CN111781825B - 基于多个时滞的双环神经元系统的混合控制器设计方法 - Google Patents

基于多个时滞的双环神经元系统的混合控制器设计方法 Download PDF

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CN111781825B CN202010449529.7A CN202010449529A CN111781825B CN 111781825 B CN111781825 B CN 111781825B CN 202010449529 A CN202010449529 A CN 202010449529A CN 111781825 B CN111781825 B CN 111781825B
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Abstract

本发明公开了一种基于多个时滞的双环神经元系统的混合控制器设计方法，该方法包括：建立无控的多个时滞的双环神经元模型，得到系统稳定性特性和平衡点信息；对于无控的多个时滞的双环神经元模型施加混合控制器，在平衡点处加入混合控制器，得到加入混合控制器的神经元网络模型；将受混合控制器作用的神经元模型在平衡点处线性化，得出线性化的被控网络的特征方程；选取时滞和分岔参数，通过对该线性化后的被控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析，选取适当的控制器参数，使得该网络在平衡点附近局部稳定；本发明的控制器相较其他控制器，建模时无需系统当前状态值，控制参数可调域大，实际操作简便易行，控制效果显著。

Description

基于多个时滞的双环神经元系统的混合控制器设计方法
技术领域
本发明涉及控制器技术领域，具体涉及一种基于多个时滞的双环神经元系统的混合控制器设计方法。
背景技术
Marcus和Westervelt二人于1989年首次提出带有时滞的神经网络模型，时间延迟会使系统不稳定，不能满足我们的期望。因此，在研究神经网络稳定性时必须考虑时滞的影响。带有时滞的神经网络模型被证明能够更好拟合实际生物学神经元网络。在实际的人工神经网络的应用中，由于神经元和放大器的有限转换速度导致了时延的产生，并且神经元之间的传递速度不一样导致时延的不同，因此，我们考虑了多个时滞的影响。
在复杂网络中，分岔控制是一种常用工具，可以通过对复杂网络施加控制器来改变系统的一些动力学行为。目前常用的分岔控制器有，时滞反馈控制器，状态反馈控制器和PD控制器以及混合控制器等。由于混合控制器不需要当前状态值，且控制器参数的可调域大，简便易行，因此在实际控制应用中常常被采用，具体的，混合控制器在工业控制和智能优化控制应用领域有较多的应用。
发明内容
发明目的：为了克服现有技术的不足，本发明提供一种基于多个时滞的双环神经元系统的混合控制器设计方法，该方法可以解决现有技术中控制器和神经网络结合，整体系统的稳定性差以及控制效果不好的问题。
技术方案：本发明所述的基于多个时滞的双环神经元系统的混合控制器设计方法，该方法包括：
(1)建立无控的多个时滞的双环神经元模型，得到系统稳定性特性和平衡点信息；
(2)对于无控的多个时滞的双环神经元模型施加混合控制器，在平衡点处加入混合控制器，得到加入混合控制器的神经元网络模型；
(3)将受混合控制器作用的神经元模型在平衡点处线性化，得出线性化的被控网络的特征方程；
(4)选取时滞和分岔参数，通过对该线性化后的被控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析，选取适当的控制器参数，使得该网络在平衡点附近局部稳定。
进一步的，包括：
步骤(1)中，所述无控的多个时滞的双环神经元模型表示为：
Figure BDA0002507177510000021
Figure BDA0002507177510000022
Figure BDA0002507177510000023
Figure BDA0002507177510000024
