CN112084693B - 一种循环对称结构中裂纹损伤的定量识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种循环对称结构中裂纹损伤的定量识别方法。采用有限元建模方法构建多种具有不同深度和位置的裂纹损伤的循环对称结构的有限元分析模型，通过对模型进行特征值分析，计算频率分裂指标并对其进行曲面拟合，建立各节径频率分裂指标与裂纹深度和扇区角间的函数关系。通过比较一到四节径频率分裂指标与其对应的固有频率之比，实现对裂纹损伤的定性识别。针对有裂纹的结构，采用二节径与三节径模态振型中节径线的交点识别裂纹的位置，并通过实测结构的二节径与三节径频率分裂指标值，识别裂纹的深度。本发明可为循环对称结构裂纹损伤的定量识别提供有效手段。

Description

一种循环对称结构中裂纹损伤的定量识别方法

技术领域

本发明属于结构动态测试与损伤识别领域，更具体地说是涉及一种循环对称结构中裂纹损伤的定量识别方法。

背景技术

循环对称结构是一类广泛应用于机械与土木工程等领域的重要结构，如齿轮传动系统中的齿轮、航空发动机中的叶盘、离心压缩机中的叶轮、风力发电机中的风车等。循环对称结构常常工作在高速、高温、高压、疲劳、腐蚀等恶劣环境下，长期承受着交变载荷的作用，容易在结构的薄弱环节萌生疲劳裂纹。

裂纹是循环对称结构中的常见故障，由于交变载荷的作用，裂纹常常出现在沿径线方向，针对径向分布的裂纹损伤的有效识别对于确保循环对称结构的安全性具有重要意义。

由于裂纹损伤具有难发现、易扩展、强破坏的特点，若不能及时发现裂纹损伤，轻则影响设备正常工作，重则会造成机毁人亡的严重事故。鉴于裂纹损伤的严重后果，在过去的几十年中，国内外专家学者针对不同领域、不同类型结构的裂纹损伤问题通过研究取得了一定的成果。但是，这些关于裂纹损伤的研究主要集中于转子、梁、板、壳等相对简单结构上，迄今仍未有针对循环对称结构的裂纹损伤识别方法的公开报导。

现有技术中，关于结构裂纹损伤识别应用较为广泛的是基于固有频率信息的方法，是直接通过固有频率的偏移来识别裂纹的有无及裂纹的大小，但这种方法难以识别小裂纹，且容易受到外部信息的干扰，往往只能识别较为严重的裂纹损伤；另有基于模态振型信息的方法，但仅仅被用于识别裂纹的位置。

发明内容

本发明是为避免现有技术所存在的不足，提供一种循环对称结构中裂纹损伤的定量识别方法，通过充分利用循环对称结构的独特结构特征，构建节径频率分裂指标，通过单次测量中的同节径固有频率相对变化来反映裂纹损伤信息，并借助模态振型信息实现裂纹的定位，进而实现对裂纹损伤的定量识别。

本发明为解决技术问题采用如下技术方案：

本发明循环对称结构中裂纹损伤的定量识别方法的特点是：

所述裂纹为循环对称结构中自外圆周起指向中心的径向裂纹；

将所述循环对称结构划分为多个扇区，所述扇区为循环对称结构中的最小对称单元；

由裂纹深度和裂纹位置表征裂纹损伤情形，所述裂纹深度是指裂纹在沿径向上的长度；所述裂纹位置由扇区角进行表征；所述扇区角是指裂纹所处径线与裂纹所在扇区的扇区右侧边界径线之间的夹角；；

所述定量识别方法是按如下步骤进行：

步骤1、构建频率分裂指标与裂纹深度d和扇区角θ间的函数关系S_i(d,θ)

