CN112083653A - 一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法，改进了目前的基于微分平坦的自抗扰控制器，首先，利用在不稳定平衡点的雅克比线性化模型的微分平坦特性，可以将雅克比线性化模型转化为两个串联子系统，对每个子系统分别设计自抗扰控制器。并且位于外环的自抗扰控制器通过实时地估计补偿不匹配干扰来调节外环的动态，位于内环的自抗扰控制器通过估计并补偿匹配干扰使得相应的状态跟踪外环生成的虚拟控制量，利用此设计方法能够对不匹配干扰进行有效抑制，从而使得倒立摆系统的控制精度得到明显提高。

Description

一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法
技术领域
本发明属于运动控制技术领域，具体涉及一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法。
背景技术
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。倒立摆系统是欠驱动系统的一个基准系统，通过对倒立摆系统的研究可以启发对类似的高阶系统的控制器设计，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及粳米仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直角度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用、空间机器人以及火箭制导系统和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
当前针对倒立摆系统起摆和稳定问题，众多研究人员提出了各类方法，包括基于能量的方法，变结构控制方法，IDA-PBC(interconnection and damping-passivity-basedcontrol)，反步法以及LQR等。但是，上述方法中大多数方法都需要系统精确的数学模型以及系统状态，这对于实际中的输出反馈情况以及存在明显干扰情况面临可行性和鲁棒性问题。
当多种形式的干扰出现在倒立摆的驱动和非驱动通道时，利用当前现有的基于微分平坦的自抗扰控制器的闭环系统会使其性能变得很差，特别是小车位移的调节和跟踪性能会由于不匹配干扰的影响变得很差。
因此如何对目前的基于微分平坦的自抗扰控制器进行改进来实现对不匹配干扰的有效抑制是本发明中提出的方法所要解决的问题。
发明内容
本发明的技术思路：
本发明提出了一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法，其主要的设计思路为：首先，利用在不稳定平衡点的雅克比线性化模型的微分平坦特性，可以将雅克比线性化模型转化为两个串联子系统，对每个子系统分别设计ADRC(自抗扰控制器)。
位于外环的ADRC通过实时地估计补偿不匹配干扰来调节外环的动态，位于内环的ADRC通过估计并补偿匹配干扰使得相应的状态跟踪外环生成的虚拟控制量。
针对上述存在的问题，本发明旨在提供一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法，为了实现上述目的，本发明所采用的技术方案如下：
一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法，包括以下步骤：
S1：建立待研究的倒立摆系统的动力学方程；
S2：对倒立摆系统动力学方程进行雅克比线性化，并最终得到平坦的倒立摆系统；
S3：将得到的平坦的倒立摆系统分为两个串联的二阶子系统；
S4：分别对两个二阶子系统设计自抗扰控制器。
进一步地，步骤S1中所述的待研究的倒立摆系统的动力学方程为：
Figure BDA0002674043460000035
，其中，m和M分别表示摆杆和小车的质量，g是重力加速度，参数L表示摆杆质心到其与小车交接点之间的距离，I表示摆杆的转动惯量，变量y和θ分别表示小车的位移和摆杆的角位移，θ是以竖直向上方向为零位，顺时针为正，w1和w2分别表示作用在非驱动的摆杆和直接驱动的小车上的干扰力，此外，倒立摆系统只有y和θ可直接测量。
进一步地，步骤S2中的具体操作步骤包括：
S21：在不稳定的平衡点附近对倒立摆非线性模型做雅克比线性化，得出倒立摆雅克比线性化模型表达式为：
Figure BDA0002674043460000031
其中，d1和d2代表非驱动和驱动通道中的总和扰动，包含了外部的未知干扰w1和w2；
S22：倒立摆雅克比线性化模型具有微分平坦特性，平坦输出定义为：
φ＝αθ+βy, (3)，
其中，
Figure BDA0002674043460000032
S23：根据公式(2)和公式(3)，得出θ和y的表达式为：
Figure BDA0002674043460000033
其中，
Figure BDA0002674043460000034
