CN111650835B - 一种随机跳变系统的自适应事件触发异步滑模控制方法 - Google Patents

一种随机跳变系统的自适应事件触发异步滑模控制方法 Download PDF

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CN111650835B CN202010546929.XA CN202010546929A CN111650835B CN 111650835 B CN111650835 B CN 111650835B CN 202010546929 A CN202010546929 A CN 202010546929A CN 111650835 B CN111650835 B CN 111650835B
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Abstract

本发明公开了一种随机跳变系统的自适应事件触发异步滑模控制方法,包括具有执行器故障的离散时间随机跳变系统的建模和降阶处理、自适应事件触发方法的设计、基于自适应事件触发的异步滑模面的设计、滑模动态的稳定性分析、滑模参数的求解、异步滑模控制器的设计以及滑模面可达性分析。本发明考虑具有执行器故障的离散时间随机跳变系统。针对其系统模型特性,对该离散时间随机系统模型进行建模和降阶处理。为了抑制执行器故障和节省网络资源,提出一种基于自适应事件触发的异步滑模控制方法,并对设计的方法进行稳定性分析。本发明能够有效解决离散时间随机跳变系统在发生执行器故障时,通过自适应触发异步滑模控制方法对其进行稳定控制,并有效节省网络资源。

Description

一种随机跳变系统的自适应事件触发异步滑模控制方法
技术领域
本发明属于跳变系统技术领域,更为具体地讲,涉及一种随机跳变系统的自适应事件触发异步滑模控制方法。
背景技术
随机跳变系统由于能够很好地描述复杂系统的非预期变化而引起了人们的广泛关注。随机跳变系统一般由一系列离散时间或连续时间的子系统组成,每个瞬间都有一个子系统按照一定的跳变规则被激活。通常,跳变规律的特征是带有跳变信号的随机过程。在实际应用中,对于具有参数漂移、结构变化和部件失效的系统,可以采用随机跳变系统进行建模。因此,跳变系统被广泛应用于各种工业领域,如容错和网络化控制系统等。
在传统的控制系统中,采样数据的传输采用时间触发方式,即控制系统的各个单元周期性执行任务。这样极大地浪费了网络资源,增加了控制成本。因此,提出了事件触发机制,以减少数据传输,节约网络资源。近年来,事件触发控制策略成功地应用于工业控制的各个领域。文献[“Event-triggered sliding mode control of uncertain switchedsystems under denial-of-service attacks,”(H.Zhao,Y.Niu,and J.Zhao,Journal ofthe Franklin Institute,2019,356(18):11414-11433)]研究了具有不确定性的切换系统,为了减少通信负载,设计了一种事件触发方法。文献[“Event-triggering dissipativecontrol of switched stochastic systems via sliding mode,”(J.Liu,L.Wu,C.Wu,W.Luo,L.Franquelo,Automatica,2019,103:261-273)]针对离散时间切换系统,设计了一种事件触发策略,并分析了闭环系统的稳定性。然而,上述文献中事件触发策略的阈值参数是恒定的,这太保守了,限制了它的应用。因此,阈值的设计需要进一步改进。在实际应用中,当系统趋于稳定时,触发频率应相应降低。因此,阈值应根据系统的动态性能进行自适应调整。这样可以在保证系统的控制性能的同时,有效的节省网络资源。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的不足,提供一种随机跳变系统的自适应事件触发异步滑模控制方法,以解决具有执行器故障的离散时间随机跳变系统的自适应事件触发异步滑模控制问题。
为实现上述发明目的,本发明随机跳变系统的自适应事件触发异步滑模控制方法,其特征在于,包括以下步骤:
(1)、具有执行器故障的离散时间随机系统建模
定义
Figure BDA0002541028450000022
分别表示状态变量和系统控制输入,
Figure BDA0002541028450000023
代表执行器故障,α(k)∈Ω={1,2,...,N}为跳变信号,A(α(k))和B(α(k))系统矩阵。执行器故障项满足:
Figure BDA0002541028450000024
跳变信号α(k)的值由z(k),k,或者其他的变量一起构成,子系统的跳变序列是先验未知的,但其瞬时值可以实时获取到。系统矩阵B(α(k))是列满秩的。对于跳变信号α(k)的随机跳变时序有:{j0,j1,j2,...,jl,...},j0=0,且满足jl<jl+1。跳变间隔[jl,jl+1]的驻留时间被称为当前时刻被激活子系统的驻留时间。令α(k)=i,表示第i个子系统在k时刻被激活,则矩阵A(α(k))和B(α(k))可以表示为Ai和Bi
