CN111515956A - 杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法 - Google Patents

Abstract

一种杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法，包括以下步骤：建立机器人刚性坐标系、杆件柔性坐标系；基于末端负载、连杆自重和关节自重，递归计算连杆和关节上的力和力矩；计算连杆和关节形变导致的位移和角度扭转；建立柔性正运动学方程；列出标定方程，并通过非线性优化算法完成标定方程的计算。该方法既可标定运动学几何参数，又可标定连杆和关节柔性参数；考虑了末端负载以及连杆自重和关节自重对力和力矩的计算影响，提高了机器人在各种工况下的精度。

Description

杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法

技术领域

本发明涉及人工智能领域，特别涉及一种机器人运动学标定方法。

背景技术

轻量协作机械臂的应用日益广泛，然而随着对工业机器人的精度需求增加，对于高负载比和大臂展的机械臂，关节和杆件的柔性对机器人精度的影响变得不可忽略。因此不仅对机械臂的几何参数进行标定，还需对关节和杆件的柔性参数进行标定，识别并补偿其对精度的影响。

现有技术：

1.只对机器人关节柔性参数进行标定，无法标定杆件柔性参数，然而相比于关节，杆件的柔性似乎对末端精度影响更大；

2.只考虑机械臂各部件重力引起的关节变形，不考虑外加负载对机器人的柔性影响，因此标定的结果无法保证多种工况下机器人的精度。

发明内容

本公开提供一种杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法，其既可标定运动学几何参数，又可标定连杆和关节柔性参数的标定方法，是一种通用方法。

本公开提供的杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法，包括以下步骤：

建立机器人刚性坐标系、杆件柔性坐标系；

基于末端负载、连杆自重和关节自重，递归计算连杆和关节上的力和力矩；

计算连杆和关节形变导致的位移和角度扭转；

建立柔性正运动学方程；

列出标定方程，并通过非线性优化算法完成标定方程的计算。

可选地，对于含有n个关节及n+1个杆件的串联机械臂，所述机器人刚性坐标系包括：

R_i(i＝0，....，n){O_i，x_i，y_i，z_i}：第i个机器人坐标系，O_i为坐标系原点(i＝0表示基座)，轴z_i方向沿着第i个关节轴的方向，轴x_i方向沿着z_i和z_i+1共法线的方向；

R_-1：世界坐标系；

R_n+1：末端执行器坐标系(刀具坐标系)；

坐标系R_i相对于坐标系R_i-1的齐次变换方程：

式中，

表示绕轴k旋转角度

的变换矩阵，Trans(k，a)表示沿着轴k移动距离a的变换矩阵；

q＝{q₁，q₂，...，q_n}：关节变量；

R_i相对于R_j的齐次变换矩阵；

^-1T_n+1＝^-1T₀·⁰T₁(q₁)·...·^n-1T_n(q_n)·ⁿT_n+1：末端执行器坐标系位姿相对于世界坐标系的位置；

设杆件i的起点A_i，杆件i的终点B_i，杆件i的长度L_i，杆件i的质心位置s_i，所述杆件柔性坐标系包括：

R_ai{A_i，x_ai，y_ai，z_ai}：第i个杆件起点坐标系，轴x_ai方向沿着A_iB_i方向；

R_bi{B_i，x_ai，y_ai，z_ai}：第i个杆件终点坐标系，与R_ai平行，但原点在B_i；

R_ai相对于第i个机器人坐标系R_i的齐次变换矩阵：ⁱT_ai＝Rot(z，γ_ai)·Trans(z，b_ai)·Rot(x，α_ai)·Trans(x，d_ai)·Rot(z，θ_ai)·Trans(z，r_ai)；；

