CN111697589A - 基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法，涉及电力系统技术领域。该方法首先根据电力系统的结构和参数，建立电力系统的线性功率平衡方程，并从中获得母线节点电压的初始解；然后确定拟牛顿潮流计算的系数矩阵M，使用M代替牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程中的雅可比矩阵的逆进行电力系统潮流迭代计算；同时将松弛因子引入系数矩阵M，并利用遗传算法寻找松弛因子的最优值；最后根据母线节点电压的初始解和松弛因子的最优值计算初始系数矩阵M⁰，并使用系数矩阵M代替牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程中的雅可比矩阵的逆，迭代进行潮流计算，得到电力系统母线节点的电压幅值和相角，进而得到各条线路的传输功率。

Description

基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法

技术领域

本发明涉及电力系统技术领域，尤其涉及一种基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法。

背景技术

潮流计算是维持电力系统正常运行的一种初始运算方法，是电力系统优化、规划、电压稳定等课题研究的初始。潮流分析基于电力系统的功率平衡方程，可利用高斯-赛德尔、牛顿-拉弗森等数值技术及其变体求解该方程。但随着现代电网规模的不断扩大和复杂度的不断提高，尤其是可再生能源和微电网与传统电网的联系越来越紧密，基于传统的牛拉法往往难以保证可靠的收敛性，而快速解耦的潮流算法的精确度难以保证。所以对潮流算法进行进一步的分析、研究是非常有意义的。

近几十年，科研工作者对致力于开发高效、准确的解决方案付出了巨大的努力。这些算法各有优缺点，适用场景也各不相同。在各种算法中，快速解耦法采用极坐标潮流方程，以有功功率与相角、无功功率与电压的关系为主要影响因素，对有功/无功进行解耦计算。与牛拉法相比，快速解耦法通过增加迭代次数、降低参数矩阵维度的方法提高潮流计算的速度，具有很好的收敛性，可以得到相应的潮流计算结果，但它仅适用于R/X比值较小的输电网中。为了进一步的提高潮流计算的能力，研究者提出了直流潮流，它进一步简化了有功潮流计算，将非线性潮流计算转化为线性问题进行求解，由于其求解方便，在电力系统中得到了广泛的应用。但这种算法往往只能近似得到潮流计算解。为了在保证潮流计算速度不变的情况下，提高直流潮流计算的精度，研究者把无功功率和电阻值再次考虑进来，提出了线性潮流。除了对网络参数进行改造外，研究者还从数学规划的角度出发，并依据牛拉法和快速解耦法，不断提出用最优乘子法、张量法、同伦法、非线性规划法等改进算法，提高了算法的收敛性，实现了功率流的自动调节。在潮流计算的使用中发现负荷需求和发电机输出功率之间总是存在测量误差，因此从应用场景出发，并考虑功率预测误差、潮流负荷和发电量等不确定因素对潮流进行分析，人们提出了概率潮流和连续潮流。由于两种计算方法都非常依赖于数据，于是人们尝试应用数据挖掘、区间分析等方法对系统进行精确建模。其中区间分析已成功地用于求解线性问题，而电力系统潮流模型是一种大型非线性系统，所以将其用于潮流分析研究仍存在很多不足。

综上，由于潮流计算是电力系统安全、稳定、经济运行的初始支撑，对于电力系统的应急分析、可靠性评估和概率潮流分析等具有重要意义。因此，对潮流计算进行深入研究是十分必要的，这是现代电力系统发展的要求。

发明内容

本发明要解决的技术问题是针对上述现有技术的不足，提供一种基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法，实现对电力系统潮流的计算。

为解决上述技术问题，本发明所采取的技术方案是：一种基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法，具体包括以下步骤：

步骤1：根据电力系统的结构和参数，建立电力系统的线性功率平衡方程，并从中获得母线节点电压的初始解x⁽⁰⁾＝[V⁽⁰⁾ θ⁽⁰⁾]^T，其中，V⁽⁰⁾为PQ节点的初始电压幅值，θ⁽⁰⁾为PQ节点与PV节点的初始电压相角；

