CN101221046A - 光纤陀螺组件输出信号的误差处理方法 - Google Patents

Abstract

一种光纤陀螺组件输出信号的误差处理方法，属惯性导航系统中光纤陀螺组件输出信号的误差处理方法。该处理方法的具体步骤：建立光纤陀螺组件输出信号模型及其误差模型；光纤陀螺组件固定误差标定和补偿；光纤陀螺组件随机误差自适应滤波。本处理方法有效减小了光纤陀螺组件因温度变化引起的零偏漂移，固定误差的标定精度高，标定效率高，适应性好；并且有效减小了光纤陀螺的随机误差，计算量小，适合工程实际应用。

Description

光纤陀螺组件输出信号的误差处理方法

一、技术领域

本发明涉及一种惯性导航系统中惯性传感器的信号处理方法，尤其涉及一种光纤陀螺组件输出信号的误差处理方法。

二、背景技术

惯性导航系统是根据牛顿提出的相对惯性空间的力学定律，利用惯性传感器(包括陀螺和加速度计)感受运载体的角速度和加速度，通过积分运算得到运载体的姿态、速度和位置等导航参数。惯性传感器作为惯性导航系统的核心部件，由敏感轴相互正交的三个陀螺(陀螺组件)和三个加速度计(加速度计组件)构成，其输出误差是影响惯性导航系统精度的重要因素。

光纤陀螺是以Sagnac效应为基本原理的角速率传感器，具有可靠性高、抗冲击、频带宽、成本低、平均无故障时间长等诸多优点，由敏感轴相互正交的三个光纤陀螺构成的光纤陀螺组件在惯性导航系统中得到了越来越广泛的应用。在光纤陀螺组件的信号输出中，包含有固定误差和随机误差两类。其中，固定误差是光纤陀螺固有的特性，在一段时期内基本保持不变，一般认为固定误差由零偏、安装误差和刻度系数误差构成；随机误差是一种宽带噪声，由光纤陀螺中光探测器的热噪声、闪烁噪声、后向散射和光源噪声等不相关噪声形成。由于光纤陀螺组件的输出误差是影响惯性导航系统精度的主要因素，在光纤陀螺组件的输出信号进入系统进行导航解算前，必须对其两类误差进行有效处理。因此，针对光纤陀螺组件提出一套完整的输出误差处理流程和方法非常有必要。

光纤陀螺组件输出信号的固定误差由于在一段时期内基本保持不变，因而可以通过静态建模和标定的方法获取其误差模型参数；对于随机误差，可以从信号处理的角度出发采用Kalman滤波、神经网络技术、LMS自适应滤波等方法减小随机噪声、提高信噪比。常规的固定误差标定方法常因未考虑光纤陀螺零偏对温度的敏感导致误差参数的标定效果不理想；利用Kalman滤波进行随机误差处理的方法因其难以获得精确的误差模型导致实用性不强；将神经网络技术应用于随机误差处理时会带来实时性方面的问题；而常规LMS自适应滤波方法难以取得滤波精度、实时性、动态输入范围等各方面良好的综合性能。

三、发明内容

本发明的目的是针对光纤陀螺组件的输出信号提出一套完整、有效、高精度且具有良好适应性的误差处理流程和方法，以改善惯性传感器精度乃至整个惯性导航系统的精度和性能。

为了达到上述的发明目的，本发明包括下列步骤：

(一)建立光纤陀螺组件输出信号模型及其固定误差模型

设W_m为光纤陀螺组件的输出信号，则光纤陀螺组件输出信号模型为：

W_m＝W+ΔW+δW    (1)

式(1)中，W为陀螺组件的量测真值，ΔW为陀螺组件的固定误差，δW为陀螺组件的随机误差；

其中，陀螺组件的固定误差ΔW由三个部分组成，即零偏、安装误差和刻度系数误差，

①零偏

零偏是陀螺的随机常数漂移，定义光纤陀螺组件的零偏矩阵为：

B_G＝[B_gxB_gyB_gz]^T    (2)

式(2)中，B_gx、B_gy、B_gz分别为三个轴向光纤陀螺的零偏；

②安装误差

在光纤陀螺组件中，三个陀螺应构成正交坐标系，对应每个轴采用两个参数来描述其轴向陀螺的安装误差，构成安装误差矩阵θ_G为：

${\mathrm{\θ}}_G=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gxz}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gxy}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gyz}}& 0& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gyx}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gzy}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gzx}}& 0\end{array}\right]---\left(3\right)$

式(3)中，θ_gxy、θ_gxz为X轴陀螺的安装误差参数；θ_gyx、θ_gyz为Y轴陀螺的安装误差参数；θ_gzx、θ_gzy为Z轴陀螺的安装误差参数；

③刻度系数误差

定义刻度系数误差矩阵K_G为：

K_G＝diag[K_gxK_gyK_gz]    (4)

由式(2)、式(3)和式(4)忽略二阶小量得陀螺组件的固定误差模型为：

ΔW＝K_GW+θ_GW+B_G    (5)

(二)光纤陀螺组件固定误差标定和补偿步骤

①设计自适应递推最小二乘标定算法(ARLS)；

不考虑随机误差项δW，则光纤陀螺组件的输出信号为：

W_m＝W+ΔW＝(I+K_G+θ_G)W+B_G＝X_AW+X_B    (6)

式(6)中，X_A＝I+K_G+θ_G，其中包含待标定的误差参数θ_G和K_G，X_B＝B_G同样为待标定的误差参数，由式(2)、式(3)和式(4)展开得

$\left[\begin{array}{c}{W}_{\mathrm{mx}}\\ W_{\mathrm{my}}\\ W_{\mathrm{mz}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+K_{\mathrm{gx}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gxz}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gxy}}\\ -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gyz}}& 1+K_{\mathrm{gy}}& {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gyx}}\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gzy}}& -{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gzx}}& 1+K_{\mathrm{gz}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{W}_x\\ W_y\\ W_z\end{array}\right]+\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{gx}}\\ B_{\mathrm{gy}}\\ B_{\mathrm{gz}}\end{array}\right]=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ x_5& x_6& x_7\\ x_9& x_{10}& x_{11}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{W}_x\\ W_y\\ W_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_4\\ x_8\\ x_{12}\end{array}\right]---\left(7\right)$

式(7)中，W_x、W_y、W_z为三轴陀螺的量测真值，由安装方式和速率转台的转速基准值确定，在标定时为已知量；W_mx、W_my、W_mz为三轴陀螺的实际量测输出值，为已知量；各未知误差参数为待标定量，其对应关系为：

x₁＝1+K_gx    x₄＝B_gx     x₇＝θ_gyx  x₁₀＝-θ_gzx

x₂＝θ_gxz    x₅＝-θ_gyz  x₈＝B_gy    x₁₁＝1+K_gz    (8)

x₃＝-θ_gxy   x₆＝1+K_gy   x₉＝θ_gzy  x₁₂＝B_gz

由于未知量有12个，故至少需要4组以上静态或匀速转动的陀螺组件输出数据进行求解，设能够获得k组满足安装方式要求的陀螺组件输出：

$W_m^i={\left[\begin{array}{ccc}{W}_{\mathrm{mx}}^i& W_{\mathrm{my}}^i& W_{\mathrm{mx}}^i\end{array}\right]}^T(i=1,\·\·\·,k)---\left(9\right)$

