CN111400842B - 一种高精度框架角补偿方法 - Google Patents

Abstract

一种高精度框架角补偿算法，包括如下步骤：S1设定拟合阶数，建立拟合方程；S2将拟合方程改写为矩阵形式；S3给出总体最小二乘解格式；S4重建系数矩阵，消去常数列；S5重构增广矩阵，进行特征值分解；S6求解系数矩阵；S7求解敏感度；S8确定拟合阶数和框架角解算补偿系数。本发明提出改进总体最小二乘算法对转台角度与框架角度进行拟合，求解框架角解算补偿系数，与分段拟合和直接最小二乘拟合相比，改进总体最小二乘在求解过程中同时考虑自变量和因变量误差，通过补偿使拟合结果更接近于理想形式，获得更高的拟合精度，即更高精度框架角。

Description

一种高精度框架角补偿方法

技术领域

本发明涉及光电吊舱伺服系统控制领域，具体涉及一种高精度框架角补偿算法。

背景技术

伺服系统设计中，低成本磁编码器和径向充磁磁铁组合测角方式在近年来备受瞩目。在采用此种方式进行角度测量时，由于受结构、编码器精度、安装距离、温度、湿度等影响，光电吊舱框架角存在不规则变化，影响吊舱航向、俯仰定位角精度。

对于框架角误差问题，工程中常用的解决方法为在转台上进行采点标定，对转台角度与实际测量框架角度进行拟合，求解系数。常用的拟合算法有分段拟合和直接最小二乘拟合。分段拟合计算复杂，各项参数较多，过程繁琐；直接最小二乘拟合精度与拟合阶数有关，拟合阶数越高框架角解算精度越高，计算量也随之增加。

发明内容

针对现有技术存在的上述问题，本发明提出一种高精度框架角补偿算法，使用改进总体最小二乘算法对转台角度与框架角度进行拟合，同时考虑自变量和因变量的误差，求解框架角解算补偿系数。

一种高精度框架角补偿算法，包括如下步骤：

S1.设定拟合阶数，建立拟合方程：

设定拟合阶数为4阶，则有如下拟合方程：

其中x_i为转台角度，y_i为实际测得的框架角度，i＝1,2,…,n，n为框架角测量数量；因x_i,y_i中同时含有误差故式(1)的理想形式为：

S2.将拟合方程改写为矩阵形式：

将式(1)改写为式(3)所示矩阵形式：

Mτ＝Y (3)

其中，τ＝[A B C D E]^T，Y＝[y₁ y₂ … y_i … y_n-1 y_n]^T；

S3.给出总体最小二乘解格式：

令增广矩阵H＝[-Y,M]，其奇异值为σ₁,σ₂,…,σ_min且σ₁≥σ₂≥…≥σ_min，根据总体最小二乘的子空间解释可推导得出，求解方程Mτ＝Y的总体最小二乘解为：

其中σ_min为增广矩阵H的最小奇异值，为扰动矩阵D＝[-e,E]各个分量的共同方差，I为单位矩阵；

S4.重建系数矩阵，消去常数列：

由式(3)可知，系数矩阵M中存在常数列，且其包含于增广矩阵H之中；设 α_4i＝x_i，β_i＝y_i，将误差方程定义为：

v_i＝Aα_1i+Bα_2i+Cα_3i+Dα_4i+E-z_i (5)

定义

将常数E描述为：

其中，τ′＝[A B C D]^T；

将式(7)代入式(5)，可得：

ε＝Xτ′-Z (8)

其中，

矩阵方程ε＝Xτ′-Z的总体最小二乘求解可表示为：

S5.重构增广矩阵，进行特征值分解

定义新的增广矩阵L＝[-Z,X]，使用改进SVD对增广矩阵L进行奇异值分解；式(10)所示为矩阵L的SVD形式：

L＝UΣV^T (10)

将矩阵Q定义为：

Q＝L^TL＝(UΣV^T)^T(UΣV^T)＝VΣ²V^T (11)

式(12)所示为矩阵L中不同列L_s、L_t之间的相乘结果：

Q_st＝[L_s,L_t]^T[L_s,L_t] (12)

