CN111709087A - 一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性的计算方法 - Google Patents

Abstract

一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性的计算方法。本发明的目的是提供一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性计算方法，通过调节边界弹簧的刚度来模拟结构的任意边界条件，揭示超声速气流中复合材料层合板颤振及热屈曲发生的机理，分析边界弹簧刚度对结构气动热弹性特性的影响规律，进而使得航天飞行器结构满足现代飞行器的设计要求。过程为：建立结构的应变‑位移关系以及本构关系；建立结构的气动热弹性运动方程；利用频域分析的方法求解结构的固有频率，分析结构的气动热弹性稳定性特性。本发明属于航空航天领域。

Description

一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性的计 算方法

技术领域

本发明涉及一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性的计算方法。

背景技术

随着材料科学的不断发展，各种新型材料不断应用到航空航天领域。复合材料结构是一种轻质且刚度大的层合结构，可以通过设计纤维铺设角度来调节其力学特性，因此在飞行器结构的设计中得到广泛的应用。由于简支边界条件下结构的振动模态可以用简单的三角函数来表示，以往对结构的气动热弹性分析主要集中在简支板壳结构上。然而为了适应极端的飞行环境，航空航天飞行器结构的复杂程度不断加深，对简单边界条件下飞行器结构进行超声速气动热弹性分析并不能满足现代飞行器的设计要求。而弹性边界可以模拟飞行器结构的不同边界条件，因此对弹性边界复合材料板壳结构的气动热弹性特性进行研究具有重大的意义。

发明内容

本发明的目的是提供一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性计算方法，通过调节边界弹簧的刚度来模拟结构的任意边界条件，揭示超声速气流中复合材料层合板颤振及热屈曲发生的机理，分析边界弹簧刚度对结构气动热弹性特性的影响规律，进而使得航天飞行器结构满足现代飞行器的设计要求。

本发明一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性的计算方法包括以下步骤：

步骤一：基于复合材料层合板结构的几何变形建立复合材料层合板结构的应变-位移关系以及本构关系；

步骤二：建立超声速气动力和温度变化引起结构的面内热载荷所做功的表达式以及弹性边界的数学模型，获得复合材料层合板动能、变形能以及弹性边界势能的表达式，基于Hamilton变分原理和Rayleigh-Ritz法建立复合材料层合板结构的气动热弹性运动方程；

步骤三：利用频域分析的方法求解结构的固有频率，分析得到边界弹簧刚度对复合材料层合板结构的气动热弹性特性的影响规律；当温度变化ΔT增加到临界热屈曲温度变化ΔT_cr时，结构的一阶固有频率等于0，这就表明结构发生热屈曲；随着气动压力的增加，结构的特征值实部从负变正，表明颤振发生，此时对应的气动压力λ_cr称为结构的临界颤振气动压力。

有益效果：

1、本发明提供了一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性计算方法，该方法通过调节边界弹簧的刚度来模拟结构的任意边界条件。

2、本发明揭示了超声速气流中复合材料层合板颤振及热屈曲发生的机理，分析了边界弹簧刚度对结构气动热弹性特性的影响规律。

3、本发明明确了x＝a平动弹簧刚度对结构临界颤振气动压力及热屈曲边界的影响最大。

4、本发明支持分析包括层合板纤维铺设角度、层合板的横纵比以及弹性边界弹簧刚度等对结构气动热弹性特性的影响。

5、本发明允许分析不同温度及气动压力下结构的颤振及热屈曲特性，只需修改Matlab程序运行即可获得对应参数下结构的响应。对于仿真和实验研究来说，本发明大大节省了仿真和实验装置设计加工的时间。

附图说明

图1为超声速气流中弹性边界复合材料层合板结构及气动力方向示意图；

图2为复合材料层合板结构的正视图；

图3为复合材料层合板结构的侧视图；

图4为一边固支三边弹性支撑平板实验装置实物图；

图5为复合材料层合板颤振边界随边界弹簧刚度变化图；

图6为复合材料层合板临界热屈曲温度随边界弹簧刚度变化图。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式所述的一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性的计算方法包括以下步骤：

