CN111830459B - 基于离散函数偏导数的共形阵列极化－doa估计精度分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种基于离散函数偏导数的共形阵列极化－DOA估计精度分析方法，其解决了现有技术中针对共形阵列极化‑DOA参数估计的Fisher信息矩阵部分元素偏导数求解困难无法有效计算参数估计的克拉美罗界的技术问题，其首先建立共形阵列接收信号模型；其次对阵元局部方向图旋转变换得到全局方向图，再利用入射信号极化矢量得到极化响应；再其次根据多元有限离散函数偏导数法推导Fisher信息矩阵；然后利用Fisher信息矩阵F得到参数估计的CRB。本发明广泛用于阵列信号测向技术领域。
Description
技术领域
本发明涉及阵列信号测向技术领域，具体而言，涉及一种基于离散函数偏导数的共形阵列极化－DOA估计精度分析方法。
背景技术
波达方向(direction of arrival，DOA)估计广泛应用于雷达、声呐、无线通信、无源定位、导航、地震探测等领域有着广泛应用。
共形阵列天线是一种常见的天线。共形阵列是由共形载体上的共形辐射单元构成的阵列，具有满足空气动力学要求、节省空间、减轻重量、充分利用孔径等优点，因此在星载、机载、弹载以及通信等领域具有广泛的应用前景。
在共形阵列参数估计方面，现有技术利用柱面共形阵列的对称性，结合旋转不变子空间算法(Estimation of Signal Parameters via Rotational InvarianceTechniques,ESPRIT)实现了DOA和极化参数的估计；在共形阵列参数估计性能分析方面，现有技术应用MUSIC算法在共形阵列中的DOA参数估计方差和克拉美罗界(Cramer RaoBound,CRB)，并通过仿真对比研究了MUSIC算法在面阵和共形阵列中的DOA估计精度。
然而，现有针对共形阵列极化-DOA参数估计的Fisher信息矩阵部分元素偏导数求解困难无法有效计算参数估计的克拉美罗界。
发明内容
本发明就是为了解决现有针对共形阵列极化-DOA参数估计的Fisher信息矩阵部分元素偏导数求解困难无法有效计算参数估计的克拉美罗界的技术问题，提供了一种能够有效计算参数估计的克拉美罗界的基于离散函数偏导数的共形阵列极化－DOA估计精度分析方法。
本发明提供一种基于离散函数偏导数的共形阵列极化－DOA估计精度分析方法，包括以下步骤：
第一步：建立共形阵列接收信号模型；
第二步：对阵元局部方向图旋转变换得到全局方向图，再利用入射信号极化矢量得到极化响应；
第三步：根据多元有限离散函数偏导数法推导Fisher信息矩阵；
第四步：利用Fisher信息矩阵F得到参数估计的CRB。
优选地，第一步的过程是：
根据柱面共形阵列的几何结构，得到各圆环阵上阵元坐标为：
xnm＝rc cos[2π(m-1)/Mn] (1)
ynm＝rc sin[2π(m-1)/Mn] (2)
znm＝-(n-1)d (3)
公式(1)、(2)、(3)中，n定义为由上至下的圆环阵序号，d为圆环阵间垂直距离，Mn为每个圆环阵中阵元个数，起始阵元位于X正半轴，按序号m逆时针方向均匀排列，rc为圆环半径；
假设有N个独立窄带信号，入射到由M个阵元构成共形阵列中，其接收信号模型可以表示为：
公式(4)中，x(t)为阵列接收的快拍数据，为阵列导向矢量矩阵，s(t)为入射信号矢量，n(t)为噪声矢量，具体定义如下：
s(t)＝[s1(t),…sN(t)]T (6)
n(t)＝[n1(t),…nM(t)]T (7)
优选地，第二步的过程是：
步骤1，通过公式(17)计算入射信号在全局坐标系下的方向矢量，
步骤2，利用欧拉旋转变换将全局直角坐标下的方向矢量[x,y,z]变换为在第m个阵元局部直角坐标下的表示
