CN111515956A - 杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法 - Google Patents

杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法 Download PDF

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CN111515956A CN202010399908.XA CN202010399908A CN111515956A CN 111515956 A CN111515956 A CN 111515956A CN 202010399908 A CN202010399908 A CN 202010399908A CN 111515956 A CN111515956 A CN 111515956A
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Abstract

一种杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法,包括以下步骤:建立机器人刚性坐标系、杆件柔性坐标系;基于末端负载、连杆自重和关节自重,递归计算连杆和关节上的力和力矩;计算连杆和关节形变导致的位移和角度扭转;建立柔性正运动学方程;列出标定方程,并通过非线性优化算法完成标定方程的计算。该方法既可标定运动学几何参数,又可标定连杆和关节柔性参数;考虑了末端负载以及连杆自重和关节自重对力和力矩的计算影响,提高了机器人在各种工况下的精度。

Description

杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法
技术领域
本发明涉及人工智能领域,特别涉及一种机器人运动学标定方法。
背景技术
轻量协作机械臂的应用日益广泛,然而随着对工业机器人的精度需求增加,对于高负载比和大臂展的机械臂,关节和杆件的柔性对机器人精度的影响变得不可忽略。因此不仅对机械臂的几何参数进行标定,还需对关节和杆件的柔性参数进行标定,识别并补偿其对精度的影响。
现有技术:
1.只对机器人关节柔性参数进行标定,无法标定杆件柔性参数,然而相比于关节,杆件的柔性似乎对末端精度影响更大;
2.只考虑机械臂各部件重力引起的关节变形,不考虑外加负载对机器人的柔性影响,因此标定的结果无法保证多种工况下机器人的精度。
发明内容
本公开提供一种杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法,其既可标定运动学几何参数,又可标定连杆和关节柔性参数的标定方法,是一种通用方法。
本公开提供的杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法,包括以下步骤:
建立机器人刚性坐标系、杆件柔性坐标系;
基于末端负载、连杆自重和关节自重,递归计算连杆和关节上的力和力矩;
计算连杆和关节形变导致的位移和角度扭转;
建立柔性正运动学方程;
列出标定方程,并通过非线性优化算法完成标定方程的计算。
可选地,对于含有n个关节及n+1个杆件的串联机械臂,所述机器人刚性坐标系包括:
Ri(i=0,....,n){Oi,xi,yi,zi}:第i个机器人坐标系,Oi为坐标系原点(i=0表示基座),轴zi方向沿着第i个关节轴的方向,轴xi方向沿着zi和zi+1共法线的方向;
R-1:世界坐标系;
Rn+1:末端执行器坐标系(刀具坐标系);
坐标系Ri相对于坐标系Ri-1的齐次变换方程:
Figure BDA0002489002750000021
式中,
Figure BDA0002489002750000022
表示绕轴k旋转角度
Figure BDA0002489002750000024
的变换矩阵,Trans(k,a)表示沿着轴k移动距离a的变换矩阵;
q={q1,q2,...,qn}:关节变量;
Figure BDA0002489002750000023
Ri相对于Rj的齐次变换矩阵;
-1Tn+1-1T0·0T1(q1)·...·n-1Tn(qnnTn+1:末端执行器坐标系位姿相对于世界坐标系的位置;
设杆件i的起点Ai,杆件i的终点Bi,杆件i的长度Li,杆件i的质心位置si,所述杆件柔性坐标系包括:
Rai{Ai,xai,yai,zai}:第i个杆件起点坐标系,轴xai方向沿着AiBi方向;