R_bi相对于基坐标系R₀的齐次变换矩阵⁰T_bi＝⁰T_i·ⁱT_ai·Trans(x_ai，L_i)。。

可选地，所述杆件i(i＝0，...，n)施加在关节上的力及力矩在所述R_i坐标系中表示为：

施加在连杆上的力及力矩在所述R_ai坐标系中表示为：

其中，

m_i：第i个杆件的质量；

M_i＝{Mx_i My_i Mz_i}^T：将第i个杆件的重力从质心平移到杆件坐标系原点O_i产生的力矩；

⁰g＝[00-9.81]^T(m·s²)：基坐标系中的加速度即重力加速度；

ⁱg＝ⁱA_i-1·^i-1g(i＝1，...，n+1)：R_i坐标系中的重力加速度；

^aig＝[^aigx ^aigy ^aigz]^T＝^aiA_i·ⁱg(i＝1，...，n)：R_ai坐标系中的重力加速度；

^jP_i＝{Px Py Pz}^T的斜对称矩阵；

力或力矩从坐标系R_i到R_j的变换矩阵；

m_p：末端负载质量；

jm_i：第i个关节的质量；

ⁿ⁺¹P_b(n+1)＝ⁿ⁺¹P_a(n+1)+ⁿ⁺¹A_a(n+1)·{L_n+1 0 0}^T，表示点B_n+1在坐标系R_n+1中的位置；

^biP_i＝-^aiA_i·ⁱP_ai-{L_i 0 0}^T，表示点O_n在坐标系R_bi中的位置。

可选的，所述连杆形变的计算方法为：

在R_bi坐标系中，B_i点产生的位移^aidc_i(B_i)和角度扭转^aiδc_i(B_i)为：

在R_i+1坐标系中，点O_i+1位移ⁱ⁺¹dc_i(O_i+1)和角度扭转ⁱ⁺¹δc_i(O_i+1)为：

所述关节形变的计算方法为：

在坐标系R_i中，第i个关节及第i-1个关节在点O_i产生的位移ⁱd(O_i)和角度扭转ⁱδ(O_i)为

其中，

E_i：第i个杆件材料的杨氏模量；

G_i：第i个杆件材料的剪切模量；

I_yi：第i个杆件沿轴y_ai方向，等效梁截面的转动惯量；

I_zi：第i个杆件沿轴z_ai方向，等效梁截面的转动惯量；

J_i：第i个杆件沿轴x_ai方向，等效梁截面的极惯性矩；

K_azi：关节高速端到低速端传动系统的弹性系数；

σ_i：第i个关节的类型，转动关节其值为σ_i＝0，移动关节其值为σ_i＝1，R_i与其前一个坐标系重合时σ_i＝2；

L_i，第i个杆件的长度；

s_i，第i个杆件质心到A_i的距离。

可选的，所述柔性正运动学方程为：

对于n自由度机器人，考虑关节和杆件柔性时，其末端位置的计算函数为：

^-1P_n+1＝[Pⁿ _x Pⁿ _y Pⁿ _z]^T＝f(a_i，d_i，q_i，r_i，K_fyi，K_fzi，K_ti，K_azi，m_p)(i＝1～n)＝f(η，q，m_p)。

可选的，所述标定方程为

其中，m为机器人的工作空间中构型的数量；

k为每个构型施加的负载个数，

变量η＝(α_i，d_i，r_i，K_fyi，K_fzi，K_ti，K_azi)(i＝1～n)。

可选的，对所述标定方程，采用高斯牛顿算法求解，高斯牛顿算法迭代的目标函数为

可选的，所述利用高斯牛顿算法求解所述标定方程的步骤包括：

给定猜测的初始值η⁽⁰⁾作为最小值开始，基于Levenberg-Marquardt算法，通过下式进行迭代

η^(s+1)＝η^(s)+(J_f ^TJ_f+λ^(s)·diag(J_f ^TJ_f))^-1J_f ^Tr(η^(s))

上式中，λ⁽⁰⁾初值取0.01，

若S(η^(s))收敛到的精度标准，则算法结束，η^(s)即标定的参数值；

否则，若S(η^(s+1))＞S(η^(s))，则λ^(s)＝λ^(s)×10，重新计算η^(s+1)及S(η^(s+1))，直到S(η^(s+1))＜S(η^(s))；