其中，vi(t)(i＝1,2,3,4)表示第i个神经元在t时刻的状态，ai(i＝1,2,3,4)＞0是自反馈强度系数，b为连接权重，τ为延迟时间，b和τ的下标表示两个神经元之间的联系，f(·)为激活函数，并满足f(0)＝0,f∈C1，得到这个神经网络模型的非负平衡点为O(0,0,0,0)。
进一步的，包括：
步骤(2)中，所述在平衡点加入混合控制器的表达如下：
u(t)＝α(-a1v1(t)+b21f2v2(t-τ21)+b41f4v4(t-τ41)+v1(t)-v1*)
其中，α∈[-1,1]为反馈增益参数，v1*为所求平衡点中v1(t)分量，因此，v1*＝0。
进一步的，包括：
步骤(2)中，加入混合控制器的神经元网络的数学模型如下：
Figure BDA0002507177510000025
进一步的，包括：
所述步骤(3)中，将受混合控制器作用的神经元模型在平衡点处线性化，得到：
Figure BDA0002507177510000031
Figure BDA0002507177510000032
Figure BDA0002507177510000033
Figure BDA0002507177510000034
所述线性化的被控网络的特征方程表示为：
Figure BDA0002507177510000035
即：
λ4+P1λ3+P2λ2+P3λ+P4-e-λτ(Q1λ2+Q2λ+Q3)＝0
其中：
Figure BDA0002507177510000036
进一步的，包括：
步骤(4)中，所述网络在平衡点附近局部稳定的条件是特征方程的根具有负实部，因此，找到临界稳定的条件，即特征方程出现纯虚根的情况。
进一步的，包括：
使所述特征方程的根具有负实部的情况具体包括：
当系统无时滞τ＝0时，特征方程为：
λ4+P1λ3+(P2-Q1)λ2+(P3-Q2)λ+P4-Q3＝0，
上述方程的根具有负实部的充要条件为如下的劳斯-赫尔维茨Routh-Hurwitz判据满足：
A1＝P1＞0
Figure BDA0002507177510000041
Figure BDA0002507177510000042
其中，
P1＝a1+a2+a3+a4-α-a1α
P2＝a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4-a2α-a3α-a4α-a1a2α-a1a3α-a1a4α
P3＝a1a2a3+a1a2a4+a1a3a4+a2a3a4-a2a3α-a2a4α-a3a4α-a1a2a3α-a1a2a4α-a1a3a4α
P4＝a1a2a3a4-a2a3a4α-a1a2a3a4α
Q1＝b12f1′(0)b21f2′(0)
Q2＝a3b12f1′(0)b21f2′(0)+a4b12f1′(0)b21f2′(0)+b13f1′(0)b34f3′(0)b41f4′(0)
Q3＝a3a4b12f1′(0)b21f2′(0)+a2b13f1′(0)b34f3′(0)b41f4′(0)
因此，当控制器参数满足上述三个不等式时，无时滞情况下的系统是稳定的；
当系统有时滞(τ＞0)，将λ＝iω带入特征方程中，分离实部虚部可得：
(Q3-Q1ω2)cosωτ+Q2ωsinωτ＝ω4-P2ω2+P4
(-Q2ω)cosωτ-(Q1ω2-Q3)sinωτ＝P1ω3+P3ω
此时，令
h(ω)＝ω8+(P1 2-2P2)ω6+(P2 2+2P4+2P1P3-Q1 2)ω4+(P3 2-2P2P4+2Q1Q3-Q2 2)ω2+P4 2-Q3 2当P4 2-Q3 2＜0，上述方程至少有一个正根ω0，对应可解出此时的时滞：
Figure BDA0002507177510000043
分岔点是系统从稳定到不稳定的一个临界点，那么对应的特征方程的根要从该点处穿越虚轴到达虚轴的右半平面，因此，在该点出特征根对于分岔参数τ的导数在τ0处的实部是大于零的，那么特征根才能从左半平面穿越到右半平面，由此得到：
当时滞选取满足τ∈[0,τ0)，受控系统在平衡点O(0,0,0)处局部渐进稳定；
当时滞满足τ＝τ0时，系统在平衡点O(0,0,0)周围产生Hopf分岔现象，当τ穿越τ0时，系统产生一组周期解。