Rbi{Bi,xai,yai,zai}:第i个杆件终点坐标系,与Rai平行,但原点在Bi
Rai相对于第i个机器人坐标系Ri的齐次变换矩阵:iTai=Rot(z,γai)·Trans(z,bai)·Rot(x,αai)·Trans(x,dai)·Rot(z,θai)·Trans(z,rai);;
Rbi相对于基坐标系R0的齐次变换矩阵0Tbi0Ti·iTai·Trans(xai,Li)。。
可选地,所述杆件i(i=0,...,n)施加在关节上的力及力矩在所述Ri坐标系中表示为:
Figure BDA0002489002750000031
施加在连杆上的力及力矩在所述Rai坐标系中表示为:
Figure BDA0002489002750000032
其中,
mi:第i个杆件的质量;
Mi={Mxi Myi Mzi}T:将第i个杆件的重力从质心平移到杆件坐标系原点Oi产生的力矩;
0g=[00-9.81]T(m·s2):基坐标系中的加速度即重力加速度;
ig=iAi-1·i-1g(i=1,...,n+1):Ri坐标系中的重力加速度;
aig=[aigx aigy aigz]TaiAi·ig(i=1,...,n):Rai坐标系中的重力加速度;
Figure BDA0002489002750000033
jPi={Px Py Pz}T的斜对称矩阵;
Figure BDA0002489002750000034
力或力矩从坐标系Ri到Rj的变换矩阵;
Figure BDA0002489002750000035
mp:末端负载质量;
jmi:第i个关节的质量;
n+1Pb(n+1)n+1Pa(n+1)+n+1Aa(n+1)·{Ln+1 0 0}T,表示点Bn+1在坐标系Rn+1中的位置;
biPi=-aiAi·iPai-{Li 0 0}T,表示点On在坐标系Rbi中的位置。
可选的,所述连杆形变的计算方法为:
在Rbi坐标系中,Bi点产生的位移aidci(Bi)和角度扭转aiδci(Bi)为:
Figure BDA0002489002750000036
在Ri+1坐标系中,点Oi+1位移i+1dci(Oi+1)和角度扭转i+1δci(Oi+1)为:
Figure BDA0002489002750000041
所述关节形变的计算方法为:
在坐标系Ri中,第i个关节及第i-1个关节在点Oi产生的位移id(Oi)和角度扭转iδ(Oi)为
Figure BDA0002489002750000042
其中,
Ei:第i个杆件材料的杨氏模量;
Gi:第i个杆件材料的剪切模量;
Iyi:第i个杆件沿轴yai方向,等效梁截面的转动惯量;
Izi:第i个杆件沿轴zai方向,等效梁截面的转动惯量;
Ji:第i个杆件沿轴xai方向,等效梁截面的极惯性矩;
Figure BDA0002489002750000043
Figure BDA0002489002750000044
Figure BDA0002489002750000045
Kazi:关节高速端到低速端传动系统的弹性系数;
Figure BDA0002489002750000046
Figure BDA0002489002750000047
Figure BDA0002489002750000048
Figure BDA0002489002750000049
Figure BDA00024890027500000410
Figure BDA00024890027500000411
Figure BDA00024890027500000412
Figure BDA00024890027500000413
σi:第i个关节的类型,转动关节其值为σi=0,移动关节其值为σi=1,Ri与其前一个坐标系重合时σi=2;
Li,第i个杆件的长度;
si,第i个杆件质心到Ai的距离。
可选的,所述柔性正运动学方程为:
Figure BDA0002489002750000051
对于n自由度机器人,考虑关节和杆件柔性时,其末端位置的计算函数为:
-1Pn+1=[Pn x Pn y Pn z]T=f(ai,di,qi,ri,Kfyi,Kfzi,Kti,Kazi,mp)(i=1~n)=f(η,q,mp)。
可选的,所述标定方程为
Figure BDA0002489002750000052
其中,m为机器人的工作空间中构型的数量;
k为每个构型施加的负载个数,
变量η=(αi,di,ri,Kfyi,Kfzi,Kti,Kazi)(i=1~n)。
可选的,对所述标定方程,采用高斯牛顿算法求解,高斯牛顿算法迭代的目标函数为
Figure BDA0002489002750000053