步骤一：基于复合材料层合板结构的几何变形建立复合材料层合板结构的应变-位移关系以及本构关系；

步骤二：建立超声速气动力和温度变化引起结构的面内热载荷所做功的表达式以及弹性边界的数学模型，获得复合材料层合板动能、变形能以及弹性边界势能的表达式，基于Hamilton变分原理和Rayleigh-Ritz法建立复合材料层合板结构的气动热弹性运动方程；

步骤三：利用频域分析的方法求解结构的固有频率，分析得到边界弹簧刚度对复合材料层合板结构的气动热弹性特性的影响规律；当温度变化ΔT增加到临界热屈曲温度变化ΔT_cr时，结构的一阶固有频率等于0，这就表明结构发生热屈曲；随着气动压力的增加，结构的特征值实部从负变正，表明颤振发生，此时对应的气动压力λ_cr称为结构的临界颤振气动压力。

具体实施方式二：所述步骤一的详细步骤为：

步骤①：建立复合材料层合板结构位移场的表达式：

其中u和v分别为结构上任一点沿x方向和y方向的面内位移；u₀，v₀和w分别为结构中性面沿x，y和z轴的位移；ξ＝x/a和η＝y/b分别为复合材料层合板无量纲化的长度和宽度；

步骤②：通过复合材料层合板结构位移场的表达式建立复合材料层合板结构应变-位移关系的表达式：

ε＝[ε_x,ε_y,γ_xy]^T＝ε₁+zκ；

其中

步骤③：建立复合材料层合板结构在温度变化ΔT下本构关系的表达式：

N₁＝A₁ε₁+B₁κ-N_T，M₁＝B₁ε₁+D₁κ-M_T；

其中A₁，B₁和D₁为系数矩阵，N_T和M_T分别为热应力和热弯矩矢量，它们可以表示为：

其中z_s和z_s-1表示层合板第s层上下表面沿厚度方向的坐标；Q_s为层合板第s层的弹性刚度矩阵；α_s为层合板的热膨胀系数矩阵；

其中Q_s和α_s可表示为：

α_s＝[α₁,α₂,0]^T；

其中α₁和α₂为复合材料主方向上的热膨胀系数，T_s为坐标转换矩阵，Q为刚度矩阵；

其中Q和T_s的展开形式如下：

其中Q₁₁＝E₁/(1–υ₁₂υ₂₁)、Q₂₂＝E₂/(1–υ₁₂υ₂₁)、Q₁₂＝υ₁₂E₂/(1–υ₁₂υ₂₁)＝υ₂₁E₁/(1–υ₁₂υ₂₁)和Q₆₆＝G₁₂为刚度系数，其中E₁和E₂为弹性模量，G₁₂为剪切模量，υ₁₂和υ₂₁为泊松比，

表示复合材料纤维方向与主方向夹角。

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：对步骤二中所述超声速气动力和温度变化引起结构的面内热载荷所做功的求解，具体操作过程如下：

其中超声速气动力Δp表示为：

其中M_∞为马赫数，U_a和ρ_a为自由气流的速度和密度；定义无量纲化的气动压力λ＝2q_aa³/(βD₁₁)；

面内热载荷F_tx，F_ty和F_txy表示为：

其中n_l为复合材料层合板的层数，z_s和z_s-1表示复合材料层合板第s层上下表面沿厚度方向的坐标。

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是，步骤二中所述复合材料层合板动能、变形能以及弹性基础势能的建立具体过程如下：

步骤2.11：建立复合材料层合板动能T_k及复合材料层合板变形能U_ts的表达式如下：

其中V表示复合材料层合板的体积；ρ表示复合材料层合板的密度；A为复合材料层合板的面积；

步骤2.12：由弹簧模拟的弹性边界(ξ＝0,1和η＝0,1)势能的表达式如下：

其中k_θx0表示限制复合材料层合板边x＝0转动的旋转弹簧刚度；k_ux0，k_vx0和k_wx0分别表示沿边界x＝0沿x，y和z方向移动的平动弹簧刚度；k_θxa表示限制复合材料层合板边x＝a转动的旋转弹簧刚度；k_uxa，k_vxa和k_wxa分别表示沿边界x＝a沿x，y和z方向移动的平动弹簧刚度；k_θy0表示限制复合材料层合板边y＝0转动的旋转弹簧刚度；k_uy0，k_vy0和k_wy0分别表示沿边界y＝0沿x，y和z方向移动的平动弹簧刚度；k_θyb表示限制复合材料层合板边y＝b转动的旋转弹簧刚度；k_uyb，k_vyb和k_wyb分别表示沿边界y＝b沿x，y和z方向移动的平动弹簧刚度。