S24：利用得出的θ和y和倒立摆雅克比线性化模型，可得倒立摆的雅克比线性化系统为：
Figure BDA0002674043460000041
其中，
Figure BDA0002674043460000042
S25：定义状态变量x1，x2，x3，x4和ξ2：
x1＝φ，
Figure BDA0002674043460000043
x3＝θ，
Figure BDA0002674043460000044
ξ2＝γξ1+bd2，
其中，φ：是指平坦输出，θ表示摆杆的角位移度；
S26：根据上述参数，将倒立摆系统重写为平坦的倒立摆系统，其表达式为：
Figure BDA0002674043460000045
其中，ξ1不满足匹配条件，同时，ξ2与控制输入作用于相同的通道，代表匹配干扰，x1、x2、x3表示状态变量。
进一步地，步骤S4包括两个具体步骤：
S41：对外部子系统∑1设计自抗扰控制器，其中外部子系统∑1的表达式为：
Figure BDA0002674043460000046
其中，x1、x2、x3表示状态变量；
将该外部子系统设计的自抗扰控制器设为C1，其表达式为：
Figure BDA0002674043460000051
C1包括一个扩张状态观测器用来估计系统的状态以及干扰，以及根据扩张状态观测器的输出设计的虚拟控制输入：uv＝x3；
其中，
Figure BDA0002674043460000052
代表(x1，x2，ξ1)的估计，(r1，r2，r3)是参考信号，满足
Figure BDA0002674043460000053
参数μi，i＝1，2，3需满足矩阵
Figure BDA0002674043460000054
为Hurwitz矩阵，并且参数ki，i＝1，2是需要设计的反馈控制增益；
S42：对内部子系统∑2设计自抗扰控制器，其中内部子系统∑2的表达式为：
Figure BDA0002674043460000055
将内部子系统∑2设计的自抗扰控制器记为C2，其表达式为：
Figure BDA0002674043460000056
其中，
Figure BDA0002674043460000057
是(x3，x4，ξ2)的估计，参数μi，i＝4，5，6需满足
Figure BDA0002674043460000058
为Hurwitz矩阵，同时ki，i＝1，2，3，4使得矩阵
Figure BDA0002674043460000059
为Hurwitz矩阵。
本发明的有益效果是：
针对目前的基于微分平坦的自抗扰控制器存在的问题，本发明提供了一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法，能够有效抑制不匹配干扰对系统的影响，显著提高了倒立摆系统的控制精度。
附图说明
图1为本发明的倒立摆示意图；
图2本发明中将平坦系统分解为两个子系统串联的示意图；
图3实施例中的倒立摆伺服系统；
图4为实施例中小车位移的调节情况；
图5为实施例中摆杆摆角的调节情况。
具体实施方式
为了使本领域的普通技术人员能更好的理解本发明的技术方案，下面结合附图和实施例对本发明的技术方案做进一步的描述。
参考附图1-5提出的一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法，包括以下步骤：
S1：建立待研究的倒立摆系统的动力学方程；
S2：对倒立摆系统动力学方程进行雅克比线性化，并最终得到平坦的倒立摆系统；
S3：将得到的平坦的倒立摆系统分为两个串联的二阶子系统；
S4：分别对两个二阶子系统设计自抗扰控制器。
进一步地，步骤S1中所述的待研究的倒立摆系统的动力学方程为：
Figure BDA0002674043460000061
，其中，m和M分别表示摆杆和小车的质量，g是重力加速度，参数L表示摆杆质心到其与小车交接点之间的距离，I表示摆杆的转动惯量，变量y和θ分别表示小车的位移和摆杆的角位移，θ是以竖直向上方向为零位，顺时针为正，w1和w2分别表示作用在非驱动的摆杆和直接驱动的小车上的干扰力，此外，倒立摆系统只有y和θ可直接测量。
进一步地，由于倒立摆系统的雅克比线性化模型具有微分平坦特性，并且微分平坦输出可物理测量，则步骤S2中的具体操作步骤包括：
S21：在不稳定的平衡点附近对倒立摆非线性模型做雅克比线性化，得出倒立摆雅克比线性化模型表达式为：
Figure BDA0002674043460000071
其中，d1和d2代表非驱动和驱动通道中的总和扰动，包含了外部的未知干扰w1和w2，线性化过程中忽略得高阶项以及未建模动态；
S22：倒立摆雅克比线性化模型具有微分平坦特性，并且平坦输出定义为：
φ＝αθ+βy, (3)，
其中，
Figure BDA0002674043460000072
S23：根据公式(2)和公式(3)，得出θ和y的表达式为：
Figure BDA0002674043460000073
其中，
Figure BDA0002674043460000074
S24：利用得出的θ和y和倒立摆雅克比线性化模型，可得倒立摆的雅克比线性化系统为：
