CN112016143B - 一种梁式桥跨中竖向位移随温度变化的计算方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供一种梁式桥跨中竖向位移随温度变化的计算方法，属于桥梁结构分析与监测技术领域。该方法将主梁在各个支座处的结点转角设为未知量，根据结点的弯矩平衡条件，建立方程，然后引入数列，建立各未知量之间的数量关系，将关系式带入方程，解出各个结点的转角解析公式，再通过叠加原理求出各个结点的弯矩解析公式，最后通过虚功原理求出各跨主梁的跨中竖向位移的解析公式。该方法针对边跨长度相等且跨数任意的等截面梁式桥，给出的解析公式属于精确解，计算方便，通用性强，而且从机理层面揭示了梁式桥在温度变化下的行为规律，可用于指导桥梁监测系统的测点布设，并为温度变形基准模型的建立提供先验知识。

Description

一种梁式桥跨中竖向位移随温度变化的计算方法
技术领域
本发明涉及桥梁结构分析与监测技术领域，特别是指一种梁式桥跨中竖向位移随温度变化的计算方法。
背景技术
简支梁和连续梁是交通运输网络中最常使用的桥梁形式，本发明将其统称为梁式桥。梁式桥的结构变形是桥梁运营期结构健康监测关注的重点，通常由主梁梁端伸缩位移和主梁跨中竖向位移表征。梁式桥的主梁伸缩位移已经得到了很好的研究，可通过一维热胀冷缩公式进行估计。相比之下，针对主梁跨中竖向位移随温度变化的研究要少得多。现场监测表明，桥梁顶面因接受阳光的直接照射，在晴朗的天气条件下会与桥梁底面之间产生明显的竖向温度差，从而影响桥梁在竖直方向的变形甚至改变结构的受力状态。为正确理解梁式桥在温度变化下的行为规律，并为桥梁结构健康监测系统的传感器布设提供理论依据，有必要研究主梁顶、底面之间的温度差与主梁跨中竖向位移的关系。
目前计算梁式桥温度变形的方法主要有两类：一类是基于结构力学原理的理论分析，另一类是基于有限元计算软件的数值模拟。第一类方法通常按照三弯矩方程进行计算。三弯矩方程的应用比较麻烦，而且对于不同跨径布置的结构需要分别进行分析，通用性差。数值模拟也是一个费时费力的过程，不易揭示现象背后的机理，且有一定的技术门槛，难以满足工程师现场应用的需要。关于梁式桥在顶面与底面温度差作用下的跨中竖向位移，至今尚未看到通用性强、形式简单、参数关系清晰的统一计算公式。
发明内容
本发明要解决的技术问题是提供一种梁式桥跨中竖向位移随温度变化的计算方法。
该方法适用于各跨主梁为同种材质的等截面直线桥，且主梁顶面与底面之间的温度差沿桥梁走向处处相等。若桥梁总跨数为奇数，则最中间一跨为主跨，其余为边跨；若桥梁总跨数为偶数，则最中间2跨为主跨，其余为边跨。桥梁主跨长度可以与边跨不同，但所有边跨的长度相等。该方法的计算步骤如下：
(1)将主梁在各个支座处的结点转角设为未知量，根据结点的弯矩平衡条件，建立方程：
当梁式桥的总跨数为奇数时：
Figure GDA0003136091890000021
当梁式桥的总跨数为偶数时：
Figure GDA0003136091890000022
其中：zk、zk+1、zk-1是结点转角未知量，以顺时针转动为正，k是变量的下标，取k＝1,2,…,u，u是未知量的个数，取
Figure GDA0003136091890000023
即取不小于n/2的整数中最小的一个，n是梁式桥的总跨数；因为结构和温度变化具有对称性，所以独立的结点转角未知量个数为u个。
当总跨数n为奇数时，设位于中央的第u跨为主跨，跨长为l1；其余各跨为边跨，长度均为l0；当总跨数n为偶数时，设位于中央的第u和u+1跨为主跨，跨长均为l1；其余各跨为边跨，长度均为l0；
i0和i1分别是边跨和主跨主梁的抗弯线刚度，定义为i0＝(E·I)/l0和i1＝(E·I)/l1，其中，E为主梁材料的弹性模量，I为主梁截面的抗弯惯性矩；
MT是由主梁顶面与底面温度差引起的两端固定梁的固端弯矩，以主梁下缘受拉为正，MT＝(α·ΔT·E·I)/h，其中，α是主梁材料的线膨胀系数；ΔT为主梁顶面与底面之间的温度差，以顶面温度高于底面温度为正；h为截面高度；