其对应的k组量测真值为：

$W^i={\left[\begin{array}{ccc}{W}_x^i& W_y^i& W_x^i\end{array}\right]}^T(i=1,\·\·\·,k)---\left(10\right)$

式(9)和式(10)中，k为自然数且k≥4，以下相同。

定义矩阵：

$Y_i={\left[\begin{array}{ccc}{W}_{\mathrm{mx}}^i& & \\ & W_{\mathrm{my}}^i& \\ & & W_{\mathrm{mz}}^i\end{array}\right]}_{3\×3}---\left(11\right)$

${\mathrm{\α}}_i={\left[\begin{array}{cccccccccccc}{W}_x^i& W_y^i& W_z^i& 1& & & & & & & & \\ & & & & W_x^i& W_y^i& W_z^i& 1& & & & \\ & & & & & & & & W_x^i& W_y^i& W_z^i& 1\end{array}\right]}_{3\×12}---\left(12\right)$

$X_i={\left[\begin{array}{ccccccccc}{x}_1^i& ...& x_4^i& & & & & & \\ & & & x_5^i& ...& x_8^i& & & \\ & & & & & & x_9^i& ...& x_{12}^i\end{array}\right]}_{12\×3}^T---\left(13\right)$

式(11)～式(13)中，i＝1，…，k；

多输入多输出系统带有自适应遗忘因子的递推最小二乘算法公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_{j+1}=Y_{j+1}-{\mathrm{\α}}_{j+1}{X}_j\\ K_{j+1}={\mathrm{\λ}}_{j+1}^{-1}{P}_j{\mathrm{\λ}}_{j+1}^T{\mathrm{\α}}_{j+1}^T{(I_{3\×3}+{\mathrm{\α}}_{j+1}{\mathrm{\λ}}_{j+1}^{-1}{P}_j{\mathrm{\λ}}_{j+1}^{-T}{\mathrm{\α}}_{j+1}^T)}^{-1}\\ X_{j+1}={\mathrm{\λ}}_{j+1}^{-1}{X}_j{\mathrm{\μ}}_{j+1}+K_{j+1}(Y_{j+1}-{\mathrm{\α}}_{j+1}{\mathrm{\λ}}_{j+1}^{-1}{X}_j{\mathrm{\μ}}_{j+1})\\ P_{j+1}={\mathrm{\λ}}_{j+1}^{-1}{P}_j{\mathrm{\λ}}_{j+1}^{-T}-K_{j+1}{\mathrm{\α}}_{j+1}{\mathrm{\λ}}_{j+1}^{-1}{P}_j{\mathrm{\λ}}_{j+1}^{-T}\end{array}\right.---\left(14\right)$

式(14)中，E是估计误差，K是增益矩阵，P是过渡矩阵，λ_j+1和μ_j+1满足下面的关系式：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}_{j+1}={\mathrm{\α}}_{j+1}^{+}{\mathrm{\σ}}_{j+1}{\mathrm{\α}}_{j+1}\\ {\mathrm{\μ}}_{j+1}=Y_{j+1}^{-1}{\mathrm{\σ}}_{j+1}{Y}_{j+1}\end{array}\right.---\left(15\right)$

式(15)中，σ是遗忘因子矩阵，用来调节新老数据的权重。

σ_j+1＝diag[σ_j+1，xσ_j+1，yσ_j+1，z]    (16)

式(16)中，σ_j+1，x、σ_j+1，y、σ_j+1，z分别为相应于三轴陀螺的自适应遗忘因子，

在标定过程中将温度因素加入自适应遗忘因子的实时计算中，建立以温度变化量T_j+1-T_j为基础的自适应遗忘因子模型，即

${\mathrm{\σ}}_{j+1}=\frac{1}{2}[\exp (-(T_{j+1}-T_j)|E_{j+1}\left|\right)+\exp (-\frac{1}{j+1})---\left(17\right)$

式(17)中，T_j+1和T_j分别为测量第j+1组和第j组数据时的温度，

上述式(14)～式(17)中，j＝0，…，k-1；

选取式(14)中X和P的初始值如式(18)所示，其中ξ是一个很大的正数，通过式(11)～式(18)递推计算得到X的最终解，

$\left\{\begin{array}{c}{X}_0=0\\ P_0=\mathrm{\ξI}\end{array}\right.---\left(18\right)$

根据式(8)中X和各个误差系数的对应关系得：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{gx}}=x_4\\ B_{\mathrm{gy}}=x_8\\ B_{\mathrm{gz}}=x_{12}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}{K}_{\mathrm{gx}}=x_1-1\\ K_{\mathrm{gy}}=x_6-1\\ K_{\mathrm{gz}}=x_{11}-1\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gxz}}=x_2\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gxy}}={-x}_3\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gyz}}={-x}_5\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gyx}}=x_7\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gzy}}=x_9\\ {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{gzx}}={-x}_{10}\end{array}\right.---\left(19\right)$

②采集光纤陀螺组件的多组输出数据；

由步骤①的式(7)知，光纤陀螺组件有12个未知的误差参数，根据解的理论知至少需要采集4组以上光纤陀螺组件不同安装方式和运动方式下的输出数据才能求解，陀螺组件的安装方式有三种，定义Ox_by_bz_b为陀螺组件坐标系，定义OXYZ为速率转台坐标系，OX为速率转台输入轴，则三种安装方式分别为：

(a)：OX轴与Ox_b轴重合，且YOZ平面与y_bOz_b平面处于同一个水平面；

(b)：OX轴与Oy_b轴重合，且YOZ平面与x_bOz_b平面处于同一个水平面；

(c)：OX轴与Oz_b轴重合，且YOZ平面与x_bOy_b平面处于同一个水平面；

上述三种安装方式确定了陀螺组件的三种量测真值，即

W^(a)＝[ω_iesinL+ω 0 0]^T    (20)

W^(b)＝[0 ω_iesinL+ω 0]^T    (21)

W^(c)＝[0 0ω_iesinL+ω]^T     (22)

式(20)～式(22)中，ω_ie表示地球角速率矢量的值，ω表示转台的转动角速率，L表示当地纬度；

光纤陀螺组件无需充分预热，依次采集m组陀螺组件的输出数据，每组数据的采集时间为t_i(i＝1，…m)，要求这m组数据必须是互不相同，即安装方式不同或者转台输入角速率不同，并且m组数据应遍历三种安装方式，m≥4；

