CN112054782B - 一种lms自适应滤波的可变步长因子构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及数字信号处理领域，具体涉及一种LMS(Least Mean Square，最小均方)自适应滤波的可变步长因子构建方法。本发明包括以下步骤：首先，根据n时刻的输入信号计算n时刻可变步长因子的最大值μ_max，以保证算法稳定；然后，通过变步长公式计算n时刻的步长因子

最后，判断n时刻的步长因子

是否超出n时刻可变步长因子的最大值μ_max，若超出则n时刻的步长因子取μ_max，若未超出，则取

本发明涉及的构建可变步长因子的LMS自适应滤波方法收敛速度快、稳态误差波动幅度小。

Description

一种LMS自适应滤波的可变步长因子构建方法

技术领域

本发明涉及数字信号处理领域，具体涉及一种LMS(Least Mean Square，最小均方)自适应滤波的可变步长因子构建方法。

背景技术

自适应滤波技术作为数字信号处理领域的重要分支之一，经过多年的发展，已经广泛应用于雷达、控制、声纳、导航系统和工业控制等领域。其中应用最广泛的是最小均方自适应滤波算法，即LMS自适应滤波算法。LMS自适应滤波算法是一种搜索算法，它通过对目标函数进行适当的调整，简化了对梯度向量的计算。由于其计算的简单性，LMS自适应滤波算法和其他与之相关的算法已经广泛应用于自适应滤波的各种应用中。

然而，在LMS自适应滤波算法中，步长因子μ的选取直接影响着LMS算法的收敛速度和稳态误差。一般来说，当选取的μ较大时，收敛速度快，但稳态误差高；反之，如果选取的μ较小，那么稳态误差小，但收敛速度会变慢。因此，如何平衡好算法的收敛速度和稳态误差之间的矛盾是LMS自适应滤波算法研究的主要问题(参考文献[1]：Sristi P，Lu W S，Antoniou A.New variable-step size LMS algorithm and its application subbandadaptive filtering for echo cancellation[J].IEEE International Symposium，2012，43(6)：721-724.)。

针对LMS自适应滤波算法收敛速度和稳态误差之间存在的矛盾，许多学者研究了各种LMS自适应滤波的可变步长因子构建方法。叶华等人(参考文献[2]：叶华，吴伯修.变步长自适应滤波算法的研究[J].电子学报，1990，33(4)：63-69.)得到了步长因子μ与输入信号及误差信号的互相关函数成正比的自适应滤波算法；邓江波等人(参考文献[3]：邓江波，侯新国，吴正国.基于箕舌线的变步长LMS自适应算法[J].数据采集与处理，2004，19(3)：282-285.)给出了一个基于箕舌线函数构建步长因子μ的自适应滤波LMS算法；卢炳乾等人(参考文献[4]：卢炳乾，冯存前，龙戈农.一种基于正弦函数的新变步长LMS算法[J].空军工程大学学报，2013，14(2)：47-50.)提出了一个μ和误差信号成正弦函数关系的变步长LMS算法；覃景繁等人(参考文献[5]：覃景繁，欧阳景正.一种新的变步长LMS自适应滤波算法[J].数据采集与处理，1997，28(3)：171-174.)介绍了一种以Sigmoid函数为模型构建μ的SVSLMS算法；李雅林(参考文献[6]：李雅林.自适应滤波LMS算法的研究[D].广东工业大学硕士学位论文，2019年6月：10.)在覃景繁的SVSLMS算法基础上，结合了归一化LMS算法，提出了VSNLMS算法。但以上方法普遍存在收敛速度慢，且当误差较小时，步长波动的幅度过大，容易造成算法不稳定的问题。

综上所述，可变步长因子的LMS自适应滤波方法具有重要研究意义和应用价值，但现有LMS自适应滤波方法中构建可变步长因子存在诸多问题，需要提出一种收敛速度快，且误差较小时步长波动幅度小的LMS自适应滤波可变步长因子构建方法。

发明内容

本发明针对现有研究中变步长LMS自适应滤波算法存在的问题，提供一种LMS自适应滤波的可变步长因子构建方法，该方法在Sigmoid函数的基础上进行改进，结合归一化LMS算法，利用了前后两个时刻的误差，建立步长因子和误差信号的非线性关系，最终效果是在提高收敛速度的同时获得更优的稳态误差。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案为：一种LMS自适应滤波的可变步长因子构建方法，所述方法包括以下步骤：