可选的,所述利用高斯牛顿算法求解所述标定方程的步骤包括:
给定猜测的初始值η(0)作为最小值开始,基于Levenberg-Marquardt算法,通过下式进行迭代
η(s+1)=η(s)+(Jf TJf(s)·diag(Jf TJf))-1Jf Tr(η(s))
上式中,λ(0)初值取0.01,
Figure BDA0002489002750000054
若S(η(s))收敛到的精度标准,则算法结束,η(s)即标定的参数值;
否则,若S(η(s+1))>S(η(s)),则λ(s)=λ(s)×10,重新计算η(s+1)及S(η(s+1)),直到S(η(s+1))<S(η(s));
若S(η(s+1))<S(η(s)),则λ(s+1)=λ(s)/10,计算η(s+2)及S(η(s+2))。
本公开提供的杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法,利用牛顿-欧拉法思想,递归计算得到各连杆和关节轴上的力和力矩,不仅考虑了末端负载,还考虑了连杆自重和关节自重对力和力矩的计算影响。并基于柔性参数,计算连续关节和杆件之间的柔性齐次变换矩阵,从而得到机器人柔性正运动学方程,并得到标定方程。最终通过非线性优化算法完成标定方程的计算,得到运动学几何参数及连杆和关节柔性参数的标定结果。
与现有技术相比,本公开的有益效果是:既可标定运动学几何参数,又可标定连杆和关节柔性参数;考虑了末端负载,以及连杆自重和关节自重对力和力矩的计算影响,提高了机器人在各种工况下的精度。
附图说明
通过结合附图对本公开示例性实施例进行更详细的描述,本公开的上述以及其它目的、特征和优势将变得更加明显,其中,在本公开示例性实施例方式中,相同的参考标号通常代表相同部件。
图1显示示例性实施例中建立的机器人坐标系;
图2显示杆件坐标系的建立;
图3显示连杆弯曲形变示意图。
具体实施方式
下面将参照附图更详细地描述本公开的优选实施例。虽然附图中显示了本公开的优选实施例,然而应该理解,可以以各种形式实现本公开而不应被这里阐述的实施例所限制。相反,提供这些实施例是为了使本公开更加透彻和完整,并且能够将本公开的范围完整地传达给本领域的技术人员。
在末端负载变化的工况下,连续杆件之间的柔性齐次变换方程的建立是本发明的技术难点,不仅考虑正运动学的几何参数,还必须考虑关节和杆件的柔性参数。
根据本发明提出的杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法示例性实施例,分为以下步骤:
步骤1.建立机器人刚性坐标系和杆件柔性坐标系。
示例性实施例以串联机械臂为例,其含有n个关节及n+1个杆件;杆件0即基座,第n个杆件即最后一个杆件;末端刀具表示为杆件n+1;建立的机器人刚性坐标系和杆件柔性坐标系如下。
(1)机器人刚性坐标系
Ri(i=0,....,n){Oi,xi,yi,zi}:第i个机器人坐标系,Oi为坐标系原点,i=0表示基座,轴zi方向沿着第i个关节轴的方向,轴xi方向沿着zi和zi+1共法线的方向;
R-1:世界坐标系;
Rn+1:末端执行器坐标系(刀具坐标系);
Figure BDA0002489002750000071
:坐标系Ri相对于坐标系Ri-1的齐次变换方程,式中
Figure BDA0002489002750000072
表示绕轴k旋转角度
Figure BDA0002489002750000074
的变换矩阵,Trans(k,a)表示沿着轴k移动距离a的变换矩阵,几何参数(αi,di,qi,ri)的定义如附图1所示;
q={q1,q2,...,qn}:关节变量;
σi:第i个关节的类型,转动关节其值为σi=0,移动关节其值为σi=1,Ri与其前一个坐标系重合时σi=2;
Figure BDA0002489002750000073
Ri相对于Rj的齐次变换矩阵;
-1Tn+1-1T0·0T1(q1)·...·n-1Tn(qnnTn+1:末端执行器坐标系位姿相对于世界坐标系的位置。
(2)杆件柔性坐标系
连杆等效成等截面的柔性梁,如附图2所示,其中Ai:杆件i的起点,Bi:杆件i的终点,Li:杆件i的长度,si:杆件i的质心位置。
Rai{Ai,xai,yai,zai}:第i个杆件起点坐标系,轴xai方向沿着AiBi方向;
iTai=Rot(z,γai)·Trans(z,bai)·Rot(x,αai)·Trans(x,dai)·Rot(z,θai)·Trans(z,rai):坐标系Rai相对于Ri的其次变换矩阵;