对于一个具有N条母线的电力系统，它的极坐标功率平衡方程如下公式所示：

其中，P_i和Q_i分别为第i条母线净注入功率的有功功率和无功功率，G_ij和B_ij分别为母线i和j间线路的电导和电纳，V_i和V_j分别为母线i和j的电压幅值，θ_ij为母线i和j间线路的相角差；

在电力系统中，电压幅值的标幺值在0.95～1.05之间，线路的相角差不超过30°，由泰勒公式得

其中，R_n1(x)和R_n2(x)分别为余弦函数和正弦函数的泰勒展开余项，所以当

时，

因此只保留泰勒展开式的第一项，即令cosθ_ij≈1，sinθ_ij≈θ_ij；同时令y₁＝V_i(V_i-V_j)，y₂＝V_i-V_j，

并设定V_i＝1.05，V_j∈[0.95，1.05]，则|y₁-y₂|≤5×10^-3，|y₁-y₃|≤0.1，所以令V_i ²-V_iV_j≈V_i-V_j；

因此对式(1)进行变换得到电力系统的线性功率平衡方程，如下公式所示：

其中，g_ii+jb_ii为母线节点i的自导纳，g_ij+jb_ij为母线节点i和j的互导纳，即

根据该线性功率平衡方程及电力系统参数，得到PV节点的初始电压相角θ⁽⁰⁾，和PQ节点的初始电压幅值V⁽⁰⁾；

步骤2：确定拟牛顿潮流计算的系数矩阵M，使用M代替牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程中的雅可比矩阵的逆J^-1进行电力系统潮流迭代计算；

通过牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程为：

其中，F＝[ΔP ΔQ]^T，x^(k)＝[V^(k) θ^(k)]^T，ΔP_i＝P_Gi-P_W-P_i，ΔQ_i＝Q_Gi-Q_W-Q_i，V^(k)为第k次迭代后PQ节点的电压幅值，θ^(k)为第k次迭代后PQ节点与PV节点的电压相角；P_Gi和Q_Gi分别为母线i的有功输入和无功输入，P_W和Q_W分别为母线i的有功输出和无功输出，θ_i为母线i的电压相角，k为迭代次数，J＝[AC；DE]为雅可比矩阵，具体系数如下：

在每一次迭代中加入一个修正量ΔJ_k，因此第k次迭代时的雅可比矩阵为：

J_k＝J_k-1+ΔJ_k (5)

其中，

u_k和v_k均为列向量，因此ΔJ_k是秩为1的系数增量矩阵；

ΔJ_k的求取过程为：

令s_k＝(x^(k)-x^(k-1))，p_k＝F(x^(k))-F(x^(k-1))，则(J_k-1+ΔJ_k)s_k＝p_k，得

由此，u_k由v_k唯一确定；取v_k＝s_k，得

当1+v^TJ^-1u≠0时，有(J+uv^T)^-1＝J^-1-(J^-1uv^TJ^-1)/(1+v^TJ^-1u)；

记

则

步骤3：将松弛因子ω引入系数矩阵M，即令s_k＝ω(x^(k)-x^(k-1))，并利用遗传算法寻找松弛因子的最优值；

步骤3.1：将松弛因子ω作为种群个体，确定遗传算法的初始种群

初始进化次数G及最大进化次数G_max，其中，NP为种群数；

步骤3.2：根据步骤2，对初始化后的种群

进行拟牛顿潮流计算，将每一个ω值所对应的拟牛顿潮流计算时间作为种群中个体的适应度值，得到种群初始适应度值

其中，进行拟牛顿潮流计算时的迭代精度Δ满足Δ≤10^-6；

步骤3.3：根据式(7)对种群中个体进行交叉操作得到新一代个体，并对种群中每个个体进行潮流计算，得到新个体的适应度值，然后根据式(8)进行种群更新，得到新的子代种群；