在上面的公式中，当u＝1时，则只有式(1-1)、(2-1)有效，且此时的梁式桥只有主跨而没有边跨，可令l0＝l1；当u＝2时，则只有式(1-1)、(1-3)、(2-1)、(2-3)有效；当u≥3时，式(1-1)、(1-2)、(1-3)、(2-1)、(2-2)、(2-3)均有效。
(2)引入数列，建立各个结点转角未知量之间的数量关系：
引入数列{ak}，其通项为
Figure GDA0003136091890000031
其中，常数
Figure GDA0003136091890000032
常数λ对奇数跨梁式桥取
Figure GDA0003136091890000033
对偶数跨梁式桥取
Figure GDA0003136091890000034
ξ为边跨与主跨的长度比，即ξ＝l0/l1；数列{ak}的下标k＝1,2,…,u-1。
借助数列{ak}，zk与zk-1之间的关系可以表示为：
zk＝-au-k+1·zk-1
其中：下标k＝2,3,…,u；
(3)将步骤(2)中变量间的关系式代入步骤(1)中的方程中，解出各个结点转角的解析公式：
Figure GDA0003136091890000035
其中，k＝1,2,…,u；对于奇数跨梁式桥，λ取λ1，且根据对称性可得，z2u+1-k＝-zk；对于偶数跨梁式桥，λ取λ2，且根据对称性可得，z2u+2-k＝-zk，zu+1＝0；
(4)利用步骤(3)的结果，通过叠加原理求出各个结点的弯矩解析公式：
若以使主梁下缘受拉的弯矩为正弯矩，则当梁式桥的总跨数为奇数时，第k个结点的弯矩Mk为
Figure GDA0003136091890000036
此时，k＝1,2,…,u-1；
第u个结点的弯矩Mu为
Figure GDA0003136091890000037
根据对称性，第2u+1-k个结点的弯矩等于第k个结点，即
M2u+1-k＝Mk，此时，k＝1,2,…,u；
当梁式桥的总跨数为偶数时，第k个结点的弯矩Mk为
Figure GDA0003136091890000041
此时，k＝1,2,…,u；
第u+1个结点的弯矩Mu+1为
Figure GDA0003136091890000042
根据对称性，第2u+2-k个结点的弯矩等于第k个结点，即
M2u+2-k＝Mk，此时，k＝1,2,…,u；
(5)利用步骤(4)的结果，通过虚功原理求出各跨主梁的跨中竖向位移的解析公式：
若规定主梁跨中向下运动对应于正位移，则当梁式桥的总跨数为奇数时，第k跨主梁的跨中竖向位移ΔSk为
Figure GDA0003136091890000043
此时，k＝1,2,…,u-1；
第u跨主梁的跨中竖向位移ΔSu为
Figure GDA0003136091890000044
根据对称性，第2u-k跨主梁的跨中竖向位移ΔS2u-k为
ΔS2u-k＝ΔSk，此时，k＝1,2,…,u-1；
当梁式桥的总跨数为偶数时，第k跨主梁的跨中竖向位移ΔSk为
Figure GDA0003136091890000045
此时，k＝1,2,…,u-1；
第u跨主梁的跨中竖向位移ΔSu为
Figure GDA0003136091890000046
根据对称性，第2u+1-k跨主梁的跨中竖向位移ΔS2u+1-k为
ΔS2u+1-k＝ΔSk，此时，k＝1,2,…,u。
上述梁式桥为同种材质的等截面直线桥；主梁顶面与底面之间的温度差沿桥梁走向处处相等；若桥梁总跨数为奇数，则最中间一跨为主跨，其余为边跨；若桥梁总跨数为偶数，则最中间2跨为主跨，其余为边跨；桥梁所有边跨的长度相等。
当梁式桥各跨长度相等时，
奇数跨梁式桥第k跨主梁的跨中竖向位移ΔSk统一写为
Figure GDA0003136091890000051
此时，k＝1,2,…,u；
根据对称性，第2u-k跨主梁的跨中竖向位移ΔS2u-k为
ΔS2u-k＝ΔSk，此时，k＝1,2,…,u-1；
偶数跨梁式桥第k跨主梁的跨中竖向位移ΔSk统一写为
Figure GDA0003136091890000052
此时，k＝1,2,…,u；
根据对称性，第2u+1-k跨主梁的跨中竖向位移ΔS2u+1-k为
ΔS2u+1-k＝ΔSk，此时，k＝1,2,…,u。
当梁式桥各跨长度相等时，