公式(19)中，R(Dm,Em,Fm)为第m个阵元对应的欧拉旋转矩阵，(Dm,Em,Fm)为相应的欧拉旋转角，E(Z,Dk)表示第一次以Z轴为旋转轴，按照右手准则旋转角度Dk的欧拉旋转矩阵；E(Y′,Ek)表示第二次以Y′轴为旋转轴，按照右手准则旋转角度Ek的欧拉旋转矩阵；E(Z″,Fk)表示第三次以Z″轴为旋转轴，按照右手准则旋转角度Fk的欧拉旋转矩阵；
步骤3，将由阵元k的局部直角坐标变换到局部极坐标，得到局部坐标下对应的入射方向/>
步骤4，由阵元局部极坐标下的方向图得到其在局部直角坐标下的方向图表示/>
其中，为第k个阵元在局部坐标系下方向图的极化表示；
步骤5，由欧拉旋转逆变换得到阵元k在全局直角坐标系下的方向图表示[gkX,gkY,gkZ]T；
步骤6，将阵元k在全局直角坐标系下的方向图表示[gkX,gkY,gkZ]T变换为全局极坐标表示，得到gkθ，
优选地，第三步的过程是：
Fisher信息矩阵F为分块矩阵形式：
公式(28)中的分块矩阵Fi,j为：
公式(29)中，K表示快拍数，其他元素定义为：
Rxx＝E[x(n)xH(n)]＝APAH+σ2I (30)
P＝E[S(n)SH(n)]＝diag{P1,P2,…,PM} (31)
进一步得出：
优选地，第四步的过程是：
设共有M个信号源入射到共形阵列上，则其待估计参数为：
此时，共形阵列参数估计的CRB由Fisher信息矩阵F确定：
CRB_v＝diag{F-1} (57)
式中，diag{·}表示取矩阵的对角线元素。
本发明的有益效果是：本发明首先从共形阵列建模出发，分析了共形阵列的多极化特性；通过离散导向矢量偏导数法给出了共形阵列对极化和DOA参数估计的CRB。通过以上方法解决了共形阵列极化-DOA参数估计的Fisher信息矩阵部分元素偏导数求解困难的问题，具有计算简洁的优点，大幅降低了极化和DOA估计精度分析的复杂度，同时也保证了精度。通过计算机仿真验证了理论推导的正确性，可以更好的应用于对共形阵列极化-DOA参数估计性能的评价中。
本发明进一步的特征，将在以下具体实施方式的描述中，得以清楚地记载。
附图说明
图1是本发明采用的柱面共形阵列结构图；
图2是本发明采用的柱面共形阵列全局坐标与局部坐标示意图；
图3是偏导数幅度和相位与邻域大小变化关系，图(a)是偏导数幅度与邻域大小关系；图(b)是偏导数相位与邻域大小关系；
图4是偏导数幅度和相位与自变量增量变化关系，图(a)是偏导数幅度与自变量增量变化关系，图(b)是偏导数幅度和相位与自变量增量变化关系；
图5是柱面共形阵列单信号源入射情况下参数估计CRB曲线，其中图(a)是入射角的CRB曲线，图(b)是入射角的CRB曲线，图(c)是极化角的CRB曲线，图(d)是极化相位的CRB曲线；
图6是柱面共形阵列对信号源参数估计精度与CRB，其中图(a)是角度估计方差和CRB与SNR关系，图(b)是极化参数估计方差和CRB与SNR关系；
图7是本发明算法的流程图。
具体实施方式
以下参照附图，以具体实施例对本发明作进一步详细说明。
共形阵列的常见结构包括柱面共形阵列、锥面共形阵列、以及球面共形阵列，本实施例以图1所示的柱面共形阵列为例。
基于离散函数偏导数的共形阵列极化－DOA估计精度分析方法包括以下步骤：
第一步，计算机建立共形阵列接收信号模型，具体地过程是，
根据柱面共形阵列的几何结构，得到各圆环阵上阵元坐标为：
xnm＝rc cos[2π(m-1)/Mn] (1)
ynm＝rc sin[2π(m-1)/Mn] (2)
znm＝-(n-1)d (3)
公式(1)、(2)、(3)其中，n定义为由上至下的圆环阵序号，d为圆环阵间垂直距离，Mn为每个圆环阵中阵元个数，起始阵元位于X正半轴，按序号m逆时针方向均匀排列，rc为圆环半径。
假设有N个独立窄带信号，入射到由M个阵元构成共形阵列中，其接收信号模型可以表示为：
公式(4)中，x(t)为阵列接收的快拍数据，为阵列导向矢量矩阵，s(t)为入射信号矢量，n(t)为噪声矢量，具体定义如下：