③每组数据剔除野值后求取平均值，获得标定算法的观测值；

对步骤②中采集的m组数据分别剔除野值后求取平均值，获得m组陀螺组件的实际输出矩阵Y₁～Y_m以及温度矩阵T₁～T_m，根据采集m组数据时光纤陀螺组件的安装方式结合式(20)～式(22)中对应关系，获得对应于这m组数据的陀螺组件量测真值W¹～W^m，根据步骤①中的式(12)确定相应的α₁～α_m；

④利用ARLS方法求取陀螺组件固定误差模型中的误差参数；

将步骤③获得的光纤陀螺实际输出矩阵Y₁～Y_m、温度矩阵T₁～T_m、陀螺组件的量测真值矩阵α₁～α_m代入步骤①中的式(14)～式(18)递推获得未知参数X的最终解，并根据式(19)和式(2)～式(4)获得固定误差模型中的零偏B_G、安装误差θ_G和刻度系数误差K_G；

⑤将求得的固定误差反馈到陀螺组件信号输出端进行实时补偿；

将步骤④获得的零偏、安装误差和刻度系数误差代入步骤(一)中的式(5)得到标定出的光纤陀螺组件固定误差为：

ΔW′＝K_GW_m+θ_GW_m+B_G    (23)

则补偿后光纤陀螺组件的输出信号为：

W_m′＝W_m-ΔW′    (24)

(三)光纤陀螺组件随机误差自适应滤波步骤：实时采集光纤陀螺组件的输出信号，将采集到的信号扣除步骤(二)获得的固定误差作为光纤陀螺组件的输出信号；建立适用于滤除光纤陀螺随机误差的自适应横向滤波器；设计变步长符号LMS自适应权更新算法；进行变步长符号LMS自适应滤波器的递推计算，获得滤波后光纤陀螺的信号输出；

①采集光纤陀螺组件的输出信号，并进行固定误差补偿；

以一定的采样频率采集光纤陀螺组件的输出信号，并利用步骤(二)计算的固定误差得到光纤陀螺组件经过固定误差补偿后的输出信号W_m′，即式(24)；

②建立适用于滤除光纤陀螺随机误差的自适应滤波器；

该自适应滤波器由横向滤波器和权更新算法两部分组成，

n时刻滤波器的输出值为：

$y\left(n\right)=\underset{i=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i\left(n\right)x(n-\mathrm{\Δ}-i)=w^T\left(n\right)x\left(n\right)---\left(25\right)$

n时刻滤波误差为：

e(n)＝d(n)-y(n)    (26)

式(25)和式(26)中，x(n-Δ-i)，(i＝0，…M-1)是滤波器的输入值，其中，n≥0表示滤波时刻，Δ≥0表示延时量，M＞0表示权矢量的维数，以下相同；w(n)为权矢量；x(n)为输入矢量；d(n)为期望响应；

w(n)＝[w₀，w₁，…，w_M-1]^T    (27)

x(n)＝[x(n-Δ)，x(n-Δ-1)，…x(n-Δ-M+1)]^T    (28)

③设计变步长符号LMS自适应权更新算法；

常规LMS自适应权更新算法的公式为：

$\hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\mathrm{\μx}\left(n\right)e\left(n\right)---\left(29\right)$

式(29)中，

为n时刻的权矢量，x(n)为n时刻的输入矢量，e(n)为n时刻的滤波误差，

为n+1时刻的权矢量，μ为迭代步长，为保证算法收敛，μ的取值范围为：

$0<\mathrm{\&mu;}<\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }}---\left(30\right)$

式(30)中，λ_max为输入信号自相关矩阵R的最大特征值，

变步长符号LMS自适应权更新算法的特征在于对常规LMS权更新公式(29)进行两方面的改造：

a)从算法稳定性、滤波精度和动态输入范围角度出发，引入滤波器输入矢量的归一化功率‖x(n)‖²＝x^T(n)x(n)；

式(29)改造为：

$\hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\frac{\mathrm{\&mu;}}{{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}x\left(n\right)e\left(n\right)---\left(31\right)$

由收敛性分析理论得μ的取值范围为：

0＜μ＜2    (32)

这种改造相当于用 $\widetilde{\mathrm{\&mu;}}\left(n\right)=\frac{\mathrm{\&mu;}}{{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}=\frac{\mathrm{\&mu;}}{P_j}$ 代替了μ，P_j为输入功率的归一化值，均方误差的收敛时间为τ＝T_s/(4μλ_i/P_j)，稳态失调量为M＝(μ/P_j)tr[R]，由于λ_i与tr(R)均与P_j成比例，因而P_j的引入使算法性能保持稳定并扩大了其动态输入范围；

为了避免在‖x(n)‖²较小时

太大，引起稳定性的下降，对其做进一步限制和改造：

$\hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\frac{\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&alpha;}+{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}x\left(n\right)e\left(n\right)---\left(33\right)$

其中，α取大于零的校正量；

b)从减少计算复杂性、提高算法实时性的角度出发，利用误差符号代替误差本身进行权更新，

式(33)改造为：

$\hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\frac{\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&alpha;}+{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}x\left(n\right)\mathrm{sgn}\left[e\left(n\right)\right]---\left(34\right)$

式(34)中，sgn(x)为符号函数；

综合式(25)、式(26)、式(34)并利用递推形式计算‖x(n)‖²得完整的变步长符号LMS自适应滤波器的迭代公式为：

$\left\{\begin{array}{c}y\left(n\right)={\hat{w}}^T\left(n\right)x\left(n\right)\\ e\left(n\right)=d\left(n\right)-y\left(n\right)\\ {\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2={\left|\right|x(n-1)\left|\right|}^2+x^2(n-\mathrm{\&Delta;})-x^2(n-\mathrm{\&Delta;}-M+1)\\ \hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\frac{\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&alpha;}+{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}x\left(n\right)\mathrm{sgn}\left[e\left(n\right)\right]\end{array}---\left(35\right)\right.$

④进行自适应滤波器的迭代计算，获得滤波后光纤陀螺的信号输出；

步骤①中获得的经过固定误差补偿后的光纤陀螺组件输出信号W_m′由X轴、Y轴、Z轴三个轴向分量构成，即

W_m′＝[W_mx′W_my′W_mz′]    (36)

将W_mx′W_my′、W_mz′分别通过三个变步长符号LMS自适应滤波器并行工作，即W_mi′分别作为三个滤波器的输入值x_i(n)，并根据式(28)构成相应的输入矢量x_i(n)；选定滤波器阶数M_i，延时量Δ_i，迭代步长μ_i，调整量α_i，权矢量初始值

；重复步骤①和式(35)获得滤波后光纤陀螺组件的输出信号y_i(n)；上述各值中，i＝X，Y，Z。

本发明的方法具有以下优点：(1)提出了一套完整全面的光纤陀螺组件输出信号的误差处理方法，具有工程指导意义；(2)ARLS标定方法有效减小了光纤陀螺组件因温度变化引起的零偏漂移，固定误差的标定精度高；(3)标定陀螺组件的固定误差前无需充分预热陀螺，标定效率高，标定算法的适应性好；(4)变步长符号LMS自适应滤波器滤波精度高、有效减小了光纤陀螺的随机误差、具有更宽的动态输入范围，并且算法的计算量小，满足工程实际应用。

