CN112149274A - 一种带有死区输入非线性的多轴雕刻机系统在线建模方法 - Google Patents

Abstract

一种带有死区输入非线性的多轴雕刻机系统的在线建模方法，首先利用机理分析将系统建模成带有一个死区非线性块和一个线性动态块相结合的Hammerstein输入非线性系统，并考虑随机噪声的影响下，将确定性系统进一步描写为随机性模型；然后，利用辅助模型得到中间变量的估计值，进一步推导得到带有可变遗忘因子的递归最小二乘算法，实现系统的在线辨识建模。本发明的辨识建模方法框架简单，在线计算量小，且辨识模型精度高利于控制器设计，适用于一类带有死区输入非线性的多轴雕刻机系统，能很好的推广到行业应用中。

Description

一种带有死区输入非线性的多轴雕刻机系统在线建模方法

技术领域

本发明应用于工控系统的系统辨识与建模，涉及一类带有死区输入非线性的多轴雕刻机系统的在线建模方法。

背景技术

随着“中国制造2025”和“工业互联网”概念的相继提出，对多轴雕刻机系统的控制精度和安全性能都提出了更高的要求。以控制和异常检测为导向的多轴雕刻机系统辨识与建模成为学术界和产业界关注的焦点。

多轴雕刻机系统主要由伺服电机、控制器和机械设备等组成，其中对伺服电机的分析是实现多轴雕刻机系统建模的关键。目前市面上的多轴雕刻机系统主要是基于永磁同步电机的，其原因在于永磁同步电机具有结构简单，损耗小、效率高等多方面优势。根据所选择参考系的不同，永磁同步电机的模型一般可分为基于三相静态坐标系 (A-B-C)、基于两相静态坐标系(α-β)和基于两相旋转坐标系(d-q) 三种类型。与前两者相比，后者具有更简单的磁链和电压方程，因此得到了广泛的研究和应用。尽管如此，基于d-q轴坐标系的模型仍然包含大量未知参数，包括电气参数，负载转矩和整个驱动系统的惯性。

目前，基于d-q轴的模型的参数识别可分为两大类：离线测量和在线识别。例如，电枢绕组的电阻和电感分别可以通过电桥和静止频率响应实验得到。然而，由于运动过程中的不确定性、未测扰动和参数摄动，采用离线测量方法得到的参数往往存在较大偏差。对于高精度控制应用场合，已经涌现了许多在线识别方法来实时估计系统的参数，包括基于干扰观测器、基于降阶观测器，基于滑模观测器、基于卡尔曼滤波器和基于递归最小二乘方法等。虽然上述方法能够获得准确、稳健的参数估计，但仍有一些问题需要解决。例如，观测器估计方法需要详细的极点设计和复杂的程序，而卡尔曼滤波的计算量很大。标准递归最小二乘法虽然在线计算量小，但只适用于线性系统的拟合问题。考虑到基于d-q轴坐标系下的永磁同步电机驱动系统可以被视为具有死区输入非线性的Hammerstein系统，因此标准最小二乘方法将不再适用。

发明内容

为了克服现有基于永磁同步电机驱动的多轴雕刻机系统建模方法的不足，本发明提供了一种基于辅助模型和可变遗忘因子的递归最小二乘的带有死区输入非线性的多轴雕刻机系统在线建模方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种带有死区输入非线性的多轴雕刻机系统在线建模方法，所述方法包括以下步骤：

1)在d-q轴坐标系下对系统进行机理分析并得出相应的待辨识参数模型，定义T_e为电磁转矩，由开路气隙磁通密度与合成电枢反应相互作用产生；T_l为空载转矩，由齿槽转矩和轴与轴承之间的摩擦引起，ω_r为永磁同步电动机的电角速度，B为摩擦系数，J为整个系统的惯量，包括永磁同步电动机自身的惯量和耦合负载同步旋转的惯量，系统的力矩平衡方程式表述为，

由于电机的老化和轴承的磨损，空载转矩的变化是不可避免的，因此，将永磁同步电机在不同旋转方向上的空载扭矩定义为两个不相等的常数d₁和d₂，根据公式(1)得到系统的离散时间模型，

(J+B)ω_r(k)-Jω_r(k-1)＝T_m(k-1) (2)

