CN111709068A - 一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法，具体按照如下步骤进行：步骤1：构建单位长度梁的价格C的目标函数，目标函数表示为公式(1)，步骤2：构建约束条件；步骤3：简化优化目标函数，表示为公式(2)；步骤4：采用一维搜索迭代算法求极小值点minC。本发明一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法通过一维搜索求对T形截面钢筋混凝土梁截面优化设计的最优解，使得T形截面钢筋混凝土梁截面优化设计效率较高和精确度较高。

Description

一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法

技术领域

本发明属于建筑结构设计技术领域，具体涉及一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法。

背景技术

在建筑结构设计领域，有一种T形截面梁受弯构件广泛应用于工程结构中。例如现浇肋梁楼盖的梁与楼板浇筑在一起形成的T形梁；预制构件中的独立T形梁。一些其他截面形式的预制梁如I形吊车梁、薄腹屋面梁等也按照T形截面受弯构件考虑。与矩形截面梁相比，T形截面梁的极限承载能力不受影响，而且节约了混凝土材料，减轻了自身的重量，具有一定的经济效益。

目前T形截面梁的优化设计可以使用一维算法来寻优，但是目前的一维算法收敛速度较慢和收敛稳定性不高，因此，T形截面梁的优化设计有待进一步提高。

发明内容

本发明的目的是提供一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法，解决了目前的T形截面梁的优化设计有待进一步提高的问题。

本发明所采用的技术方案是，

一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法，具体按照如下步骤进行：

步骤1：构建单位长度梁的价格C的目标函数，如下公式(1)：

C＝c_h[b(h₀+a_s)+(b′_f-b)h′_f]+c_s·A_S 公式(1)，

其中，c_h为混凝土的单价，c_s为钢筋单价，h₀为T形截面梁的有效高度，h′_f为翼板高度，A_S为钢筋截面积，b为腹板宽度，a_s为保护层厚度，b′_f为翼板宽度；

步骤2：构建约束条件；

步骤3：简化优化目标函数，得到如下公式(2)：

其中，minC为极小值点，M_max为最大弯矩，γ_s为内力臂系数，h₀为有效高度，c_h为混凝土的单价，c_s为钢筋单价，h′_f为翼板高度，b为腹板宽度，a_s为保护层厚度，b′_f为翼板宽度；

步骤4：采用一维搜索迭代算法求极小值点minC。

本发明的特点还在于，

步骤4中，所述一维搜索迭代算法具体包括：

步骤4.1：选取连续的单峰函数f(x)的区间(a_k，b_k)，并计算区间端点f(a_k，b_k)的值[h₀，h₁]，区间内函数的极小值点记作minC，控制精度δ＞0，若|b_k-a_k|＜δ，则输出(a_k+b_k)/2近似等于极小值，否则判断f(a_k)与f(b_k)的大小，当f(a_k)≤f(b_k)时转入步骤4.2，当f(a_k)＞f(b_k)时转入步骤4.5；

步骤4.2：当f(a_k)≤f(b_k)，判断若|m₃-m₂|≤δ时，输出(m₂+m₃)/2，即为极小值点minC；若|m₃-m₂|＞δ，则判断m₃与m₂的大小，若m₃＞m₂时，则进行如下命令：若m₃＜m₂时，则交换m₂和m₃的值后也进行如下命令：

其中，m₂为f(x)上点a_k与点m中点的横坐标，其中，m为f(x)过a_k点的x轴的平行线在minC另一侧曲线交点的横坐标，m₃为过点m₂作f(x)的一条与x轴平行的线在minC另一侧曲线交点的横坐标；