有益效果：本发明与现有技术相比，其显著优点是：1、本发明中所提出的含有多个时滞的双环神经元系统能更好拟合实际神经网络，所引入的双环共用一个节点的网络模型对神经网络动力学研究具有重要指导意义；2、本发明中所设计的混合控制器具有较强的适用性，同样适用于其他的复杂动力学网络；3、本发明的控制器相较其他控制器，建模时无需系统当前状态值，控制参数可调域大，实际操作简便易行，控制效果显著。
附图说明
图1为本发明所述的方法流程图；
图2为无控模型(11)的τ＝2.8时，系统稳定的波形图；
图3为无控模型(11)的τ＝2.8时，系统稳定的相位图；
图4为无控模型(11)的τ＝0.522的情况下，系统分岔的波形图；
图5为无控模型(11)的τ＝0.522的情况下，系统分岔的相位图；
图6为在控制器参数α＝-0.1，τ＝0.432的情况下，被控模型(12)稳定的波形图；
图7为在控制器参数α＝-0.1，τ＝0.432的情况下，被控模型(12)稳定的相位图；
图8为在控制器参数α＝-0.1，τ＝0.475的情况下，被控模型(12)分岔的波形图；
图9为在控制器参数α＝-0.1，τ＝0.475的情况下，被控模型(12)分岔的相位图。
具体实施方式
下面结合说明书附图对本发明的实施方式进行描述。
本发明是基于多个时滞的双环神经元系统的混合控制器设计方法，混合控制器应用到控制领域，具有重要的工程应用意义，工业系统中可采用延时控制器使得反馈控制让系统更加稳定。
如图1所示，本发明所述的方法具体包括以下步骤：
步骤一：对原始模型进行转化处理，并对其施加控制器。
多时滞双环共用一个节点的神经元模型的数学表达为：
Figure BDA0002507177510000061
其中，vi(t)(i＝1,2,3,4)表示第i个神经元在t时刻的状态，ai(i＝1,2,3,4)＞0是自反馈强度系数。b和τ的下标表示两个神经元之间的联系。例如,b12表示第一个神经元向第二个神经元传递信息时的连接权重，τ12表示第一个神经元向第二个神经元传递信息时的延迟时间。f(·)为激活函数，并满足f(0)＝0,f∈C1。容易得到这个神经网络模型的非负平衡点为O(0,0,0,0)。在平衡点处加入的混合控制器的表达如下：
u(t)＝α(-a1v1(t)+b21f2v2(t-τ21)+b41f4v4(t-τ41)+v1(t)-v1*) (2)
其中，α∈[-1,1]为反馈增益参数，v1*为2中所求平衡点中v1(t)分量。不难知道v1*＝0。因此，加入混合控制器的神经元网络的数学模型如下：
Figure BDA0002507177510000062
步骤二：对于受控模型在平衡点处进行线性化处理，得出被控系统的特征方程。
假设：
x1(t)＝v1(t-τ12-τ13-τ34)
x2(t)＝v2(t-τ34-τ13)
x3(t)＝v3(t-τ34-τ12)
x4(t)＝v4(t-τ12)
其中，τ12+τ21＝τ13+τ34+τ41＝τ,τ21＝τ41
原模型可重写为：
Figure BDA0002507177510000071
在平衡点处对受控模型线性化得：
Figure BDA0002507177510000072
则可得模型的特征方程为：
Figure BDA0002507177510000073
即
λ4+P1λ3+P2λ2+P3λ+P4-e-λτ(Q1λ2+Q2λ+Q3)＝0 (6)
其中
P1＝a1+a2+a3+a4-α-a1α
P2＝a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4-a2α-a3α-a4α-a1a2α-a1a3α-a1a4α
P3＝a1a2a3+a1a2a4+a1a3a4+a2a3a4-a2a3α-a2a4α-a3a4α-a1a2a3α-a1a2a4α-a1a3a4α
P4＝a1a2a3a4-a2a3a4α-a1a2a3a4α
Q1＝b12f1′(0)b21f2′(0)
Q2＝a3b12f1′(0)b21f2′(0)+a4b12f1′(0)b21f2′(0)+b13f1′(0)b34f3′(0)b41f4′(0)
Q3＝a3a4b12f1′(0)b21f2′(0)+a2b13f1′(0)b34f3′(0)b41f4′(0)
步骤三：选定系统分岔参数，对被控系统进行稳定性分析。