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是，步骤二中基于Hamilton变分原理和Rayleigh-Ritz法建立复合材料层合板结构的气动热弹性运动方程具体过程如下：

步骤2.21：Hamilton变分原理可表示为：

步骤2.22：基于假设模态法，结构位移u，v，w，θ_x和θ_y可以表示为：

其中M_h和N_h为截断模态数；χ，ζ和ψ为基于Rayleigh-Ritz法获得的模态形函数，其求解过程如下：

其中M_c和N_c为特征多项式截断项数；a_mn，b_mn和c_mn为未知多项式系数；

和

为特征正交多项式；给出特征多项式的首项

可以通过Gram-Schmidt法构造以下特征多项式：

其中

然后通过最小能量原理获得特征多项式的位置系数a_mn，b_mn和c_mn，从而获得任意边界条件下层合板结构的模态形函数；

步骤2.23：将任意边界条件下层合板结构的模态形函数带入复合材料层合板动能、变形能以及弹性基础势能的表达式，利用Hamilton变分原理建立超声速气流中任意边界条件下复合材料层合板的运动微分方程表示为：：

其中X为广义坐标矢量，C_Δp和K_Δp分别为气动阻尼矩阵和气动刚度矩阵，M和K₀分别为模态质量矩阵和模态刚度矩阵，K_ΔT为热刚度矩阵，K_es为弹性边界刚度矩阵。

其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

实施例：

1-1.计算实例

超声速气流中弹性边界复合材料层合板结构示意图如图1所示，图2和图3分别为弹性边界层合板结构的正视图和侧视图。纤维铺设角度为

的层合板的材料属性为：E₁＝150×10⁹N/m²，E₂＝9.0×10⁹N/m²，υ₁₂＝0.3，G₁₂＝7.1×10⁹N/m²，ρ＝1600kg/m³，α₁＝–0.07×10^–6/℃和α₂＝30.1×10^–6/℃。计算中截断模态项数取m＝n＝7，层合板的长度、宽度和厚度分别为：a＝0.2m，b＝0.2m，h＝0.002m。

1-2.计算过程

1、基于复合材料层合板本构关系的建立步骤，获得层合板本构关系的表达式。

2、根据弹性边界复合材料层合板能量关系的建立步骤，求解复合材料层合板的动能、应变能以及弹性边界的势能。

3、利用Rayleigh-Ritz法构建弹性边界条件下层合板结构的模态形函数，通过调节弹性边界弹簧刚度的大小模拟结构的任意边界条件。

4、基于外力对复合材料层合板所做功的求解步骤，获得超声速气动力和面内热载荷所做功的表达式。

5、利用Hamilton变分原理建立超声速气流中弹性边界复合材料层合板结构的运动微分方程。

6、计算边界弹簧刚度对结构颤振速度及临界热屈曲温度变化的影响：计算得到复合材料层合板颤振边界随边界弹簧刚度变化如图5所示，复合材料层合板临界热屈曲温度随边界弹簧刚度变化如图6所示。

2-1.实验验证实例

为验证本发明弹性边界计算的正确性，基于实验方法测试了弹性边界平板结构的固有频率，并与理论计算结果进行对比。一边固支三边弹性支撑平板实验装置如图4所示。平板结构的几何尺寸和材料参数为：a＝b＝0.5m，h＝0.005m，ρ＝1190kg/m³，E＝3×10⁹N/m²，μ＝0.4。用来模拟弹性边界的人工弹簧的刚度为k_e＝530N/m。