若S(η^(s+1))＜S(η^(s))，则λ^(s+1)＝λ^(s)/10，计算η^(s+2)及S(η^(s+2))。

本公开提供的杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法，利用牛顿-欧拉法思想，递归计算得到各连杆和关节轴上的力和力矩，不仅考虑了末端负载，还考虑了连杆自重和关节自重对力和力矩的计算影响。并基于柔性参数，计算连续关节和杆件之间的柔性齐次变换矩阵，从而得到机器人柔性正运动学方程，并得到标定方程。最终通过非线性优化算法完成标定方程的计算，得到运动学几何参数及连杆和关节柔性参数的标定结果。

与现有技术相比，本公开的有益效果是：既可标定运动学几何参数，又可标定连杆和关节柔性参数；考虑了末端负载，以及连杆自重和关节自重对力和力矩的计算影响，提高了机器人在各种工况下的精度。

附图说明

通过结合附图对本公开示例性实施例进行更详细的描述，本公开的上述以及其它目的、特征和优势将变得更加明显，其中，在本公开示例性实施例方式中，相同的参考标号通常代表相同部件。

图1显示示例性实施例中建立的机器人坐标系；

图2显示杆件坐标系的建立；

图3显示连杆弯曲形变示意图。

具体实施方式

下面将参照附图更详细地描述本公开的优选实施例。虽然附图中显示了本公开的优选实施例，然而应该理解，可以以各种形式实现本公开而不应被这里阐述的实施例所限制。相反，提供这些实施例是为了使本公开更加透彻和完整，并且能够将本公开的范围完整地传达给本领域的技术人员。

在末端负载变化的工况下，连续杆件之间的柔性齐次变换方程的建立是本发明的技术难点，不仅考虑正运动学的几何参数，还必须考虑关节和杆件的柔性参数。

根据本发明提出的杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法示例性实施例，分为以下步骤：

步骤1.建立机器人刚性坐标系和杆件柔性坐标系。

示例性实施例以串联机械臂为例，其含有n个关节及n+1个杆件；杆件0即基座，第n个杆件即最后一个杆件；末端刀具表示为杆件n+1；建立的机器人刚性坐标系和杆件柔性坐标系如下。

(1)机器人刚性坐标系

R_i(i＝0，....，n){O_i，x_i，y_i，z_i}：第i个机器人坐标系，O_i为坐标系原点，i＝0表示基座，轴z_i方向沿着第i个关节轴的方向，轴x_i方向沿着z_i和z_i+1共法线的方向；

R_-1：世界坐标系；

R_n+1：末端执行器坐标系(刀具坐标系)；

：坐标系R_i相对于坐标系R_i-1的齐次变换方程，式中

表示绕轴k旋转角度

的变换矩阵，Trans(k，a)表示沿着轴k移动距离a的变换矩阵，几何参数(α_i，d_i，q_i，r_i)的定义如附图1所示；

q＝{q₁，q₂，...，q_n}：关节变量；

σ_i：第i个关节的类型，转动关节其值为σ_i＝0，移动关节其值为σ_i＝1，R_i与其前一个坐标系重合时σ_i＝2；

R_i相对于R_j的齐次变换矩阵；

^-1T_n+1＝^-1T₀·⁰T₁(q₁)·...·^n-1T_n(q_n)·ⁿT_n+1：末端执行器坐标系位姿相对于世界坐标系的位置。

(2)杆件柔性坐标系

连杆等效成等截面的柔性梁，如附图2所示，其中A_i：杆件i的起点，B_i：杆件i的终点，L_i：杆件i的长度，s_i：杆件i的质心位置。

R_ai{A_i，x_ai，y_ai，z_ai}：第i个杆件起点坐标系，轴x_ai方向沿着A_iB_i方向；

ⁱT_ai＝Rot(z，γ_ai)·Trans(z，b_ai)·Rot(x，α_ai)·Trans(x，d_ai)·Rot(z，θ_ai)·Trans(z，r_ai)：坐标系R_ai相对于R_i的其次变换矩阵；