由主梁顶面与底面之间温度差引起的最外侧边跨主梁的跨中竖向位移的变化幅度大于其余各跨，当总跨数n增多时，最外侧边跨主梁的跨中竖向位移趋近于极限值
Figure GDA0003136091890000053
Figure GDA0003136091890000054
由主梁顶面与底面之间温度差引起的中间跨主梁的跨中竖向位移的变化幅度小于其余各跨，当总跨数n增多时，中间跨主梁的跨中竖向位移趋近于0。
本发明的上述技术方案的有益效果如下：
上述方案中，给出了任意跨梁式桥跨中竖向位移随主梁顶面与底面温度差变化的统一计算公式，利用计算器便可方便地得到精确计算结果，通用性强，易于进行参数分析。本方法避免了繁琐的结构力学分析，也避免了有限元数值模拟，非常适用于现场匡算和测试结果检核，具有明显的实际应用价值。更重要的是，基于本方法得到的计算公式，可以得到梁式桥内力和变形随温度变化的普遍性规律，并可发现温度变形随梁式桥跨数增多时的极限值，具有明确的理论意义。另外，本方法所得结果可用于指导梁式桥结构健康监测系统的测点布设，并为温度变形基准模型的建立提供先验知识。
附图说明
图1为本发明实施例中奇数跨梁式桥的分析模型；
图2为本发明实施例中偶数跨梁式桥的分析模型。
具体实施方式
为使本发明要解决的技术问题、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图及具体实施例进行详细描述。
本发明提供一种梁式桥跨中竖向位移随温度变化的计算方法。
该方法包括步骤如下：
(1)将主梁在各个支座处的结点转角设为未知量，根据结点的弯矩平衡条件，建立方程：
当梁式桥的总跨数为奇数时：
Figure GDA0003136091890000061
当梁式桥的总跨数为偶数时：
Figure GDA0003136091890000062
其中：zk、zk+1、zk-1是结点转角未知量，以顺时针转动为正，k是变量的下标，取k＝1,2,…,u，u是未知量的个数，取
Figure GDA0003136091890000063
即取不小于n/2的整数中最小的一个，n是梁式桥的总跨数；
当总跨数n为奇数时，设位于中央的第u跨为主跨，跨长为l1；其余各跨为边跨，长度均为l0；当总跨数n为偶数时，设位于中央的第u和u+1跨为主跨，跨长均为l1；其余各跨为边跨，长度均为l0；
i0和i1分别是边跨和主跨主梁的抗弯线刚度，定义为i0＝(E·I)/l0和i1＝(E·I)/l1，其中，E为主梁材料的弹性模量，I为主梁截面的抗弯惯性矩；
MT是由主梁顶面与底面温度差引起的两端固定梁的固端弯矩，以主梁下缘受拉为正，MT＝(α·ΔT·E·I)/h，其中，α是主梁材料的线膨胀系数；ΔT为主梁顶面与底面之间的温度差，以顶面温度高于底面温度为正；h为截面高度；
(2)引入数列，建立各个结点转角未知量之间的数量关系：
引入数列{ak}，其通项为
Figure GDA0003136091890000071
其中，常数
Figure GDA0003136091890000072
常数λ对奇数跨梁式桥取
Figure GDA0003136091890000073
对偶数跨梁式桥取
Figure GDA0003136091890000074
ξ为边跨与主跨的长度比，即ξ＝l0/l1；数列{ak}的下标k＝1,2,…,u-1。
借助数列{ak}，zk与zk-1之间的关系可以表示为：
zk＝-au-k+1·zk-1
其中：下标k＝2,3,…,u；
(3)将步骤(2)中变量间的关系式代入步骤(1)中的方程中，解出各个结点转角的解析公式：
Figure GDA0003136091890000075
其中，k＝1,2,…,u；对于奇数跨梁式桥，λ取λ1，且根据对称性可得，z2u+1-k＝-zk；对于偶数跨梁式桥，λ取λ2，且根据对称性可得，z2u+2-k＝-zk，zu+1＝0；
(4)利用步骤(3)的结果，通过叠加原理求出各个结点的弯矩解析公式：
若以使主梁下缘受拉的弯矩为正弯矩，则当梁式桥的总跨数为奇数时，第k个结点的弯矩Mk为
Figure GDA0003136091890000076
此时，k＝1,2,…,u-1；
第u个结点的弯矩Mu为