四、说明书附图

图1光纤陀螺组件的三种安装方式；

图1中符号名称：Ox_by_bz_b表示陀螺组件坐标系，OXYZ表示速率转台坐标系

图2自适应滤波器结构；

图2中符号名称：x(n)为n时刻滤波器的输入矢量，y(n)为n时刻滤波器的输出值，d(n)为n时刻的期望响应，e(n)为n时刻的滤波误差。

图3横向滤波器结构；

图3中符号名称：x(n)为n时刻滤波器的输入值，x(n-Δ-M+1)为(n-Δ-M+1)时刻滤波器的输入值，z^-Δ为Δ阶延时环节，z^-1为1阶延时环节，w₀～w_M-1为M个权系数，y(n)为n时刻滤波器的输出信号。

图4某次静态测试FOG输出信号误差处理前后比较；

图5某次转动测试FOG输出信号误差处理前后比较；

五、具体实施方式

本发明的主要目的是解决常规静态标定方法因未考虑光纤陀螺零偏对温度的敏感导致误差参数标定效果不理想的问题，以及改进现有文献中Kalman滤波、神经网络滤波、常规LMS滤波等方法对光纤陀螺随机误差处理存在精度、实时性、实用性、动态输入范围等方面的不足，针对光纤陀螺组件输出信号提出一套完整、有效、高精度且具有良好适应性的误差处理流程和方法，对改善惯性传感器精度乃至整个惯性导航系统的精度和性能具有非常重要的作用，并对光纤陀螺组件的工程应用具有指导意义。为了达到这个目的，需要完成如下的工作：

(1)建立光纤陀螺组件输出信号模型及其固定误差模型

设W_m为光纤陀螺组件的输出信号，则其模型为：

W_m＝W+ΔW+δW    (1)

式(1)中，W为陀螺组件的量测真值，ΔW为陀螺组件的固定误差，δW为陀螺组件的随机误差。

其中，陀螺组件的固定误差ΔW由三个部分组成，即零偏、安装误差和刻度系数误差。

①零偏

零偏是陀螺的随机常数漂移，在陀螺仪启动并进入正常工作状态后保持不变，定义光纤陀螺组件的零偏矩阵为：

B_G＝[B_gxB_gyB_gz]^T    (2)

式(2)中，B_gx、B_gy、B_gz分别为三个轴向光纤陀螺的零偏。

②安装误差

在光纤陀螺组件中，三个陀螺应构成正交坐标系。实际上在陀螺安装时，不可避免存在安装误差，其各个轴向陀螺的输出相互耦合，产生测量误差。根据非正交变换相关知识，对应每个轴采用两个参数来描述其轴向陀螺的安装误差，构成安装误差矩阵θ_G为：

${\mathrm{\&theta;}}_G=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gxz}}& -{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gxy}}\\ -{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gyz}}& 0& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gyx}}\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gzy}}& -{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gzx}}& 0\end{array}\right]---\left(3\right)$

式(3)中，θ_gxy、θ_gxz为X轴陀螺的安装误差参数；θ_gyx、θ_gyz为Y轴陀螺的安装误差参数；θ_gzx、θ_gzy为Z轴陀螺的安装误差参数。

③刻度系数误差

光纤陀螺输出的脉冲信号需要通过一定的比例系数转换成实际测量的角速率，该比例系数由生产厂家在陀螺出厂前测定。实际应用时，该比例系数与光纤陀螺的实际比例系数可能不一致，从而造成输出误差，即“刻度系数误差”。定义刻度系数误差矩阵K_G为：

K_G＝diag[K_gxK_gyK_gz]    (4)

由式(2)、式(3)和式(4)忽略二阶小量得陀螺固定误差模型为：

ΔW＝K_GW+θ_GW+B_G    (5)

(2)光纤陀螺组件固定误差标定和补偿步骤：设计多输入多输出自适应递推最小二乘标定算法(ARLS)；在精密的速率转台上按照一定的安装方式采集光纤陀螺组件的多组输出数据；每组数据剔除野值后求取平均值；利用上述的平均值数据结合ARLS方法求取陀螺组件固定误差模型中的误差参数；将求得的固定误差反馈到陀螺组件信号输出端进行补偿。

①设计自适应递推最小二乘标定算法(ARLS)；

一般在光纤陀螺组件静止或匀速转动情况下，对其采样一段时间内的输出信号做平均，从而减小随机误差对标定结果的影响。因此，在标定光纤陀螺组件的固定误差时，暂不考虑随机误差项δW，则光纤陀螺组件的输出信号为：

W_m＝W+ΔW＝(I+K_G+θ_G)W+B_G＝X_AW+X_B    (6)

式(6)中，X_Δ＝I+K_G+θ_G，其中包含待标定的误差参数θ_G和K_G，X_B＝B_G同样为待标定的误差参数。由式(2)、式(3)和式(4)展开得

$\left[\begin{array}{c}{W}_{\mathrm{mx}}\\ W_{\mathrm{my}}\\ W_{\mathrm{mz}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+K_{\mathrm{gx}}& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gxz}}& -{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gxy}}\\ -{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gyz}}& 1+K_{\mathrm{gy}}& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gyx}}\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gzy}}& -{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gzx}}& 1+K_{\mathrm{gz}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{W}_x\\ W_y\\ W_z\end{array}\right]+\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{gx}}\\ B_{\mathrm{gy}}\\ B_{\mathrm{gz}}\end{array}\right]=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ x_5& x_6& x_7\\ x_9& x_{10}& x_{11}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{W}_x\\ W_y\\ W_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_4\\ x_8\\ x_{12}\end{array}\right]---\left(7\right)$

式(7)中，W_x、W_y、W_z为三轴陀螺的量测真值，由安装方式和速率转台的转速基准值确定，在标定时为已知量；W_mx、W_my、W_mz为三轴陀螺的实际量测输出值，为已知量；各未知误差参数为待标定量，其对应关系为：

x₁＝1+K_gx    x₄＝B_gx     x₇＝θ_gyx  x₁₀＝-θ_gzx

x₂＝θ_gxz    x₅＝-θ_gyz  x₈＝B_gy    x₁₁＝1+K_gz    (8)

x₃＝-θ_gxy   x₆＝1+K_gy   x₉＝θ_gzy  x₁₂＝B_gz

由于未知量有12个，故至少需要4组以上静态或匀速转动的陀螺组件输出数据进行求解。设能够获得k组满足安装方式要求的陀螺组件输出：

$W_m^i={\left[\begin{array}{ccc}{W}_{\mathrm{mx}}^i& W_{\mathrm{my}}^i& W_{\mathrm{mx}}^i\end{array}\right]}^T(i=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k)---\left(9\right)$