R_bi{B_i，x_ai，y_ai，z_ai}：第i个杆件终点坐标系，与R_ai平行，但原点在B_i；

⁰T_bi＝⁰T_i·ⁱT_ai·Trans(x_ai，L_i)：R_bi相对于基坐标系R₀的齐次变换矩阵。

步骤2：基于末端负载、连杆自重和关节自重，计算连杆和关节上的力及力矩。

在示例性实施例中，利用牛顿-欧拉法思想，递归计算得到各连杆和关节轴上的力和力矩，不仅考虑末端负载，还考虑连杆自重和关节自重对力和力矩的计算影响，具体方法如下：

(1)变量设置

作用在点Hk上，表示在坐标系R_j的力

作用在点Hk上，表示在坐标系R_j的力矩

对于杆件i施加在终点B_i的力及力矩在R_ai的表示，施加在起点O_i的力及力矩在R_i的表示。

^jP_i＝{Px Py Pz}^T的斜对称矩阵

力或力矩从坐标系R_i到R_j的变换矩阵，即

m_p：末端负载质量

m_i：第i个杆件的质量

jm_i：第i个关节的质量

M_i＝{Mx_i My_i Mz_i}^T：将第i个杆件的重力从质心平移到杆件起点O_i产生的力矩

⁰g＝[00-9.81]^T(m·s²)：基坐标系中的加速度即重力加速度

ⁱg＝ⁱA_i-1·^i-1g(i＝1，...，n+1)：R_i坐标系中的重力加速度

^aig＝[^aigx ^aigy ^aigz]^T＝^aiA_i·ⁱg(i＝1，...，n)：R_ai坐标系中的重力加速度。

(2)采用牛顿-欧拉递推算法对连杆上的力和力矩进行计算

设负载为作用在末端即R_b(n+1)坐标系的原点的集中质量，则：

作用在点B_n+1的第n+1个杆件的力和力矩为

作用在O_n+1的力和力矩

包括：第n+1个杆件的自重及重力平移到O_n+1产生的力矩、作用在点B_n+1的力和力矩、以及关节的自重三部分，在计算时，需要将以上的力和力矩表示在坐标系R_n+1中。

式中，ⁿ⁺¹P_b(n₊₁₎＝ⁿ⁺¹P_a(n+1)+ⁿ⁺¹A_a(n+1)·{L_n+1 0 0}^T，给出了点B_n+1在坐标系R_n+1中的位置。

(3)逆推递归计算

由

逆推计算作用在点O_i的力和力矩

该力和力矩分为三部分：第i个杆件的自重及重力平移到O_i产生的力矩，作用在点B_i上的力和力矩，以及第i个关节的自重。而作用在B_i上的力和力矩等效于作用在0_i+1，因此

同理，由

更推

式中，^biP_i＝-^aiA_i·ⁱP_ai-{L_i 0 0}^T，给出了点O_n在坐标系R_bi中的位置。

步骤3：连杆和关节的形变计算

连杆等效为等截面柔性梁。假设由于力和力矩产生的形变较小，可应用伯努利假设、胡克定律、叠加理论和圣维南原理等假设理论。

对于连杆，考虑其弯曲和扭转形变，忽略拉伸和压缩形变。对于关节，若为平移关节，则将其假设为沿移动关节轴的线性平移弹簧，对于转动关节，则将其假设为绕转动关节轴的线性扭转弹簧。