Figure GDA0003136091890000077
根据对称性，第2u+1-k个结点的弯矩等于第k个结点，即
M2u+1-k＝Mk，此时，k＝1,2,…,u；
当梁式桥的总跨数为偶数时，第k个结点的弯矩Mk为
Figure GDA0003136091890000081
此时，k＝1,2,…,u；
第u+1个结点的弯矩Mu+1为
Figure GDA0003136091890000082
根据对称性，第2u+2-k个结点的弯矩等于第k个结点，即
M2u+2-k＝Mk，此时，k＝1,2,…,u；
(5)利用步骤(4)的结果，通过虚功原理求出各跨主梁的跨中竖向位移的解析公式：
若规定主梁跨中向下运动对应于正位移，则当梁式桥的总跨数为奇数时，第k跨主梁的跨中竖向位移ΔSk为
Figure GDA0003136091890000083
此时，k＝1,2,…,u-1；
第u跨主梁的跨中竖向位移ΔSu为
Figure GDA0003136091890000084
根据对称性，第2u-k跨主梁的跨中竖向位移ΔS2u-k为
ΔS2u-k＝ΔSk，此时，k＝1,2,…,u-1；
当梁式桥的总跨数为偶数时，第k跨主梁的跨中竖向位移ΔSk为
Figure GDA0003136091890000085
此时，k＝1,2,…,u-1；
第u跨主梁的跨中竖向位移ΔSu为
Figure GDA0003136091890000086
根据对称性，第2u+1-k跨主梁的跨中竖向位移ΔS2u+1-k为
ΔS2u+1-k＝ΔSk，此时，k＝1,2,…,u。
在具体应用中，步骤(1)中以主梁在各个支座处的结点转角为未知量，建立结点弯矩平衡方程的推导具体为：
对于附图1中的奇数跨梁式桥分析模型，总跨数为n＝2·u-1，其中整数u≥1，并可记为
Figure GDA0003136091890000091
(即取不小于n/2的整数中最小的一个)。设第u跨为主跨，长度为l1，其余各跨为边跨，长度均为l0。记边跨和主跨主梁的抗弯线刚度分别为i0和i1，其中i0＝(E·I)/l0，i1＝(E·I)/l1。其中，E为主梁材料的弹性模量，I为主梁截面的抗弯惯性矩。主梁截面的高度为h，主梁顶面与底面之间的温度差为ΔT，主梁材料的线膨胀系数为α。若引入边跨与主跨的长度比ξ＝l0/l1，则i1＝i0ξ。
根据结构力学的转角位移方程，可以写出主梁在每个结点处的弯矩平衡方程。对于结点1，有：
4i0·z1+2i0·z2+MT＝0 (1)
其中MT为两端固定单跨梁由顶面与底面温度差引起的固端弯矩，若以主梁下缘受拉为正，则查表可得
Figure GDA0003136091890000092
对于结点k＝2,3,…,u-1，同样可以列出弯矩平衡方程：
2i0·zk-1+8i0·zk+2i0·zk+1＝0 (3)
对于结点u，弯矩平衡方程为：
2i0·zu-1+(4i0+4i1)·zu+2i1·zu+1＝0 (4)
由于结构和温度作用存在对称性，所以zk＝-z2u+1-k，其中k＝1,2,…,u，因此式(4)成为：
2i0·zu-1+(4i0+2i1)·zu＝0 (5)
同时，对结点k＝u+1,u+2,…,2u处列写的弯矩平衡方程与式(1)、(3)、(5)等效，因此独立的结点转角未知量个数为u个。
同理，对于附图2中的偶数跨梁式桥分析模型，总跨数为n＝2·u，其中整数u≥1。设位于中央的第u和u+1跨为主跨，跨长均为l1；其余各跨为边跨，长度均为l0。根据结构力学的转角位移方程，结点1处主梁的弯矩平衡方程与式(1)相同，结点k＝2,3,…,u-1处的弯矩平衡方程与式(3)相同，结点u处的弯矩平衡方程为：
2i0·zu-1+(4i0+4i1)·zu+2i1·zu+1＝0 (6)
由于结构和温度作用存在对称性，所以zk＝-z2u+2-k，其中k＝1,2,…,u，且zu+1＝0。因此式(6)成为：
2i0·zu-1+(4i0+4i1)·zu＝0 (7)
同时，对结点k＝u+1处列写的弯矩平衡方程为恒等式，对结点k＝u+2,u+3,…,2u+1处列写的弯矩平衡方程与对结点k＝1,2,…,u处列写的平衡方程等效，因此独立的结点转角未知量个数仍为u个。