采用有限元建模方法构建包含有设定系列的裂纹损伤情形的循环对称结构的有限元分析模型；对于所述有限元分析模型进行特征值分析，获得与每一种裂纹损伤情形一一对应的第一节径到第四节径的各节径固有频率对，每一节径固有频率对均有两个固有频率值；针对每一种裂纹损伤情形，计算获得一一对应的各节径频率分裂指标，所述节径频率分裂指标为对应节径固有频率对中两个固有频率值的差值；利用计算获得的各节径频率分裂指标，通过曲面拟合法得到各节径频率分裂指标与裂纹深度d和扇区角θ之间的函数关系S_i(d,θ)，以i表示第i节径，i＝1,2,3,4；即：第1节径函数关系S₁(d,θ)、第2节径函数关系S₂(d,θ)、第3节径函数关系S₃(d,θ)和第4节径函数关系S₄(d,θ)；

步骤2、定性识别裂纹损伤

针对待测循环对称结构，采用锤击法选定任意测点进行测量，获得第一节径到第四节径的各节径固有频率对测量值，以所述各节径固有频率对测量值中两个固有频率值的差值一一对应作为各节径频率分裂指标测量值F_i,i＝1,2,3,4，由式(1)计算获得第一节径到第四节径各节径的比值参数r_i：

式(1)中，f_i ^L为第i节径固有频率对测量值中数值大的一个固有频率值；

若各节径的比值参数r_i均不大于0.1％，判定待测循环对称结构中无裂纹损伤；

若有任一节径的比值参数r_i大于0.1％，判定待测循环对称结构中存在有裂纹损伤；

步骤3、定量识别裂纹损伤

针对存在裂纹损伤的待测循环对称结构，按如下步骤识别裂纹的位置和深度：

步骤3.1：在待测循环对称结构的每个扇区相同位置上各布置一个测点，通过对所有测点进行模态测试分别获得第二节径模态和第三节径模态的模态振型，并获得第二节径和第三节径的各节径固有频率对测试值；根据第二节径和第三节径模态振型中的节径线获得裂纹扇区角，是以第二节径和第三节径模态振型中节径线的交汇点所在的扇区角作为裂纹扇区角θ₀，实现裂纹定位；

步骤3.2：将所述裂纹扇区角θ₀作为已知参数，根据步骤1中建立的第二节径函数关系S₂(d,θ)和第三节径函数关系S₃(d,θ)一一对应获得第二节径频率分裂指标与裂纹深度的一维函数关系以及第三节径频率分裂指标与裂纹深度的一维函数关系/>

以步骤3.1中获得的第二节径固有频率对测试值中两个固有频率值的差值作为第二节径频率分裂指标测试值；并以步骤3.1中获得的第三节径固有频率对测试值中两个固有频率值的差值作为第三节径频率分裂指标测试值；

将所述第二节径频率分裂指标测试值作为已知参数，根据一维函数关系计算获得裂纹深度d₂；并将所述第三节径频率分裂指标测试值作为已知参数，根据一维函数关系/>获得裂纹深度d₃；取d₂与d₃的平均值作为裂纹深度d₀，实现裂纹深度的识别。

本发明循环对称结构中裂纹损伤的定量识别方法的特点也在于按如下方式构建包含有设定系列的裂纹损伤情形的循环对称结构的有限元分析模型：

采用有限元方法对循环对称结构进行离散，按裂纹所在径线将循环对称结构分割为两个子结构，即：子结构G₁和子结构G₂，分别获得子结构G₁和子结构G₂的质量矩阵、刚度矩阵与节点自由度向量；子结构G₁和子结构G₂的公共界面是由裂纹界面与连接界面所构成，根据实际分析的裂纹损伤情形确定所述裂纹界面的大小和形状，连接界面为公共界面除去裂纹界面的部分；