s(t)＝[s1(t),…sN(t)]T (6)
n(t)＝[n1(t),…nM(t)]T (7)
与一般阵列模型相比，共形阵列建模的关键是阵列导向矢量矩阵其参数θ,/>γ,η分别表示入射信号的方位角、俯仰角、极化角和极化相位。
对第i个入射信号，其导向矢量可表示为：
公式(8)中，⊙表示矩阵的Hadamard乘积，和/>分别表示导向矢量中的空域信息和极化信息，可具体表示为：
lm＝[xm,ym,zm],(m＝1,…,M) (11)
pim＝ui·gm(m＝1,…,M) (13)
其中，λ表示入射信号波长；di表示第i个入射信号的方向矢量；lm表示第m阵元的空间位置坐标；pim表示第i个入射的信号极化矢量ui，在第m个阵元全局极化方向图gm上的投影；gmθ和分别表示第m个阵元在全局坐标系下的θ方向和/>方向的方向图表示；Eθ和/>表示θ方向和/>方向的极化基矢量；γi和ηi分别表示第i个入射信号的极化角和极化相位。
第二步，对阵元局部方向图旋转变换得到全局方向图，再利用入射信号极化矢量得到极化响应；
由于共形载体曲率的影响，共形阵列信号建模应该考虑阵元方向图的旋转变换，即将阵元在局部坐标系下的方向图通过旋转变换，将其在全局坐标系下表示，得到公式(14)所示的阵元全局极化方向图。在得到全局坐标系下表示的阵元极化方向图后，使入射信号极化矢量在其上投影，即可得到阵元对入射信号的极化响应。阵元极化方向图在全局坐标系下的表示可以通过对阵元局部方向图的旋转变换得到，具体步骤为：
步骤1，通过公式(17)计算入射信号在全局坐标系下的方向矢量。
步骤2，利用欧拉旋转变换将全局直角坐标下的方向矢量[x,y,z]变换为在第m个阵元局部直角坐标下的表示
公式(19)中，R(Dm,Em,Fm)为第m个阵元对应的欧拉旋转矩阵，(Dm,Em,Fm)为相应的欧拉旋转角，E(Z,Dk)表示第一次以Z轴为旋转轴，按照右手准则旋转角度Dk的欧拉旋转矩阵；E(Y′,Ek)表示第二次以Y′轴为旋转轴，按照右手准则旋转角度Ek的欧拉旋转矩阵；E(Z″,Fk)表示第三次以Z″轴为旋转轴，按照右手准则旋转角度Fk的欧拉旋转矩阵。
以柱面共形阵列为例，其阵元方向图全局坐标系与局部坐标系之间的关系如图2所示。由图2所示的坐标系关系可得不同共形阵列对应的欧拉变换旋转角如式(20)～(22)所示，其中下标nm表示第n层圆环阵的第m个阵元。
锥面共形阵列：
柱面共形阵列：
球面共形阵列：
步骤3，将由阵元k的局部直角坐标变换到局部极坐标，得到局部坐标下对应的入射方向/>
步骤4，由阵元局部极坐标下的方向图得到其在局部直角坐标下的方向图表示/>
其中，为第k个阵元在局部坐标系下方向图的极化表示。
步骤5，由欧拉旋转逆变换得到阵元k在全局直角坐标系下的方向图表示[gkX,gkY,gkZ]T；
步骤6，将阵元k在全局直角坐标系下的方向图表示[gkX,gkY,gkZ]T变换为全局极坐标表示，得到gkθ，
与传统阵列不同，共形阵列的阵元受载体曲率影响，每个阵元的方向图指向不同。虽然阵元在各自的局部坐标系下具有相同的极化形式，但在全局坐标系下，阵元间的极化方式一般不同，使共形阵列在整体上体现出多极化特性，对入射信号的极化信息敏感，可将其视为一种特殊的极化敏感阵列，结合相应的算法即可实现对入射信号的极化-DOA的联合估计。
第三步，根据多元有限离散函数偏导数法推导Fisher信息矩阵，
对于多参量估计问题，Fisher信息矩阵F可表示为分块矩阵形式：
公式(28)中的分块矩阵Fi,j可表示为：
公式(29)中，K表示快拍数，其他元素定义为：
Rxx＝E[x(n)xH(n)]＝APAH+σ2I (30)
P＝E[S(n)SH(n)]＝diag{P1,P2,…,PM} (31)
进一步整理可得：
在计算Fi,j的过程中，需要计算导向矢量矩阵的四个偏导数，分别是：由式(5)可知，对导向矢量矩阵A的四个偏导数由对导向矢量/>的四个偏导数构成，下面将对这四个偏导数分别展开计算。