式中，T_m是中间变量，d₁≥0，且d₂≤0，模型中待辨识参数为系统惯量J、摩擦系数B和常数d₁、d₂；

2)将系统的确定性模型进一步描写成随机性模型，考虑系统模型会受到噪声的影响，则公式(2)和(3)系统的确定性模型进一步描写为随机性模型，

式中，v(k)是均值为0且方差为

的高斯白噪声，ω(k)是输出角速度，z^-1是后向移位算子，G(z^-1)表示传递函数，A(z^-1)和B(z^-1)是互质的，{a₁,…,a_n}和{b₁,…,b_n}是系数，根据公式(1)和(2)可知模型的阶次n_a＝n_b＝1。假设系统是满足零初始条件的，即当k＜0时，T_e(k)＝0，ω(k)＝0，且v(k)＝0，此外，F(·)表示死区非线性函数，它的一般形式为，

式中，l₁和l₂是非线性输入函数的线性段斜率，h(x)是指示函数，

3)根据步骤(2)得到的随机性模型，建立辅助模型；

将公式(7)改写成矩阵相乘的形式，

θ_s(k)＝[l₁d₁ l₁ l₂d₂ l₂]^T (12)

结合公式(4)、(5)和(9)，

根据公式(13)，参数向量θ和信息矩阵

被定义为，

式中，n_m＝n_a+4n_b，根据公式(14)和(15)，ω(k)写成线性回归的形式，

然而，在信息矩阵

中包含了未知的中间变量ω_r(k)，使得算法推导难以有效实现，一种有效的方法是建立辅助模型，从而实现对中间变量ω_r(k)的实时估计，

式中，

是参数向量θ的估计值，

是信息矩阵

的估计值，

是中间变量ω_r(k)的估计值；

4)根据步骤3)得到的辅助模型(17)，推导相应的带遗忘因子递归最小二乘方法；

定义预测输出误差e(k)为，

当系统的阶次n_a和n_b由机理分析得到后，参数θ的估计值是通过最小化输出误差的损失函数J(θ)得到的，

式中，λ是用于解决数据饱和的可变遗忘因子，则带有可变遗忘因子的递推最小二乘推导为，

式中，e_s(k)是新息，K(k)是增益矩阵，矩阵P(k)是对称的，

是单位矩阵，λ_min∈[0.95,1]；

5)计算信息矩阵的估计，在公式(11)和(14)中，信息矩阵包含了未知参数d₁和d₂，导致带有可变遗忘因子的递归最小二乘无法顺利进行，为了解决这个问题，采用未知参数估计值

和

作为替代，

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：针对多轴雕刻机系统带有死区输入非线性的特性，利用辅助模型得到中间变量的估计，进一步推导得到带有可变遗忘因子的递归最小二乘算法，从而实现系统的在线建模；建模方法框架简单，且在线计算量小，适用于一类带有死区输入非线性的多轴雕刻机系统，因此能很好的推广到行业应用中。

附图说明

图1是基于辅助模型和可变遗忘因子的递归最小二乘流程图。

图2是带有死区输入非线性的多轴雕刻机系统输入输出模型原理图。

图3是自主设计的三轴雕刻机物理实验平台示意图。

图4是在自主设计的三轴雕刻机物理实验平台采样到的部分输入信号

图5是在自主设计的三轴雕刻机物理实验平台采样到的部分输出信号

图6是模型参数估计的输出误差曲线示意图。

图7是模型的预测输出与真实输出信号的对比图。

具体实施方式

为了使本发明的技术方案、设计思路能更加清晰，下面结合附图在进行详尽的描述。

参照图1～图7，一种带有死区输入非线性的多轴雕刻机系统在线建模方法，包括以下步骤：

1)为了简化对永磁同步电机的分析，建立现实可行的电机模型，做出如下假设：a.忽略磁路饱和、磁滞和涡流的影响，认为电机磁路是线性的，并且可以利用叠加原理进行分析；b.电机的定子绕组是三相对称的，即各绕组轴线在空间中相差120度电角度；c.忽略转子上的阻尼绕组，认为永磁体没有阻尼作用；d.电机定子电势按正弦规律变化，定子电流在气隙中只产生正弦分布的磁势，忽略磁场中的高次谐波磁势；

2)基于步骤1)中的假设条件，在d-q轴坐标系下对系统进行机理分析并得出相应的待辨识参数模型，定义T_e为电磁转矩，由开路气隙磁通密度与合成电枢反应相互作用产生；T_l为空载转矩，由齿槽转矩和轴与轴承之间的摩擦引起，ω_r为永磁同步电动机的电角速度，B 为摩擦系数，J为为整个系统的惯量，包括永磁同步电动机自身的惯量和耦合负载同步旋转的惯量，系统的力矩平衡方程式表述为，

由于电机的老化和轴承的磨损，空载转矩的变化是不可避免的，因此，将永磁同步电机在不同旋转方向上的空载扭矩定义为两个不相等的常数d₁和d₂，根据公式(1)得到系统的离散时间模型

(J+B)ω_r(k)-Jω_r(k-1)＝T_m(k-1) (2)