在上面的推导中，当u＝1时，则只有式(1)有效，且此时只有主跨而没有边跨，可令l0＝l1；当u＝2时，则只有式(1)、(5)或式(1)、(7)有效；当u≥3时，以上各式均有效。
步骤(2)中引入数列，建立各个结点转角未知量之间的数量关系的推导具体为：
对奇数跨梁式桥的情况，由式(5)可得
Figure GDA0003136091890000101
令a1＝1/(2+ξ)，并将zu＝-a1·zu-1代入式(3)，可得zk与zk-1之间的关系(k＝u-1,u-2,…,2)：
zk＝-au-k+1·zk-1 (9)
其中数列ak(k＝2,3,…,u-1)满足：
Figure GDA0003136091890000102
式(10)两边同时减去常数
Figure GDA0003136091890000103
即
Figure GDA0003136091890000104
对式(11)右边做恒等变形：
Figure GDA0003136091890000105
令分子中
Figure GDA0003136091890000106
可得
Figure GDA0003136091890000107
根据式(11)可得到如下两式：
Figure GDA0003136091890000111
Figure GDA0003136091890000112
上面两式相除可得：
Figure GDA0003136091890000113
因此数列
Figure GDA0003136091890000114
是以
Figure GDA0003136091890000115
为公比的等比数列，首项为
Figure GDA0003136091890000116
因此
Figure GDA0003136091890000117
在已知a1＝1/(2+ξ)时，可根据式(16)求出ak的表达式(k＝1,2,…,u-1)：
Figure GDA0003136091890000118
式中常数
Figure GDA0003136091890000119
对偶数跨梁式桥的情况，由式(7)可得
Figure GDA00031360918900001110
此时令a1＝1/(2+2ξ)，其余推导过程与奇数跨梁式桥相同，则zk与zk-1之间仍然满足式(9)的关系式，其中ak的表达式(k＝1,2,…,u-1)式(17)仍然适用，只需将λ＝λ1修改为
Figure GDA00031360918900001111
步骤(3)将步骤(2)中变量间的关系式代入步骤(1)中的方程中，解出各个结点转角的解析公式。具体为：
根据式(17)中ak的通项可知：
Figure GDA00031360918900001112
将z2＝-au-1·z1代入式(1)可以解出z1：
Figure GDA00031360918900001113
根据式(9)可以进一步得到其余未知量的解：
Figure GDA0003136091890000121
其中，式(21)适用于k＝1,2,…,u。对于奇数跨梁式桥，λ取λ1，且根据对称性可得，z2u+1-k＝-zk。对于偶数跨梁式桥，λ取λ2，且根据对称性可得，z2u+2-k＝-zk，zu+1＝0。
步骤(4)中利用步骤(3)的结果，通过叠加原理求出各个结点的弯矩解析公式。具体为：
规定以使主梁下缘受拉的弯矩为正弯矩。对于奇数跨梁式桥，第k个(k＝1,2,…,u-1)结点的弯矩Mk等于
Mk＝4i0·zk+2i0·zk+1+MT (22)
将式(2)和式(21)代入式(22)，化简可得：
Figure GDA0003136091890000122
由于对称性(zu+1＝-zu)，所以第u个结点的弯矩为
Figure GDA0003136091890000123
根据对称性，第2u+1-k个结点(k＝1,2,…,u)的弯矩为
M2u+1-k＝Mk (25)
对于偶数跨梁式桥，第k个(k＝1,2,…,u)结点的弯矩Mk的表达式的形式与式(22)相同，但与奇数跨梁式桥不同的是，zk的表达式中应用λ2代替λ1。由此可得偶数跨梁式桥第k个(k＝1,2,…,u)结点的弯矩Mk为
Figure GDA0003136091890000124