其中1≤s≤4，1≤t≤4，s≠t；对矩阵Q_st进行特征值分解：

根据特征值分解结果，将矩阵L中各列重定义为[L_s,L_t]Δ_st；对矩阵L中任意两列进行正交变换，消除矩阵Q中非对角元素；矩阵Q特征值矩阵求解如下：

其中γ₁,γ₂,…,γ_m(γ₁≥γ₂≥…≥γ_m)为矩阵L的奇异值；

S6.求解系数矩阵：

τ′＝[A B C D]^T可根据式(9)进行求解，E可根据式(7)进行求解；

S7.求解敏感度：

总体最小二乘求解的敏感度取决于比率r：

其中，σ_p+1、/>分别为总体最小二乘系数矩阵、增广矩阵以及直接最小二乘系数矩阵的最小奇异值；

S8.确定拟合阶数和框架角解算补偿系数：

根据r值确定拟合阶数和框架角解算补偿系数；补偿系数为步骤S6中求解的A、B、C、D、E值，即式(1)拟合方程系数，拟合结果为接近转台角度的高精度框架角。

本发明提出改进总体最小二乘算法对转台角度与框架角度进行拟合，求解框架角解算补偿系数，用较低的拟合阶数实现较高的框架角解算精度，与分段拟合和直接最小二乘拟合相比，改进总体最小二乘在求解过程中同时考虑自变量和因变量误差，通过补偿使拟合结果更接近于理想形式，获得更高的拟合精度，即更高精度框架角。

附图说明

图1为本发明流程框图；

图2为本发明对转台角度与框架角度拟合结果，星号“*”为转台角度与框架角度原始值，曲线为拟合结果。

具体实施方式

下面结合附图进一步说明本发明。

一种高精度框架角补偿算法，包括如下步骤：

(1)采用分段或最小二乘拟合求解框架角需要先建立拟合方程，分段拟合建立多个线性方程，最小二乘拟合建立高阶方程。

对于总体最小二乘拟合，求解过程中同时考虑自变量和因变量误差，本发明中为框架角度与转台角度误差，通过补偿使拟合结果更接近于理想形式，因此首先设定拟合阶数，建立拟合方程并给出其理想形式：

设定拟合阶数为4阶，则有如下拟合方程：

其中x_i为转台角度，y_i为实际测得的框架角度，i＝1,2,…,n，n为框架角测量数量。因x_i,y_i中同时含有误差故式(1)的理想形式为：

(2)将拟合方程改写为矩阵形式：

将式(1)改写为式(3)所示矩阵形式：

Mτ＝Y (3)

其中，τ＝[A B C D E]^T，Y＝[y₁ y₂ … y_i … y_n-1y_n]^T。

(3)给出总体最小二乘解格式：

令增广矩阵H＝[-Y,M]，其奇异值为σ₁,σ₂,…,σ_min且σ₁≥σ₂≥…≥σ_min，根据总体最小二乘的子空间解释可推导得出，求解方程Mτ＝Y的总体最小二乘解为：

其中σ_min为增广矩阵H的最小奇异值，为扰动矩阵D＝[-e,E]各个分量的共同方差，I为单位矩阵。

(4)重建系数矩阵，消去常数列：

由式(3)可知，系数矩阵M中存在常数列，且其包含于增广矩阵H之中。设 α_4i＝x_i，β_i＝y_i，将误差方程定义为：

v_i＝Aα_1i+Bα_2i+Cα_3i+Dα_4i+E-z_i (5)

定义

将常数E描述为：

其中，τ′＝[A B C D]^T。

将式(7)代入式(5)，可得：

ε＝Xτ′-Z (8)

其中，

矩阵方程ε＝Xτ′-Z的总体最小二乘求解可表示为：

(5)重构增广矩阵，进行特征值分解：

定义新的增广矩阵L＝[-Z,X]，为提高总体最小二乘的拟合稳定性，使用改进SVD对增广矩阵L进行奇异值分解。式(10)所示为矩阵L的SVD形式：

L＝UΣV^T (10)

将矩阵Q定义为：

Q＝L^TL＝(UΣV^T)^T(UΣV^T)＝VΣ²V^T (11)

式(12)所示为矩阵L中不同列L_s、L_t之间的相乘结果：

Q_st＝[L_s,L_t]^T[L_s,L_t] (12)