步骤(1)，导向矢量对θ的偏导数，
由公式(8)(9)(12)及矩阵Hadamard积的定义可知
公式(36)中，第一项偏导数为：
公式(37)中的一个元素为：
由公式(37)(38)可知，
公式(39)中，
式(38)中第二项偏导数为：
由式(15)(16)可知，u为入射信号极化矢量，与入射信号方向无关。因此，式(41)中的一个元素可以表示为：
将式(42)代入式(41)可得：
由式(8)～(27)给出的共形阵列信号建模过程可知，gn为阵元局部方向图在全局坐标系下的表示，与入射信号空间角有关，可以将其视为变量/>的二元函数。观察欧拉旋转变换过程可以发现，在计算gn的过程中，对空间角/>的运算比较复杂，主要包括：正余弦运算、欧拉旋转变换、反余弦、反正切、阵元局部球坐标方向图代入、局部球坐标向局部直角坐标转换、逆欧拉旋转变换、全局直角坐标向全局球坐标变换等。可以看出，变量/>经过上述运算后，得到关于gn的函数表达式十分复杂，直接对gn求/>的偏导数变得十分困难。
在此利用多元有限离散函数偏导数方法，给出的计算方法。任意多元有限离散函数在其定义域内都存在偏导数，并且其偏导数的性质非常相似于连续函数的偏导数。因此可以将gn离散化，并将其视为由自变量/>构成的二元离散函数。对每一个自变量/>都有一个函数值/>与其对应，这些函数值按照下标i,j从小到大排列，得到一个二维有限数列/>此时可得gn在点/>处关于θ的偏导数为：
公式(44)中，P为邻域大小，θk＝θi+k·Δθ，Δθ为自变量增量。
步骤(2)，导向矢量对的偏导数，
由导向矢量对θ的偏导数部分讨论可知，导向矢量对的偏导数为：
式(45)中的第一个偏导数为：
公式(46)中，
公式(45)中的第二个偏导数为：
同样，也采用多元有限离散函数偏导数方法进行计算。下面直接给出在点处关于偏导数计算的离散表达式：
公式(49)中，P为邻域大小； 为自变量增量。
步骤(3)，导向矢量对γ的偏导数，
公式(50)中，
公式(51)中，
步骤(4)，导向矢量对η的偏导数，
公式(53)中，
公式(54)中，
综上，本部分通过导向矢量求偏导计算出Fisher信息矩阵。其中，考虑到共形阵列导向矢量的特点，并根据离散函数偏导数的性质，对和/>两个偏导数采用多元有限离散函数偏导数法计算。
第四步，利用Fisher信息矩阵F得到参数估计的CRB；
设共有M个信号源入射到共形阵列上，则其待估计参数为：
此时，共形阵列参数估计的CRB可由Fisher信息矩阵F确定：
CRB_v＝diag{F-1} (57)
式中，diag{·}表示取矩阵的对角线元素。
下面介绍仿真实验结果。
仿真实验1:
考察离散函数偏导数与自变量邻域大小的关系。
仿真中取柱面共形阵列形式如图1所示，圆环阵个数3，每个圆环上由8个均匀分布的阵元构成。每层圆环的半径为3λ，圆环阵之间的高度为2λ(λ为入射信号波长)。
仿真中选择偏导数计算参数为固定自变量增量为0.001弧度，取第1、5、10、20阵元对应的偏导数作为考察对象，分别取自变量邻域大小从1～10变化，可得偏导数幅度和相位变化曲线如图3所示。从图3中(a)可以看出，固定自变量增量为0.001弧度，当自变量邻域大小在1～10的范围内变化时，被考察阵元的偏导数幅度基本不变。从图3中(b)可以看出，相同条件下被考察阵元的偏导数相位也基本不变。
由图3所示的仿真结果可以看出，在使用离散函数偏导数法计算阵列导向矢量对应的偏导数时，在自变量增量固定的情况下，自变量邻域大小对偏导数的值影响不大。
仿真实验2:考察离散函数偏导数与自变量增量关系。
以图1所示的的柱面共形阵列为例，仿真中取偏导数邻域为1，取自变量增量分别为[0.02，0.01，0.005，0.002，0.001，0.0005，0.0002，0.0001]弧度，其他条件同仿真实验1，由离散函数偏导数法可得仿真结果如图4、5所示。