令：ζ_k＝m₂+0.382(m₃－m₂)，η_k＝m₂+0.618(m₃－m₂)，并计算出f(ζ_k)，f(η_k)；

步骤4.3：判断f(ζ_k)与f(η_k)值的大小，若f(ζ_k)＞f(η_k)，

令a_k+1＝ζ_k，b_k+1＝m₃，ζ_k+1＝η_k，η_k+1＝a_k+1+0.618(b_k+1－a_k+1)，计算f(ζ_k+1)和f(η_k+1)的值，判断若|f(ζ_k+1)－f(η_k+1)|≤δ，则输出ζ_k+1+η_k+1/2；若|f(ζ_k+1)－f(η_k+1)|＞δ，则令k＝k+1，转入步骤4.2；

若f(ζ_k)≤f(η_k)，则令：a_k+1＝m₂，b_k+1＝η_k，η_k+1＝ζ_k，ζ_k+1＝a_k++0.382(b_k+1－a_k+1)，计算f(ζ_k+1)和f(η_k+1)的值，判断若|f(ζ_k+1)－f(η_k+1)|≤δ，则输出ζ_k+1+η_k+1/2；若|f(ζ_k+1)－f(η_k+1)|＞δ，则令k＝k+1，转入步骤4.2；

步骤4.4：输出后得到极小值点minC；

步骤4.5：当f(a_k)＞f(b_k)，判断若|m₃－m₂|≤δ时，输出(m₂+m₃)/2，即为极小值点minC；若|m₃－m₂|＞δ，则判断m₃与m₂的大小，若m₃＞m₂时，则进行如下命令：若m₃<m₂时，则交换m₂和m ₃的值后也进行如下命令：

令：ζ_k＝m₂+0.382(m₃－m₂)，η_k＝m₂+0.618(m₃－m₂)，并计算出f(ζ_k)，f(η_k)；并执行步骤4.3。

步骤4.2中，m₂、m以及m₃表示为如下公式(3)、(4)和(5)：

步骤4.5中，m₂、m以及m₃表示为如下公式(3＇)、(4＇)和(5＇)：

步骤2中，构建约束条件具体包括：构建抗弯强度要求、构建抗剪强度要求以及构建配筋限制要求。

步骤2中，构建抗弯强度要求包括对于两类截面分别按照如下公式(6)和公式(7)：

其中，x为界面受压区高度，α₁为无量纲系数，f_c为混凝土轴心抗压强度设计值，h₀为有效高度，h′_f为翼板高度，b为腹板宽度，a_s为保护层厚度，b′_f为翼板宽度；

抗剪强度要求按照如下公式(8)：

V≤0.3β_cf_cbh₀ 公式(8)，

其中，β_c为混凝土强度影响系数，f_c为混凝土轴心抗压强度设计值，b为腹板宽度，h₀为有效高度；

配筋限制要求包括：最大配筋率按照如下公式(9)：

其中，α₁为无量纲系数，f_c为混凝土轴心抗压强度设计值，b为腹板宽度，h₀为有效高度；

最小配筋率按照如下公式(10)：

其中，A_S为钢筋截面积，b为腹板宽度，h₀为有效高度，ρ_min为最小配筋率。

本发明的有益效果是：本发明一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法，通过一维搜索求对T形截面钢筋混凝土梁截面优化设计的最优解，因该算法具有收敛速度快和收敛稳定性高等特点，使得T形截面钢筋混凝土梁截面优化设计效率较高和精确度较高，具有一定的实用性。

附图说明

图1是本发明一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法中一维搜索迭代算法的流程框图；

图2是本发明一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法中一维搜索迭代算法的原理示意图；

图3是本发明一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法中T形截面的工程结构示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法进行详细说明。

如图3所示，一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法，具体按照如下步骤进行：

步骤1：构建单位长度梁的价格C的目标函数，如下公式(1)：

C＝c_h[b(h₀+a_s)+(b′_f-b)h′_f]+c_s·A_S 公式(1)，

其中，c_h为混凝土的单价，c_s为钢筋单价，h₀为T形截面梁的有效高度，h′_f为翼板高度，A_S为钢筋截面积，b为腹板宽度，a_s为保护层厚度，b′_f为翼板宽度；