其中1≤s≤4，1≤t≤4，s≠t。对矩阵Q_st进行特征值分解：

根据特征值分解结果，将矩阵L中各列重定义为[L_s,L_t]Δ_st。对矩阵L中任意两列进行正交变换，消除矩阵Q中非对角元素。矩阵Q特征值矩阵求解如下：

其中γ₁,γ₂,…,γ_m(γ₁≥γ₂≥…≥γ_m)为矩阵L的奇异值。

(6)求解系数矩阵：

τ′＝[A B C D]^T可根据式(9)进行求解，E可根据式(7)进行求解。

(7)求解敏感度：

总体最小二乘求解的敏感度取决于比率r：

其中，σ_p+1、/>分别为总体最小二乘系数矩阵、增广矩阵以及直接最小二乘系数矩阵的最小奇异值。

(8)确定拟合阶数和框架角解算补偿系数：

总体最小二乘求解中，比率r越大，算法求解精度越高，因此可根据r值确定拟合阶数和框架角解算补偿系数。

到达一定阶数后比率r变化幅度较小，拟合精度基本稳定。确定拟合阶数过程中应同时兼顾算法计算量，拟合阶数增加后计算量随之增加。

图2为改进总体最小二乘算法对转台角度与框架角度拟合结果，星号“*”为转台角度与框架角度原始值，曲线为拟合结果。通过曲线可以看出改进总体最小二乘算法能保证拟合精度，拟合结果接近于理想形式。

Claims (1)

1.一种高精度框架角补偿方法，包括如下步骤：

S1.设定拟合阶数，建立拟合方程：

设定拟合阶数为4阶，则有如下拟合方程：

其中x_i为转台角度，y_i为实际测得的框架角度，i＝1,2,…,n，n为框架角测量数量；因x_i,y_i中同时含有误差故式(1)的理想形式为：

S2.将拟合方程改写为矩阵形式：

将式(1)改写为式(3)所示矩阵形式：

Mτ＝Y (3)

其中，τ＝[A B C D E]^T，Y＝[y₁ y₂ … y_i … y_n-1 y_n]^T；

S3.给出总体最小二乘解格式：

令增广矩阵H＝[-Y,M]，其奇异值为σ₁,σ₂,…,σ_min且σ₁≥σ₂≥…≥σ_min，根据总体最小二乘的子空间解释推导得出，求解方程Mτ＝Y的总体最小二乘解为：

其中σ_min为增广矩阵H的最小奇异值，为扰动矩阵D＝[-e,E]各个分量的共同方差，I为单位矩阵；

S4.重建系数矩阵，消去常数列：

由式(3)知，系数矩阵M中存在常数列，且其包含于增广矩阵H之中；设 α_4i＝x_i，β_i＝y_i，将误差方程定义为：

v_i＝Aα_1i+Bα_2i+Cα_3i+Dα_4i+E-z_i (5)

定义

将常数E描述为：

其中，τ′＝[A B C D]^T；

将式(7)代入式(5)，得：

ε＝Xτ′-Z (8)

其中，

矩阵方程ε＝Xτ′-Z的总体最小二乘求解表示为：

S5.重构增广矩阵，进行特征值分解

定义新的增广矩阵L＝[-Z,X]，使用改进SVD对增广矩阵L进行奇异值分解；式(10)所示为矩阵L的SVD形式：

L＝UΣV^T (10)

将矩阵Q定义为：

Q＝L^TL＝(UΣV^T)^T(UΣV^T)＝VΣ²V^T (11)

式(12)所示为矩阵L中不同列L_s、L_t之间的相乘结果：

Q_st＝[L_s,L_t]^T[L_s,L_t] (12)

其中1≤s≤4，1≤t≤4，s≠t；对矩阵Q_st进行特征值分解：

根据特征值分解结果，将矩阵L中各列重定义为[L_s,L_t]Δ_st；对矩阵L中任意两列进行正交变换，消除矩阵Q中非对角元素；矩阵Q特征值矩阵求解如下：

其中γ₁,γ₂,…,γ_m(γ₁≥γ₂≥…≥γ_m)为矩阵L的奇异值；

S6.求解系数矩阵：

τ′＝[A B C D]^T根据式(9)进行求解，E根据式(7)进行求解；

S7.求解敏感度：

总体最小二乘求解的敏感度取决于比率r：

其中，σ_p+1、/>分别为总体最小二乘系数矩阵、增广矩阵以及直接最小二乘系数矩阵的最小奇异值；

S8.确定拟合阶数和框架角解算补偿系数：

根据r值确定拟合阶数和框架角解算补偿系数；补偿系数为步骤S6中求解的A、B、C、D、E值，即式(1)拟合方程系数，拟合结果为接近转台角度的高精度框架角。