CN111460543B - 考虑剪切变形和轴力的盾构隧道纵向变形的计算方法 - Google Patents

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Abstract

本发明属于地下工程技术领域，具体涉及考虑剪切变形和轴力的盾构隧道纵向变形的计算方法，用于计算盾构隧道沿纵向的弯曲变形、剪切变形和内力。根据盾构隧道的长短、端部条件，以及荷载的大小、作用位置和分布范围，推导出盾构隧道纵向变形和内力的计算公式，包括在土层位移荷载、轴向装配力、集中力、满布分布荷载、局部均布荷载作用下有限长盾构隧道和无限长盾构隧道之弯曲挠度、剪切挠度、弯矩和剪力的计算公式。本发明所述方法能够计算无限长盾构隧道和在不同支承条件下有限长盾构隧道的弯曲挠度、剪切挠度和内力；由此可对盾构隧道沉降、环缝张开和错台进行定量计算，进而对盾构隧道的稳定性和抗渗性做出合理评价。

Description

考虑剪切变形和轴力的盾构隧道纵向变形的计算方法
技术领域
本发明属于地下工程技术领域，具体涉及考虑剪切变形和轴力的盾构隧道纵向变形的计算方法，用于计算盾构隧道沿纵向的弯曲变形、剪切变形和内力。
背景技术
埋置于土层中的盾构隧道，除了承受围岩压力和列车荷载外，还承受轴向的装配力和土层位移荷载作用。土层位移荷载通常是由于上穿、下穿及邻近施工引起的，也可以是由于土层的固结沉降或地下水条件改变引起的。这些荷载的动态变化，将引起盾构隧道在纵向上位形的变化。在盾构隧道的运营过程中，要随时对隧道的平纵断面、环缝的张开和错台等变形参数进行计算和评价，为此需要用到合适的隧道纵向变形的计算方法。
由于环缝的存在，盾构隧道的剪切刚度经常比其弯曲刚度小一到两个数量级，因此其剪切变形是其纵向变形的重要部分。此外，轴向装配力是盾构隧道纵向变形的一个不可忽略的独特的影响因素，在计算方法中需要加以考虑。一般地，轴向荷载若为压力，它将增大隧道的横向位移；轴向荷载若为拉力，它将减小隧道的横向位移。
在现有的文献中，对盾构隧道纵向变形的处理方法，存有两方面的不足之处。一是盾构隧道被视为无限长梁，没有考虑短梁的情况，并且一般仅考虑土层位移荷载，没有考虑轴向荷载和其它荷载，这样就限制了既有方法的适用范围。另一方面不足是既有方法把弯曲挠度和剪切挠度合在一起，所建立的挠曲线微分方程是关于总挠度的，这样做需要对剪切挠度求四阶导数，剪切挠度的二阶导数是荷载集度，但其三阶及四阶导数是缺乏物理意义的，从而导致计算结果的正确性存疑。
若盾构隧道的弯曲变形或剪切变形计算不正确，势必无法正确估计隧道产生的沉降大小，也不能准确计算环缝的展开量和错台值。这样会导致隧道产生过量沉降、强度不足及渗水等方面的风险。
因此，现有的盾构隧道纵向变形的计算方法不能满足实践的需要，有必要推导给出盾构隧道沿纵向的弯曲挠度、剪切挠度和内力的计算公式。
发明内容
针对上述技术问题，本发明提供一种考虑剪切变形和轴力的盾构隧道纵向变形的计算方法，能够根据盾构隧道的长短、端部条件，以及荷载的大小、作用位置和分布范围，推导出盾构隧道纵向变形和内力的计算公式。
本发明是通过以下技术方案实现的：
考虑剪切变形和轴力的盾构隧道纵向变形的计算方法，根据盾构隧道的长短、端部条件，以及荷载的大小、作用位置和分布范围，推导出盾构隧道纵向变形和内力的计算公式，包括在土层位移荷载、轴向装配力、集中力、满布分布荷载、局部均布荷载作用下有限长盾构隧道和无限长盾构隧道之弯曲挠度、剪切挠度、弯矩和剪力的计算公式。
进一步地，所述方法具体为：
(1)采用傅立叶级数法求解隧道的弯曲变形，考虑剪切变形引起的地基反力后，隧道弯曲变形满足的挠曲线微分方程为：
Figure BDA0002401032260000031
式中：wb(x)为弯曲变形，m，即隧道由于弯曲产生的挠度，以向上为正；
x为沿隧道轴线的坐标，m，中点处x＝0；
E为隧道的弹性模量，kPa；
I为隧道横截面的惯性矩，m4；
K为地基系数，kPa/m；
D为隧道的外径，m；
G为隧道的剪切模量，kPa；
A为隧道的截面面积，m2；
η为隧道的剪切系数；
P为集中力，kN；
q0为满布均布线荷载，kN/m；
q1为局部均布线荷载，kN/m；
Na为盾构隧道由于装配产生的轴力，kN，以拉为正；
S(x)为隧道周围土层由于近接施工或固结原因产生的后期沉降，土层沉降服从正态曲线，即
Figure BDA0002401032260000032
S0为土层在沉降槽中点处，即x＝0处的最大沉降，m，向上为正；i为土层沉降槽半宽，即沉降曲线反弯点距x＝0处的水平距离，m；