选定系统的时滞和作为系统分岔参数进行稳定性研究。系统稳定的条件是特征方程的根具有负实部，因此我们需要找到临界稳定的条件，即特征方程出现纯虚根的情况。(1)当系统无时滞(τ＝0)，特征方程为：
λ4+P1λ3+(P2-Q1)λ2+(P3-Q2)λ+P4-Q3＝0 (7)
讨论上述方程的特征根是否具有负实部。
上述方程的根具有负实部的充要条件为如下的劳斯-赫尔维茨Routh-Hurwitz判据满足。
A1＝P1＞0 (8)
Figure BDA0002507177510000081
Figure BDA0002507177510000082
其中，
P1＝a1+a2+a3+a4-α-a1α
P2＝a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4-a2α-a3α-a4α-a1a2α-a1a3α-a1a4α
P3＝a1a2a3+a1a2a4+a1a3a4+a2a3a4-a2a3α-a2a4α-a3a4α-a1a2a3α-a1a2a4α-a1a3a4α
P4＝a1a2a3a4-a2a3a4α-a1a2a3a4α
Q1＝b12f1′(0)b21f2′(0)
Q2＝a3b12f1′(0)b21f2′(0)+a4b12f1′(0)b21f2′(0)+b13f1′(0)b34f3′(0)b41f4′(0)
Q3＝a3a4b12f1′(0)b21f2′(0)+a2b13f1′(0)b34f3′(0)b41f4′(0)
因此可得结论一：当控制器参数满足上述(8)-(10)三个不等式时，无时滞情况下的系统是稳定的。
(2)当系统有时滞(τ＞0)，将λ＝iω带入特征方程中，分离实部虚部可得：
(Q3-Q1ω2)cosωτ+Q2ωsinωτ＝ω4-P2ω2+P4
(-Q2ω)cosωτ-(Q1ω2-Q3)sinωτ＝P1ω3+P3ω
等式两边平方相加可得：
ω8+(P1 2-2P2)ω6+(P2 2+2P4+2P1P3-Q1 2)ω4+(P3 2-2P2P4+2Q1Q3-Q2 2)ω2+P4 2-Q3 2＝0
其中
P1＝a1+a2+a3+a4-α-a1α
P2＝a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4-a2α-a3α-a4α-a1a2α-a1a3α-a1a4α
P3＝a1a2a3+a1a2a4+a1a3a4+a2a3a4-a2a3α-a2a4α-a3a4α-a1a2a3α-a1a2a4α-a1a3a4α
P4＝a1a2a3a4-a2a3a4α-a1a2a3a4α
Q1＝b12f1′(0)b21f2′(0)
Q2＝a3b12f1′(0)b21f2′(0)+a4b12f1′(0)b21f2′(0)+b13f1′(0)b34f3′(0)b41f4′(0)
Q3＝a3a4b12f1′(0)b21f2′(0)+a2b13f1′(0)b34f3′(0)b41f4′(0)
此时我们令
h(ω)＝ω8+(P1 2-2P2)ω6+(P2 2+2P4+2P1P3-Q1 2)ω4+(P3 2-2P2P4+2Q1Q3-Q2 2)ω2+P4 2-Q3 2。
当P4 2-Q3 2＜0，上述方程至少有一个正根ω0，对应可解出此时的时滞
Figure BDA0002507177510000091
分岔点是系统从稳定到不稳定的一个临界点，那么对应的特征方程的根要从该点处穿越虚轴到达虚轴的右半平面，因此在该点出特征根对于分岔参数τ的导数在τ0处的实部是大于零的，那么特征根才能从左半平面穿越到右半平面。
对于特征方程两边对于τ求导得出
Figure BDA0002507177510000092
进一步可得导数的实部为：
Figure BDA0002507177510000093
将λ＝iω0带入上式得
Figure BDA0002507177510000094
显然
Figure BDA0002507177510000095
上述结果可以看出在τ0处满足穿越条件，因此，τ0是原被控系统的分岔点。我们可以得出以下结论二：
a.当时滞选取满足τ∈[0,τ0)，受控系统在平衡点O(0,0,0)处局部渐进稳定；
b.当时滞满足τ＝τ0时，系统在平衡点O(0,0,0)周围产生Hopf分岔现象，当τ穿越τ0时，系统产生一组周期解。