各连杆变形的计算中，杆件自重导致的变形不可忽略。

示例性实施例中的具体计算方法包括：

(1)连杆形变计算

E_i：第i个杆件材料的杨氏模量

G_i：第i个杆件材料的剪切模量

I_yi：第i个杆件沿轴y_ai方向，等效梁截面的转动惯量

I_zi：第i个杆件沿轴z_ai方向，等效梁截面的转动惯量

J_i：第i个杆件沿轴x_ai方向，等效梁截面的极惯性矩

K_azi：关节高速端到低速端传动系统的弹性系数

①弯曲形变

考虑弹性变形相对于连杆长度较小，弹性形变位移和角度与力和力矩成正比，即服从胡克定律。形变分为两部分：

I).由于力

m_i·^aigz和力矩

产生的，绕着轴y_ai的弯曲形变，如附图3(a)所示。

杆件形变导致B_i点在R_bi坐标系中，产生的沿z_ai位移为：

产生的沿y_ai的旋转为：

II).由于力

m_i·^aigy和力矩

产生的，绕着轴z_ai的弯曲形变，如附图3(b)所示。

杆件形变导致B_i点在R_bi坐标系中，产生的沿y_ai的位移为：

产生的沿z_ai的旋转为：

②扭转形变

如图3(c)所示，由于力矩

产生的，绕着轴x_ai的扭转形变。

杆件形变导致B_i点在R_bi坐标系中，产生沿x_ai位移为^aiδcx_i(B_i)：

③总形变

杆件弯曲和扭转形变导致B_i点在R_bi坐标系中，产生的位移和角度扭转为：

因此，在R_i+1坐标系中，点O_i+1位移和角度扭转为：

(2)关节形变计算

若第i个关节为移动关节，则点O_i的位移沿z_i方向，其值为：

若第i个关节为转动关节，则点O_i的角度扭转沿z_i方向，其值为：

总变形：

合成形变：

第i个关节及第i-1个关节，在坐标系R_i中，在点O_i产生的位移ⁱd(O_i)和角度扭转ⁱδ(O_i)为

步骤4，建立柔性正运动学方程。

示例性实施例中，通过将刚性机器人的齐次变换矩阵相乘，得到世界坐标系到末端的总变换。考虑关节和杆件的柔性时，需要将关节和杆件在点O_i产生的位移ⁱd(O_i)和角度扭转ⁱδ(O_i)加入到齐次变换矩阵中，并得到最终柔性正运动学方程。

柔性齐次变换矩阵为：

柔性正运动学方程为：

由此得到，对于n自由度机器人，考虑关机和杆件柔性时，其末端位置的计算函数为：

^-1P_n+1＝[Pⁿ _x Pⁿ _y Pⁿ _z]^T＝f(α_i，d_i，q_i，r_i，K_fyi，K_fzi，K_ti，K_azi，m_p)(i＝1～n)＝f(η，q，m_p)

步骤5，列出标定方程，并通过非线性优化算法完成标定方程的计算。

示例性实施例中，在机器人的工作空间中，确定m个构型，并且每个构型施加k个负载，利用测量仪器采集其末端位置坐标，合计m×k个点坐标，设需要标定的参数为ρ个，需要保证m×k×3＞ρ。m×k个点坐标记为矩阵P：

将机器人的名义运动学参数和柔性参数，及各构型的关节角代入柔性正运动学方程可计算名义末端位置

设给定m×k×3个函数r＝(r_x11，...，r_zmk)，

变量η＝(α_i，d_i，r_i，K_fyi，K_fzi，K_ti，K_azi)(i＝1～n)，并且m×k×3＞7×n，

则理想位置和实际测量位置之间的残差为

可选的，利用高速牛顿法解上述超定非线性优化问题，高斯牛顿算法迭代的目标函数为

可选的，所述利用高斯牛顿算法求解所述标定方程的具体计算步骤为：

给定猜测的初始值η⁽⁰⁾作为最小值开始，为防止矩阵奇异，基于Levenberg-Marquardt算法，通过下式进行迭代

η^(s+1)＝η^(s)+(J_f ^TJ_f+λ^(s)·diag(J_f ^TJ_f))^-1J_f ^Tr(η^(s))

上式中，λ⁽⁰⁾初值取0.01，

若S(η^(s))收敛到的精度标准，则算法结束，η^(s)即标定的参数值；否则，若S(η^(s+1))＞S(η^(s))，则λ^(s)＝λ^(s)×10，重新计算η^(s+1)及S(η^(s+1))，直到S(η^(s+1))＜S(η^(s))；若S(η^(s+1))＜S(η^(s))，则λ^(s+1)＝λ^(s)/10，计算η^(s+2)及S(η^(s+2))。

根据示例性实施例的杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法，利用牛顿-欧拉法思想，递归计算得到各连杆和关节轴上的力和力矩，并基于柔性参数，计算连续关节和杆件之间的柔性齐次变换矩阵，从而得到机器人柔性正运动学方程，并得到标定方程。最终通过非线性优化算法完成标定方程的计算，得到运动学几何参数及连杆和关节柔性参数的标定结果。