由于zu+1＝0，所以第u+1个结点的弯矩Mu+1为：
Figure GDA0003136091890000125
根据对称性，第2u+2-k个(k＝1,2,…,u)结点的弯矩为
M2u+2-k＝Mk (28)
步骤(5)中利用步骤(4)的结果，通过虚功原理求出各跨主梁的跨中竖向位移的解析公式。具体为：
规定主梁跨中向下运动对应于正位移。当梁式桥的总跨数为奇数时，第k跨(k＝1,2,…,u-1)主梁的跨中竖向位移可通过虚功原理并结合图乘法求得：
Figure GDA0003136091890000131
同理可得第u跨主梁的跨中竖向位移为
Figure GDA0003136091890000132
根据对称性，第2u-k跨(k＝1,2,…,u-1)主梁的跨中竖向位移为
ΔS2u-k＝ΔSk (31)
当梁式桥的总跨数为偶数时，第k跨(k＝1,2,…,u-1)主梁的跨中竖向位移为：
Figure GDA0003136091890000133
同理可得第u跨主梁的跨中竖向位移为
Figure GDA0003136091890000134
根据对称性，第2u+1-k跨(k＝1,2,…,u)主梁的跨中竖向位移为
ΔS2u+1-k＝ΔSk (34)
当梁式桥各跨长度相等时，有ξ＝1。对奇数跨梁式桥来说，
Figure GDA0003136091890000141
此时用于计算各跨主梁跨中竖向位移的式(29)和式(30)可统一写为：
Figure GDA0003136091890000142
其中，k＝1,2,…,u。根据对称性，第2u-k跨(k＝1,2,…,u-1)主梁的跨中竖向位移仍按式(31)计算。
当梁式桥各跨长度相等时，对偶数跨梁式桥来说，
Figure GDA0003136091890000143
此时用于计算各跨主梁跨中竖向位移的式(32)和式(33)可统一写为：
Figure GDA0003136091890000144
其中，k＝1,2,…,u。根据对称性，第2u+1-k跨(k＝1,2,…,u)主梁的跨中竖向位移仍按式(34)计算。
根据式(35)可知，对于固定u的奇数跨梁式桥来说，各跨主梁的跨中竖向位移的幅度|ΔSk|正比于
Figure GDA0003136091890000145
由于
Figure GDA0003136091890000146
所以可引入两个函数f1(x)＝x+1/x和
Figure GDA0003136091890000147
则通过复合函数有
Figure GDA0003136091890000148
由于k＝1,2,…,u，所以g1(k)≥1且随k的增加而减小；另一方面，根据导数f1′(x)＝1-1/x2可知，当x≥1时，f1(x)将单调增加。因此，f1(g1(k))将随k的增加而单调减小，即各跨主梁的跨中竖向位移的幅度以第k＝1跨为最大，第k＝u跨为最小。
同理，对于固定u的偶数跨梁式桥来说，由式(36)可知，各跨主梁的跨中竖向位移的幅度|ΔSk|正比于
Figure GDA0003136091890000149
引入函数
Figure GDA00031360918900001410
则通过复合函数可得
Figure GDA00031360918900001411
因k＝1,2,…,u，g1(k)≥1并随k的增加而减小；同时，导数
Figure GDA00031360918900001412
所以f2(g1(k))仍然随k的增加而单调减小。因此，对偶数跨梁式桥来说，各跨主梁的跨中竖向位移的幅度以第k＝1跨为最大，第k＝u和k＝u+1跨为最小。
综合以上可知，无论是奇数跨或偶数跨梁式桥，由主梁顶面与底面之间的温度差引起的各跨主梁跨中竖向位移的变化幅度以最外侧边跨为最大，以位于中央的主跨为最小。
对第k＝1跨主梁，当u趋向于无穷大时，式(35)和式(36)均趋向于常数
Figure GDA0003136091890000151
Figure GDA0003136091890000152
因此，梁式桥最外侧边跨主梁的跨中竖向位移随桥梁跨数的增加存在极限值
Figure GDA0003136091890000153