式中，T_m是中间变量，d₁≥0，且d₂≤0，模型中待辨识参数为系统惯量J、摩擦系数B和常数d₁、d₂；

3)将系统的确定性模型进一步描写成随机性模型，如图1所示，对于给定的带有死区输入非线性的多轴雕刻机系统S，定义其输入目标转矩为τ(k)，电机的输出角速度为ω(k)，τ_m和ω_m都是中间变量，考虑系统模型会受到噪声的影响，则公式(2)和(3)系统的确定性模型进一步描写为随机性模型，

式中，v(k)是均值为0且方差为

的高斯白噪声，z^-1是后向移位算子，G(z^-1)表示传递函数，A(z^-1)和B(z^-1)是互质的，{a₁,…,a_n}和 {b₁,…,b_n}是系数，根据公式(1)和(2)可知模型的阶次n_a＝n_b＝1。假设系统是满足零初始条件的，即当k＜0时，T_e(k)＝0，ω(k)＝0，且v(k)＝0，此外，F(·)表示死区非线性函数，它的一般形式为，

式中，l₁和l₂是非线性输入函数的线性段斜率，h(x)是指示函数，

4)根据步骤3)得到的随机性模型，建立辅助模型；

将公式(7)改写成矩阵相乘的形式，

θ_s(k)＝[l₁d₁ l₁ l₂d₂ l₂]^T (12)

结合公式(4)、(5)和(9)，

根据公式(13)，参数向量θ和信息矩阵

被定义为，

式中，n_m＝n_a+4n_b，根据公式(14)和(15)，ω(k)写成线性回归的形式，

然而，在信息矩阵

中包含了未知的中间变量ω_m(k)，使得算法推导难以有效实现，一种有效的方法是建立辅助模型，从而实现对中间变量ω_m(k)的实时估计，

式中，

是参数向量θ的估计值，

是信息矩阵

的估计值，

是中间变量ω_r(k)的估计值；

5)根据步骤4)得到的辅助模型(17)，推导相应的带遗忘因子递归最小二乘方法；

定义预测输出误差e(k)为，

当系统的阶次n_a和n_b由机理分析得到后，参数θ的估计值是通过最小化输出误差的损失函数J(θ)得到的，

式中，λ是用于解决数据饱和的可变遗忘因子，则带有可变遗忘因子的递推最小二乘推导为，

式中，e_s(k)是新息，K(k)是增益矩阵，矩阵P(k)是对称的，

是单位矩阵，λ_min∈[0.95,1]；

6)计算信息矩阵的估计，在公式(11)和(14)中，信息矩阵包含了未知参数d₁和d₂，导致带有可变遗忘因子的递归最小二乘无法顺利进行。为了解决这个问题，采用未知参数估计值

和

作为替代，

为验证所提方法的有效性，本发明在三轴的雕刻机平台上进行了实验验证。如图3所示，物理平台主要包含机械设备、通信接口和人机交互界面三个组成部分。机械设备由3个机械特性相同的伺服电机、配套的伺服驱动器和模具组成。伺服驱动器向开发人员提供了三种不同的控制模式以适应不同的工作任务。其中，死区特性存在与电流环控制模式(力矩控制模式)。为了实时采集电机信息，采用基于嵌入式系统的接口设备作为信号中继站。电机的物理信息，包括位置、速度和扭矩，将被内置于伺服驱动器的传感器以固定频率采样，并使用 CANopen协议发送到接口板。接口板和PC之间的数据传输是由事件触发的，也就是说，接口板一旦接收到来自伺服驱动器的数据，就将数据转发给PC。此外，人机界面是基于PyQt5开发的，用于辅助实验人员对实验平台的参数进行配置、调整和状态监控。

验证实验的具体操作步骤为：

首先在电流环控制模式下输入持续激励信号，需要注意的是系统的输入是存储在寄存器中的目标转矩(单位：千分之一额定转矩)

激励信号是由不同频率α_i和振幅f_i的三角波组成的复合信号，[α₁,…,α₅]＝[10,10,20,30,40]，[f₁,…,f₅]＝[0.15,0.25,0.5,1,3]，项数M＝5。

其次，在上述持续激励信号输入下(即公式(29))，获取平台的输入输出数据，构建模型辨识的训练集和验证集。由于输入是先验已知的，因此唯一需要采样的信号是电机的输出角速度ω(k)(单位：弧度每秒，rad/s)。图4显示了在100Hz采样频率下获得的部分输入输出数据。最终的训练集和验证集按照等比例分成训练集和验证集。