下面运用实例对本发明作进一步说明。本发明运用Matlab仿真实例来验证。
第一步：选取无控的含有多个时滞的双环神经元系统模型。具体数学表达如下：
Figure BDA0002507177510000101
由计算程序可得出，无控时系统的分岔点为τ0＝3.1768。
如图2，3所示，当选取时滞和为τ＝2.8＜τ0时，无控系统在平衡点处渐进稳定。
如图4，5所示，当选取时滞和为τ＝3.3＞τ0时，无控系统失去稳定性，产生震荡，且在平衡点周围出现Hopf分岔现象。
第二步：对含有多个时滞的双环神经元系统系统模型加入混合控制器，控制器参数η＝0.3。受控系统的具体数学表达如下：
Figure BDA0002507177510000102
由计算程序可得出，受控时系统的分岔点为τ0＝1.0658。
如图6，7所示，当选取时滞和为τ＝0.9＜τ0时，受控系统在平衡点处渐进稳定。
如图8，9所示，当选取时滞和为τ＝1.1＞τ0时，受控系统失去稳定性，产生震荡，且在平衡点周围出现Hopf分岔现象。
对于系统/装置实施例而言，由于其基本相似于方法实施例，所以描述的比较简单，相关之处参见方法实施例的部分说明即可。
需要说明的是，在本文中，诸如第一和第二等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者一个操作与另一个实体或者另一个操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或者操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。
本领域内的技术人员应明白，本申请的实施例可提供为方法、系统、或计算机程序产品。因此，本申请可采用完全硬件实施例、完全应用实施例、或结合应用和硬件方面的实施例的形式。而且，本申请可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质(包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等)上实施的计算机程序产品的形式。
本发明是参照根据本发明实施例的方法、设备(系统)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。
这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。
这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。
尽管已描述了本发明的优选实施例，但本领域内的技术人员一旦得知了基本创造性概念，则可对这些实施例作出另外的变更和修改。所以，所附权利要求意欲解释为包括优选实施例以及落入本发明范围的所有变更和修改。
显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (3)

1.一种基于多个时滞的双环神经元系统的混合控制器设计方法，其特征在于，该方法包括：
(1)建立无控的多个时滞的双环神经元模型，得到系统稳定性特性和平衡点信息；
(2)对于无控的多个时滞的双环神经元模型施加混合控制器，在平衡点处加入混合控制器，得到加入混合控制器的神经元网络模型；
(3)将受混合控制器作用的神经元模型在平衡点处线性化，得出线性化的被控网络的特征方程；
(4)选取时滞和分岔参数，通过对该线性化后的被控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析，选取适当的控制器参数，使得该网络在平衡点附近局部稳定；
步骤(1)中，所述无控的多个时滞的双环神经元模型表示为：
Figure FDA0003739349320000011
Figure FDA0003739349320000012
Figure FDA0003739349320000013
Figure FDA0003739349320000014
其中，vi(t)(i＝1,2,3,4)表示第i个神经元在t时刻的状态，ai(i＝1,2,3,4)＞0是自反馈强度系数，b为连接权重，τ为延迟时间，b和τ的下标表示两个神经元之间的联系，f(g)为激活函数，并满足f(0)＝0,f∈C1，得到这个神经网络模型的非负平衡点为O(0,0,0,0)；