将子结构G₁和子结构G₂的连接界面进行合并，根据连接界面合并后所对应的节点自由度的变换得到自由度变换矩阵T；

将子结构G₁和子结构G₂的质量矩阵按对角线方式排列集成，获得集成质量矩阵M；

将子结构G₁和子结构G₂的刚度矩阵按对角线方式排列集成，获得集成刚度矩阵K；

则有：

所述循环对称结构的有限元分析模型中的质量矩阵为：/>

所述循环对称结构的有限元分析模型中的刚度矩阵为：/>

完成建模。

本发明循环对称结构中裂纹损伤的定量识别方法的特点也在于按如下方法建立各节径频率分裂指标与裂纹深度和位置间的函数关系：

针对所建立的循环对称结构的有限元分析模型进行特征值分析，获得与每一种裂纹损伤情形一一对应的第一节径到第四节径的各节径固有频率对；

对于裂纹深度d_m、扇区角θ_n的裂纹损伤情形，第i节径频率分裂指标为第i节径固有频率对中两个固有频率值的差值，即：裂纹深度d_m、扇区角θ_n的裂纹损伤情形下的第i节径函数关系S_i(d_m,θ_n)为：

S_i(d_m,θ_n)＝f_i ^L(d_m,θ_n)-f_i ^S(d_m,θ_n)；且：f_i ^L(d_m,θ_n)＞f_i ^S(d_m,θ_n)

f_i ^L(d_m,θ_n)和f_i ^S(d_m,θ_n)为第i节径固有频率对中的两个固有频率值；

针对所述设定系列的裂纹损伤情形，裂纹深度d_m为扇区角θ_n均为一系列不同的设定值，

即：m＝1,2,…M；n＝1,2,…N；

M表示共计M种不同的裂纹深度设定值，N表示共计N种不同的扇区角设定值；

针对设定系列的裂纹损伤情形，将各节径频率分裂指标以裂纹深度d_m和扇区角θ_n为自变量进行曲面拟合，完成各节径频率分裂指标与裂纹深度d和扇区角θ之间的二维连接函数关系S_i(d,θ)的建立。

与现有技术比较，本发明有益效果体现在：

1、本发明方法基于单次测试中固有频率信息的相对差值来识别裂纹，对小裂纹敏感，不易受到外部环境的影响；

2、本发明方法综合运用频率信息和模态振型信息，可以实现对循环对称结构裂纹损伤的准确量化和快速定位；

3、本发明方法简单、成本低，便于在实践中使用。

附图说明

图1为本发明中循环对称结构有限元模型示意图；

图2为本发明中测试所采用的测点布置图；

图3为本发明中第二节径模态振型图；

图4为本发明中第三节径模态振型图；

图5为本发明中第二节径频率分裂指标与裂纹深度和扇区角间函数关系图；

图6为本发明中第三节径频率分裂指标与裂纹深度和扇区角间函数关系图；

图7为本发明中第二节径与第三节径频率分裂指标值与裂纹深度的变化曲线图；

图8为本发明中建模过程子结构示意图；

具体实施方式

本实施例是针对循环对称结构中裂纹损伤的定量识别，如图1所示，图1中G表示循环对称结构，C_k表示裂纹，其裂纹C_k为循环对称结构G中自外圆周起指向中心的径向裂纹；将循环对称结构划分为多个扇区，扇区为循环对称结构中的最小对称单元；由裂纹深度和裂纹位置表征裂纹损伤情形，裂纹深度是指裂纹在沿径向上的长度；裂纹位置由扇区角进行表征；扇区角是指裂纹所处径线与裂纹所在扇区的扇区右侧边界径线之间的夹角。

本实施例中的循环对称结构中裂纹损伤的定量识别方法是按如下步骤进行：

步骤1、构建频率分裂指标与裂纹深度d和扇区角θ间的函数关系S_i(d,θ)

采用有限元建模方法构建包含有设定系列的裂纹损伤情形的循环对称结构的有限元分析模型，图1为一循环对称结构的有限元模型；对于有限元分析模型进行特征值分析，具体是求解特征方程其中/>结构的刚度矩阵，/>为结构的质量矩阵，ω表示固有频率，/>表示模态振型，通过该特征方程获得与每一种裂纹损伤情形一一对应的第一节径到第四节径的各节径固有频率对。对于循环对称结构，节径数大于0的固有频率均成对出现，即每一节径固有频率对均有两个固有频率值。