步骤2：构建约束条件；

步骤3：简化优化目标函数，得到如下公式(2)：

其中，minC为极小值点，M_max为最大弯矩，γ_s为内力臂系数，h₀为有效高度，c_h为混凝土的单价，c_s为钢筋单价，h′_f为翼板高度，b为腹板宽度，a_s为保护层厚度，b′_f为翼板宽度；

步骤4：采用一维搜索迭代算法求极小值点minC。

进一步地，如图2所示，步骤4中，所述一维搜索迭代算法具体包括：

步骤4.1：选取连续的单峰函数f(x)的区间(a_k，b_k)，并计算区间端点f(a_k，b_k)的值[h₀，h₁]，区间内函数的极小值点记作minC,控制精度δ＞0，若|b_k－a_k|＜δ，则输出(a_k+b_k)/2近似等于极小值，否则判断f(a_k)与f(b_k)的大小，当f(a_k)≤f(b_k)时转入步骤4.2，当f(a_k)＞f(b_k)时转入步骤4.5；

步骤4.2：当f(a_k)≤f(b_k)，判断若|m₃－m₂|≤δ时，输出(m₂+m₃)/2，即为极小值点minC；若|m₃－m₂|≥δ，则判断m₃与m₂的大小，若m₃＞m₂时，则进行如下命令：若m₃<m₂时，则交换m₂和m₃的值后也进行如下命令：

其中，m₂为f(x)上点a_k与点m中点的横坐标，其中，m为f(x)过a_k点的x轴的平行线在minC另一侧曲线交点的横坐标，m₃为过点m₂作f(x)的一条与x轴平行的线在minC另一侧曲线交点的横坐标；

令：ζ_k＝m₂+0.382(m₃－m₂)，η_k＝m₂+0.618(m₃－m₂)，并计算出f(ζ_k)，f(η_k)；

步骤4.3：判断f(ζ_k)与f(η_k)值的大小，若f(ζ_k)＞f(η_k)，

令a_k+1＝ζ_k，b_k+1＝m₃，ζ_k+1＝η_k，η_k+1＝a_k+1+0.618(b_k+1－a_k+1)，计算f(ζ_k+1)和f(η_k+1)的值，判断若|f(ζ_k+1)－f(η_k+1)|≤δ，则输出ζ_k+1+η_k+1/2；若|f(ζ_k+1)－f(η_k+1)|＞δ，则令k＝k+1，转入步骤4.2；

若f(ζ_k)≤f(η_k)，则令：a_k+1＝m₂，b_k+1＝η_k，η_k+1＝ζ_k，ζ_k+1＝a_k++0.382(b_k+1－a_k+1)，计算f(ζ_k+1)和f(η_k+1)的值，判断若|f(ζ_k+1)－f(η_k+1)|≤δ，则输出ζ_k+1+η_k+1/2；若|f(ζ_k+1)－f(η_k+1)|＞δ，则令k＝k+1，转入步骤4.2；

步骤4.4：输出后得到极小值点minC；

步骤4.5：当f(a_k)＞f(b_k)，判断若|m₃－m₂|≤δ时，输出(m₂+m₃)/2，即为极小值点minC；若|m₃－m₂|＞δ，则判断m₃与m₂的大小，若m₃＞m₂时，则进行如下命令：若m₃<m₂时，则交换m₂和m₃的值后也进行如下命令：

令：ζ_k＝m₂+0.382(m₃－m₂)，η_k＝m₂+0.618(m₃－m₂)，并计算出f(ζ_k)，f(η_k)；并执行步骤4.3。

进一步地，步骤4.2中，m₂、m以及m₃表示为如下公式(3)、(4)和(5)：

步骤4.5中，m₂、m以及m₃表示为如下公式(3＇)、(4＇)和(5＇)：

进一步地，步骤2中，构建约束条件具体包括：构建抗弯强度要求、构建抗剪强度要求以及构建配筋限制要求。

进一步地，如图3所示，步骤2中，构建抗弯强度要求包括对于两类截面分别按照如下公式(6)和公式(7)：

其中，x为界面受压区高度，α₁为无量纲系数，f_c为混凝土轴心抗压强度设计值，h₀为有效高度，h′_f为翼板高度，b为腹板宽度，a_s为保护层厚度，b′_f为翼板宽度；