δ(x)为脉冲函数，H(x)为Heaviside阶梯函数，是为进行级数求解引进的；脉冲函数δ(x)的表达式为
Figure BDA0002401032260000041
阶梯函数H(x)的表达式为
Figure BDA0002401032260000042
(2)计算隧道在荷载作用下的弯曲挠度和内力：
隧道由于弯曲产生的挠度wb(x)：
Figure BDA0002401032260000043
隧道弯曲变形产生的弯矩M(x)及剪力Q(x)的计算公式为
Figure BDA0002401032260000044
Figure BDA0002401032260000045
式中，a0和an为弯曲挠度的傅氏系数，n＝1,2,…,N；
θ0为隧道两端的转角，rad；
Q0为隧道两端处的剪力，kN；
N为采用的级数项的数量；
(3)计算在外荷载及地基反力共同作用下产生的隧道的剪切挠度ws(x)：
Figure BDA0002401032260000051
式中，
Figure BDA0002401032260000052
Figure BDA0002401032260000053
Figure BDA0002401032260000054
Figure BDA0002401032260000055
Figure BDA0002401032260000056
Figure BDA0002401032260000057
Figure BDA0002401032260000058
Figure BDA0002401032260000059
(4)计算隧道的总挠度w(x)：
w(x)＝wb(x)+ws(x)。
进一步地，计算隧道的弯曲挠度wb(x)、弯曲变形产生的弯矩M(x)及剪力Q(x)、隧道的剪切挠度ws(x)的公式中的待定参数a0、an(n＝1,2,…,N)、θ0及Q0，按如下方程组成的方程组确定：
Figure BDA0002401032260000061
Figure BDA0002401032260000062
Figure BDA0002401032260000063
Figure BDA0002401032260000064
式中，
Figure BDA0002401032260000065
Figure BDA0002401032260000066
Figure BDA0002401032260000067
Figure BDA0002401032260000068
Figure BDA0002401032260000071
Figure BDA0002401032260000072
Figure BDA0002401032260000073
Figure BDA0002401032260000074
e0、en、c0、cn、d0、dn、δ0、δn、H0、Hn、f0、fn、g0、gn全部为傅立叶系数；
x0为集中力作用的位置，m；
x1为局部均布荷载的起始位置，m；
c为局部均布荷载的分布宽度，m；
L为隧道的半长，m；当隧道视为无限长时，L为计算范围的半宽；
n＝1,2,…,N，N为采用的级数项的数量。
进一步地，求解待定参数a0、an(n＝1,2,…,N)、θ0及Q0时：
对于无限长隧道和两端固支的有限长隧道，取θ0＝0并去掉公式
Figure BDA0002401032260000075
对于无限长隧道和两端自由的有限长隧道，取Q0＝0并去掉公式
Figure BDA0002401032260000076
本发明的有益技术效果：
本发明所述方法能够计算无限长盾构隧道和在不同支承条件下有限长盾构隧道的弯曲挠度、剪切挠度和内力；由此可对盾构隧道沉降、环缝张开和错台进行定量计算，进而对盾构隧道的稳定性和抗渗性做出合理评价；有利于准确制定控制盾构隧道变形的措施，具有明显的技术经济合理性。
附图说明
图1是本发明实施例中盾构隧道承受荷载和变形的示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细描述。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用于解释本发明，并不用于限定本发明。
相反，本发明涵盖任何由权利要求定义的在本发明的精髓和范围上做的替代、修改、等效方法以及方案。进一步，为了使公众对本发明有更好的了解，在下文对本发明的细节描述中，详尽描述了一些特定的细节部分。对本领域技术人员来说没有这些细节部分的描述也可以完全理解本发明。