由于裂纹的存在，循环对称结构同节径固有频率对中的两个固有频率会出现逐渐分离的趋势，且分离的大小与裂纹深度d间存在对应关系，因此，可以通过这一分离趋势来识别裂纹的大小；具体实施中，针对每一种裂纹损伤情形，计算获得一一对应的各节径频率分裂指标，节径频率分裂指标为对应节径固有频率对中两个固有频率值的差值。

通过上述分析，可以计算得到不同裂纹深度d和扇区角θ情形下的各节径频率分裂指标值，利用计算获得的各节径频率分裂指标，通过曲面拟合法得到各节径频率分裂指标与裂纹深度d和扇区角θ之间的函数关系S_i(d,θ)，以i表示第i节径，i＝1,2,3,4，；即：第1节径函数关系S₁(d,θ)、第2节径函数关系S₂(d,θ)、第3节径函数关系S₃(d,θ)和第4节径函数关系S₄(d,θ)。

步骤2、定性识别裂纹损伤

针对待测循环对称结构，如图2所示，图2中C_d表示测点，图2中测点C_d标注在结构外圆周上，实际测量中测点C_d可以布置在结构的其它任意区域；在此步骤中，只需选择一个测点，采用锤击法进行测试，通过在测点附近区域布置振动传感器，获得结构的频响函数信息，进而通过频响函数的共振峰位置，获得第一节径到第四节径的各节径固有频率对测量值，以各节径固有频率对测量值中两个固有频率值的差值一一对应作为各节径频率分裂指标测量值F_i,i＝1,2,3,4，即F_i＝f_i ^L-f_i ^S，式中f_i ^L和f_i ^S为第i节径固有频率对测量值中的两个固有频率值，且f_i ^L≥f_i ^S；由式(1)计算获得第一节径到第四节径各节径的比值参数r_i：

若各节径的比值参数r_i均不大于0.1％，判定待测循环对称结构中无裂纹损伤；

若有任一节径的比值参数r_i大于0.1％，判定待测循环对称结构中存在有裂纹损伤；

步骤3、定量识别裂纹损伤

针对存在裂纹损伤的待测循环对称结构，按如下步骤识别裂纹的位置和深度：

步骤3.1：在待测循环对称结构的每个扇区相同位置上各布置一个测点，如图2所示的测点C_d标在结构外圆周上，实际测量中测点C_d可以布置在结构的其它区域；在本步骤中，各个扇区均需布置测点，且各个测点在各个扇区中的相对位置应相同；在实际测试中，测点布置不可避免存在偏差，此时应保证各测点在各个扇区中的径向相对位置的偏差不大于结构最大半径的0.1％，各测点在各个扇区中的周向相对位置的偏差不大于1°；

针对所有测点，依次采用锤击法进行敲击，同时测量每次敲击后结构的频响函数，进而得到各阶固有频率测量值，通过各个测点的在多个谐振峰位置处的相位信息，可得到结构的各阶模态振型；通过该模态测试方法分别获得第二节径模态和第三节径模态的模态振型，并获得第二节径和第三节径的各节径固有频率对测试值；

裂纹的存在会导致结构模态振型的畸变，且各节径模态振型对中至少有一个模态振型的节径线通过裂纹所在位置，如图3与图4所示，图3中M₂表示图1中所示结构在具有12cm深度裂纹时的一个二节径模态振型图，图4中M₃表示图1中所示结构在具有12cm深度裂纹时的一个三节径模态振型图，如图3和图4中所示，这两个模态振型中深色的节径线均经过裂纹所在位置，因此可以通过不同模态振型的节径线的焦点来确定裂纹的位置；具体实施中，根据第二节径和第三节径模态振型中的节径线获得裂纹扇区角，是以第二节径和第三节径模态振型中节径线的交汇点所在的扇区角作为裂纹扇区角θ₀，实现裂纹定位；