(2)、离散时间随机系统模型降阶处理
对于列满秩矩阵Bi,构造可逆矩阵Mi使得:
Figure BDA0002541028450000021
其中,Bi,2为可逆矩阵;
通过定义新的变量x(k)=Miz(k),便可对系统进行降阶处理;
(3)、自适应事件触发机制的设计
定义传感器的采样数据为
Figure BDA0002541028450000025
为了节约网络资源,采用一种自适应的事件触发方法,定义
Figure BDA0002541028450000026
其中x1(k)表示传感器的当前采样数据,x1(dk)表示最近一次成功传输的采样数据,dk为最近一次触发时刻;当满足事件触发条件时,采样数据包x(k)将被成功传输;
(4)、基于自适应事件触发的异步滑模面设计
针对网络化控制中存在的异步问题,引入隐马尔科夫模型来描述。定义一个随机变量β(k)来表示控制器节点的跳变状态,综合变量(α(k),β(k))一起构建一种具有条件概率λil的隐马尔科夫模型。进一步,设计一种基于事件触发的异步滑模面S(k);
(5)、降阶滑模动态稳定性分析
结合自适应事件触发机制与离散时间随机跳变系统模型,对滑模动态进行分析。通过Lyapunov函数理论,若存在实矩阵Pi>0,Φi>0和Ki,t,对于任意i∈Ω,
Figure BDA0002541028450000032
当满足一定的不得等式条件时,则离散时间降阶滑模动态是均方指数稳定的;
(6)、异步滑模控制器设计,为了补偿执行器故障项fa(z,k),设计一种基于自适应触发的滑模控制器,当条件
Figure BDA0002541028450000031
成立时,闭环系统的运动轨迹可以收敛至给定的有界区域内。
本发明的目的是这样实现的。
本发明针对具有执行器故障的离散时间随机跳变系统的自适应事件触发异步滑模控制。针对系统模型特性,对该离散时间随机系统模型进行建模以及降阶处理。为了抑制执行器故障和节省网络资源,提出一种基于自适应事件触发的异步滑模控制方法,并对该算法进行稳定性分析。本发明能够有效解决离散时间随机跳变系统在发生执行器故障时,通过自适应触发异步控制方法对其进行稳定控制,并有效节省网络资源。
附图说明
图1为本发明随机跳变系统的自适应事件触发异步滑模控制方法一种具体实施方式控制流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的具体实施方式进行描述,以便本领域的技术人员更好地理解本发明。需要特别提醒注意的是,在以下的描述中,当已知功能和设计的详细描述也许会淡化本发明的主要内容时,这些描述在这里将被忽略。
下面以具有执行器故障的离散时间随机跳变系统为例,详细描述本发明的技术方案。
1、离散时间随机跳变系统的建模
在本发明中,考虑的离散时间随机跳变系统如下所示:
z(k+1)=A(α(k))z(k)+B(α(k))(u(k)+fa(z,k)) (1)
其中,
Figure BDA0002541028450000041
分别表示状态变量和系统控制输入,
Figure BDA0002541028450000042
代表执行器故障,并且满足条件:
Figure BDA0002541028450000043
α(k)∈Ω={1,2,...,N}为跳变信号,α(k)的值通常是由z(k),k,或者其他的变量一起构成。假设跳变信号α(k)中子系统的跳变序列是先验未知的,但其瞬时值可以实时获得到。在等式(1)中,A(α(k))和B(α(k))表示系统矩阵,且满足如下假设。
假设1:矩阵B(α(k))是列满秩矩阵。
对于跳变信号α(k)的随机跳变时间序列有:{j0,j1,j2,...,jl,...},j0=0,且满足jl<jl+1。跳变间隔[jl,jl+1]的驻留时间被称为当前时刻被激活子系统的驻留时间。
为了方便表述,令α(k)=i,表示第i个子系统在k时刻被激活。相应地,矩阵A(α(k))和B(α(k))可被表示为Ai和Bi。则系统(1)可被重新描述为:
z(k+1)=Aiz(k)+Bi(u(k)+fa(z,k)) (2)
更进一步,定义{(i0,j0),(i1,j1),(i2,j2),...,(il,jl),...}为跳变时间序列,其含义为:第i个子系统在第k∈[jl,jl+1)时刻被激活。此外,对于任意的j0<jl<js,令Nα(k)(jl,js)表示跳变信号α(k)在[jl,js]间隔时的跳变数。若存在N0≥0,Γα>0,使得条件Nα(k)(jl,js)≤N0+(js-jl)/Γα成立。则Γα可被称为平均驻留时间。
2、离散时间随机跳变系统的降阶处理
根据假设1,矩阵Bi是列满秩的。因此存在可逆矩阵Mi使得:
Figure BDA0002541028450000044
其中,Bi,2是可逆矩阵。更进一步定义新的变量x(k)=Miz(k),则系统(2)可表述为:
Figure BDA0002541028450000045
其中
Figure BDA0002541028450000046
Figure BDA0002541028450000047