盾构隧道承受荷载的方式和参数见图1。各个参数的意义是，x为沿隧道轴线的坐标(中点处x＝0)，m。S0为土层在沉降槽中点处(x＝0)的最大沉降，m，向上为正；i为土层沉降槽半宽，即沉降曲线反弯点距x＝0处的水平距离，m。q0为满布均布线荷载，kN/m；q1为局部均布线荷载，kN/m；P为集中力，kN；竖向荷载均以向上为正。Na为盾构隧道由于装配产生的轴力，kN，以拉为正。x0为集中力作用的位置，m；x1为局部均布荷载的起始位置，m；c为局部均布荷载的分布宽度，m。L为隧道的半长，m；当隧道视为无限长时，L为计算范围的半宽。
隧道的总变形包含由弯曲产生的变形和由剪切产生的变形。根据梁变形的基本理论，弯曲变形将使隧道产生挠度和内力(弯矩及剪力)；剪切变形只是使隧道产生挠度。但由于盾构隧道埋置在土层中，其剪切变形将影响地基反力的大小。
隧道的弯曲变形可采用傅立叶级数法求解。考虑剪切变形引起的地基反力后，隧道弯曲变形满足的挠曲线微分方程为
Figure BDA0002401032260000091
式中，wb(x)为弯曲变形，m，以向上为正；
E为隧道的弹性模量，kPa；
I为隧道横截面的惯性矩，m4；
K为地基系数，kPa/m；
D为隧道的外径，m；
G为隧道的剪切模量，kPa；
A为隧道的截面面积，m2；
η为隧道的剪切系数。
式(1)中的S(x)为隧道周围土层由于近接施工或固结等原因产生的后期沉降。土层沉降一般服从正态曲线，即
Figure BDA0002401032260000092
式(1)中的δ(x)为脉冲函数，H(x)为Heaviside阶梯函数，是为进行级数求解引进的。
脉冲函数δ(x)的表达式为
Figure BDA0002401032260000101
阶梯函数H(x)的表达式为
Figure BDA0002401032260000102
根据力学问题的傅立叶级数解法，在隧道弯曲挠度表达式中引入补充项以考虑在隧道端部的不同支承条件，可推导出计算隧道在荷载作用下的弯曲挠度和内力的计算公式。
隧道弯曲挠度wb(x)的计算公式为
Figure BDA0002401032260000103
Figure BDA0002401032260000104
Figure BDA0002401032260000105
式中，a0和an为弯曲挠度的傅氏系数；
θ0为隧道两端的转角，rad；
Q0为隧道两端处的剪力，kN。
由弯曲变形产生的弯矩M(x)及剪力Q(x)的计算公式为
Figure BDA0002401032260000106
Figure BDA0002401032260000107
式中，N为采用的级数的项数(一般≧40项)。
在外荷载及地基反力共同作用下产生的隧道的剪切挠度ws(x)的计算公式为
Figure BDA0002401032260000111
式中，
Figure BDA0002401032260000112
Figure BDA0002401032260000113
Figure BDA0002401032260000114
Figure BDA0002401032260000115
Figure BDA0002401032260000116
Figure BDA0002401032260000117
Figure BDA0002401032260000118
Figure BDA0002401032260000119
公式(5)、(8)、(9)及(10)中的待定参数a0、an(n＝1,2,…,N)、θ0及Q0按如下方程组成的方程组确定：
Figure BDA0002401032260000121
Figure BDA0002401032260000122
Figure BDA0002401032260000123
Figure BDA0002401032260000124
式中，
Figure BDA0002401032260000125
Figure BDA0002401032260000126
Figure BDA0002401032260000127
Figure BDA0002401032260000128
Figure BDA0002401032260000129
Figure BDA0002401032260000131
Figure BDA0002401032260000132
Figure BDA0002401032260000133
在使用方程组(式(14a)、(14b)、(14c)、(14d))求解未知量时，对于无限长隧道和两端固支的有限长隧道，取θ0＝0并去掉式(14c)；对于无限长隧道和两端自由的有限长隧道，取Q0＝0并去掉式(14d)。