抗剪强度要求按照如下公式(8)：

V≤0.3β_cf_cbh₀ 公式(8)，

其中，β_c为混凝土强度影响系数，f_c为混凝土轴心抗压强度设计值，b为腹板宽度，h₀为有效高度；

配筋限制要求包括：最大配筋率按照如下公式(9)：

其中，α₁为无量纲系数，f_c为混凝土轴心抗压强度设计值，b为腹板宽度，h₀为有效高度；

最小配筋率按照如下公式(10)：

其中，A_S为钢筋截面积，b为腹板宽度，h₀为有效高度，ρ_min为最小配筋率。

下面对本发明一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法进行进一步详细解释；

首先进行数学模型的建立；

假定某简支梁的跨度为l,荷载作用下的界面M_max为最大弯矩，最大剪力V_max，考虑截面满足强度条件和规范中关于梁的构造规定，优化的目的是使T形截面梁所使用的混凝土和钢筋用量最少，不考虑人工制作费用。

取单位长度的梁的价格C为目标函数：

C＝c_h[b(h₀+a_s)+(b′_f-b)h′_f]+c_s·A_S 公式(1)

其中，c_h为混凝土的单价，c_s为钢筋单价，h₀为T形截面梁的有效高度，h′_f为翼板高度，A_S为钢筋截面积，b为腹板宽度，a_s为保护层厚度，b′_f为翼板宽度；

构建约束条件：

抗弯强度要求：

对于第Ⅰ类截面：

对于第Ⅱ类截面：

其中，x为界面受压区高度；

抗剪强度要求：

对于T形截面或工字形截面简支梁当有实践经验时，

V≤0.3β_cf_cbh₀ 公式(8)，

配筋限制要求：

优化模型的简化：

由于钢筋混凝土梁的优化设计是一个多变量,多约束,非线性的最优化问题,若从工程实际出发,根据设计及使用经验的分析,将一些变量作为预定参数,以减少设计变量的数目,对目标函数和约束条件中某些参数的计算作一些简化,以减少其非线性程度,就使得优化设计的问题简单易行,因此,本文对钢筋混凝土T形截面梁的优化设计作如下处理:

(l)梁的腹板截面宽度b:一般工程设计中通常是按构造要求进行选定,因此,本文将其作为预定参数来考虑,不作为设计变量。

(2)为减少设计变量,按单筋矩形截面进行优化,不考虑受压区钢筋作用,仅考虑按构造设置架立筋。

(3)为了减少优化参数,在斜截面抗剪承载力约束条件中,不考虑设置弯起钢筋,仅考虑箍筋(A_sv)的抗剪作用,且箍筋不作为设计变量进行优化。

(4)裂缝开展宽度和抗裂度、挠度等限制规定不作为约束条件来考虑。因为,对于一般钢筋混凝土梁来说,上述条件基本均能满足要求,这样处理对优化设计结果的影响也不是很大,但使优化过程更为简单。

(5)为了进一步简化优化过程,减少设计变量,在腹板截面宽高比不大于2.5的情况下截面钢筋截面积用近似公式

来代替，γ_s为内力臂系数，取0.9。

通过上述处理后,钢筋混凝土T形截面梁的优化设计问题就显得更为简单。在目标函数中,本文仅考虑影响钢筋混凝土T形截面梁造价的主要可比因素,即:只计入梁中受拉钢筋及混凝土的造价,至于其它因素,如箍筋、架立筋、构造钢筋、模板及施工费用等,在结构设计方案确定之后,对钢筋混凝土梁的造价影响不大,均认为其基本相等,不予计入。若从严要求,在考虑梁的造价时而要求计人其费用时,可分别反映在混凝土和受拉区钢筋A,的单价之中,将其换算成为有关综合单价即可。