因此可以得到以下的降阶系统:
Figure BDA0002541028450000048
3、自适应事件触发策略设计
基于系统(4),传感器的采样数据为
Figure BDA0002541028450000049
定义
Figure BDA00025410284500000410
其中x1(k)表示传感器的当前采样数据,x1(dk)表示最近一次成功传输的采样数据,dk为最近一次触发时刻。传统地,为了节约网络资源,设计如下的静态事件触发条件:
Figure BDA0002541028450000051
其中Φi表示权重矩阵,且Φi>0,ρi0为表示事件触发阈值。
注释1:当不等式(5)满足时,采样数据x(k)会传输至控制器。其中,时序
Figure BDA0002541028450000052
表示触发时刻。通常,可以假设d1=1T(T表示采样周期),即第一个采样数据x(1T)会成功传输。此外,在任一跳变间隔[jl,jl+1],有
Figure BDA0002541028450000053
个事件发生。如
Figure BDA0002541028450000054
并且离散时间系统可以自动消除Zeno现象。
注释2:虽然(5)式中所述的静态事件触发方法可以在一定程度上节省网络资源,但其阈值ρi0为常量。在实际应用中,当系统趋于稳定时,触发频率应相应降低。因此,阈值应根据系统的动态性能进行自适应调整。在本发明中,设计以下自适应事件触发条件:
Figure BDA0002541028450000055
其中ρi(dk)表示自适应事件触发阈值,满足:
Figure BDA0002541028450000056
其中η是非负常数,
Figure BDA0002541028450000057
表示阈值的初始值,
Figure BDA0002541028450000058
表示双曲正切函数,
Figure BDA0002541028450000059
注释3:对于给定的初始阈值
Figure BDA00025410284500000514
从等式(7)中可以看出:当η=0时,
Figure BDA00025410284500000510
此种情况表示(7)式设计的自适应事件触发策略包括了静态触发条件作为一种特殊情况。此外,(7)式中所设计的自适应阈值是有界的,即0≤ρi(dk)≤ρi0
注释4:在本发明中,结合双曲正切函数tanh(·)和权重因子
Figure BDA00025410284500000515
自适应地调整阈值ρi(dk)。由于tanh(·)是递增且有界的,且tanh(·)∈(-1,1)。由此可知,较大的误差
Figure BDA00025410284500000511
便会生成较小的自适应阈值ρi(dk),并提高传输频率;相反地,较小的误差
Figure BDA00025410284500000512
会生成较大的自适应阈值ρi(dk),并降低传输频率。通过这种方法,可以更有效的节省网络资源。
通过分析(6)式,可计算得到下一触发时刻dk+1
Figure BDA00025410284500000513
因此,在k∈[dk,dk+1)时,采样数据x(k)不会被传输,并且x1(k)满足:
Figure BDA0002541028450000061
4、基于事件触发的异步滑模面设计
在实际中,异步现象广泛地存在于网络化系统的控制器和节点之间。因此,在本发明中,引入隐马尔科夫模型来描述异步问题。定义一个随机变量β(k)来表示控制器节点的跳变状态,并且
Figure BDA00025410284500000613
根据变量(α(k),β(k))构建一种具有条件概率λil的隐马尔科夫模型,定义如下:
Pr{β(k)=t|α(k)=i}=λit (10)
其中0≤λit≤1,且
Figure BDA0002541028450000062
基于(10)所示的条件概率,本发明构造如下的异步滑模面:
Figure BDA0002541028450000063
其中
Figure BDA0002541028450000064
Figure BDA0002541028450000065
将在稍后求解。
更进一步地,考虑(6)式中所述的自适应事件触发策略,(11)式中所述的滑模面可重新表述为:
S(k)=Ki,tx1(dk)+x2(dk) (12)
根据滑模控制理论,当到达滑模面时,有S(k)=0,由(12)式可得:
x2(k)=-Ki,tx1(dk),k∈[dk,dk+1) (13)
Figure BDA0002541028450000066
代入(13)式,有:
Figure BDA0002541028450000067
将(14)代入(4)中第一个等式,可得离散时间降阶滑模动态:
Figure BDA0002541028450000068
其中
Figure BDA0002541028450000069
5、降阶滑模动态稳定性分析
定义1:若满足以下条件,则(15)式的离散时间降阶滑模动态是均方指数稳定的:
Figure BDA00025410284500000610
其中φ和
Figure BDA00025410284500000611