从图4中(a)可以看出，固定偏导数邻域大小为1，当自变量增量从0.02弧度变化到0.0001弧度时，被考察阵元的偏导数幅度基本不变。从图4中(b)可以看出，相同条件下被考察阵元的偏导数相位基本不变。
由图4所示的仿真结果可以看出，在使用离散函数偏导数法计算阵列导向矢量对应的偏导数时，在自变量邻域大小固定的情况下，自变量增量从0.02弧度变化到0.0001弧度时，对偏导数的值影响不大。
根据离散函数偏导数性质，自变量邻域越小，自变量增量越小，使用离散偏导数法计算得到的偏导数越接近于真实值。仿真实验1和2的结果表明，采用离散函数偏导数法计算导向矢量偏导数的方法是可行的。
仿真实验3:考察共形阵列极化-DOA参数估计的CRB。
仿真中以图1所示柱面共形阵列为例，取入射信号参数为由第2节讨论可得阵列参数估计的CRB随信噪比及快拍数变化的关系如图5所示。
从图5可以看出，柱面共形阵列对极化和DOA参数估计的CRB在快拍数不变的情况下，随信噪比增加而下降；在保持信噪比不变的情况下，参数估计的CRB随快拍数增加而降低。
仿真实验4：考察MUSIC算法参数估计精度与CRB间的关系。
仿真中以图1所示柱面共形阵列为例，以文献(刘帅,周洪娟,金铭等.锥面共形阵列天线的极化-DOA估计[J].系统工程与电子技术,2012,33(2):253-257)所述方法实现极化-DOA参数估计，具体参数为阵列采样的快拍数500，信噪比从-10dB开始，以2dB为步长变化到20dB，每次试验重复200次，统计参数估计的方差，可得仿真结果如图6所示。
从仿真结果可以看出，随着信噪比的增加柱面共形阵列对入射信号DOA和极化参数估计方差均下降，估计精度提高。
从图6中(a)可以看出，极化-DOA联合谱估计算法对DOA的估计方差随着信噪比的增加而下降，趋势与理论推导的CRB一致。从(b)图可以看出，算法对γ的估计精度优于η的估计精度，对两个极化参数估计的方差均随信噪比的增加而下降，趋势与理论推导的CRB一致。
综上可以看出，联合谱算法对DOA和极化参数的估计方差没有达到CRB描述的下界，但随着信噪比的增加，参数估计方差与CRB之间的线性差值逐渐减小，参数估计方差逐渐接近CRB，证明了本申请CRB推导过程的正确性。
Claims (4)
1.一种基于离散函数偏导数的共形阵列极化－DOA估计精度分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
第一步：建立共形阵列接收信号模型；
第二步：对阵元局部方向图旋转变换得到全局方向图，再利用入射信号极化矢量得到极化响应；
第三步：根据多元有限离散函数偏导数法推导Fisher信息矩阵；
Fisher信息矩阵F为分块矩阵形式：
公式(28)中的分块矩阵Fi,j为：
公式(29)中，K表示快拍数，其他元素定义为：
Rxx＝E[x(n)xH(n)]＝APAH+σ2I (30)
P＝E[S(n)SH(n)]＝diag{P1,P2,…,PM} (31)
公式(30)-(34)中，x(n)表示阵列接收的采样快拍数据，其中，/>为导向矢量矩阵，s(n)为入射信号矢量，n(n)为噪声矢量，参数θ,/>γ,η分别表示入射信号的方位角、俯仰角、极化角和极化相位；/>s(n)＝[s1(n),…sN(n)]T，n(n)＝[n1(n),…nM(n)]T，vi,vj表示极化或DOA待估计的参数；
进一步得出：
计算导向矢量矩阵的四个偏导数，/>中的参数θ,/>γ,η分别表示入射信号的方位角、俯仰角、极化角和极化相位；
通过以下公式(44)计算导向矢量对θ的偏导数：
公式(44)中，P为邻域大小，θk＝θi+k·Δθ，Δθ为自变量增量；
通过以下公式(49)计算导向矢量对的偏导数：
公式(49)中，P为邻域大小； 为自变量增量；公式(44)和(49)中，gn表示第n个阵元的方向图在全局坐标系下的表示，/>为第n个阵元方向图在/>上的响应，/>为第n个阵元方向图在/>上的响应；