由上公式(8)和公式(9)可知：

有效高度h₀的下限为

由公式(10)可知A_s的下限为A_S≥bh₀ρ_min，

将

代入公式(1)得到：

下面通过具体的实施例对本发明一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法进行进一步详细解释；

实施例

某整体式肋梁楼盖的T形梁主梁，已知b′_f＝2200mm,h′_f＝80mm,b＝300mm,环境类别为一类，a_s＝25mm,选用C30混凝土，设混凝土每方单价为350元/m³,钢筋单价31000元/m³，HRB335级钢筋，M_max＝400KN·m；V_max＝450KN·m，试对截面进行最低造价考虑的优化设计。

将上述已知数据代入公式(2)可得：

问题中的目标函数，采用新型一维搜索迭代算法编程运算求解，并与黄金分割法进行了对比，对比结果如表1所示。

表1程序运行结果

*数计算的真值约为661.3550(保留4位小数)，

一维搜索算法计算结果为h₀＝661.38mm(取两位有效数字)，带入造价的目标函数minC＝194.7元,考虑到工程实际可以取h₀＝675mm,则T形截面梁的实际高度为h＝h₀+as＝700mm,此时造价为195元/m。

从表1的运算结果可以看出，黄金分割法在精度要求为1.0时迭代次数少，迭代次数为13次且能稳定收敛到目标值附近；在精度要求为0.1时，计算结果更加逼近真值但迭代次数显著提升到18次。一维搜索算法在计算目标函数的精度要求为1.0的情况下迭代次数为3次，仅为黄金分割法的25％，远优于后者，且计算结果的精度比黄金分割法要高，可以满足工程实际要求；在精度要求为1.0时，迭代次数为4次，精度要求的提高且迭代次数无大幅增加。总的来说，一维搜索迭代算法具有迭代速度快，非精确计算结果准确，较大程度上减小了计算工作量，其计算结果可作为实际工程T形梁断面优化设计初期取值的参考。

本发明一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法通过一维搜索求对T形截面钢筋混凝土梁截面优化设计的最优解，使得T形截面钢筋混凝土梁截面优化设计效率较高和精确度较高。

Claims (5)

1.一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法，其特征在于，具体按照如下步骤进行：

步骤1：构建单位长度梁的价格C的目标函数，如下公式(1)：

C＝c_h[b(h₀+a_s)+(b′_f-b)h′_f]+c_s·A_S 公式(1)，

其中，c_h为混凝土的单价，c_s为钢筋单价，h₀为T形截面梁的有效高度，h′_f为翼板高度，A_S为钢筋截面积，b为腹板宽度，a_s为保护层厚度，b′_f为翼板宽度；

步骤2：构建约束条件；

步骤3：简化优化目标函数，得到如下公式(2)：

其中，minC为极小值点，M_max为最大弯矩，γ_s为内力臂系数，h₀为有效高度，c_h为混凝土的单价，c_s为钢筋单价，h′_f为翼板高度，b为腹板宽度，a_s为保护层厚度，b′_f为翼板宽度；

步骤4：采用一维搜索迭代算法求极小值点minC。

2.根据权利要求1所述的一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法，其特征在于，步骤4中，所述一维搜索迭代算法具体包括：

步骤4.1：选取连续的单峰函数f(x)的区间(a_k，b_k)，并计算区间端点f(a_k，b_k)的值[h₀，h₁]，区间内函数的极小值点记作minC，控制精度δ＞0，若|b_k-a_k|＜δ，则输出(a_k+b_k)/2近似等于极小值，否则判断f(a_k)与f(b_k)的大小，当f(a_k)≤f(b_k)时转入步骤4.2，当f(a_k)＞f(b_k)时转入步骤4.5；

