撑腿与地面的接触点，其中，虚拟支撑腿由角速度和角度一致的支撑腿折合而成，且虚拟支撑腿的髋关节与机器人本体中心点连接。O₀X₀轴在水平面内并指向前进方向；O₀Y₀轴铅直向上；O₀Z₀轴垂直于O₀X₀和O₀Y₀轴，其方向使该坐标系成为右手坐标系。

体坐标系OXYZ与机器人本体固连，即相对机器人本体静止不动的坐标系。体坐标系的原点选在机器人本体的浮心；OX轴沿机器人本体纵轴并指向前方；OY轴垂直于OX轴并指向上方；OZ轴垂直于轴OX和OY，其方向满足右手坐标系旋转法则。

具体地，x₀，y₀为水下机器人本体浮心在地面坐标中前向和铅锤方向的投影；x₁，y₁为水下机器人虚拟支撑腿的质心在地面坐标中前向和铅锤方向的投影；θ为机器人本体的俯仰角，当机器人本体抬头时，θ为正；v为机器人本体的运动速度，其方向垂直于浮心与足端之间连线；α为机器人本体的攻角，当速度方向在机器人本体下方时，α为正，其描述了机器人本体相对于水流的方位；q为虚拟支撑腿的旋转角度，规定逆时针为正，且规定向量OO′与O₀X₀轴反向一致时角度q为零。

上述部分运动参数之间的关系，即水下机器人本体的浮心位置(x₀,y₀)、虚拟支撑腿质心位置(x₁,y₁)与虚拟支撑腿的旋转角度q之间关系可表示为

其中，q₀为虚拟支撑腿的初始旋转角度，r为半圆形刀锋腿的半径。

步骤2：机器人本体在地面坐标系下O₀X₀与O₀Y₀方向受到的外力，以及俯仰力矩分别为

其中，R_λx、X_aμ、X_wμ和R_λy、Y_αμ、Y_wμ分别为理想流体惯性力、流体黏性位置力、流体黏性阻尼力在体坐标系OX与OY方向的分量；M_λz、M_αμz和M_wμz分别为理想流体惯性力、流体黏性位置力、流体黏性阻尼力作用于机器人本体产生的俯仰力矩；X_T、Y_T、M_Tz分别为多推进器作用力在体坐标系OX与OY方向的分量以及俯仰力矩。

具体地，理想流体惯性力、流体黏性位置力、流体黏性阻尼力、推进器推力可分别表示如下：

理想流体惯性力在体坐标系中可表示为

其中，λ₁₁和λ₂₂分别为水下机器人本体的前向和纵向附加质量，λ₃₃为水下机器人的侧向附加转动惯量；

为机器人本体的俯仰角速度；v_x和v_y分别为水下机器人本体的速度在OX轴和OY轴的分量，其与在地面坐标系中O₀X₀轴和O₀Y₀轴速度分量

和

的关系可描述为

流体黏性位置力在体坐标系中的分量为

其中，ρ为水的密度，

为水下机器人的速度；S_x和S_y分别为机器人本体在OX和OY方向的横截面积；C_x和C_y分别为以横截面积S_x和S_y为特征面积的阻力因数；

为水下机器人本体的俯仰力矩因数对攻角α的位置导数。

流体黏性阻尼力在体坐标系中的分量为

其中，L为水下机器人本体的长度，

水下机器人升力因数对角速度w_z的旋转导数，

水下机器人俯仰力矩因数对角速度w_z的旋转导数，

为无量纲角速度。

如图1所示，混合型水下六足机器人本体配有六个推进器，六个推进器推力在体坐标系上的投影为

其中，T_i(i＝1,…,6)为第i个推进器的推力值，推力分配矩阵C_t可表示为

虚拟支撑腿在地面坐标系下O₀X₀与O₀Y₀方向受到水动力分别为F_x1和F_y1，其可表示为

其中，k₁和k₂均为大于零的常数。

虚拟支撑腿在地面坐标系下O₀X₀与O₀Y₀方向受到水动力分别为F_x1和F_y1，受到的驱动力矩为

其中，τ_i为第i个腿的驱动力，且规定逆时针为正，

N_i(i＝1,…,6)为水下机器人第i个腿与地面接触时的压力值。

步骤3中水下机器人的拉格朗日函数可表示为

其中，m₀、J₀分别为水下机器人本体的质量和俯仰转动惯量；

分别为水下机器人虚拟支撑腿的质量和相对于虚拟支撑腿髋关节的转动惯量；m_l和J_l分别为支撑腿的质量和相对于支撑腿髋关节的转动惯量；g为重力加速度；B₀和B₁分别为水下机器人本体和虚拟支撑腿的浮力。