计算导向矢量对γ的偏导数：
公式(50)中，为入射信号导向矢量；/>为空域导向矢量；
lM＝[xM,yM,zM]表示第M个阵元的空间位置；
为阵列中各个阵元对入射信号的极化响应；
pM＝u·gM为入射信号的极化矢量在第M个阵元全局极化方向图上的投影；
公式(50)中，
公式(51)中，
计算导向矢量对η的偏导数：
公式(53)中，
公式(54)中，
公式(51)和(54)中，u·g1，u·g2，…，u·gN表示入射信号极化矢量在第N个阵元全局极化方向图上的投影，gN为第N个阵元局部方向图在全局坐标系下的表示；公式(52)和(55)中，u为入射信号极化矢量，Eθ为θ方向极化基矢量，/>为/>方向极化基矢量，
uθ＝sin(γ)exp(jη)
第四步：利用Fisher信息矩阵F得到参数估计的CRB，参数具体是指入射信号的角度参数和极化参数。
2.根据权利要求1所述的基于离散函数偏导数的共形阵列极化－DOA估计精度分析方法，其特征在于：
所述第一步的过程是：
根据柱面共形阵列的几何结构，得到各圆环阵上阵元坐标为：
xnm＝rccos[2π(m-1)/Mn] (1)
ynm＝rcsin[2π(m-1)/Mn] (2)
znm＝-(n-1)d (3)
公式(1)、(2)、(3)中，n定义为由上至下的圆环阵序号，d为圆环阵间垂直距离，Mn为每个圆环阵中阵元个数，起始阵元位于X正半轴，按序号m逆时针方向均匀排列，rc为圆环半径；
假设有N个独立窄带信号，入射到由M个阵元构成共形阵列中，其接收信号模型可以表示为：
公式(4)中，x(t)为阵列接收的快拍数据，为阵列导向矢量矩阵，s(t)为入射信号矢量，n(t)为噪声矢量，具体定义如下：
s(t)＝[s1(t),…sN(t)]T (6)
n(t)＝[n1(t),…nM(t)]T (7)。
3.根据权利要求2所述的基于离散函数偏导数的共形阵列极化－DOA估计精度分析方法，其特征在于，所述第二步的过程是：
步骤1，通过公式(17)计算入射信号在全局坐标系下的方向矢量，
步骤2，利用欧拉旋转变换将全局直角坐标下的方向矢量[x,y,z]变换为在第m个阵元局部直角坐标下的表示
公式(19)中，R(Dm,Em,Fm)为第m个阵元对应的欧拉旋转矩阵，(Dm,Em,Fm)为相应的欧拉旋转角，E(Z,Dm)表示第一次以Z轴为旋转轴，按照右手准则旋转角度Dm的欧拉旋转矩阵；E(Y′,Em)表示第二次以Y′轴为旋转轴，按照右手准则旋转角度Em的欧拉旋转矩阵；E(Z″,Fm)表示第三次以Z″轴为旋转轴，按照右手准则旋转角度Fm的欧拉旋转矩阵；
步骤3，将由阵元k的局部直角坐标变换到局部极坐标，得到局部坐标下对应的入射方向/>
步骤4，由阵元局部极坐标下的方向图得到其在局部直角坐标下的方向图表示/>
其中，为第k个阵元在局部坐标系下方向图的极化表示；
公式(24)中，为局部坐标系下/>方向极化基矢量，/>为/>方向极化基矢量；
步骤5，由欧拉旋转逆变换得到阵元k在全局直角坐标系下的方向图表示[gkX,gkY,gkZ]T；
步骤6，将阵元k在全局直角坐标系下的方向图表示[gkX,gkY,gkZ]T变换为全局极坐标表示，得到gkθ，
4.根据权利要求1所述的基于离散函数偏导数的共形阵列极化－DOA估计精度分析方法，其特征在于，所述第四步的过程是：
设共有M个信号源入射到共形阵列上，则其待估计参数为：
此时，共形阵列参数估计的CRB由Fisher信息矩阵F确定：
CRB_v＝diag{F-1} (57)
式中，diag{·}表示取矩阵的对角线元素。
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| 锥面共形阵列天线的极化-ＤＯＡ 估计;刘帅等;系统工程与电子技术;第34卷(第2期);正文第254-256页 * |
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