步骤4.2：当f(a_k)≤f(b_k)，判断若|m₃-m₂|≤δ时，输出(m₂+m₃)/2，即为极小值点minC；若|m₃-m₂|＞δ，则判断m₃与m₂的大小，若m₃＞m₂时，则进行如下命令：若m₃＜m₂时，则交换m₂和m₃的值后也进行如下命令：

其中，m₂为f(x)上点a_k与点m中点的横坐标，其中，m为f(x)过a_k点的x轴的平行线在minC另一侧曲线交点的横坐标，m₃为过点m₂作f(x)的一条与x轴平行的线在minC另一侧曲线交点的横坐标；

令：ζ_k＝m₂+0.382(m₃-m₂)，η_k＝m₂+0.618(m₃-m₂)，并计算出f(ζ_k)，f(η_k)；

步骤4.3：判断f(ζ_k)与f(η_k)值的大小，若f(ζ_k)＞f(η_k)，

令a_k+1＝ζ_k，b_k+1＝m₃，ζ_k+1＝η_k，η_k+1＝a_k+1+0.618(b_k+1-a_k+1)，计算f(ζ_k+1)和f(η_k+1)的值，判断若|f(ζ_k+1)-f(η_k+1)|≤δ，则输出ζ_k+1+η_k+1/2；若|f(ζ_k+1)-f(η_k+1)|＞δ，则令k＝k+1，转入步骤4.2；

若f(ζ_k)≤f(η_k)，则令：a_k+1＝m₂，b_k+1＝η_k，η_k+1＝ζ_k，ζ_k+1＝a_k++0.382(b_k+1-a_k+1)，计算f(ζ_k+1)和f(η_k+1)的值，判断若|f(ζ_k+1)-f(η_k+1)|≤δ，则输出ζ_k+1+η_k+1/2；若|f(ζ_k+1)-f(η_k+1)|＞δ，则令k＝k+1，转入步骤4.2；

步骤4.4：输出后得到极小值点minC；

步骤4.5：当f(a_k)＞f(b_k)，判断若|m₃-m₂|≤δ时，输出(m₂+m₃)/2，即为极小值点minC；若|m₃-m₂|≥δ，则判断m₃与m₂的大小，若m₃＞m₂时，则进行如下命令：若m₃＜m₂时，则交换m₂和m₃的值后也进行如下命令：

令：ζ_k＝m₂+0.382(m₃-m₂)，η_k＝m₂+0.618(m₃-m₂)，并计算出f(ζ_k)，f(η_k)；并执行步骤4.3。

3.根据权利要求2所述的一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法，其特征在于，步骤4.2中，所述m₂、m以及m₃表示为如下公式(3)、(4)和(5)：

步骤4.5中，所述m₂、m以及m₃表示为如下公式(3′)、(4′)和(5′)：

4.根据权利要求1所述的一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法，其特征在于，步骤2中，所述构建约束条件具体包括：构建抗弯强度要求、构建抗剪强度要求以及构建配筋限制要求。

5.根据权利要求4所述的一种用于建筑结构优化设计的一维搜索算法，其特征在于，步骤2中，所述构建抗弯强度要求包括对于两类截面分别按照如下公式(6)和公式(7)：

其中，x为界面受压区高度，α₁为无量纲系数，f_c为混凝土轴心抗压强度设计值，h₀为有效高度，h′_f为翼板高度，b为腹板宽度，a_s为保护层厚度，b′_f为翼板宽度；

所述抗剪强度要求按照如下公式(8)：

V≤0.3β_cf_cbh₀ 公式(8)，

其中，β_c为混凝土强度影响系数，f_c为混凝土轴心抗压强度设计值，b为腹板宽度，h₀为有效高度；

所述配筋限制要求包括：最大配筋率按照如下公式(9)：

其中，α₁为无量纲系数，f_c为混凝土轴心抗压强度设计值，b为腹板宽度，h₀为有效高度；

最小配筋率按照如下公式(10)：

其中，A_s为钢筋截面积，b为腹板宽度，h₀为有效高度，ρ_min为最小配筋率。

Images