在递归计算各连杆和关节轴上的力和力矩时，不仅考虑了末端负载，还考虑了连杆自重和关节自重对力和力矩的计算影响；各连杆变形的计算中，应用有限元的思想计算杆件自重导致的变形；通过计算连续关节和杆件之间的柔性齐次变换矩阵，得到机器人柔性正运动学方程。

与现有技术相比，这种标定方法的有益效果是：既可标定运动学几何参数，又可标定连杆和关节柔性参数；考虑了末端负载，以及连杆自重和关节自重对力和力矩的计算影响，提高了机器人在各种工况下的精度。

上述技术方案只是本发明的示例性实施例，对于本领域内的技术人员而言，在本发明公开了应用方法和原理的基础上，很容易做出各种类型的改进或变形，而不仅限于本发明上述具体实施例所描述的方法，因此前面描述的方式只是优选的，而并不具有限制性的意义。

Claims (8)

1.一种杆件及关节柔性的机器人运动学标定方法，包括以下步骤：

建立机器人刚性坐标系、杆件柔性坐标系；

基于末端负载、连杆自重和关节自重，递归计算连杆和关节上的力和力矩；

计算连杆和关节形变导致的位移和角度扭转；

建立柔性正运动学方程；

列出标定方程，并通过非线性优化算法完成标定方程的计算。

2.根据权利要求1所述的机器人运动学标定方法，其特征在于，对于含有n个关节及n+1个杆件的串联机械臂，所述机器人刚性坐标系包括：

R_i(i＝0，....，n){O_i，x_i，y_i，z_i}：第i个机器人坐标系，O_i为坐标系原点(i＝0表示基座)，轴z_i方向沿着第i个关节轴的方向，轴x_i方向沿着z_i和z_i+1共法线的方向；

R_-1：世界坐标系；

R_n+1：末端执行器坐标系(刀具坐标系)；

坐标系R_i相对于坐标系R_i-1的齐次变换方程：

式中，

表示绕轴k旋转角度

的变换矩阵，Trans(k，a)表示沿着轴k移动距离a的变换矩阵；

q＝{q₁，q₂，...，q_n}：关节变量；

R_i相对于R_j的齐次变换矩阵；

^-1T_n+1＝^-1T₀·⁰T₁(q₁)·...·^n-1T_n(q_n)·ⁿT_n+1：末端执行器坐标系位姿相对于世界坐标系的位置；

设杆件i的起点A_i，杆件i的终点B_i，杆件i的长度L_i，杆件i的质心位置s_i，所述杆件柔性坐标系包括：

R_ai{A_i，x_ai，y_ai，z_ai}：第i个杆件起点坐标系，轴x_ai方向沿着A_iB_i方向；

R_bi{B_i，x_ai，y_ai，z_ai}：第i个杆件终点坐标系，与R_ai平行，但原点在B_i；

R_ai相对于第i个机器人坐标系R_i的齐次变换矩阵：ⁱT_ai＝Rot(z，y_ai)·Trans(z，b_ai)·Rot(x，a_ai)·Trans(x，d_ai)·Rot(z，θ_ai)·Trans(z，r_ai)；；