其中，

l_max和l_min为最大和最小交叉率；

为第G次进化后的第c个个体，

和

均为第G次进化后从种群中随机选取的个体，

为第G+1次进化时第c个个体的进化速度；

其中，T()为适应度函数；

步骤3.4：判断进化次数G是否大于最大进化次数G_max，若是，则退出循环，得到松弛因子的最优值ω_best，否则返回步骤3.3继续进行种群更新；

步骤4、根据母线节点电压的初始解x⁽⁰⁾和松弛因子的最优值计算初始系数矩阵M⁰，然后使用系数矩阵M代替牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程中的雅可比矩阵的逆J^-1，迭代进行潮流计算，得到电力系统母线节点的电压幅值和相角，进而得到各条线路的传输功率；

步骤4.1：设定拟牛顿潮流计算的迭代次数k＝0，根据母线节点电压的初始解x⁽⁰⁾和松弛因子的最优值ω_best计算初始系数矩阵M⁰；

步骤4.2：根据公式(4)的牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程，使用系数矩阵M代替雅可比矩阵的逆J^-1，利用第k次迭代的x^(k)，得x^(k+1)，并计算Δx，s_k和p_k，其中，Δx＝x^(k)-x^(k-1)；

步骤4.3：当||s_k||₁≤10^-6时，则退出拟牛顿潮流计算的循环，得到电力系统母线节点的电压幅值和相角，进而得到各条线路的传输功率；否则执行步骤4.4；

步骤4.4：根据拟牛顿潮流计算的系数矩阵M的计算公式(6)，利用第k次迭代的M^(k)和Δx，s_k和p_k，计算第k+1次迭代的M^(k+1)；

步骤4.5：k＝k+1，返回步骤4.2。

采用上述技术方案所产生的有益效果在于：本发明提供的基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法，通过遗传算法寻找到最优的松弛因子，进一步加快潮流迭代速度，相对于原来的潮流算法，计算速度大大提高；相对于线性潮流，计算精度也大大提高，与牛拉法的精度保持一致，因此在电力系统运行时，提高了潮流控制器的控制效率与实用性。

附图说明

图1为本发明实施例提供电力系统IEEE30节点图；

图2为本发明实施例提供的基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法的流程图；

图3为本发明实施例提供的线性功率平衡方程中母线电压幅值近似对比图；

图4为本发明实施例提供的利用遗传算法寻找松弛因子的最优值的流程图；

图5为本发明实施例提供的松弛因子ω的最优值选取图；

图6为本发明实施例提供的采用本发明方法与牛拉法在不同节点系统中进行潮流计算的迭代收敛情况对比图，其中，(a)为在IEEE14节点系统中的迭代收敛对比图，(b)为在IEEE30节点系统中的迭代收敛对比图，(c)为在IEEE57节点系统中的迭代收敛对比图，(d)为在IEEE118节点系统中的迭代收敛对比图，(e)为在IEEE145节点系统中的迭代收敛对比图；

图7为本发明实施例提供的采用本发明方法和线性潮流计算方法在IEEE30节点系统进行潮流计算的计算精度对比图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不用来限制本发明的范围。

本实施例在IEEE14节点系统、IEEE30节点系统、IEEE118节点系统、IEEE145节点系统上采用本发明的基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法进行潮流计算。本实施例中用于进行潮流计算的计算机的处理器为intel(R)Core(TM)i7-7700HQ CPU@2.80GHz2.81GHz，RAM为8GB，运行系统为MATLAB R2019b。

本实施例中，IEEE14节点系统包括5台发电机、20条支路，总的装机容量为772.4MW，总负荷为259MW；IEEE30节点系统如图1所示，包括6台发电机、41条支路，总的装机容量为435MW，总负荷为283.4MW；IEEE118节点系统中包括54台发电机、186条支路，总的装机容量为9966.2MW，总负荷为4242MW；IEEE145节点系统中包括50台发电机、453条支路，总的装机容量为362853.72MW，总负荷为283051.15MW。