2-2.实验过程

1、平板结构的固定约束端用夹子固定在两块钢板上。

2、为防止弹簧扭动，边界弹簧安装在3D打印的弹簧支座上，并把弹簧支座黏贴在实验台上。

3、利用冲击锤激励平板结构，加速度传感器黏贴在平板结构表面。

4、利用数据采集和处理系统用来接收和处理传感器传输的信号，计算一边固支三边弹性支撑平板的固有频率。计算得到一边固支三边弹性支撑平板结构的固有频率如表1所示。

3.计算收益

本发明提出了一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性计算方法。结构的任意边界条件通过改变边界弹簧的刚度来模拟。与传统的仿真和实验方法相比，本发明的方法能够快速有效的计算结构的颤振及热屈曲边界，揭示边界弹簧刚度对复合材料层合板结构气动热弹性特性的影响机理。并且通过与实验结果进行比较，验证了理论计算方法的正确性。该方法研究了边界弹簧刚度及结构的几何参数对颤振及热屈曲特性的影响，得到的有益结论可为飞行器壁板结构的设计提供良好的指导，具体结论如下：

1、沿气流方向边界的旋转和平动弹簧刚度的增加使结构的颤振边界增加1％和2.7％，也就是说弹簧刚度k_θy0和k_wy0对结构颤振边界的影响基本可以忽略；

2、沿边界x＝0和a的旋转和平动弹簧刚度的增加会使结构颤振边界显著增加，弹簧刚度k_θxa和k_wxa从0增加到无穷引起结构的颤振边界增长24.3％和60.4％；

3、相对其它边界弹簧来说，沿边界x＝a平动弹簧刚度的增加对结构临界热屈曲温度变化的影响最大，它会导致结构临界热屈曲温度变化增加70.5％。

4、随着复合材料层合板结构横纵比的增加，结构的临界颤振气动压力增加，而结构的临界热屈曲温度变化减小。

Claims (5)

1.一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：基于复合材料层合板结构的几何变形建立复合材料层合板结构的应变-位移关系以及本构关系；

步骤二：建立超声速气动力和温度变化引起结构的面内热载荷所做功的表达式以及弹性边界的数学模型，获得复合材料层合板动能、变形能以及弹性边界势能的表达式，基于Hamilton变分原理和Rayleigh-Ritz法建立复合材料层合板结构的气动热弹性运动方程；

步骤三：利用频域分析的方法求解结构的固有频率，分析得到边界弹簧刚度对复合材料层合板结构的气动热弹性特性的影响规律；当温度变化ΔT增加到临界热屈曲温度变化ΔT_cr时，结构的一阶固有频率等于0，这就表明结构发生热屈曲；随着气动压力的增加，结构的特征值实部从负变正，表明颤振发生，此时对应的气动压力λ_cr称为结构的临界颤振气动压力。

2.根据权利要求1所述一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性的计算方法，其特征在于，所述步骤一的详细步骤为：

步骤①：建立复合材料层合板结构位移场的表达式：

w＝w；

其中u和v分别为结构上任一点沿x方向和y方向的面内位移；u₀，v₀和w分别为结构中性面沿x，y和z轴的位移；ξ＝x/a和η＝y/b分别为复合材料层合板无量纲化的长度和宽度；

步骤②：通过复合材料层合板结构位移场的表达式建立复合材料层合板结构应变-位移关系的表达式：

ε＝[ε_x,ε_y,γ_xy]^T＝ε₁+zκ；

其中

步骤③：建立复合材料层合板结构在温度变化ΔT下本构关系的表达式：

N₁＝A₁ε₁+B₁κ-N_T，M₁＝B₁ε₁+D₁κ-M_T；

其中A₁，B₁和D₁为系数矩阵，N_T和M_T分别为热应力和热弯矩矢量，它们可以表示为：

其中z_s和z_s-1表示层合板第s层上下表面沿厚度方向的坐标；Q_s为层合板第s层的弹性刚度矩阵；α_s为层合板的热膨胀系数矩阵；

其中Q_s和α_s可表示为：

α_s＝[α₁,α₂,0]^T；

其中α₁和α₂为复合材料主方向上的热膨胀系数，T_s为坐标转换矩阵，Q为刚度矩阵；

其中Q和T_s的展开形式如下：

其中Q₁₁＝E₁/(1–υ₁₂υ₂₁)、Q₂₂＝E₂/(1–υ₁₂υ₂₁)、Q₁₂＝υ₁₂E₂/(1–υ₁₂υ₂₁)＝υ₂₁E₁/(1–υ₁₂υ₂₁)和Q₆₆＝G₁₂为刚度系数，其中E₁和E₂为弹性模量，G₁₂为剪切模量，υ₁₂和υ₂₁为泊松比，