同理，对第k＝u跨主梁，当u趋向于无穷大时，式(35)和式(36)均趋向于0。因此，梁式桥位于中央的主跨主梁的跨中竖向位移随桥梁跨数的增加也存在极限值，该极限值为0。
下面结合具体实施例予以说明。
实施例1
某梁式桥为6跨连续梁结构，每跨跨径为110m，主梁材料为钢材，梁高4.5m。由于阳光直射，主梁顶面与底面的温度差为20℃。需确定第1跨和第3跨跨中桥面的竖向位移。
由上述条件可知，跨数n＝6，为偶数跨连续梁的情况，独立的结点转角未知量个数u＝3。主跨与边跨的跨径相等，l0＝l1＝110m，主梁线膨胀系数为α＝1.2×10-5℃-1，梁高h＝4.5m，主梁顶面与底面的温度差为ΔT＝20℃。将上述参数代入式(36)可得，当k＝1时，ΔS1＝-0.0295m；当k＝3时，ΔS3＝-0.0016m。可见第1跨主梁跨中桥面的竖向位移幅度大于第3跨，位移数值前的负号表示跨中桥面向上运动。
实施例2
设梁式桥的跨数为n，每跨跨径均为110m，主梁材料为钢材，梁高4.5m，主梁顶面与底面的温度差为20℃。计算n＝1,2,…,10时，梁式桥最外侧边跨主梁的跨中竖向位移。
由上述条件可知以下参数：l0＝l1＝110m，α＝1.2×10-5℃-1，h＝4.5m，ΔT＝20℃，k＝1。根据n是奇数或偶数，分别将这些参数代入式(35)或式(36)，并令
Figure GDA0003136091890000161
(即取不小于n/2的整数中最小的一个)，从而得到不同总跨数n的梁式桥最外侧边跨主梁的跨中竖向位移(以跨数增加为序)：-0.0807m，-0.0202m，-0.0323m，-0.0288m，-0.0297m，-0.0295m，-0.0295m，-0.0295m，-0.0295m，-0.0295m。不难发现从n＝6开始，最外侧边跨主梁的跨中竖向位移就很接近-0.0295m了，该值与式(37)计算出的极限值一致。这一算例清楚地表明，当连续梁跨数较多时，由主梁顶面与底面的温度差引起的主梁跨中竖向位移较小，在现有仪器设备的测试精度下不容易测准。
以上所述是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明所述原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种梁式桥跨中竖向位移随温度变化的计算方法，其特征在于：包括步骤如下：
(1)将主梁在各个支座处的结点转角设为未知量，根据结点的弯矩平衡条件，建立方程：
当梁式桥的总跨数为奇数时：
Figure FDA0003136091880000011
当梁式桥的总跨数为偶数时：
Figure FDA0003136091880000012
其中：zk、zk+1、zk-1是结点转角未知量，以顺时针转动为正，k是变量的下标，取k＝1,2,…,u，u是未知量的个数，取
Figure FDA0003136091880000013
即取不小于n/2的整数中最小的一个，n是梁式桥的总跨数；
当总跨数n为奇数时，设位于中央的第u跨为主跨，跨长为l1；其余各跨为边跨，长度均为l0；当总跨数n为偶数时，设位于中央的第u和u+1跨为主跨，跨长均为l1；其余各跨为边跨，长度均为l0；
i0和i1分别是边跨和主跨主梁的抗弯线刚度，定义为i0＝(E·I)/l0和i1＝(E·I)/l1，其中，E为主梁材料的弹性模量，I为主梁截面的抗弯惯性矩；
MT是由主梁顶面与底面温度差引起的两端固定梁的固端弯矩，以主梁下缘受拉为正，MT＝(α·ΔT·E·I)/h，其中，α是主梁材料的线膨胀系数；ΔT为主梁顶面与底面之间的温度差，以顶面温度高于底面温度为正；h为截面高度；
(2)引入数列，建立各个结点转角未知量之间的数量关系：
引入数列{ak}，其通项为
Figure FDA0003136091880000014
其中，常数
Figure FDA0003136091880000021
常数λ对奇数跨梁式桥取
Figure FDA0003136091880000022
对偶数跨梁式桥取
Figure FDA0003136091880000023
ξ为边跨与主跨的长度比，即ξ＝l0/l1；数列{ak}的下标k＝1,2,…,u-1；
借助数列{ak}，zk与zk-1之间的关系定义为：