其对应的k组量测真值为：

$W^i={\left[\begin{array}{ccc}{W}_x^i& W_y^i& W_x^i\end{array}\right]}^T(i=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k)---\left(10\right)$

式(9)和式(10)中，k为自然数且k≥4，以下相同。

定义矩阵：

$Y_i={\left[\begin{array}{ccc}{W}_{\mathrm{mx}}^i& & \\ & W_{\mathrm{my}}^i& \\ & & W_{\mathrm{mz}}^i\end{array}\right]}_{3\&times;3}---\left(11\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_i={\left[\begin{array}{cccccccccccc}{W}_x^i& W_y^i& W_z^i& 1& & & & & & & & \\ & & & & W_x^i& W_y^i& W_z^i& 1& & & & \\ & & & & & & & & W_x^i& W_y^i& W_z^i& 1\end{array}\right]}_{3\&times;12}---\left(12\right)$

$X_i={\left[\begin{array}{ccccccccc}{x}_1^i& ...& x_4^i& & & & & & \\ & & & x_5^i& ...& x_8^i& & & \\ & & & & & & x_9^i& ...& x_{12}^i\end{array}\right]}_{12\&times;3}^T---\left(13\right)$

式(11)～式(13)中，i＝1，…，k。

多输入多输出系统带有自适应遗忘因子的递推最小二乘算法公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_{j+1}=Y_{j+1}-{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}{X}_j\\ K_{j+1}={\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-1}{P}_j{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^T{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}^T{(I_{3\&times;3}+{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-1}{P}_j{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-T}{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}^T)}^{-1}\\ X_{j+1}={\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-1}{X}_j{\mathrm{\&mu;}}_{j+1}+K_{j+1}(Y_{j+1}-{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-1}{X}_j{\mathrm{\&mu;}}_{j+1})\\ P_{j+1}={\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-1}{P}_j{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-T}-K_{j+1}{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-1}{P}_j{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-T}\end{array}\right.---\left(14\right)$

式(14)中，E是估计误差，K是增益矩阵，P是过渡矩阵，λ_j+1和μ_j+1满足下面的关系式：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}={\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}^{+}{\mathrm{\&sigma;}}_{j+1}{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}\\ {\mathrm{\&mu;}}_{j+1}=Y_{j+1}^{-1}{\mathrm{\&sigma;}}_{j+1}{Y}_{j+1}\end{array}\right.---\left(15\right)$

式(15)中，σ是遗忘因子矩阵，用来调节新老数据的权重。

σ_j+1＝diag[σ_j+1，xσ_j+1，yσ_j+1，z]    (16)

式(16)中，σ_j+1，x、σ_j+1，y、σ_j+1，z分别为相应于三轴陀螺的自适应遗忘因子。

通过对光纤陀螺组件多组实验知，光纤陀螺的温度对固定误差有很大影响，特别是零偏。该算法的特征在于实时考虑温度变化对光纤陀螺固定误差的影响，在标定过程中将温度因素加入自适应遗忘因子的实时计算中，建立以温度变化量T_j+1-T_j为基础的自适应遗忘因子模型，即

${\mathrm{\&sigma;}}_{j+1}=\frac{1}{2}[\exp (-(T_{j+1}-T_j)|E_{j+1}\left|\right)+\exp (-\frac{1}{j+1})---\left(17\right)$

式(17)中，T_j+1和T_j分别为测量第j+1组和第j组数据时的温度。

上述式(14)～式(17)中，j＝0，…，k-1。

选取式(14)中X和P的初始值如式(18)所示，其中ξ是一个很大的正数，通过式(11)～式(18)递推计算得到X的最终解。

$\left\{\begin{array}{c}{X}_0=0\\ P_0=\mathrm{\&xi;I}\end{array}\right.---\left(18\right)$

根据式(8)中X和各个误差系数的对应关系得：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{gx}}=x_4\\ B_{\mathrm{gy}}=x_8\\ B_{\mathrm{gz}}=x_{12}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}{K}_{\mathrm{gx}}=x_1-1\\ K_{\mathrm{gy}}=x_6-1\\ K_{\mathrm{gz}}=x_{11}-1\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gxz}}=x_2\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gxy}}={-x}_3\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gyz}}={-x}_5\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gyx}}=x_7\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gzy}}=x_9\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gzx}}={-x}_{10}\end{array}\right.---\left(19\right)$

②采集光纤陀螺组件的多组输出数据；

由步骤①的式(7)知，光纤陀螺组件有12个未知的误差参数，根据解的理论知至少需要采集4组以上光纤陀螺组件不同安装方式和运动方式下的输出数据才能求解。陀螺组件的安装方式有三种，如图1(a)、(b)、(c)所示，其中，Ox_by_bz_b表示陀螺组件坐标系，OXYZ表示速率转台坐标系，OX为速率转台输入轴。

三种安装方式确定了陀螺组件的三种量测真值，即

W^(a)＝[ω_iesinL+ω 0 0]^T    (20)

W^(b)＝[0 ω_iesinL+ω 0]^T    (21)

W^(c)＝[0 0 ω_iesinL+ω]^T    (22)

式(20)～式(22)中，ω_ie表示地球角速率矢量的值，ω表示转台的转动角速率，L表示当地纬度。

光纤陀螺组件无需充分预热，依次采集m组陀螺组件的输出数据，每组数据的采集时间为t_i(i＝1，…m)，要求这m组数据必须是互不相同，即安装方式不同或者转台输入角速率不同，并且m组数据应遍历图1中的三种安装方式，m≥4。

③每组数据剔除野值后求取平均值，获得标定算法的观测值；

对步骤②中采集的m组数据分别剔除野值后求取平均值，获得m组陀螺组件的实际输出矩阵Y₁～Y_m以及温度矩阵T₁～T_m，根据采集m组数据时光纤陀螺组件的安装方式结合式(20)～式(22)中对应关系，获得对应于这m组数据的陀螺组件量测真值W¹～W^m，根据步骤①中的式(12)确定相应的α₁～α_m。

④利用ARLS方法求取陀螺组件固定误差模型中的误差参数；

将步骤③获得的光纤陀螺实际输出矩阵Y₁～Y_m、温度矩阵T₁～T_m、陀螺组件的量测真值矩阵α₁～α_m代入步骤①中的式(14)～式(18)递推获得未知参数X的最终解，并根据式(19)和式(2)～式(4)获得固定误差模型中的零偏B_G、安装误差θ_G和刻度系数误差K_G。

⑤将求得的固定误差反馈到陀螺组件信号输出端进行实时补偿；

由于固定误差在一段时期内保持不变，因此，这些误差参数在一段时期内可以用于处理光纤陀螺组件信号的实时误差补偿和后续计算，从而获得到经过固定误差补偿后的光纤陀螺信号输出，即

将步骤④获得的零偏、安装误差和刻度系数误差代入步骤(1)中的式(5)得到标定出的光纤陀螺组件固定误差为：

ΔW′＝K_GW_m+θ_GW_m+B_G    (23)