步骤(2)中，所述在平衡点加入混合控制器的表达如下：
u(t)＝α(-a1v1(t)+b21f2v2(t-τ21)+b41f4v4(t-τ41)+v1(t)-v1*)
其中，α∈[-1,1]为反馈增益参数，v1*为所求平衡点中v1(t)分量，因此，v1*＝0；
步骤(2)中，加入混合控制器的神经元网络的数学模型如下：
Figure FDA0003739349320000021
所述步骤(3)中，将受混合控制器作用的神经元模型在平衡点处线性化，得到：
Figure FDA0003739349320000022
Figure FDA0003739349320000023
Figure FDA0003739349320000024
Figure FDA0003739349320000025
所述线性化的被控网络的特征方程表示为：
Figure FDA0003739349320000026
即：
λ4+P1λ3+P2λ2+P3λ+P4-e-λτ(Q1λ2+Q2λ+Q3)＝0
其中：
Figure FDA0003739349320000027
2.根据权利要求1所述的基于多个时滞的双环神经元系统的混合控制器设计方法，其特征在于，步骤(4)中，所述网络在平衡点附近局部稳定的条件是特征方程的根具有负实部，因此，找到临界稳定的条件，即特征方程出现纯虚根的情况。
3.根据权利要求2所述的基于多个时滞的双环神经元系统的混合控制器设计方法，其特征在于，使所述特征方程的根具有负实部的情况具体包括：
当系统无时滞τ＝0时，特征方程为：
λ4+P1λ3+(P2-Q1)λ2+(P3-Q2)λ+P4-Q3＝0，
上述方程的根具有负实部的充要条件为如下的劳斯-赫尔维茨Routh-Hurwitz判据满足：
A1＝P1＞0
Figure FDA0003739349320000031
Figure FDA0003739349320000032
其中，
P1＝a1+a2+a3+a4-α-a1α
P2＝a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4-a2α-a3α-a4α-a1a2α-a1a3α-a1a4α
P3＝a1a2a3+a1a2a4+a1a3a4+a2a3a4-a2a3α-a2a4α-a3a4α-a1a2a3α-a1a2a4α-a1a3a4α
P4＝a1a2a3a4-a2a3a4α-a1a2a3a4α
Q1＝b12f1′(0)b21f2′(0)
Q2＝a3b12f1′(0)b21f2′(0)+a4b12f1′(0)b21f2′(0)+b13f1′(0)b34f3′(0)b41f4′(0)
Q3＝a3a4b12f1′(0)b21f2′(0)+a2b13f1′(0)b34f3′(0)b41f4′(0)
因此，当控制器参数满足上述三个不等式时，无时滞情况下的系统是稳定的；
当系统有时滞(τ＞0)，将λ＝iω带入特征方程中，分离实部虚部可得：
(Q3-Q1ω2)cosωτ+Q2ωsinωτ＝ω4-P2ω2+P4
(-Q2ω)cosωτ-(Q1ω2-Q3)sinωτ＝P1ω3+P3ω
此时，令
h(ω)＝ω8+(P1 2-2P2)ω6+(P2 2+2P4+2P1P3-Q1 2)ω4+(P3 2-2P2P4+2Q1Q3-Q2 2)ω2+P4 2-Q3 2
当P4 2-Q3 2＜0，上述方程至少有一个正根ω0，对应可解出此时的时滞：
Figure FDA0003739349320000041
分岔点是系统从稳定到不稳定的一个临界点，那么对应的特征方程的根要从该点处穿越虚轴到达虚轴的右半平面，因此，在该点出特征根对于分岔参数τ的导数在τ0处的实部是大于零的，特征根才能从左半平面穿越到右半平面，由此得到：
当时滞选取满足τ∈[0,τ0)，受控系统在平衡点O(0,0,0)处局部渐进稳定；
当时滞满足τ＝τ0时，系统在平衡点O(0,0,0)周围产生Hopf分岔现象，当τ穿越τ0时，系统产生一组周期解。
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