步骤3.2：将裂纹扇区角θ₀作为已知参数，根据步骤1中建立的第二节径函数关系S₂(d,θ)和第三节径函数关系S₃(d,θ)一一对应获得第二节径频率分裂指标与裂纹深度的一维函数关系以及第三节径频率分裂指标与裂纹深度的一维函数关系/>图5中S₂为图1中所示结构的二节径函数关系S₂(d,θ)，图6中S₃为图1中所示结构的三节径函数关系S₃(d,θ)，S₂(d,θ)与S₃(d,θ)均为变量d和θ的二维函数；在已知变量θ的值时，二维函数即退化为一维函数，由此获得一维函数/>和/>图7中所示为扇区角为18°时/>和函数随裂纹深度的变化曲线图，图7中F₂表示函数/>F₃表示函数/>

为确定裂纹的深度，需要利用步骤3.1中测试得到的二节径和三节径固有频率测量值；具体以步骤3.1中获得的第二节径固有频率对测试值中两个固有频率值的差值作为第二节径频率分裂指标测试值；并以步骤3.1中获得的第三节径固有频率对测试值中两个固有频率值的差值作为第三节径频率分裂指标测试值；

裂纹深度可分别由二节径频率分裂指标测试值和函数以及三节径频率分裂指标测试值和/>函数得到，为减小裂纹深度识别的误差，取二者的平均值作为识别得到的裂纹深度；具体实施中，将第二节径频率分裂指标测试值作为已知参数，根据一维函数关系/>计算获得裂纹深度d₂；并将第三节径频率分裂指标测试值作为已知参数，根据一维函数关系/>获得裂纹深度d₃；取d₂与d₃的平均值作为裂纹深度d₀，实现裂纹深度的识别。

对于如图1中所示结构，以裂纹在扇区角为18°的位置为例，若实际测试得到的三节径频率分裂指标为20Hz，则通过函数可得裂纹深度d₃＝30％，根据结构的尺寸参数，可得裂纹深度为8cm；若实际测试得到的二节径频率分裂指标为8Hz，则通过/>函数可得裂纹深度d₂＝28％，根据结构的尺寸参数，可得裂纹深度为7.5cm；取d₂与d₃的平均值为裂纹的深度参数d₀＝(d₂+d₃)/2，即d₀＝7.75cm。

具体实施中，按如下方式构建包含有设定系列的裂纹损伤情形的循环对称结构的有限元分析模型：

采用有限元方法对循环对称结构进行离散，图1所示为某循环对称结构的有限元模型，按裂纹所在径线将循环对称结构分割为两个子结构，如图8所示，即：子结构G₁和子结构G₂，分别获得子结构G₁和子结构G₂的质量矩阵M₁与M₂，刚度矩阵K₁与K₂，节点自由度向量u₁与u₂；子结构G₁和子结构G₂的公共界面是由裂纹界面与连接界面所构成，根据实际分析的裂纹损伤情形确定裂纹界面的大小和形状，连接界面为公共界面除去裂纹界面的部分，且分别以crk和con表示裂纹界面与连接界面，以ins表示模型内部结点；将子结构G₁和子结构G₂的节点自由度向量u₁与u₂按如下方式排列：

将子结构G₁和子结构G₂的连接界面进行合并，即令根据连接界面合并后所对应的节点自由度的变换得到自由度变换矩阵T：

式中，I_crk、I_con、I_ins1和I_ins2均为单位矩阵，0为零矩阵；

将子结构G₁和子结构G₂的质量矩阵按对角线方式排列集成，获得集成质量矩阵M，即

将子结构G₁和子结构G₂的刚度矩阵按对角线方式排列集成，获得集成刚度矩阵K，即

则有：

循环对称结构的有限元分析模型中的质量矩阵为：/>

循环对称结构的有限元分析模型中的刚度矩阵为：/>

完成建模。

按如下方法建立各节径频率分裂指标与裂纹深度和位置间的函数关系：

针对所建立的循环对称结构的有限元分析模型进行特征值分析，具体是求解特征方程其中/>结构的刚度矩阵，/>为结构的质量矩阵，ω表示固有频率，/>表示模态振型，通过该特征方程获得与每一种裂纹损伤情形一一对应的第一节径到第四节径的各节径固有频率对；