一种基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法，如图2所示，具体包括以下步骤：

步骤1：根据电力系统的结构和参数，建立电力系统的线性功率平衡方程，并从中获得母线节点电压的初始解x⁽⁰⁾＝[V⁽⁰⁾ θ⁽⁰⁾]^T，其中，V⁽⁰⁾为PQ节点的初始电压幅值，θ⁽⁰⁾为PQ节点与PV节点的初始电压相角；电力系统中，PV节点为除平衡节点外其它的发电机节点，PQ节点为所有的负荷节点。

对于一个具有N条母线的电力系统，它的极坐标功率平衡方程如下公式所示：

其中，P_i和Q_i分别为第i条母线净注入功率的有功功率和无功功率，G_ij和B_ij分别为母线i和j间线路的电导和电纳，V_i和V_j分别为母线i和j的电压幅值，θ_ij为母线i和j间线路的相角差；

在电力系统中，电压幅值的标幺值在0.95～1.05之间，线路的相角差不超过30°，由泰勒公式得

其中，R_n1(x)和R_n2(x)分别为余弦函数和正弦函数的泰勒展开余项，所以当

时，

因此只保留泰勒展开式的第一项，即令cosθ_ij≈1，sinθ_ij≈θ_ij；同时令y₁＝V_i(V_i-V_j)，y₂＝V_i-V_j，

并设定V_i＝1.05，V_j∈[0.95，1.05]，则根据图3，|y₁-y₂|≤5×10^-3，|y₁-y₃|≤0.1，所以令V_i ²-V_iV_j≈V_i-V_j；

因此对式(1)进行变换得到电力系统的线性功率平衡方程，如下公式所示：

其中，g_ii+jb_ii为母线节点i的自导纳，g_ij+jb_ij为母线节点i和j的互导纳，即

通过式(1)到式(2)、(3)的变化，把母线的电压幅值和母线间线路的相角进行了解耦改进，把原来电力系统的非线性极坐标功率平衡方程进行了线性化处理得到了线性功率平衡方程。根据该线性功率平衡方程及电力系统参数，得到PV节点的初始电压相角θ⁽⁰⁾，和PQ节点的初始电压幅值V⁽⁰⁾；

步骤2：确定拟牛顿潮流计算的系数矩阵M，使用M代替牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程中的雅可比矩阵的逆J^-1进行电力系统潮流迭代计算；

在用牛拉法进行电压值求取时，每次迭代都需要求取雅可比系数矩阵，然后通过雅可比矩阵的逆来进行每一次迭代，因此其中花费了潮流计算中的大部分时间；而且当取雅可比系数矩阵为病态矩阵时，很难对系数矩阵进行求逆并发生计算错误，或数据稍有偏差就会使计算结果远离潮流精确解，为了弥补牛拉法这一缺陷，需要对其系数矩阵进行改进，以提高潮流计算的速度，并提高其鲁棒性。

通过牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程为：

其中，F＝[ΔP ΔQ]^T，x^(k)＝[V^(k) θ^(k)]^T，ΔP_i＝P_Gi-P_W-P_i，ΔQ_i＝Q_Gi-Q_W-Q_i，V^(k)为第k次迭代后PQ节点的电压幅值，θ^(k)为第k次迭代后PQ节点与PV节点的电压相角；P_Gi和Q_Gi分别为母线i的有功输入和无功输入，P_W和Q_W分别为母线i的有功输出和无功输出，θ_i为母线i的电压相角，k为迭代次数，J＝[AC；DE]为雅可比矩阵，具体系数如下：

为了加快拟牛顿潮流迭代计算收敛的速度，在每一次迭代中加入一个修正量ΔJ_k，因此第k次迭代时的雅可比矩阵为：

J_k＝J_k-1+ΔJ_k (5)