1)获得LMS自适应滤波器n时刻的输入信号x(n)＝[x(n)，x(n-1)，...，x(n-M+1)]^T，其中N为信号长度，M＞0为LMS自适应滤波器阶数，M为常数，n∈[M，N]；初始化步长因子

其中tr[·]表示求矩阵的迹，即矩阵对角元素的和；

2)构建期望信号d(n)，首先对输入信号进行采样延迟得到x(n+m)，其中m为延迟点数，m∈(0，N)；然后对延迟后的信号求自相关得到r_x(m)；最后将r_x(m)作为期望信号完成d(n)的构建；

3)将n时刻的输入信号x(n)与n时刻的权系数向量w(n)＝[w₁(n)，w₂(n)，...，w_M(n)]^T相乘，权系数向量初始化为w(M)＝[0，0，...，0]^T，得到LMS自适应滤波器n时刻的输出信号值y(n)，y(n)由以下公式计算，

y(n)＝w^T(n)·x(n)

4)将期望信号d(n)与输出信号值y(n)相减，得到n时刻的偏差信号e(n)，e(n)由以下公式计算，

e(n)＝y(n)-d(n)

5)利用n时刻的偏差信号e(n)、步长因子μ(n)以及输入信号x(n)，计算n+1时刻LMS自适应滤波器的权系数向量w(n+1)，w(n+1)由以下公式计算，

w(n+1)＝w(n)+2μ(n)e(n)x(n)

然后利用更新后的w(n+1)计算n+1时刻的输出信号y(n+1)，循环上述步骤，直到均方误差E[e²(n)]小于设定值时结束循环；

其特征在于：

μ(n)为可变步长因子，μ(n)的构建方法如下：

①确定n(n＞M)时刻μ(n)的上界μ_max以保证算法稳定，μ_max由以下公式计算，

②求

由以下公式计算，

式中，α∈(0，2]，β∈[1，3]，

为n时刻输入信号的功率，γ∈(0，1)用来避免

过小而产生过大的μ(n)，从而提高变步长因子的稳定性；

③判断

是否超出上界，若超出上界μ_max，则将上界μ_max设为步长因子的值，μ(n)由以下公式计算，

相对于现有技术，本发明的有益效果如下：本发明在分析传统固定步长LMS自适应滤波算法、基于Sigmoid函数的可变步长因子LMS自适应滤波算法的基础上，结合归一化LMS算法，利用了前后两个时刻的估计误差，建立步长因子和误差信号的非线性关系，提出了一种LMS自适应滤波的可变步长因子构建方法。该方法在误差函数较大时以大步长来获得较快的收敛速度，在误差函数较小时步长函数曲线变化缓慢，克服了Sigmoid函数构建的LMS自适应滤波步长因子在稳态阶段波动幅度大的缺点。

附图说明

图1是本发明LMS自适应滤波可变变步长因子的构建流程图；

图2是α为1时，β取不同值时步长因子与误差的函数模型曲线；1-4分别表示β取0.5、1、1.5、2。

图3是采用不同方法运行500次蒙特卡洛实验得到均方误差的对比图。5表示固定步长方法，6表示SVSLMS变步长方法，7表示本发明方法和8表示VSNLMS变步长方法，

图4是不同方法构建的步长函数随迭代次数变化的曲线图。9表示SVSLMS变步长方法，10表示本发明方法，11表示本VSNLMS变步长方法。

具体实施方式

为了加深对本发明的一种LMS自适应滤波的可变步长因子构建方法的认识和理解，下面结合附图对本发明作更进一步的说明。

本发明的算法流程如图1所示，一种具体实施方式如下：

1)采用幅度为10，频率为0.5rad/s的正弦信号作为原始信号，采用均值为0，方差为1的高斯白噪声作为随机噪声信号，信号长度N为200，将两者相加得到LMS自适应滤波器的输入信号，n时刻的输入信号x(n)的表达式如下式，

x(n)＝[x(n)，x(n-1)，...，x(n-M+1)]^T

其中n∈(M，N]，LMS自适应滤波器的阶数M为20；初始化步长因子

其中tr[·]表示求矩阵的迹，即矩阵对角元素的和；

2)构建期望信号d(n)，首先对输入信号进行采样延迟得到x(n+50)；然后对延迟后的信号求自相关得到r_x(50)；最后将r_x(50)作为期望信号完成d(n)的构建。