则补偿后光纤陀螺组件的输出信号为：

W_m′＝W_m-ΔW′    (24)

(3)光纤陀螺组件随机误差自适应滤波步骤：实时采集光纤陀螺组件的输出信号，将采集到的信号扣除步骤(2)获得的固定误差作为光纤陀螺组件的输出信号；建立适用于滤除光纤陀螺随机误差的自适应横向滤波器；设计变步长符号LMS自适应权更新算法；进行变步长符号LMS自适应滤波器的递推计算，获得滤波后光纤陀螺的信号输出。

①采集光纤陀螺组件的输出信号，并进行固定误差补偿；

以一定的采样频率采集光纤陀螺组件的输出信号，并利用步骤(2)计算的固定误差得到光纤陀螺组件经过固定误差补偿后的输出信号W_m′，即式(24)。

②建立适用于滤除光纤陀螺随机误差的自适应横向滤波器；

该自适应滤波器由两部分组成，其主要执行部件是横向滤波器，它完成实质的滤波工作，横向滤波器的权矢量可以随时调整；第二部分是滤波器的权更新算法，由输入信号和误差信号构造校正量，自适应调整权矢量。自适应滤波器的组成结构如图2所示。

横向滤波器是构成自适应滤波器的基础，利用横向滤波器对光纤陀螺输出信号进行滤波时，由于噪声具有随机特性，无法得到确定的表达式。因此，将光纤陀螺输出信号经过延时Δ后的各阶信号作为自适应滤波器的输入信号，合理选择延时量Δ去除噪声的相关性，保留信号的相关性。其结构如图3所示。

图3中，x(n-Δ-i)，(i＝0，…M-1)是滤波器的输入值，y(n)是滤波器的输出值，e(n)是滤波误差，且

$y\left(n\right)=\underset{i=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_i\left(n\right)x(n-\mathrm{\&Delta;}-i)=w^T\left(n\right)x\left(n\right)---\left(25\right)$

e(n)＝d(n)-y(n)                               (26)

式(25)中，w(n)为权矢量，x(n)为输入矢量。

w(n)＝[w₀，w₁，…，w_M-1]^T                     (27)

x(n)＝[x(n-Δ)，x(n-Δ-1)，…x(n-Δ-M+1)]^T    (28)

③设计变步长符号LMS自适应权更新算法

常规LMS自适应权更新算法的公式为：

$\hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\mathrm{\&mu;x}\left(n\right)e\left(n\right)---\left(29\right)$

式(29)中，

为n时刻的权矢量，x(n)为n时刻的输入矢量，e(n)为n时刻的滤波误差，

为n+1时刻的权矢量，μ为迭代步长，为保证算法收敛，μ的取值范围为：

$0<\mathrm{\&mu;}<\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }}---\left(30\right)$

式(30)中，λ_max为输入信号自相关矩阵R的最大特征值。

常规LMS权更新算法的μ由(30)式确定，在实际光纤陀螺信号处理中无法获得其自相关矩阵R和最大特征值λ_max，即(30)式存在较大的模糊性，不利于工程应用；另一方面，由于自适应滤波器的收敛速度取决于R的最小特征值λ_min，失调量取决于其最大特征值λ_max，而R的特征值随输入信号的改变而改变，从而影响了滤波器的收敛速度和失调量。

变步长符号LMS自适应权更新算法的特征在于对常规LMS权更新公式(29)进行两方面的改造：

a)从算法稳定性、滤波精度和动态输入范围角度出发，引入滤波器输入矢量的归一化功率‖x(n)‖²＝x^T(n)x(n)；

式(29)改造为：

$\hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\frac{\mathrm{\&mu;}}{{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}x\left(n\right)e\left(n\right)---\left(31\right)$

由收敛性分析理论得μ的取值范围为：

0＜μ＜2    (32)

这种改造相当于用 $\widetilde{\mathrm{\&mu;}}\left(n\right)=\frac{\mathrm{\&mu;}}{{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}=\frac{\mathrm{\&mu;}}{P_j}$ 代替了μ，P_j为输入功率的归一化值，均方误差的收敛时间为τ＝T_s/(4μλ_i/P_j)，稳态失调量为M＝(μ/P_j)tr[R]。由于λ_i与tr(R)均与P_j成比例，因而P_j的引入使算法性能保持稳定并扩大了其动态输入范围。

为了避免在‖x(n)‖²较小时

太大，引起稳定性的下降，对其做进一步限制和改造：

$\hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\frac{\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&alpha;}+{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}x\left(n\right)e\left(n\right)---\left(33\right)$

其中，α取大于零的校正量。

b)从减少计算复杂性、提高算法实时性的角度出发，利用误差符号代替误差本身进行权更新。

式(33)改造为：

$\hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\frac{\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&alpha;}+{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}x\left(n\right)\mathrm{sgn}\left[e\left(n\right)\right]---\left(34\right)$

式(34)中，sgn(x)为符号函数。

这两方面的改造，使自适应滤波算法在滤波稳定性、滤波精度、动态输入范围、实时性等各方面综合性能优越，满足工程实际应用。

综合式(25)、式(26)、式(34)并利用递推形式计算‖x(n)‖²得完整的变步长符号LMS自适应滤波器的迭代公式为：

$\left\{\begin{array}{c}y\left(n\right)={\hat{w}}^T\left(n\right)x\left(n\right)\\ e\left(n\right)=d\left(n\right)-y\left(n\right)\\ {\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2={\left|\right|x(n-1)\left|\right|}^2+x^2(n-\mathrm{\&Delta;})-x^2(n-\mathrm{\&Delta;}-M+1)\\ \hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\frac{\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&alpha;}+{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}x\left(n\right)\mathrm{sgn}\left[e\left(n\right)\right]\end{array}---\left(35\right)\right.$

④进行自适应滤波器的迭代计算，获得滤波后光纤陀螺的信号输出

步骤①中获得的经过固定误差补偿后的光纤陀螺组件输出信号W_m′由X轴、Y轴、Z轴三个轴向分量构成，即

W_m′＝[W_mx′W_my′W_mz′]    (36)

将W_mx′、W_my′、W_mz′分别通过三个变步长符号LMS自适应滤波器并行工作，即W_mi′分别作为三个滤波器的输入值x_i(n)，并根据式(28)构成相应的输入矢量x_i(n)；选定滤波器阶数M_i，延时量Δ_i，迭代步长μ_i，调整量α_i，权矢量初始值