其中，

u_k和v_k为列向量，因此ΔJ_k是秩为1的系数增量矩阵；

ΔJ_k的求取过程为：

令s_k＝(x^(k)-x^(k-1))，p_k＝F(x^(k))-F(x^(k-1))，则(J_k-1+ΔJ_k)s_k＝p_k，得

由此，u_k由v_k唯一确定；取v_k＝s_k，得

当1+v^TJ^-1u≠0时，有(J+uv^T)^-1＝J^-1-(J^-1uv^TJ^-1)/(1+v^TJ^-1u)，验证如下：

其中，I为单位矩阵；

记

则

步骤3：将松弛因子ω引入系数矩阵M，即令s_k＝ω(x^(k)-x^(k-1))，并利用遗传算法寻找松弛因子的最优值，如图4所示；

使用M代替J^-1进行潮流迭代计算可以提高计算的速度，但随之也使迭代次数增加，降低迭代收敛的速度，为了克服这一问题，把松弛因子ω引入系数矩阵，即令s_k＝ω(x^(k)-x^(k-1))，然后根据步骤2方法重新求取M。

步骤3.1：将松弛因子ω作为种群个体，确定遗传算法的初始种群

初始进化次数G及最大进化次数G_max，其中，NP为种群数；本实施例中，种群个体NP设为50，最大进化次数G_max设为100，初始进化次数G＝0；

步骤3.2：根据步骤2，对初始化后的种群

进行拟牛拉法潮流计算，将每一个ω值所对应的拟牛顿潮流计算时间作为种群中个体的适应度值，得到种群初始适应度值

其中，进行拟牛顿潮流计算时的迭代精度Δ满足Δ≤10^-6；

步骤3.3：根据式(7)对种群中个体进行交叉操作得到新一代个体，并对种群中每个个体进行潮流计算，得到新个体的适应度值，然后根据式(8)进行种群更新，得到新的子代种群；

其中，

l_max和l_min为最大和最小交叉率，本实施例中，l_max＝2，l_min＝0；

为第G次进化后的第c个个体，

和

均为第G次进化后从种群中随机选取的个体，

为第G+1次进化时第c个个体的进化速度；

其中，T()为适应度函数；

步骤3.4：判断进化次数G是否大于最大进化次数G_max，若是，则退出循环，得到松弛因子的最优值ω_best，否则返回步骤3.3继续进行种群更新；

本实施例中，经上述步骤3.1-3.4得到每次迭代的松弛因子如图5所示，从图可知，松弛因子ω∈[0.978，1.024]时，拟牛顿潮流计算所需迭代次数最小，迭代精度最高。因此，拟牛顿潮流迭代计算的时候，松弛因子ω的最优值从中随机选取。

步骤4、根据母线节点电压的初始解x⁽⁰⁾和松弛因子的最优值计算初始系数矩阵M⁰，然后使用系数矩阵M代替牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程中的雅可比矩阵的逆J^-1，迭代进行潮流计算，得到电力系统母线节点的电压幅值和相角，进而得到各条线路的传输功率；

步骤4.1：设拟牛顿潮流计算的迭代次数k＝0，根据母线节点电压的初始解x⁽⁰⁾和松弛因子的最优值ω_best计算初始系数矩阵M⁰；

步骤4.2：根据公式(4)的牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程，使用系数矩阵M代替雅可比矩阵的逆J^-1，利用第k次迭代的x^(k)，得x^(k+1)，并计算Δx，s_k和p_k，其中，Δx＝x^(k)-x^(k-1)；