Rbi{Bi,xai,yai,zai}:第i个杆件终点坐标系,与Rai平行,但原点在Bi
0Tbi0Ti·iTai·Trans(xai,Li):Rbi相对于基坐标系R0的齐次变换矩阵。
步骤2:基于末端负载、连杆自重和关节自重,计算连杆和关节上的力及力矩。
在示例性实施例中,利用牛顿-欧拉法思想,递归计算得到各连杆和关节轴上的力和力矩,不仅考虑末端负载,还考虑连杆自重和关节自重对力和力矩的计算影响,具体方法如下:
(1)变量设置
Figure BDA0002489002750000081
作用在点Hk上,表示在坐标系Rj的力
Figure BDA0002489002750000082
作用在点Hk上,表示在坐标系Rj的力矩
Figure BDA0002489002750000083
对于杆件i施加在终点Bi的力及力矩在Rai的表示,施加在起点Oi的力及力矩在Ri的表示。
Figure BDA0002489002750000084
jPi={Px Py Pz}T的斜对称矩阵
Figure BDA0002489002750000085
力或力矩从坐标系Ri到Rj的变换矩阵,即
Figure BDA0002489002750000086
mp:末端负载质量
mi:第i个杆件的质量
jmi:第i个关节的质量
Mi={Mxi Myi Mzi}T:将第i个杆件的重力从质心平移到杆件起点Oi产生的力矩
0g=[00-9.81]T(m·s2):基坐标系中的加速度即重力加速度
ig=iAi-1·i-1g(i=1,...,n+1):Ri坐标系中的重力加速度
aig=[aigx aigy aigz]TaiAi·ig(i=1,...,n):Rai坐标系中的重力加速度。
(2)采用牛顿-欧拉递推算法对连杆上的力和力矩进行计算
设负载为作用在末端即Rb(n+1)坐标系的原点的集中质量,则:
作用在点Bn+1的第n+1个杆件的力和力矩为
Figure BDA0002489002750000091
作用在On+1的力和力矩
Figure BDA0002489002750000092
包括:第n+1个杆件的自重及重力平移到On+1产生的力矩、作用在点Bn+1的力和力矩、以及关节的自重三部分,在计算时,需要将以上的力和力矩表示在坐标系Rn+1中。
Figure BDA0002489002750000093
式中,n+1Pb(n+1)n+1Pa(n+1)+n+1Aa(n+1)·{Ln+1 0 0}T,给出了点Bn+1在坐标系Rn+1中的位置。
(3)逆推递归计算
Figure BDA0002489002750000094
逆推计算作用在点Oi的力和力矩
Figure BDA0002489002750000095
该力和力矩分为三部分:第i个杆件的自重及重力平移到Oi产生的力矩,作用在点Bi上的力和力矩,以及第i个关节的自重。而作用在Bi上的力和力矩等效于作用在0i+1,因此
Figure BDA0002489002750000096
同理,由
Figure BDA0002489002750000097
更推
Figure BDA0002489002750000098
Figure BDA0002489002750000101
式中,biPi=-aiAi·iPai-{Li 0 0}T,给出了点On在坐标系Rbi中的位置。
步骤3:连杆和关节的形变计算
连杆等效为等截面柔性梁。假设由于力和力矩产生的形变较小,可应用伯努利假设、胡克定律、叠加理论和圣维南原理等假设理论。
对于连杆,考虑其弯曲和扭转形变,忽略拉伸和压缩形变。对于关节,若为平移关节,则将其假设为沿移动关节轴的线性平移弹簧,对于转动关节,则将其假设为绕转动关节轴的线性扭转弹簧。
各连杆变形的计算中,杆件自重导致的变形不可忽略。
示例性实施例中的具体计算方法包括:
(1)连杆形变计算
Ei:第i个杆件材料的杨氏模量
Gi:第i个杆件材料的剪切模量
Iyi:第i个杆件沿轴yai方向,等效梁截面的转动惯量
Izi:第i个杆件沿轴zai方向,等效梁截面的转动惯量
Ji:第i个杆件沿轴xai方向,等效梁截面的极惯性矩
Figure BDA0002489002750000102
Figure BDA0002489002750000103
Figure BDA0002489002750000104
Kazi:关节高速端到低速端传动系统的弹性系数
①弯曲形变
考虑弹性变形相对于连杆长度较小,弹性形变位移和角度与力和力矩成正比,即服从胡克定律。形变分为两部分:
I).由于力
Figure BDA0002489002750000105
mi·aigz和力矩