；重复步骤①和式(35)获得滤波后光纤陀螺组件的输出信号y_i(n)。上述各值中，i＝X，Y，Z。

有益效果

以某型号光纤陀螺组件中的X轴陀螺输出信号为例，比较该信号的原始输出和用本发明中的方法处理后的输出对比曲线。

利用递推最小二乘法(ARLS)进行固定误差标定时相关参数的取值为：状态初始值X₀＝0，过渡矩阵初始值P₀＝ξI，温度初始值T₀为光纤陀螺组件开始标定时刻的温度；标定时共采集9组数据，每组数据采集时间为600秒，转台输入角速率分别为ω₁＝10deg/s、ω₂＝50deg/s，ω₃＝90deg/s，9组数据对应关系：第1组：图1(a)和ω₁；第2组：图1(a)和ω₂；第3组：图1(a)和ω₃；第4组：图1(b)和ω₁；第5组：图1(b)和ω₂；第6组：图1(b)和ω₃；第7组：图1(c)和ω₁；第8组：图1(c)和ω₂；第9组：图1(c)和ω₃。

利用变步长符号LMS自适应滤波器处理光纤陀螺随机误差时各参数取值：阶数M＝20，延时量Δ＝15，迭代步长μ＝0.005，调整量α＝0.0001，权矢量初始值 $\hat{w}\left(0\right)={\left[\begin{array}{ccc}0.01& ...& 0.01\end{array}\right]}^T.$

①将光纤陀螺组件置于单轴速率转台上，测量轴垂直于水平面，共进行20次静态测试，比较原始信号输出和用本发明的方法进行误差处理后的曲线。给出其中某次静态测试下的结果，如图4所示。

对20次FOG静态测试数据做统计分析，结果如表1所示：

表1 FOG信号处理前后统计特性分析(20次静态平均)

统计特性	滤波前	处理后
			均值(deg/s)	1.9557e-003	2.8367e-004
均方差(deg/s)	0.0163	0.0018

②将光纤陀螺置于单轴速率转台上，测量轴垂直于水平面，控制转台以50°/s的角速率旋转，共进行10次转动测试，比较原始信号输出和用本发明的方法进行误差处理后的曲线。给出其中某次转动测试下的结果，如图5所示。

表2 FOG信号滤波前后统计特性分析(10次转动平均)

统计特性	滤波前	处理后
			均值(deg/s)	49.57982	49.97903
均方差(deg/s)	0.09461	0.00662

由光纤陀螺输出信号的实际测试结果知，本发明针对光纤陀螺组件的输出信号提出的误差处理流程和方法非常有效，不但减小了光纤陀螺的固定误差，还提高了其信噪比，具有良好的实时性和适应能力，满足工程实际应用。

Claims (1)

1.一种光纤陀螺组件输出信号的误差处理方法，其特征在于包括如下具体步骤：

(一)建立光纤陀螺组件输出信号模型及其固定误差模型

设W_m为光纤陀螺组件的输出信号，则光纤陀螺组件输出信号模型为：

W_m＝W+ΔW+δW    (1)

式(1)中，W为陀螺组件的量测真值，ΔW为陀螺组件的固定误差，δW为陀螺组件的随机误差；

其中，陀螺组件的固定误差ΔW由三个部分组成，即零偏、安装误差和刻度系数误差，

①零偏

零偏是陀螺的随机常数漂移，定义光纤陀螺组件的零偏矩阵为：

B_G＝[B_gxB_gyB_gz]^T    (2)

式(2)中，B_gx、B_gy、B_gz分别为三个轴向光纤陀螺的零偏；

②安装误差

在光纤陀螺组件中，三个陀螺应构成正交坐标系，对应每个轴采用两个参数来描述其轴向陀螺的安装误差，构成安装误差矩阵θ_G为：

${\mathrm{\&theta;}}_G=\left[\begin{array}{ccc}0& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gxz}}& -{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gxy}}\\ -{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gyz}}& 0& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gyx}}\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gzy}}& -{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gzx}}& 0\end{array}\right]---\left(3\right)$

式(3)中，θ_gxy、θ_gxz为X轴陀螺的安装误差参数；θ_gyx、θ_gyz为Y轴陀螺的安装误差参数；θ_gzx、θ_gzy为Z轴陀螺的安装误差参数；

③刻度系数误差

定义刻度系数误差矩阵K_G为：

K_G＝diag[K_gxK_gyK_gz]    (4)

由式(2)、式(3)和式(4)忽略二阶小量得陀螺组件的固定误差模型为：

ΔW＝K_GW+θ_GW+B_G    (5)

(二)光纤陀螺组件固定误差标定和补偿步骤

①设计自适应递推最小二乘标定算法(ARLS)；

不考虑随机误差项δW，则光纤陀螺组件的输出信号为：

W_m＝W+ΔW＝(I+K_G+θ_G)W+B_G＝X_AW+X_B    (6)

式(6)中，X_A＝I+K_G+θ_G，其中包含待标定的误差参数θ_G和K_G，X_B＝B_G同样为待标定的误差参数，由式(2)、式(3)和式(4)展开得

$\left[\begin{array}{c}{W}_{\mathrm{mx}}\\ W_{\mathrm{my}}\\ W_{\mathrm{mz}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+K_{\mathrm{gx}}& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gxz}}& -{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gxy}}\\ -{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gyz}}& 1+K_{\mathrm{gy}}& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gyx}}\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gzy}}& -{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gzx}}& 1+K_{\mathrm{gz}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{W}_x\\ W_y\\ W_z\end{array}\right]+\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{gx}}\\ B_{\mathrm{gy}}\\ B_{\mathrm{gz}}\end{array}\right]=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ x_5& x_6& x_7\\ x_9& x_{10}& x_{11}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{W}_x\\ W_y\\ W_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_4\\ x_8\\ x_{12}\end{array}\right]---\left(7\right)$

式(7)中，W_x、W_y、W_z为三轴陀螺的量测真值，由安装方式和速率转台的转速基准值确定，在标定时为已知量；W_mx、W_my、W_mz为三轴陀螺的实际量测输出值，为已知量；各未知误差参数为待标定量，其对应关系为：

x₁＝1+K_gx   x₄＝B_gx     x₇＝θ_gyx  x₁₀＝-θ_gzx

x₂＝θ_gxz   x₅＝-θ_gyz  x₈＝B_gy    x₁₁＝1+K_gz    (8)

x₃＝-θ_gxy  x₆＝1+K_gy   x₉＝θ_gzy  x₁₂＝B_gz

由于未知量有12个，故至少需要4组以上静态或匀速转动的陀螺组件输出数据进行求解，设能够获得k组满足安装方式要求的陀螺组件输出：

$W_m^i={\left[\begin{array}{ccc}{W}_{\mathrm{mx}}^i& W_{\mathrm{my}}^i& W_{\mathrm{mx}}^i\end{array}\right]}^T(i=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k)---\left(9\right)$

其对应的k组量测真值为：

$W^i={\left[\begin{array}{ccc}{W}_x^i& W_y^i& W_x^i\end{array}\right]}^T(i=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k)---\left(10\right)$