为常量,满足φ≥1,
Figure BDA00025410284500000612
定理1:给定标量
Figure BDA0002541028450000071
Figure BDA0002541028450000072
考虑(4)中的离散时间降阶系统,结合(6)式中的自适应触发策略和(11)式中的异步滑模面,若存在实矩阵Pi>0,Φi>0和Ki,t对于任意i∈Ω,
Figure BDA00025410284500000717
使得:
Figure BDA0002541028450000073
其中
Figure BDA0002541028450000074
则(15)式中的离散时间降阶滑模动态是均方指数稳定的,且平均驻留时间满足
Figure BDA0002541028450000075
其中ceil(·)表示向上取整算子,且
Figure BDA0002541028450000076
则有:
Figure BDA0002541028450000077
证明:对于(15)式中的离散时间降阶滑模动态,选取如下的Lyapunov函数:
Figure BDA0002541028450000078
其中P(α(k))>0。则可推断出:
Figure BDA0002541028450000079
更进一步地,考虑(9)中的事件触发条件,得:
Figure BDA00025410284500000710
其中
Figure BDA00025410284500000711
根据不等式(17),可知:
Figure BDA00025410284500000712
由上述条件可知,对于
Figure BDA00025410284500000713
第i个子系统被激活,根据(22)式,可得:
Figure BDA00025410284500000714
结合(18)、(19)式,有:
Figure BDA00025410284500000715
考虑(23)、(24)式,以及
Figure BDA00025410284500000716
有:
Figure BDA0002541028450000081
值得注意的是,(19)式说明存在两个正数λ
Figure BDA0002541028450000082
使得:
Figure BDA0002541028450000083
其中
Figure BDA00025410284500000822
λmin{·}和λmax{·}表示取矩阵的最小和最大特征值算子。
根据(25)、(26)式,可得:
Figure BDA0002541028450000085
Figure BDA0002541028450000086
(显然φ≥1)并且
Figure BDA0002541028450000087
成立:
Figure BDA0002541028450000088
根据定义1,当
Figure BDA0002541028450000089
Figure BDA00025410284500000810
则(15)所示的离散时间降阶滑模动态是均方指数稳定的。
6、滑模参数求解
更进一步地,为了计算异步滑模面参数,给出如下结果。
定理2:若存在实矩阵
Figure BDA00025410284500000811
Yi,t和Ki,t
Figure BDA00025410284500000823
且标量满足
Figure BDA00025410284500000813
Figure BDA00025410284500000814
使得:
Figure BDA00025410284500000815
其中
Figure BDA00025410284500000816
Figure BDA00025410284500000817
则对于任何的
Figure BDA00025410284500000818
(15)中所示的离散时间降阶滑模动态是指数均方稳定的。其中μ≥1满足
Figure BDA00025410284500000819
此外,可求得异步滑模参数为:
Figure BDA00025410284500000820
证明:根据Shur补引理,由(17)式可得:
Figure BDA00025410284500000821
其中
Figure BDA0002541028450000091
Figure BDA0002541028450000092
定义矩阵
Figure BDA0002541028450000093
Figure BDA0002541028450000094
对不等式(28)左乘、右两端同时乘以
Figure BDA0002541028450000095
并且通过变量代换可得到不等式(27),至此证毕。
7、滑模控制器设计及滑模面可达性分析
为了补偿执行器故障项fa(z,k),设计一种基于事件触发的滑模控制器,并对滑模面的可达性进行分析。
定理3:给定标量λ>0,滑模参数Ki,t可由定理3求解得到,考虑(3)式所示的具有执行器故障fa(z,k)的离散时间随机跳变系统,若条件
Figure BDA0002541028450000096
满足,设计如下控制器:
Figure BDA0002541028450000097