然后，在采样得到的训练集上利用所提算法，即公式(22)-(28)进行建模。基于辅助模型和可变遗忘因子的递归最小二乘法选取的初始参数为：P(0)＝10⁵I_5×5，

λ(0)＝1，λ_min＝0.96。绝对误差积分准则(IAE)给出了输出估计误差的定量评价，

式中，Score_IAE表示算法的IAE得分，N表示数据长度。

θ＝[-0.9144,7.1261,0.3685,-5.8528,0.2944]是在物理平台上进行25次蒙特卡罗实验后得到的模型估计参数的均值。模型参数估计的输出误差曲线如图5所示，它是以迭代次数为横坐标，以IAE得分和IAE得分的导数为纵坐标的趋势图。IAE得分的导数用于评价所提算法的收敛性。从图5中不难发现，所提算法收敛速度快，当迭代次数k＞8000时，所提算法的IAE得分的导数已经小于5×10^-3，意味着算法收敛。

最后，在采样得到的测试集上利用所得到的模型参数预测模型输出。图6是由实际采样得到的输出角速度信号(测试集)与基于所提算法得到的估计模型预测输出构成的对比图。从图6中可以看出模型的预测输出与真实输出信号拟合程度较高，算法的有效性得以验证。

Claims (1)

1.一种带有死区输入非线性的多轴雕刻机系统的在线建模方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

1)在d-q轴坐标系下对系统进行机理分析并得出相应的待辨识参数模型，定义T_e为电磁转矩，由开路气隙磁通密度与合成电枢反应相互作用产生；T_l为空载转矩，由齿槽转矩和轴与轴承之间的摩擦引起，ω_r为永磁同步电动机的电角速度，B为摩擦系数，J为整个系统的惯量，包括永磁同步电动机自身的惯量和耦合负载同步旋转的惯量，系统的力矩平衡方程式表述为，

由于电机的老化和轴承的磨损，空载转矩的变化是不可避免的，因此，将永磁同步电机在不同旋转方向上的空载扭矩定义为两个不相等的常数d₁和d₂，根据公式(1)得到系统的离散时间模型，

(J+B)ω_r(k)-Jω_r(k-1)＝T_m(k-1) (2)

式中，T_m是中间变量，d₁≥0，且d₂≤0，模型中待辨识参数为系统惯量J、摩擦系数B和常数d₁、d₂；

2)将系统的确定性模型进一步描写成随机性模型，考虑系统模型会受到噪声的影响，则公式(2)和(3)系统的确定性模型进一步描写为随机性模型，

式中，v(k)是均值为0且方差为

的高斯白噪声，ω(k)是输出角速度，z^-1是后向移位算子，G(z^-1)表示传递函数，A(z^-1)和B(z^-1)是互质的，{a₁,L,a_n}和{b₁,L,b_n}是系数，根据公式(1)和(2)知模型的阶次n_a＝n_b＝1，假设系统是满足零初始条件的，即当k＜0时，T_e(k)＝0，ω(k)＝0，且v(k)＝0，此外，F(g)表示死区非线性函数，它的一般形式为，

式中，l₁和l₂是非线性输入函数的线性段斜率，h(x)是指示函数，

3)根据步骤(2)得到的随机性模型，建立辅助模型；

将公式(7)改写成矩阵相乘的形式，

θ_s(k)＝[l₁d₁ l₁ l₂d₂ l₂]^T (12)

结合公式(4)、(5)和(9)，

根据公式(13)，参数向量θ和信息矩阵

被定义为，

式中，n_m＝n_a+4n_b，根据公式(14)和(15)，ω(k)写成线性回归的形式，

然而，在信息矩阵

中包含了未知的中间变量ω_r(k)，使得算法推导难以有效实现，一种有效的方法是建立辅助模型，从而实现对中间变量ω_r(k)的实时估计，

式中，

是参数向量θ的估计值，

是信息矩阵

的估计值，

是中间变量ω_r(k)的估计值；

4)根据步骤3)得到的辅助模型(17)，推导相应的带遗忘因子递归最小二乘方法；

定义预测输出误差e(k)为，

当系统的阶次n_a和n_b由机理分析得到后，参数θ的估计值是通过最小化输出误差的损失函数J(θ)得到的，

式中，λ是用于解决数据饱和的可变遗忘因子，则带有可变遗忘因子的递推最小二乘推导为，

式中，e_s(k)是新息，K(k)是增益矩阵，矩阵P(k)是对称的，

是单位矩阵，λ_min∈[0.95,1]；

5)计算信息矩阵的估计，在公式(11)和(14)中，信息矩阵包含了未知参数d₁和d₂，导致带有可变遗忘因子的递归最小二乘无法顺利进行，为了解决这个问题，采用未知参数估计值

和

作为替代，

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