Figure BDA0002489002750000106
产生的,绕着轴yai的弯曲形变,如附图3(a)所示。
杆件形变导致Bi点在Rbi坐标系中,产生的沿zai位移为:
Figure BDA0002489002750000111
产生的沿yai的旋转为:
Figure BDA0002489002750000112
II).由于力
Figure BDA0002489002750000113
mi·aigy和力矩
Figure BDA0002489002750000114
产生的,绕着轴zai的弯曲形变,如附图3(b)所示。
杆件形变导致Bi点在Rbi坐标系中,产生的沿yai的位移为:
Figure BDA0002489002750000115
产生的沿zai的旋转为:
Figure BDA0002489002750000116
②扭转形变
如图3(c)所示,由于力矩
Figure BDA0002489002750000117
产生的,绕着轴xai的扭转形变。
杆件形变导致Bi点在Rbi坐标系中,产生沿xai位移为aiδcxi(Bi):
Figure BDA0002489002750000118
③总形变
杆件弯曲和扭转形变导致Bi点在Rbi坐标系中,产生的位移和角度扭转为:
Figure BDA0002489002750000119
因此,在Ri+1坐标系中,点Oi+1位移和角度扭转为:
Figure BDA00024890027500001110
(2)关节形变计算
若第i个关节为移动关节,则点Oi的位移沿zi方向,其值为:
Figure BDA00024890027500001111
若第i个关节为转动关节,则点Oi的角度扭转沿zi方向,其值为:
Figure BDA0002489002750000125
总变形:
Figure BDA0002489002750000121
合成形变:
第i个关节及第i-1个关节,在坐标系Ri中,在点Oi产生的位移id(Oi)和角度扭转iδ(Oi)为
Figure BDA0002489002750000122
步骤4,建立柔性正运动学方程。
示例性实施例中,通过将刚性机器人的齐次变换矩阵相乘,得到世界坐标系到末端的总变换。考虑关节和杆件的柔性时,需要将关节和杆件在点Oi产生的位移id(Oi)和角度扭转iδ(Oi)加入到齐次变换矩阵中,并得到最终柔性正运动学方程。
柔性齐次变换矩阵为:
Figure BDA0002489002750000123
柔性正运动学方程为:
Figure BDA0002489002750000124
由此得到,对于n自由度机器人,考虑关机和杆件柔性时,其末端位置的计算函数为:
-1Pn+1=[Pn x Pn y Pn z]T=f(αi,di,qi,ri,Kfyi,Kfzi,Kti,Kazi,mp)(i=1~n)=f(η,q,mp)
步骤5,列出标定方程,并通过非线性优化算法完成标定方程的计算。
示例性实施例中,在机器人的工作空间中,确定m个构型,并且每个构型施加k个负载,利用测量仪器采集其末端位置坐标,合计m×k个点坐标,设需要标定的参数为ρ个,需要保证m×k×3>ρ。m×k个点坐标记为矩阵P:
Figure BDA0002489002750000131
将机器人的名义运动学参数和柔性参数,及各构型的关节角代入柔性正运动学方程可计算名义末端位置
Figure BDA0002489002750000132
设给定m×k×3个函数r=(rx11,...,rzmk),
变量η=(αi,di,ri,Kfyi,Kfzi,Kti,Kazi)(i=1~n),并且m×k×3>7×n,
则理想位置和实际测量位置之间的残差为
Figure BDA0002489002750000133
可选的,利用高速牛顿法解上述超定非线性优化问题,高斯牛顿算法迭代的目标函数为
Figure BDA0002489002750000134
可选的,所述利用高斯牛顿算法求解所述标定方程的具体计算步骤为:
给定猜测的初始值η(0)作为最小值开始,为防止矩阵奇异,基于Levenberg-Marquardt算法,通过下式进行迭代
η(s+1)=η(s)+(Jf TJf(s)·diag(Jf TJf))-1Jf Tr(η(s))
上式中,λ(0)初值取0.01,
Figure BDA0002489002750000141
若S(η(s))收敛到的精度标准,则算法结束,η(s)即标定的参数值;否则,若S(η(s+1))>S(η(s)),则λ(s)=λ(s)×10,重新计算η(s+1)及S(η(s+1)),直到S(η(s+1))<S(η(s));若S(η(s+1))<S(η(s)),则λ(s+1)=λ(s)/10,计算η(s+2)及S(η(s+2))。