R_bi相对于基坐标系R₀的齐次变换矩阵⁰T_bi＝⁰T_i·ⁱT_ai·Trans(x_ai，L_i)。

3.根据权利要求2所述的机器人运动学标定方法，其特征在于，所述杆件i(i＝0，...，n)施加在关节上的力及力矩在所述R_i坐标系中表示为：

施加在连杆上的力及力矩在所述R_ai坐标系中表示为：

其中，

m_i：第i个杆件的质量；

M_i＝{Mx_i My_i Mz_i}^T：将第i个杆件的重力从质心平移到关节坐标系原点O_i产生的力矩；

⁰g＝[0 0 -9.81]^T(m·s²)：基坐标系中的加速度即重力加速度；

ⁱg＝ⁱA_i-1·^i-1g(i＝1，...，n+1)：R_i坐标系中的重力加速度；

^aig＝[^aigx ^aigy ^aigz]^T＝^aiA_i·ⁱg(i＝1，...，n)：R_ai坐标系中的重力加速度；

^jP_i＝{Px Py Pz}^T的斜对称矩阵；

力或力矩从坐标系R_i到R_j的变换矩阵；

m_p：末端负载质量；

jm_i：第i个关节的质量；

ⁿ⁺¹P_b(n+1)＝ⁿ⁺¹P_a(n+1)+ⁿ⁺¹A_a(n+1)·{L_n+1 0 0}^T，表示点B_n+1在坐标系R_n+1中的位置；

^biP_i＝-^aiA_i·ⁱP_ai-{L_i 0 0}^T，表示点O_n在坐标系R_bi中的位置。

4.根据权利要求3所述的机器人运动学标定方法，其特征在于，

所述连杆形变的计算方法为：

在R_bi坐标系中，B_i点产生的位移^aidc_i(B_i)和角度扭转^aiδc_i(B_i)为：

在R_i+1坐标系中，点O_i+1位移ⁱ⁺¹dc_i(O_i+1)和角度扭转ⁱ⁺¹δc_i(O_i+1)为：

所述关节形变的计算方法为：

在坐标系R_i中，第i个关节及第i-1个关节在点O_i产生的位移ⁱd(O_i)和角度扭转ⁱδ(O_i)为

其中，

E_i：第i个杆件材料的杨氏模量；

G_i：第i个杆件材料的剪切模量；

I_yi：第i个杆件沿轴y_ai方向，等效梁截面的转动惯量；

I_zi：第i个杆件沿轴z_ai方向，等效梁截面的转动惯量；

J_i：第i个杆件沿轴x_ai方向，等效梁截面的极惯性矩；

K_azi：关节高速端到低速端传动系统的弹性系数；

σ_i：第i个关节的类型，转动关节其值为σ_i＝0，移动关节其值为σ_i＝1，R_i与其前一个坐标系重合时σ_i＝2；

L_i，第i个杆件的长度；

s_i，第i个杆件质心到Ai的距离。

5.根据权利要求4所述的机器人运动学标定方法，其特征在于，所述柔性正运动学方程为：

n自由度机器人，考虑关节和杆件柔性时，其末端位置的计算函数为：

^-1P_n+1＝[Pⁿ _x Pⁿ _y Pⁿ _z]^T＝f(α_i，d_i，q_i，r_i，K_fyi，K_fzi，K_ti，K_azi，m_p)(i＝1～n)＝f(η，q，m_p)。

6.根据权利要求5所述的机器人运动学标定方法，其特征在于，所述标定方程为

其中，m为机器人的工作空间中构型的数量；

k为每个构型施加的负载个数，

变量η＝(α_i，d_i，r_i，K_fyi，K_fzi，K_ti，K_azi)(i＝1～n)。

7.根据权利要求6所述的机器人运动学标定方法，其特征在于，对所述标定方程，采用高斯牛顿算法求解，高斯牛顿算法迭代的目标函数为

8.根据权利要求7所述的机器人运动学标定方法，其特征在于，所述利用高斯牛顿算法求解所述标定方程的步骤包括：

给定猜测的初始值η⁽⁰⁾作为最小值开始，基于Levenberg-Marquardt算法，通过下式进行迭代

η^(s+1)＝η^(s)+(J_f ^TJ_f+λ^(s)·diag(J_f ^TJ_f))^-1J_f ^Tr(η^(s))

上式中，λ⁽⁰⁾初值取0.01，

若S(η^(s))收敛到的精度标准，则算法结束，η^(s)即标定的参数值；

否则，若S(η^(s+1))＞S(η^(s))，则λ^(s)＝λ^(s)×10，重新计算η^(s+1)及S(η^(s+1))，直到S(η^(s+1))＜S(η^(s))；

若S(η^(s+1))＜S(η^(s))，则λ^(s+1)＝λ^(s)/10，计算η^(s+2)及S(η^(s+2))。

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