Figure BDA0002674043460000081
其中，
Figure BDA0002674043460000082
S25：定义状态变量x1，x2，x3，x4和ξ2：
x1＝φ，
Figure BDA0002674043460000083
x3＝θ，
Figure BDA0002674043460000084
ξ2＝γξ1+bd2，
其中，φ：是指平坦输出，θ表示摆杆的角位移度；
S26：根据上述参数，将倒立摆系统重写为平坦的倒立摆系统，其表达式为：
Figure BDA0002674043460000085
其中，ξ1不满足匹配条件，同时，ξ2与控制输入作用于相同的通道，代表匹配干扰，x1、x2、x3表示状态变量。
上述得到的平坦的倒立摆系统可以自然地分解为两个串联的二阶子系统∑1和∑2，串联图如附图2所示。并且内部子系统∑2输入为实际的控制u和干扰ξ2，输出为x3，即摆角θ。内部子系统∑2的输出也是外部子系统∑1的虚拟控制输入。外部子系统∑1输入为虚拟控制输入x3和干扰ξ1，输出为x1。
进一步地，步骤S4包括两个具体步骤：
S41：对外部子系统∑1设计自抗扰控制器，其中外部子系统∑1的表达式为：
Figure BDA0002674043460000086
其中，x1、x2、x3表示状态变量；
将该外部子系统设计的自抗扰控制器设为C1，其表达式为：
Figure BDA0002674043460000091
C1包括一个扩张状态观测器(ESO)用来估计系统的状态以及干扰，以及根据ESO的输出设计的虚拟控制输入uv＝x3
其中，
Figure BDA0002674043460000092
代表(x1，x2，ξ1)的估计，(r1，r2，r3)是参考信号，满足
Figure BDA0002674043460000093
参数μi，i＝1，2，3需满足矩阵
Figure BDA0002674043460000094
为Hurwitz矩阵，并且参数ki，i＝1，2是需要设计的反馈控制增益；
S42：对内部子系统∑2设计自抗扰控制器，其中内部子系统∑2的表达式为：
Figure BDA0002674043460000095
将内部子系统∑2设计的自抗扰控制器记为C2，包含一个扩张状态观测器来估计系统的状态以及干扰和实际的控制输入u，其表达式为：
Figure BDA0002674043460000096
其中，
Figure BDA0002674043460000097
是(x3，x4，ξ2)的估计，参数μi，i＝4，5，6需满足
Figure BDA0002674043460000098
为Hurwitz矩阵，同时ki,i＝1,2,3,4使得矩阵
Figure BDA0002674043460000101
为Hurwitz矩阵。
实施例：
为了验证本发明提供的一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法的可行性，在附图3所示的倒立摆系统上进行验证：
基于本文提出的自抗扰控制设计，设定附图3中的倒立摆系统的小车质量为M＝3.19kg，摆杆的质量为m＝0.105kg，L＝0.25m。并且将控制器参数取值为:
Figure BDA0002674043460000102
其中，
Figure BDA0002674043460000103
然后根据初始化的参数，将各参数分别依次代入公式(1)-(10)中在实验中，控制目标是在存在匹配和不匹配干扰的情况下，小车依然可以稳定在原点附近同时摆杆稳定在竖直向上的不稳定的平衡点附近。实验时长为100s，初始阶段人为地将倒立摆的摆杆由初始阶段的竖直向下未知旋转至竖直向上位置附近。实验中，设置当摆角θ小于0.1745rad时，直线电机开始输出推力。大约在50s左右时，我们打开倒立摆系统附近的电风扇，使其工作在常转速，电风扇产生的风力干扰可视为作用于摆杆上的常值干扰。
最终结合附图4-5得出的稳定性实验的实验结果可以看出：在存在匹配和不匹配干扰的情况下，小车位移依然可以调节到零点附近，同时摆杆稳定在竖直向上的位置附近，从结果很明显可以看出该实验结果验证了本发明提供的基于微分平坦自抗扰控制设计方法能够有效地抑制不匹配干扰对系统的影响，提高了倒立摆系统的控制精度，从而验证了的基于微分平坦自抗扰控制设计方法的可实施性。
以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (4)

1.一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：建立待研究的倒立摆系统的动力学方程；
S2：对倒立摆系统动力学方程进行雅克比线性化，并最终得到平坦的倒立摆系统；
S3：将得到的平坦的倒立摆系统分为两个串联的二阶子系统；
S4：分别对两个二阶子系统设计自抗扰控制器。
2.根据权利要求1所述的一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法，其特征在于：步骤S1中所述的待研究的倒立摆系统的动力学方程为：