根据示例性实施例的杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法,利用牛顿-欧拉法思想,递归计算得到各连杆和关节轴上的力和力矩,并基于柔性参数,计算连续关节和杆件之间的柔性齐次变换矩阵,从而得到机器人柔性正运动学方程,并得到标定方程。最终通过非线性优化算法完成标定方程的计算,得到运动学几何参数及连杆和关节柔性参数的标定结果。
在递归计算各连杆和关节轴上的力和力矩时,不仅考虑了末端负载,还考虑了连杆自重和关节自重对力和力矩的计算影响;各连杆变形的计算中,应用有限元的思想计算杆件自重导致的变形;通过计算连续关节和杆件之间的柔性齐次变换矩阵,得到机器人柔性正运动学方程。
与现有技术相比,这种标定方法的有益效果是:既可标定运动学几何参数,又可标定连杆和关节柔性参数;考虑了末端负载,以及连杆自重和关节自重对力和力矩的计算影响,提高了机器人在各种工况下的精度。
上述技术方案只是本发明的示例性实施例,对于本领域内的技术人员而言,在本发明公开了应用方法和原理的基础上,很容易做出各种类型的改进或变形,而不仅限于本发明上述具体实施例所描述的方法,因此前面描述的方式只是优选的,而并不具有限制性的意义。

Claims (8)

1.一种杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法,包括以下步骤:
建立机器人刚性坐标系、杆件柔性坐标系;
基于末端负载、连杆自重和关节自重,递归计算连杆和关节上的力和力矩;
计算连杆和关节形变导致的位移和角度扭转;
建立柔性正运动学方程;
列出标定方程,并通过非线性优化算法完成标定方程的计算。
2.根据权利要求1所述的机器人运动学标定方法,其特征在于,对于含有n个关节及n+1个杆件的串联机械臂,所述机器人刚性坐标系包括:
Ri(i=0,....,n){Oi,xi,yi,zi}:第i个机器人坐标系,Oi为坐标系原点(i=0表示基座),轴zi方向沿着第i个关节轴的方向,轴xi方向沿着zi和zi+1共法线的方向;
R-1:世界坐标系;
Rn+1:末端执行器坐标系(刀具坐标系);
坐标系Ri相对于坐标系Ri-1的齐次变换方程:
Figure FDA0002489002740000011
式中,
Figure FDA0002489002740000015
表示绕轴k旋转角度
Figure FDA0002489002740000013
的变换矩阵,Trans(k,a)表示沿着轴k移动距离a的变换矩阵;
q={q1,q2,...,qn}:关节变量;
Figure FDA0002489002740000014
Ri相对于Rj的齐次变换矩阵;
-1Tn+1-1T0·0T1(q1)·...·n-1Tn(qnnTn+1:末端执行器坐标系位姿相对于世界坐标系的位置;
设杆件i的起点Ai,杆件i的终点Bi,杆件i的长度Li,杆件i的质心位置si,所述杆件柔性坐标系包括:
Rai{Ai,xai,yai,zai}:第i个杆件起点坐标系,轴xai方向沿着AiBi方向;
Rbi{Bi,xai,yai,zai}:第i个杆件终点坐标系,与Rai平行,但原点在Bi
Rai相对于第i个机器人坐标系Ri的齐次变换矩阵:iTai=Rot(z,yai)·Trans(z,bai)·Rot(x,aai)·Trans(x,dai)·Rot(z,θai)·Trans(z,rai);;
Rbi相对于基坐标系R0的齐次变换矩阵0Tbi0Ti·iTai·Trans(xai,Li)。
3.根据权利要求2所述的机器人运动学标定方法,其特征在于,所述杆件i(i=0,...,n)施加在关节上的力及力矩在所述Ri坐标系中表示为:
Figure FDA0002489002740000021
施加在连杆上的力及力矩在所述Rai坐标系中表示为:
Figure FDA0002489002740000022
其中,
mi:第i个杆件的质量;
Mi={Mxi Myi Mzi}T:将第i个杆件的重力从质心平移到关节坐标系原点Oi产生的力矩;
0g=[0 0 -9.81]T(m·s2):基坐标系中的加速度即重力加速度;
ig=iAi-1·i-1g(i=1,...,n+1):Ri坐标系中的重力加速度;
aig=[aigx aigy aigz]TaiAi·ig(i=1,...,n):Rai坐标系中的重力加速度;
Figure FDA0002489002740000023