Claims (3)

1.考虑剪切变形和轴力的盾构隧道纵向变形的计算方法，其特征在于，根据盾构隧道的长短、端部条件、荷载的大小、作用位置和分布范围，推导出盾构隧道纵向变形和内力的计算公式，具体包括在土层位移荷载、轴向装配力、集中力、满布分布荷载、局部均布荷载作用下有限长盾构隧道和无限长盾构隧道之弯曲挠度、剪切挠度、弯矩和剪力的计算公式；
所述方法具体为：
(1)采用傅立叶级数法求解隧道的弯曲变形，考虑剪切变形引起的地基反力后，隧道弯曲变形满足的挠曲线微分方程为：
Figure FDA0003627720230000011
式中：wb(x)为弯曲变形，m，即隧道由于弯曲产生的挠度，以向上为正；
x为沿隧道轴线的坐标，m，中点处x＝0；
E为隧道的弹性模量，kPa；
I为隧道横截面的惯性矩，m4；
K为地基系数，kPa/m；
D为隧道的外径，m；
G为隧道的剪切模量，kPa；
A为隧道的截面面积，m2；
η为隧道的剪切系数；
P为集中力，kN；
q0为满布均布线荷载，kN/m；
q1为局部均布线荷载，kN/m；
Na为盾构隧道由于装配产生的轴力，kN，以拉为正；
S(x)为隧道周围土层由于近接施工或固结原因产生的后期沉降，土层沉降服从正态曲线，即
Figure FDA0003627720230000021
S0为土层在沉降槽中点处，即x＝0处的最大沉降，m，向上为正；i为土层沉降槽半宽，即沉降曲线反弯点距x＝0处的水平距离，m；
δ(x)为脉冲函数，H(x)为Heaviside阶梯函数，是为进行级数求解引进的；脉冲函数δ(x)的表达式为
Figure FDA0003627720230000022
阶梯函数H(x)的表达式为
Figure FDA0003627720230000023
(2)计算隧道在荷载作用下的弯曲挠度和内力：
隧道由于弯曲产生的挠度wb(x)：
Figure FDA0003627720230000024
隧道弯曲变形产生的弯矩M(x)及剪力Q(x)的计算公式为：
Figure FDA0003627720230000025
Figure FDA0003627720230000026
式中，a0和an为弯曲挠度的傅氏系数，n＝1,2,…,N；
θ0为隧道两端的转角，rad；
Q0为隧道两端处的剪力，kN；
N为采用的级数项的数量；
(3)计算在外荷载及地基反力共同作用下产生的隧道的剪切挠度ws(x)：
Figure FDA0003627720230000031
式中，
Figure FDA0003627720230000032
Figure FDA0003627720230000033
Figure FDA0003627720230000034
Figure FDA0003627720230000035
Figure FDA0003627720230000036
Figure FDA0003627720230000037
Figure FDA0003627720230000038
Figure FDA0003627720230000041
(4)计算隧道的总挠度w(x)：
w(x)＝wb(x)+ws(x)；
上述公式中，x0的含义为：集中力作用的位置；x1的含义为：局部均布荷载的起始位置；c的含义为：局部均布荷载的分布宽度；L的含义为：隧道的半长，当隧道视为无限长时，L为计算范围的半宽。
2.根据权利要求1所述考虑剪切变形和轴力的盾构隧道纵向变形的计算方法，其特征在于，隧道的弯曲挠度wb(x)、弯曲变形产生的弯矩M(x)及剪力Q(x)、隧道的剪切挠度ws(x)的计算公式中的待定参数a0、an(n＝1,2,…,N)、θ0及Q0，按如下方程组成的方程组确定：
Figure FDA0003627720230000042
Figure FDA0003627720230000051
Figure FDA0003627720230000052
Figure FDA0003627720230000053
式中，
Figure FDA0003627720230000054
Figure FDA0003627720230000055
Figure FDA0003627720230000056
Figure FDA0003627720230000057
Figure FDA0003627720230000058
Figure FDA0003627720230000059
Figure FDA00036277202300000510
Figure FDA00036277202300000511
x0为集中力作用的位置，m；
x1为局部均布荷载的起始位置，m；
c为局部均布荷载的分布宽度，m；
L为隧道的半长，m；当隧道视为无限长时，L为计算范围的半宽；
n＝1,2,…,N，N为采用的级数项的数量；
Na的含义为：盾构隧道由于装配产生的轴力。
3.根据权利要求2所述考虑剪切变形和轴力的盾构隧道纵向变形的计算方法，其特征在于，求解待定参数a0、an(n＝1,2,…,N)、θ0及Q0时：
对于无限长隧道和两端固支的有限长隧道，取θ0＝0并去掉公式
Figure FDA0003627720230000061
对于无限长隧道和两端自由的有限长隧道，取Q0＝0并去掉公式
Figure FDA0003627720230000062
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Title
匀质地下管线沉降的傅里叶级数解;杨成永等;《中国铁道科学》;20170315(第02期);第71-76页 *
复杂条件下的地铁盾构隧道的力学行为研究;李春良等;《铁道学报》;20160515(第05期);摘要，正文第1.1-2.2节 *

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