3)将n时刻的输入信号x(n)与n时刻的权系数向量w(n)＝[w₁(n)，w₂(n)，...，w_M(n)]^T相乘，权系数向量初始化为w(M)＝[0，0，...，0]^T，得到LMS自适应滤波器n时刻的输出信号值y(n)，y(n)由以下公式计算，

y(n)＝w^T(n)·x(n)

4)将期望信号d(n)与输出信号值y(n)相减，得到n时刻的偏差信号e(n)，e(n)由以下公式计算，

e(n)＝y(n)-d(n)

5)利用n时刻的偏差信号e(n)、步长因子μ(n)以及输入信号x(n)，计算n+1时刻LMS自适应滤波器的权系数向量w(n+1)，w(n+1)由以下公式计算，

w(n+1)＝w(n)+2μ(n)e(n)x(n)

其中，μ(n)为可变步长因子，是关于n时刻的偏差信号e(n)的非线性函数，该非线性函数由Sigmoid函数改进而来，改进的Sigmoid函数计算公式为：

将n、n+1两个时刻偏差信号的乘积e(n)·e(n+1)作为上述函数的自变量，再引入参数α和β调整函数的形状，函数的计算公式变为：

式中，α∈(0，2]，β∈[1，3]。再利用n时刻输入信号的功率

对f(n)进行归一化处理，得到变步长因子μ(n)，μ(n)由以下公式计算，

式中γ∈(0，1)用来避免

过小而产生过大的μ(n)，从而提高变步长因子的稳定性。参数α、β和γ可根据以下标准来确定具体值。

μ(n)的构建方法如下：

①确定n(n＞M)时刻μ(n)的上界μ_max以保证算法稳定，μ_max由以下公式计算，

②求

由以下公式计算，

式中，参数α用来控制曲线的幅度大小，由变步长公式可知，在其他参数给定的情况下，μ(n)与α成正比，较大的α能够加快算法的收敛速度。同时为了保证权系数向量能够收敛，步长因子需满足

由改进后的Sigmoid函数可知，f(x)的值域为[0，1)。因此参数α∈(0，2]。由此可知，参数α决定了步长因子的取值范围，即控制了算法的收敛速度，α越大，算法收敛速度越快，且α不宜过大，过大会导致算法发散。

参数β用来控制曲线底部变化速度，可以避免函数收敛时步长发生较大变化。通过实验得知，β在满足β＞1时，才能使系统在接近收敛时，步长的变化不会造成对稳态失调。总体来看，β越大，模型性能越优。但是另一方面，β取值过大(大于3时)将会导致计算量增加，使系统处理时间变长；此外，过大的β将会使得步长因子在误差还比较大的时候减小到一个较小的值，从而导致系统的收敛速度变慢。因此，综合以上分析，当β∈[1，3]时，该参数可使得在误差较大时步长因子曲线具有更快的收敛速度，而在误差接近零时变化平缓，且模型计算量较小。

γ用来避免输入信号的功率

过小时产生大的步长，从而影响步长函数的稳定性，γ满足γ∈(0，1)。

确定α、β和γ值。由γ的性能可知，可设定γ为一个较小的正数，此处设定γ＝0.1。根据步骤5)可知参数α、β范围分别为α∈(0，2]、β∈[1，3]，而较大的α能够加快算法的收敛速度，此实例取α＝1.8。图2是β分别取0.5、1、1.5、2，α取1时步长因子与误差的函数模型曲线。由图2可知，当误差信号值为2时，图中β为1.5和2的曲线均已达到步长因子的最大值，说明此时的收敛速度最快，有利于快速朝着误差减小的方向变化；在误差逐渐减小为零的过程中，步长因子也逐渐减小为零。但是由于稳态误差也与步长有关，在系统接近收敛时，快速变化的步长对稳态失调会产生较大的影响，这将可能导致较大的振荡。因此在系统接近收敛时，为保证算法性能，要求步长因子缓慢减小为零，β＝0.5不可取。通过以上分析及图2可知，总体来看，β越大，模型性能越优。但是另一方面，β取值太大将会导致计算量增加，使系统处理时间变长。因此，综合以上分析，本实例选定β＝1.5，该参数可使得在误差较大时步长因子曲线具有更快的收敛速度，而在误差接近零时变化平缓，且模型计算量较小。将参数代入变步长函数中，得到