对于裂纹深度d_m、扇区角θ_n的裂纹损伤情形，第i节径频率分裂指标为第i节径固有频率对中两个固有频率值的差值，即：裂纹深度d_m、扇区角θ_n的裂纹损伤情形下的第i节径函数关系S_i(d_m,θ_n)为：

S_i(d_m,θ_n)＝f_i ^L(d_m,θ_n)-f_i ^S(d_m,θ_n)；且：f_i ^L(d_m,θ_n)＞f_i ^S(d_m,θ_n)

f_i ^L(d_m,θ_n)和f_i ^S(d_m,θ_n)为第i节径固有频率对中的两个固有频率值；

针对设定系列的裂纹损伤情形，裂纹深度d_m为扇区角θ_n均为一系列不同的设定值，即：m＝1,2,…M；n＝1,2,…N；

M表示共计M种不同的裂纹深度设定值，N表示共计N种不同的扇区角设定值；

针对设定系列的裂纹损伤情形，将各节径频率分裂指标以裂纹深度d_m和扇区角θ_n为自变量进行曲面拟合，完成各节径频率分裂指标与裂纹深度d和扇区角θ之间的二维连接函数关系S_i(d,θ)的建议；在曲面拟合时，可以采用二次、三次或更高次多项式曲面拟合方法，或者采用样条曲面拟合方法，其中优选使用三次及更高次多项式曲面拟合方法。

Claims (1)

1.一种循环对称结构中裂纹损伤的定量识别方法，其特征是：

所述裂纹为循环对称结构中自外圆周起指向中心的径向裂纹；

将所述循环对称结构划分为多个扇区，所述扇区为循环对称结构中的最小对称单元；

由裂纹深度和裂纹位置表征裂纹损伤情形，所述裂纹深度是指裂纹在沿径向上的长度；所述裂纹位置由扇区角进行表征；所述扇区角是指裂纹所处径线与裂纹所在扇区的扇区右侧边界径线之间的夹角；

所述定量识别方法是按如下步骤进行：

步骤1、构建频率分裂指标与裂纹深度d和扇区角θ间的函数关系S_i(d,θ)

采用有限元建模方法构建包含有设定系列的裂纹损伤情形的循环对称结构的有限元分析模型；对于所述有限元分析模型进行特征值分析，获得与每一种裂纹损伤情形一一对应的第一节径到第四节径的各节径固有频率对，每一节径固有频率对均有两个固有频率值；针对每一种裂纹损伤情形，计算获得一一对应的各节径频率分裂指标，所述节径频率分裂指标为对应节径固有频率对中两个固有频率值的差值；利用计算获得的各节径频率分裂指标，通过曲面拟合法得到各节径频率分裂指标与裂纹深度d和扇区角θ之间的函数关系S_i(d,θ)，以i表示第i节径，i＝1,2,3,4；即：第1节径函数关系S₁(d,θ)、第2节径函数关系S₂(d,θ)、第3节径函数关系S₃(d,θ)和第4节径函数关系S₄(d,θ)；

步骤2、定性识别裂纹损伤

针对待测循环对称结构，采用锤击法选定任意测点进行测量，获得第一节径到第四节径的各节径固有频率对测量值，以所述各节径固有频率对测量值中两个固有频率值的差值一一对应作为各节径频率分裂指标测量值F_i,i＝1,2,3,4，由式(1)计算获得第一节径到第四节径各节径的比值参数r_i：

式(1)中，f_i ^L为第i节径固有频率对测量值中数值大的一个固有频率值；

若各节径的比值参数r_i均不大于0.1％，判定待测循环对称结构中无裂纹损伤；

若有任一节径的比值参数r_i大于0.1％，判定待测循环对称结构中存在有裂纹损伤；

步骤3、定量识别裂纹损伤

针对存在裂纹损伤的待测循环对称结构，按如下步骤识别裂纹的位置和深度：

步骤3.1：在待测循环对称结构的每个扇区相同位置上各布置一个测点，通过对所有测点进行模态测试分别获得第二节径模态和第三节径模态的模态振型，并获得第二节径和第三节径的各节径固有频率对测试值；根据第二节径模态和第三节径模态的模态振型中的节径线获得裂纹扇区角，是以第二节径模态和第三节径模态的模态振型中节径线的交汇点所在的扇区角作为裂纹扇区角θ₀，实现裂纹定位；