jPi={Px Py Pz}T的斜对称矩阵;
Figure FDA0002489002740000024
力或力矩从坐标系Ri到Rj的变换矩阵;
Figure FDA0002489002740000025
mp:末端负载质量;
jmi:第i个关节的质量;
n+1Pb(n+1)n+1Pa(n+1)+n+1Aa(n+1)·{Ln+1 0 0}T,表示点Bn+1在坐标系Rn+1中的位置;
biPi=-aiAi·iPai-{Li 0 0}T,表示点On在坐标系Rbi中的位置。
4.根据权利要求3所述的机器人运动学标定方法,其特征在于,
所述连杆形变的计算方法为:
在Rbi坐标系中,Bi点产生的位移aidci(Bi)和角度扭转aiδci(Bi)为:
Figure FDA0002489002740000031
在Ri+1坐标系中,点Oi+1位移i+1dci(Oi+1)和角度扭转i+1δci(Oi+1)为:
Figure FDA0002489002740000032
所述关节形变的计算方法为:
在坐标系Ri中,第i个关节及第i-1个关节在点Oi产生的位移id(Oi)和角度扭转iδ(Oi)为
Figure FDA0002489002740000033
其中,
Ei:第i个杆件材料的杨氏模量;
Gi:第i个杆件材料的剪切模量;
Iyi:第i个杆件沿轴yai方向,等效梁截面的转动惯量;
Izi:第i个杆件沿轴zai方向,等效梁截面的转动惯量;
Ji:第i个杆件沿轴xai方向,等效梁截面的极惯性矩;
Figure FDA0002489002740000034
Figure FDA0002489002740000035
Figure FDA0002489002740000036
Kazi:关节高速端到低速端传动系统的弹性系数;
Figure FDA0002489002740000037
Figure FDA0002489002740000041
Figure FDA0002489002740000042
Figure FDA0002489002740000043
Figure FDA0002489002740000044
Figure FDA0002489002740000045
Figure FDA0002489002740000046
Figure FDA0002489002740000047
σi:第i个关节的类型,转动关节其值为σi=0,移动关节其值为σi=1,Ri与其前一个坐标系重合时σi=2;
Li,第i个杆件的长度;
si,第i个杆件质心到Ai的距离。
5.根据权利要求4所述的机器人运动学标定方法,其特征在于,所述柔性正运动学方程为:
Figure FDA0002489002740000048
n自由度机器人,考虑关节和杆件柔性时,其末端位置的计算函数为:
-1Pn+1=[Pn x Pn y Pn z]T=f(αi,di,qi,ri,Kfyi,Kfzi,Kti,Kazi,mp)(i=1~n)=f(η,q,mp)。
6.根据权利要求5所述的机器人运动学标定方法,其特征在于,所述标定方程为
Figure FDA0002489002740000049
其中,m为机器人的工作空间中构型的数量;
k为每个构型施加的负载个数,
变量η=(αi,di,ri,Kfyi,Kfzi,Kti,Kazi)(i=1~n)。
7.根据权利要求6所述的机器人运动学标定方法,其特征在于,对所述标定方程,采用高斯牛顿算法求解,高斯牛顿算法迭代的目标函数为
Figure FDA0002489002740000051
8.根据权利要求7所述的机器人运动学标定方法,其特征在于,所述利用高斯牛顿算法求解所述标定方程的步骤包括:
给定猜测的初始值η(0)作为最小值开始,基于Levenberg-Marquardt算法,通过下式进行迭代
η(s+1)=η(s)+(Jf TJf(s)·diag(Jf TJf))-1Jf Tr(η(s))
上式中,λ(0)初值取0.01,
Figure FDA0002489002740000052
若S(η(s))收敛到的精度标准,则算法结束,η(s)即标定的参数值;
否则,若S(η(s+1))>S(η(s)),则λ(s)=λ(s)×10,重新计算η(s+1)及S(η(s+1)),直到S(η(s+1))<S(η(s));
若S(η(s+1))<S(η(s)),则λ(s+1)=λ(s)/10,计算η(s+2)及S(η(s+2))。
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