步骤4.3：当||s_k||₁≤10^-6时，则退出拟牛顿潮流计算的循环，得到电力系统母线节点的电压幅值和相角，进而得到各条线路的传输功率；否则执行步骤4.4；

步骤4.4：根据拟牛顿潮流法的系数矩阵M的计算公式(6)，利用第k次迭代的M^(k)和Δx，s_k和p_k，计算第k+1次迭代的M^(k+1)；

步骤4.5：k＝k+1，返回步骤4.2。

本实施例中，将本发明方法与牛拉法在不同节点系统中进行潮流计算的迭代收敛情况进行对比，如图6和表1所示。

表1本发明方法与牛拉法进行潮流计算运行时间对比

由表1可知，使用本发明的基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法可以有效的提高潮流计算的速度，它的计算速度比使用牛拉法显著提高。而且从图6(a)-6(e)中可以发现，本发明方法的迭代精度也比较高，尤其是在IEEE145节点的系统中，使用本发明方法只需要迭代5次就能达到所要求的精度，而使用传统的牛拉法潮流计算需要迭代10次才能达到所要求的精度。本实施例还提供本发明方法和线性潮流计算在IEEE30节点系统的计算精度对比图7，由图7可知，在第30条母线上，线性潮流的计算误差最大，为0.2975°。因此可知，本发明的基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法整合了线性潮流和拟牛顿潮流计算的优点，并通过遗传算法寻找到最优的松弛因子ω，进一步加快潮流迭代速度，相对于原来的潮流算法，计算速度大大提高，而且随着电力系统的变大，迭代速度和精度仍然非常高，因此性能稳定。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明权利要求所限定的范围。

Claims (5)

1.一种基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法，其特征在于：具体包括以下步骤：

步骤1：根据电力系统的结构和参数，建立电力系统的线性功率平衡方程，并从中获得母线节点电压的初始解x⁽⁰⁾＝[V⁽⁰⁾ θ⁽⁰⁾]^T，其中，V⁽⁰⁾为PQ节点的初始电压幅值，θ⁽⁰⁾为PQ节点与PV节点的初始电压相角；

步骤2：确定拟牛顿潮流计算的系数矩阵M，使用M代替牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程中的雅可比矩阵的逆J^-1进行电力系统潮流迭代计算；

步骤3：将松弛因子ω引入系数矩阵M，并利用遗传算法寻找松弛因子的最优值；

步骤4、根据母线节点电压的初始解x⁽⁰⁾和松弛因子的最优值计算初始系数矩阵M⁰，然后使用系数矩阵M代替牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程中的雅可比矩阵的逆J^-1，迭代进行潮流计算，得到电力系统母线节点的电压幅值和相角，进而得到各条线路的传输功率。

2.根据权利要求1所述的基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法，其特征在于：所述步骤1的具体方法为：

对于一个具有N条母线的电力系统，它的极坐标功率平衡方程如下公式所示：

其中，P_i和Q_i分别为第i条母线净注入功率的有功功率和无功功率，G_ij和B_ij分别为母线i和j间线路的电导和电纳，V_i和V_j分别为母线i和j的电压幅值，θ_ij为母线i和j间线路的相角差；

在电力系统中，电压幅值的标幺值在0.95～1.05之间，线路的相角差不超过30°，由泰勒公式得

其中，R_n1(x)和R_n2(x)分别为余弦函数和正弦函数的泰勒展开余项，所以当

时，

因此只保留泰勒展开式的第一项，即令cosθ_ij≈1，sinθ_ij≈θ_ij；同时令y₁＝V_i(V_i-V_j)，y₂＝V_i-V_j，

并设定V_i＝1.05，V_j∈[0.95，1.05]，则|y₁-y₂|≤5×10^-3，|y₁-y₃|≤0.1，所以令V_i ²-V_iV_j≈V_i-V_j；

因此对式(1)进行变换得到电力系统的线性功率平衡方程，如下公式所示：

其中，g_ii+jb_ii为母线节点i的自导纳，g_ij+jb_ij为母线节点i和j的互导纳，即

根据该线性功率平衡方程及电力系统参数，得到PV节点的初始电压相角θ⁽⁰⁾，和PQ节点的初始电压幅值V⁽⁰⁾。

3.根据权利要求1所述的基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法，其特征在于：所述步骤2的具体方法为：