步骤3.2：将所述裂纹扇区角θ₀作为已知参数，根据步骤1中建立的第二节径函数关系S₂(d,θ)和第三节径函数关系S₃(d,θ)一一对应获得第二节径频率分裂指标与裂纹深度的一维函数关系以及第三节径频率分裂指标与裂纹深度的一维函数关系/>

以步骤3.1中获得的第二节径固有频率对测试值中两个固有频率值的差值作为第二节径频率分裂指标测试值；并以步骤3.1中获得的第三节径固有频率对测试值中两个固有频率值的差值作为第三节径频率分裂指标测试值；

将所述第二节径频率分裂指标测试值作为已知参数，根据一维函数关系计算获得裂纹深度d₂；并将所述第三节径频率分裂指标测试值作为已知参数，根据一维函数关系获得裂纹深度d₃；取d₂与d₃的平均值作为裂纹深度d₀，实现裂纹深度的识别；

按如下方式构建包含有设定系列的裂纹损伤情形的循环对称结构的有限元分析模型：

采用有限元方法对循环对称结构进行离散，按裂纹所在径线将循环对称结构分割为两个子结构，即：子结构G₁和子结构G₂，分别获得子结构G₁和子结构G₂的质量矩阵、刚度矩阵与节点自由度向量；子结构G₁和子结构G₂的公共界面是由裂纹界面与连接界面所构成，根据实际分析的裂纹损伤情形确定所述裂纹界面的大小和形状，连接界面为公共界面除去裂纹界面的部分；

将子结构G₁和子结构G₂的连接界面进行合并，根据连接界面合并后所对应的节点自由度的变换得到自由度变换矩阵T；

将子结构G₁和子结构G₂的质量矩阵按对角线方式排列集成，获得集成质量矩阵M；

将子结构G₁和子结构G₂的刚度矩阵按对角线方式排列集成，获得集成刚度矩阵K；

则有：

所述循环对称结构的有限元分析模型中的质量矩阵为：/>

所述循环对称结构的有限元分析模型中的刚度矩阵为：/>

完成建模；

按如下方法建立各节径频率分裂指标与裂纹深度和位置间的函数关系：

针对所建立的循环对称结构的有限元分析模型进行特征值分析，获得与每一种裂纹损伤情形一一对应的第一节径到第四节径的各节径固有频率对；

对于裂纹深度d_m、扇区角θ_n的裂纹损伤情形，第i节径频率分裂指标为第i节径固有频率对中两个固有频率值的差值，即：裂纹深度d_m、扇区角θ_n的裂纹损伤情形下的第i节径函数关系S_i(d_m,θ_n)为：

S_i(d_m,θ_n)＝f_i ^L(d_m,θ_n)-f_i ^S(d_m,θ_n)；且：f_i ^L(d_m,θ_n)＞f_i ^S(d_m,θ_n)

f_i ^L(d_m,θ_n)和f_i ^S(d_m,θ_n)为第i节径固有频率对中的两个固有频率值；

针对所述设定系列的裂纹损伤情形，裂纹深度d_m为扇区角θ_n均为一系列不同的设定值，

即：m＝1,2,…M；n＝1,2,…N；

M表示共计M种不同的裂纹深度设定值，N表示共计N种不同的扇区角设定值；

针对设定系列的裂纹损伤情形，将各节径频率分裂指标以裂纹深度d_m和扇区角θ_n为自变量进行曲面拟合，完成各节径频率分裂指标与裂纹深度d和扇区角θ之间的二维连接函数关系S_i(d,θ)的建立。