其中
Figure BDA00025410284500000911
则闭环系统的运动轨迹可以收敛至给定的有界区域内。
证明:构造如下的Lyapunov函数:
Figure BDA0002541028450000098
结合(4),(11)和(13),可得:
Figure BDA00025410284500000912
将控制输入
Figure BDA0002541028450000099
代入(31)可得:
Figure BDA00025410284500000910
因此有:
Figure BDA0002541028450000101
从(33)式可知,滑模面S(k)收敛于包含平衡点的有界区域。通过调整参数
Figure BDA0002541028450000103
可确保
Figure BDA0002541028450000102
因此,在(29)式所示的控制器下,闭环系统的运动轨迹可以收敛至给定的有界区域,至此证毕。
尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述,以便于本技术领域的技术人员理解本发明,但应该清楚,本发明不限于具体实施方式的范围,对本技术领域的普通技术人员来讲,只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内,这些变化是显而易见的,一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (1)

1.一种随机跳变系统的自适应事件触发异步滑模控制方法,其特征在于,包括以下步骤:
(1)、具有执行器故障的离散时间随机系统建模
定义
Figure FDA0003226858140000011
分别表示状态变量和系统控制输入,
Figure FDA0003226858140000012
代表执行器故障,α(k)∈Ω={1,2,...,N}为跳变信号,A(α(k))和B(α(k))系统矩阵;执行器故障项满足:
Figure FDA0003226858140000013
跳变信号α(k)的值由z(k),k,或者其他的变量一起构成,子系统的跳变序列是先验未知的,但其瞬时值可以实时获取到;系统矩阵B(α(k))是列满秩的;对于跳变信号α(k)的随机跳变时序有:{j0,j1,j2,...,jl,...},j0=0,且满足jl<jl+1;跳变间隔[jl,jl+1]的驻留时间被称为当前时刻被激活子系统的驻留时间;令α(k)=i,表示第i个子系统在k时刻被激活,则矩阵A(α(k))和B(α(k))可以表示为Ai和Bi
(2)、离散时间随机系统模型降阶处理
对于列满秩矩阵Bi,构造可逆矩阵Mi使得:
Figure FDA0003226858140000014
其中,Bi,2为可逆矩阵;
通过定义新的变量x(k)=Miz(k),便可对系统进行降阶处理;
(3)、自适应事件触发机制的设计
定义传感器的采样数据为
Figure FDA0003226858140000015
为了节约网络资源,采用一种自适应的事件触发方法,定义
Figure FDA0003226858140000016
其中x1(k)表示传感器的当前采样数据,x1(dk)表示最近一次成功传输的采样数据,dk为最近一次触发时刻;当满足自适应事件触发条件时,采样数据x(k)将被成功传输;
自适应事件触发条件为:
Figure FDA0003226858140000017
其中,Φi表示权重矩阵,ρi(dk)表示自适应事件触发阈值,满足:
Figure FDA0003226858140000018
其中,η是非负常数,
Figure FDA0003226858140000019
表示阈值的初始值,tanh表示双曲正切函数,
Figure FDA00032268581400000110
Figure FDA0003226858140000021
阈值应根据系统的动态性能进行自适应调整,结合双曲正切函数tanh(·)和权重因子θ自适应地调整阈值ρi(dk);
(4)、基于自适应事件触发的异步滑模面设计
针对网络化控制中存在的异步问题,引入隐马尔科夫模型来描述;定义一个随机变量β(k)来表示控制器节点的跳变状态,综合变量(α(k),β(k))一起构建一种具有条件概率λil的隐马尔科夫模型;进一步,设计一种基于事件触发的异步滑模面S(k);
(5)、降阶滑模动态稳定性分析
结合自适应事件触发机制与离散时间随机跳变系统模型,对滑模动态进行分析;通过Lyapunov函数理论,若存在实矩阵Pi>0,Φi>0和Ki,t,对于任意i∈Ω,
Figure FDA0003226858140000022
当满足一定的不等式条件时,则离散时间降阶滑模动态是均方指数稳定的;
(6)、异步滑模控制器设计,为了补偿执行器故障项fa(z,k),设计一种基于自适应触发的滑模控制器,当条件
Figure FDA0003226858140000023
成立时,闭环系统的运动轨迹可以收敛至给定的有界区域内。
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