通过牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程为：

其中，F＝[ΔP ΔQ]^T，x^(k)＝[V^(k) θ^(k)]^T，ΔP_i＝P_Gi-P_W-P_i，ΔQ_i＝Q_Gi-Q_W-Q_i，V^(k)为第k次迭代后PQ节点的电压幅值，θ^(k)为第k次迭代后PQ节点与PV节点的电压相角；P_Gi和Q_Gi分别为母线i的有功输入和无功输入，P_W和Q_W分别为母线i的有功输出和无功输出，θ_i为母线i的电压相角，k为迭代次数，J＝[AC；DE]为雅可比矩阵，具体系数如下：

在每一次迭代中加入一个修正量ΔJ_k，因此第k次迭代时的雅可比矩阵为：

J_k＝J_k-1+ΔJ_k (5)

其中，

u_k和v_k均为列向量，因此ΔJ_k是秩为1的系数增量矩阵；

ΔJ_k的求取过程为：

令s_k＝(x^(k)-x^(k-1))，p_k＝F(x^(k))-F(x^(k-1))，则(J_k-1+ΔJ_k)s_k＝P_k，得

由此，u_k由v_k唯一确定；取v_k＝s_k，得

当1+v^TJ^-1u≠0时，有(J+uv^T)^-1＝J^-1-(J^-1uv^TJ^-1)/(1+v^TJ^-1u)；

记

则

4.根据权利要求3所述的基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法，其特征在于：所述步骤3的具体方法为：

步骤3.1：将松弛因子ω作为种群个体，确定遗传算法的初始种群

初始进化次数G及最大进化次数G_max，其中，NP为种群数；

步骤3.2：根据步骤2，对初始化后的种群

进行拟牛顿潮流计算，将每一个ω值所对应的拟牛顿潮流计算时间作为种群中个体的适应度值，得到种群初始适应度值

其中，进行拟牛顿潮流计算时的迭代精度Δ满足Δ≤10^-6；

步骤3.3：根据式(7)对种群中个体进行交叉操作得到新一代个体，并对种群中每个个体进行潮流计算，得到新个体的适应度值，然后根据式(8)进行种群更新，得到新的子代种群；

其中，

l_max和l_min为最大和最小交叉率；

为第G次进化后的第c个个体，

和

均为第G次进化后从种群中随机选取的个体，

为第G+1次进化时第c个个体的进化速度；

其中，T()为适应度函数；

步骤3.4：判断进化次数G是否大于最大进化次数G_max，若是，则退出循环，得到松弛因子的最优值ω_best，否则返回步骤3.3继续进行种群更新。

5.根据权利要求4所述的基于热启动与拟牛顿法的电力系统潮流计算方法，其特征在于：所述步骤4的具体方法为：

步骤4.1：设定拟牛顿潮流计算的迭代次数k＝0，根据母线节点电压的初始解x⁽⁰⁾和松弛因子的最优值ω_best计算初始系数矩阵M⁰；

步骤4.2：根据公式(4)的牛拉法进行潮流计算的迭代矩阵方程，使用系数矩阵M代替雅可比矩阵的逆J^-1，利用第k次迭代的x^(k)，得x^(k+1)，并计算Δx，s_k和p_k，其中，Δx＝x^(k)-x^(k-1)；

步骤4.3：当||s_k||₁≤10^-6时，则退出拟牛顿潮流计算的循环，得到电力系统母线节点的电压幅值和相角，进而得到各条线路的传输功率；否则执行步骤4.4；

步骤4.4：根据拟牛顿潮流计算的系数矩阵M的计算公式(6)，利用第k次迭代的M^(k)和Δx，s_k和p_k，计算第k+1次迭代的M^(k+1)；

步骤4.5：k＝k+1，返回步骤4.2。

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