具体地，拉格朗日函数可进一步表示为

非有势力对此系统的虚功可表示为

δA＝F_x0δx₀+F_y0δy₀+M_z0δθ+F_x1δx₁+F_y1δy₁+M_z1δq＝T_qδq+T_θδθ

其中，

进一步地，δA可整理为

δA＝T_qδq+T_θδθ

其中，

为作用于机器人虚拟支撑腿旋转通道的外力矩。

求拉格朗日函数L关于θ、q、

和

的偏导数，可得

由拉格朗日方程，可得

其中，Δ_q为有质量摆动腿对水下机器人矢状面虚拟支撑腿旋转通道的不确定性影响，

为作用于机器人本体俯仰通道的外力矩，Δ_θ为有质量摆动腿对水下机器人矢状面机器人本体俯仰通道的不确定性影响,g_j的定义为

g_j＝N_2j-1+N_2j,j＝1,2,3

当g_j＝0时，说明第j组腿均未着地；当g_j≠0时，说明第j组腿中至少有一条腿着地。

因此，可推导水下机器人矢状面动力学模型为

进一步地，水下机器人矢状面动力学模型可整理为

步骤4中利用传感器的历史数据和基于高斯混合模型(GMM)的参数化逼近方法离线估计模型误差函数Δ_q和Δ_θ。

定义数据集D为

其中，

和

分别代表第i(i＝1,…,6)个腿的第n(n＝1,…,N)组关节角度值和角速度值，N为数据总量。

利用K个高斯分布函数来逼近模型误差函数Δ_q和Δ_θ，即可表示为

其中，φ为高斯分布密度函数，

为第j个高斯分布密度函数的权重系数且满足

和

分别为第j个高斯模型的期望和方差，(·)代表变量q或θ。

具体地，利用极大似然原理和采集的数据集来估计K个高斯分布的权重系数、期望和方差，分两步进行迭代：E步，求期望；M步，求极大。

E步：根据当前的

和

计算第k个高斯模型对观测数据x⁽ⁿ⁾的响应度，即后验概率

M步：根据E步中计算的

计算新一轮迭代的模型参数

和

其中，

和

分别为第k个高斯模型的期望和方差，

综上所述，该水下机器人矢状面动力学模型可描述为

由此，以上经过调整的水下机器人动力学模型兼顾准确性和简洁性，即可准确反映水下机器人的运动机理，又能较好地直接用于控制器的设计。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容作出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作任何的简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.一种混合驱动水下机器人动力学模型建立方法，其特征在于：所述动力学模型建立方法包括以下步骤：

步骤1：建立地面坐标系和与水下机器人固连的体坐标系，构建水下机器人虚拟支撑腿模型；

步骤2：计算作用在水下机器人本体和虚拟支撑腿的非有势力，非有势力包括水动力、推进器推力和虚拟支撑腿的驱动力；

步骤3：建立混合驱动水下机器人拉格朗日函数，建立混合驱动水下机器人的动力学模型；

步骤4：基于摆动腿对混合驱动水下机器人动力学模型的影响，调整混合驱动水下机器人的动力学模型；

其中，步骤1中构建水下机器人虚拟支撑腿模型包括：

水下机器人本体的浮心位置(x₀,y₀)、虚拟支撑腿质心位置(x₁,y₁)与虚拟支撑腿的旋转角度q之间关系可表示为：

其中，q₀为虚拟支撑腿的初始旋转角度，r为半圆形刀锋腿的半径；

步骤2中机器人本体在地面坐标系下O₀X₀与O₀Y₀方向受到的外力，以及俯仰力矩分别为：

其中，R_λx、X_aμ、X_wμ和R_λy、Y_αμ、Y_wμ分别为理想流体惯性力、流体黏性位置力、流体黏性阻尼力在体坐标系OX与OY方向的分量；M_λz、M_αμz和M_wμz分别为理想流体惯性力、流体黏性位置力、流体黏性阻尼力作用于机器人本体产生的俯仰力矩；X_T、Y_T、M_Tz分别为多推进器作用力在体坐标系OX与OY方向的分量以及俯仰力矩，θ为水下机器人的俯仰角；

虚拟支撑腿在地面坐标系下O₀X₀与O₀Y₀方向受到水动力分别为F_x1和F_y1，受到的驱动力矩为

其中，τ_i为第i个腿的驱动力，且规定逆时针为正；

N_i为水下机器人第i个腿与地面接触时的压力值，其中，i＝1,…,6；

步骤3中混合驱动水下机器人拉格朗日函数可表示为：

其中，m₀、J₀分别为水下机器人本体的质量和俯仰转动惯量；

分别为水下机器人虚拟支撑腿的质量和相对于虚拟支撑腿髋关节的转动惯量；g为重力加速度；B₀和B₁分别为水下机器人本体和虚拟支撑腿的浮力；

步骤3中混合驱动水下机器人的动力学模型可表示为：

其中，Δ_q为有质量摆动腿对水下机器人矢状面虚拟支撑腿旋转通道的不确定性影响，Δ_θ为有质量摆动腿对水下机器人矢状面机器人本体俯仰通道的不确定性影响,g_j的定义为

g_j＝N_2j-1+N_2j,j＝1,2,3

其中，N_2j-1和N_2j分别为水下机器人第2j-1个和第2j个腿与地面接触时的压力值；

步骤4中基于摆动腿对混合驱动水下机器人动力学模型的影响，调整混合驱动水下机器人的动力学模型包括：

基于高斯混合模型的参数化逼近方法离线估计模型误差函数Δ_q和Δ_θ；

步骤4中调整后的水下机器人的动力学模型可表示为：

其中，λ₁₁和λ₂₂分别为水下机器人的前向和纵向附加质量，λ₃₃为水下机器人的侧向附加转动惯量，ρ为水的密度，

为水下机器人的速度；S_x和S_y分别为机器人本体在OX和OY方向的横截面积；C_x和C_y分别为以横截面积S_x和S_y为特征面积的阻力因数；

为水下机器人本体的俯仰力矩因数对攻角α的位置导数，L为水下机器人本体的长度，

水下机器人升力因数对角速度w_z的旋转导数，

水下机器人俯仰力矩因数对角速度w_z的旋转导数，

为无量纲角速度，T_i为第i个推进器的推力值，其中，i＝1,…,6；l₂为T₂与T₃之间的距离；k₁和k₂均为大于零的常数；K为高斯分布函数的个数，φ为高斯分布密度函数，

为第j个高斯分布密度函数的权重系数且满足

和

分别为第j个高斯模型的期望和方差，(g)代表变量q或θ。

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