表示复合材料纤维方向与主方向夹角。

3.根据权利要求1所述一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性的计算方法，其特征在于，对步骤二中所述超声速气动力和温度变化引起结构的面内热载荷所做功的求解，具体操作过程如下：

其中超声速气动力Δp表示为：

其中M_∞为马赫数，U_a和ρ_a为自由气流的速度和密度；定义无量纲化的气动压力λ＝2q_aa³/(βD₁₁)；

面内热载荷F_tx，F_ty和F_txy表示为：

其中n_l为复合材料层合板的层数，z_s和z_s-1表示复合材料层合板第s层上下表面沿厚度方向的坐标。

4.根据权利要求1所述一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性的计算方法，其特征在于，步骤二中所述复合材料层合板动能、变形能以及弹性基础势能的建立具体过程如下：

步骤2.11：建立复合材料层合板动能T_k及复合材料层合板变形能U_ts的表达式如下：

其中V表示复合材料层合板的体积；ρ表示复合材料层合板的密度；A为复合材料层合板的面积；

步骤2.12：由弹簧模拟的弹性边界(ξ＝0,1和η＝0,1)势能的表达式如下：

其中k_θx0表示限制复合材料层合板边x＝0转动的旋转弹簧刚度；k_ux0，k_vx0和k_wx0分别表示沿边界x＝0沿x，y和z方向移动的平动弹簧刚度；k_θxa表示限制复合材料层合板边x＝a转动的旋转弹簧刚度；k_uxa，k_vxa和k_wxa分别表示沿边界x＝a沿x，y和z方向移动的平动弹簧刚度；k_θy0表示限制复合材料层合板边y＝0转动的旋转弹簧刚度；k_uy0，k_vy0和k_wy0分别表示沿边界y＝0沿x，y和z方向移动的平动弹簧刚度；k_θyb表示限制复合材料层合板边y＝b转动的旋转弹簧刚度；k_uyb，k_vyb和k_wyb分别表示沿边界y＝b沿x，y和z方向移动的平动弹簧刚度。

5.根据权利要求4所述一种任意边界条件下复合材料层合板颤振及热屈曲特性的计算方法，其特征在于，步骤二中基于Hamilton变分原理和Rayleigh-Ritz法建立复合材料层合板结构的气动热弹性运动方程具体过程如下：

步骤2.21：Hamilton变分原理可表示为：

步骤2.22：基于假设模态法，结构位移u，v，w，θ_x和θ_y可以表示为：

其中M_h和N_h为截断模态数；χ，ζ和ψ为基于Rayleigh-Ritz法获得的模态形函数，其求解过程如下：

其中M_c和N_c为特征多项式截断项数；a_mn，b_mn和c_mn为未知多项式系数；

和

为特征正交多项式；给出特征多项式的首项

可以通过Gram-Schmidt法构造以下特征多项式：

其中

然后通过最小能量原理获得特征多项式的位置系数a_mn，b_mn和c_mn，从而获得任意边界条件下层合板结构的模态形函数；

步骤2.23：将任意边界条件下层合板结构的模态形函数带入复合材料层合板动能、变形能以及弹性基础势能的表达式，利用Hamilton变分原理建立超声速气流中任意边界条件下复合材料层合板的运动微分方程表示为：：

其中X为广义坐标矢量，C_Δp和K_Δp分别为气动阻尼矩阵和气动刚度矩阵，M和K₀分别为模态质量矩阵和模态刚度矩阵，K_ΔT为热刚度矩阵，K_es为弹性边界刚度矩阵。

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