zk＝-au-k+1·zk-1
其中：下标k＝2,3,…,u；
(3)将步骤(2)中变量间的关系式代入步骤(1)中的方程中，解出各个结点转角的解析公式：
Figure FDA0003136091880000024
其中，k＝1,2,…,u；对于奇数跨梁式桥，λ取λ1，且根据对称性可得，z2u+1-k＝-zk；对于偶数跨梁式桥，λ取λ2，且根据对称性可得，z2u+2-k＝-zk，zu+1＝0；
(4)利用步骤(3)的结果，通过叠加原理求出各个结点的弯矩解析公式：
若以使主梁下缘受拉的弯矩为正弯矩，则当梁式桥的总跨数为奇数时，第k个结点的弯矩Mk为
Figure FDA0003136091880000025
此时，k＝1,2,…,u-1；
第u个结点的弯矩Mu为
Figure FDA0003136091880000026
根据对称性，第2u+1-k个结点的弯矩等于第k个结点，即
M2u+1-k＝Mk，此时，k＝1,2,…,u；
当梁式桥的总跨数为偶数时，第k个结点的弯矩Mk为
Figure FDA0003136091880000027
此时，k＝1,2,…,u；
第u+1个结点的弯矩Mu+1为
Figure FDA0003136091880000028
根据对称性，第2u+2-k个结点的弯矩等于第k个结点，即
M2u+2-k＝Mk，此时，k＝1,2,…,u；
(5)利用步骤(4)的结果，通过虚功原理求出各跨主梁的跨中竖向位移的解析公式：
若规定主梁跨中向下运动对应于正位移，则当梁式桥的总跨数为奇数时，第k跨主梁的跨中竖向位移ΔSk为
Figure FDA0003136091880000031
此时，k＝1,2,…,u-1；
第u跨主梁的跨中竖向位移ΔSu为
Figure FDA0003136091880000032
根据对称性，第2u-k跨主梁的跨中竖向位移ΔS2u-k为
ΔS2u-k＝ΔSk，此时，k＝1,2,…,u-1；
当梁式桥的总跨数为偶数时，第k跨主梁的跨中竖向位移ΔSk为
Figure FDA0003136091880000033
此时，k＝1,2,…,u-1；
第u跨主梁的跨中竖向位移ΔSu为
Figure FDA0003136091880000034
根据对称性，第2u+1-k跨主梁的跨中竖向位移ΔS2u+1-k为
ΔS2u+1-k＝ΔSk，此时，k＝1,2,…,u。
2.根据权利要求1所述的梁式桥跨中竖向位移随温度变化的计算方法，其特征在于：所述梁式桥为同种材质的等截面直线桥；主梁顶面与底面之间的温度差沿桥梁走向处处相等；若桥梁总跨数为奇数，则最中间一跨为主跨，其余为边跨；若桥梁总跨数为偶数，则最中间2跨为主跨，其余为边跨；桥梁所有边跨的长度相等。
3.根据权利要求1所述的梁式桥跨中竖向位移随温度变化的计算方法，其特征在于：当梁式桥各跨长度相等时，
奇数跨梁式桥第k跨主梁的跨中竖向位移ΔSk统一写为
Figure FDA0003136091880000041
此时，k＝1,2,…,u；
根据对称性，第2u-k跨主梁的跨中竖向位移ΔS2u-k为
ΔS2u-k＝ΔSk，此时，k＝1,2,…,u-1；
偶数跨梁式桥第k跨主梁的跨中竖向位移ΔSk统一写为
Figure FDA0003136091880000042
此时，k＝1,2,…,u；
根据对称性，第2u+1-k跨主梁的跨中竖向位移ΔS2u+1-k为
ΔS2u+1-k＝ΔSk，此时，k＝1,2,…,u。
4.根据权利要求1所述的梁式桥跨中竖向位移随温度变化的计算方法，其特征在于：当梁式桥各跨长度相等时，
由主梁顶面与底面之间温度差引起的最外侧边跨主梁的跨中竖向位移的变化幅度大于其余各跨，当总跨数n增多时，最外侧边跨主梁的跨中竖向位移趋近于极限值
Figure FDA0003136091880000043
Figure FDA0003136091880000044
由主梁顶面与底面之间温度差引起的中间跨主梁的跨中竖向位移的变化幅度小于其余各跨，当总跨数n增多时，中间跨主梁的跨中竖向位移趋近于0。
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