③判断

是否超出上界，若超出上界μ_max，则将上界μ_max设为步长因子的值，μ(n)由以下公式计算，

6)迭代步骤3)至步骤5)使得均方误差E[e²(n)]收敛，收敛条件设为E[e²(n)]＜0.0001，此时权系数向量与滤波器的输入信号的乘积即为所求滤波后的输出信号。

通过对比仿真实验对本发明方法进行进一步的说明，图3是采用本方法和其他几种基于Sigmoid函数的变步长滤波方法以及固定步长方法，运行500次蒙特卡洛实验得到均方误差的对比图，由图3可知，传统固定步长LMS自适应滤波方法收敛于第180次迭代之后，SVSLMS方法收敛于第40次迭代，VSNLMS方法收敛于第20次迭代，本发明方法收敛于第10次迭代。图4是本发明方法和其他两种基于Sigmoid函数的变步长滤波方法的步长函数随迭代次数变化的曲线图，由图4可知，在算法到达稳态前，本发明方法的步长更大，即意味着更快的收敛速度，在达到稳态后，本发明方法的步长波动最小，即本发明方法的稳定性更好。综上所述，与这几种可变步长因子的LMS自适应滤波算法相比，本发明提出的构建可变步长因子的LMS自适应滤波方法综合性能最佳，收敛速度更快，达到稳态后稳定性更好。

Claims (1)

1.一种LMS自适应滤波的可变步长因子构建方法，该方法包括以下步骤：

1)获得LMS自适应滤波器n时刻的输入信号x(n)＝[x(n)，x(n-1)，...，x(n-M+1)]^T，其中N为信号长度，M＞0为LMS自适应滤波器阶数，M为常数，n∈[M，N]；初始化步长因子

其中tr[·]表示求矩阵的迹，即矩阵对角元素的和；

2)构建期望信号d(n)，首先对输入信号进行采样延迟得到x(n+m)，其中m为延迟点数，m∈(0，N)；然后对延迟后的信号求自相关得到r_x(m)；最后将r_x(m)作为期望信号完成d(n)的构建；

3)将n时刻的输入信号x(n)与n时刻的权系数向量w(n)＝[w₁(n)，w₂(n)，...，w_M(n)]^T相乘，权系数向量初始化为w(M)＝[0，0，...，0]^T，得到LMS自适应滤波器n时刻的输出信号值y(n)，y(n)由以下公式计算，

y(n)＝w^T(n)·x(n)

4)将期望信号d(n)与输出信号值y(n)相减，得到n时刻的偏差信号e(n)，e(n)由以下公式计算，

e(n)＝y(n)-d(n)

5)利用n时刻的偏差信号e(n)、步长因子μ(n)以及输入信号x(n)，计算n+1时刻LMS自适应滤波器的权系数向量w(n+1)，w(n+1)由以下公式计算，

w(n+1)＝w(n)+2μ(n)e(n)x(n)

然后利用更新后的w(n+1)计算n+1时刻的输出信号y(n+1)，循环上述步骤，直到均方误差E[e²(n)]小于设定值时结束循环；

其特征在于：

μ(n)为可变步长因子，μ(n)的构建方法如下：

①确定n(n＞M)时刻μ(n)的上界μ_max以保证算法稳定，μ_max由以下公式计算，

②求

由以下公式计算，

式中，α∈(0，2]，β∈[1，3]，

为n时刻输入信号的功率，γ∈(0，1)用来避免

过小而产生过大的μ(n)，从而提高变步长因子的稳定性；

③判断

是否超出上界，若超出上界μ_max，则将上界μ_max设为步长因子的值，μ(n)由以下公式计算，

Images