Figure FDA0002674043450000011
其中，m和M分别表示摆杆和小车的质量，g是重力加速度，参数L表示摆杆质心到其与小车交接点之间的距离，I表示摆杆的转动惯量，变量y和θ分别表示小车的位移和摆杆的角位移，θ是以竖直向上方向为零位，顺时针为正，w1和w2分别表示作用在非驱动的摆杆和直接驱动的小车上的干扰力，此外，倒立摆系统只有y和θ可直接测量。
3.根据权利要求1所述的一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法，其特征在于：步骤S2中的具体操作步骤包括：
S21：在不稳定的平衡点附近对倒立摆非线性模型做雅克比线性化，得出倒立摆雅克比线性化模型表达式为：
Figure FDA0002674043450000021
其中，d1和d2代表非驱动和驱动通道中的总和扰动，包含了外部的未知干扰w1和w2；
S22：倒立摆雅克比线性化模型具有微分平坦特性，平坦输出定义为：
φ＝αθ+βy, (3)，
其中，
Figure FDA0002674043450000022
S23：根据公式(2)和公式(3)，得出θ和y的表达式为：
Figure FDA0002674043450000023
其中，
Figure FDA0002674043450000024
S24：利用得出的θ和y和倒立摆雅克比线性化模型，可得倒立摆的雅克比线性化系统为：
Figure FDA0002674043450000025
其中，
Figure FDA0002674043450000026
u＝F；
S25：定义状态变量x1，x2，x3，x4和ξ2：
x1＝φ,
Figure FDA0002674043450000027
x3＝θ,
Figure FDA0002674043450000028
ξ2＝γξ1+bd2,
其中，φ是指平坦输出，θ表示摆杆的角位移度；
S26：根据上述参数，将倒立摆系统重写为平坦的倒立摆系统，其表达式为：
Figure FDA0002674043450000031
其中，ξ1不满足匹配条件，同时，ξ2与控制输入作用于相同的通道，代表匹配干扰，x1、x2、x3表示状态变量。
4.根据权利要求1所述的一种基于微分平坦的倒立摆系统自抗扰控制设计方法，其特征在于：步骤S4包括两个具体步骤：
S41：对外部子系统Σ1设计自抗扰控制器，其中外部子系统Σ1的表达式为：
Figure FDA0002674043450000032
其中，x1、x2、x3表示状态变量；
将该外部子系统设计的自抗扰控制器设为C1，其表达式为：
Figure FDA0002674043450000033
C1包括一个扩张状态观测器用来估计系统的状态以及干扰，以及根据扩张状态观测器的输出设计的虚拟控制输入：uv＝x3；
其中，
Figure FDA0002674043450000034
代表(x1,x2,ξ1)的估计，(r1,r2,r3)是参考信号，满足
Figure FDA0002674043450000035
参数μi,i＝1,2,3需满足矩阵
Figure FDA0002674043450000036
为Hurwitz矩阵，并且参数ki,i＝1,2是需要设计的反馈控制增益；
S42：对内部子系统Σ2设计自抗扰控制器，其中内部子系统Σ2的表达式为：
Figure FDA0002674043450000041
将内部子系统Σ2设计的自抗扰控制器记为C2，其表达式为：
Figure FDA0002674043450000042
其中，
Figure FDA0002674043450000043
是(x3,x4,ξ2)的估计，参数μi,i＝4,5,6需满足
Figure FDA0002674043450000044
为Hurwitz矩阵，同时ki,i＝1,2,3,4使得矩阵
Figure FDA0002674043450000045
为Hurwitz矩阵。
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CHAO ZHANG等: "On stabilization and disturbance rejection for the inverted pendulum", 《2014 IEEE INTERNATIONAL CONFERENCE ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS (SMC)》 *
M. RAMÍREZ-NERIA等: "Trajectory Tracking for an Inverted Pendulum on a Cart: An Active Disturbance Rejection Control Approach", 《2018 ANNUAL AMERICAN CONTROL CONFERENCE (ACC)》 *
郭一军: "自抗扰控制方法在单级倒立摆摆角控制中的应用", 《天津理工大学学报》 *

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