式(9)和式(10)的K为≥4的自然数，

定义矩阵：

$Y_i={\left[\begin{array}{ccc}{W}_{\mathrm{mx}}^i& & \\ & W_{\mathrm{my}}^i& \\ & & W_{\mathrm{mz}}^i\end{array}\right]}_{3\&times;3}---\left(11\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_i={\left[\begin{array}{cccccccccccc}{W}_x^i& W_y^i& W_z^i& 1& & & & & & & & \\ & & & & W_x^i& W_y^i& W_z^i& 1& & & & \\ & & & & & & & & W_x^i& W_y^i& W_z^i& 1\end{array}\right]}_{3\&times;12}---\left(12\right)$

$X_i={\left[\begin{array}{ccccccccc}{x}_1^i& ...& x_4^i& & & & & & \\ & & & x_5^i& ...& x_8^i& & & \\ & & & & & & x_9^i& ...& x_{12}^i\end{array}\right]}_{12\&times;3}^T---\left(13\right)$

式(11)～式(13)中，i＝1，…，k；

多输入多输出系统带有自适应遗忘因子的递推最小二乘算法公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_{j+1}=Y_{j+1}-{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}{X}_j\\ K_{j+1}={\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-1}{P}_j{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-T}{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}^T{(I_{3\&times;3}+{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-1}{P}_j{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-T}{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}^T)}^{-1}\\ X_{j+1}={\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-1}{X}_j{\mathrm{\&mu;}}_{j+1}+K_{j+1}(Y_{j+1}-{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-1}{X}_j{\mathrm{\&mu;}}_{j+1})\\ P_{j+1}={\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-1}{P}_j{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-T}-K_{j+1}{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-1}{P}_j{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}^{-T}\end{array}\right.---\left(14\right)$

式(14)中，E是估计误差，K是增益矩阵，P是过渡矩阵，λ_j+1和μ_j+1满足下面的关系式：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{j+1}={\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}^{+}{\mathrm{\&sigma;}}_{j+1}{\mathrm{\&alpha;}}_{j+1}\\ {\mathrm{\&mu;}}_{j+1}=Y_{j+1}^{-1}{\mathrm{\&sigma;}}_{j+1}{Y}_{j+1}\end{array}\right.---\left(15\right)$

式(15)中，σ是遗忘因子矩阵，用来调节新老数据的权重。

σ_j+1＝diag[σ_j+1，xσ_j+1，yσ_j+1，z]    (16)

式(16)中，σ_j+1，x、σ_j+1，y、σ_j+1，z分别为相应于三轴陀螺的自适应遗忘因子，

在标定过程中将温度因素加入自适应遗忘因子的实时计算中，建立以温度变化量T_j+1-T_j为基础的自适应遗忘因子模型，即

${\mathrm{\&sigma;}}_{j+1}=\frac{1}{2}[\exp (-(T_{j+1}-T_j)|E_{j+1}\left|\right)+\exp (-\frac{1}{j+1})]---\left(17\right)$

式(17)中，T_j+1和T_j分别为测量第j+1组和第j组数据时的温度，

上述式(14)～式(17)中，j＝0，…，k-1；

选取式(14)中X和P的初始值如式(18)所示，其中ζ是一个很大的正数，通过式(11)～式(18)递推计算得到X的最终解，

$\left\{\begin{array}{c}{X}_0=0\\ P_0=\mathrm{\&xi;I}\end{array}\right.---\left(18\right)$

根据式(8)中X和各个误差系数的对应关系得：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{\mathrm{gx}}=x_4\\ B_{\mathrm{gy}}=x_8\\ B_{\mathrm{gz}}=x_{12}\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}{K}_{\mathrm{gx}}=x_1-1\\ K_{\mathrm{gy}}=x_6-1\\ K_{\mathrm{gz}}=x_{11}-1\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gxz}}=x_2\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gxy}}={-x}_3\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gyz}}={-x}_5\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gyx}}=x_7\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gzy}}=x_9\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{gzx}}={-x}_{10}\end{array}\right.---\left(19\right)$

②采集光纤陀螺组件的多组输出数据；

由步骤①的式(7)知，光纤陀螺组件有12个未知的误差参数，根据解的理论知至少需要采集4组以上光纤陀螺组件不同安装方式和运动方式下的输出数据才能求解，陀螺组件的安装方式有三种，定义Ox_by_bz_b为陀螺组件坐标系，定义OXYZ为速率转台坐标系，OX为速率转台输入轴，则三种安装方式分别为：

(a)：OX轴与Ox_b轴重合，且YOZ平面与y_bOz_b平面处于同一个水平面；

(b)：OX轴与Oy_b轴重合，且YOZ平面与x_bOz_b平面处于同一个水平面；

(c)：OX轴与Oz_b轴重合，且YOZ平面与x_bOy_b平面处于同一个水平面；

上述三种安装方式确定了陀螺组件的三种量测真值，即

W^(a)＝[ω_iesinL+ω 0 0]^T    (20)

W^(b)＝[0ω_iesinL+ω 0]^T     (21)

W^(c)＝[0 0 ω_iesinL+ω]^T    (22)

式(20)～式(22)中，ω_ie表示地球角速率矢量的值，ω表示转台的转动角速率，L表示当地纬度；

光纤陀螺组件无需充分预热，依次采集m组陀螺组件的输出数据，每组数据的采集时间为t_i(i＝1，…m)，要求这m组数据必须是互不相同，即安装方式不同或者转台输入角速率不同，并且m组数据应遍历三种安装方式，m≥4；

③每组数据剔除野值后求取平均值，获得标定算法的观测值；

对步骤②中采集的m组数据分别剔除野值后求取平均值，获得m组陀螺组件的实际输出矩阵Y₁～Y_m以及温度矩阵T₁～T_m，根据采集m组数据时光纤陀螺组件的安装方式结合式(20)～式(22)中对应关系，获得对应于这m组数据的陀螺组件量测真值W¹～W^m，根据步骤①中的式(12)确定相应的α₁～α_m；

④利用ARLS方法求取陀螺组件固定误差模型中的误差参数；

将步骤③获得的光纤陀螺实际输出矩阵Y₁～Y_m、温度矩阵T₁～T_m、陀螺组件的量测真值矩阵α₁～α_m代入步骤①中的式(14)～式(18)递推获得未知参数X的最终解，并根据式(19)和式(2)～式(4)获得固定误差模型中的零偏B_G、安装误差θ_G和刻度系数误差K_G；

⑤将求得的固定误差反馈到陀螺组件信号输出端进行实时补偿；

将步骤④获得的零偏、安装误差和刻度系数误差代入步骤(一)中的式(5)得到标定出的光纤陀螺组件固定误差为：

ΔW′＝K_GW_m+θ_GW_m+B_G    (23)

则补偿后光纤陀螺组件的输出信号为：

W_m′＝W_m-ΔW′    (24)

(三)光纤陀螺组件随机误差自适应滤波步骤：实时采集光纤陀螺组件的输出信号，将采集到的信号扣除步骤(二)获得的固定误差作为光纤陀螺组件的输出信号；建立适用于滤除光纤陀螺随机误差的自适应横向滤波器；设计变步长符号LMS自适应权更新算法；进行变步长符号LMS自适应滤波器的递推计算，获得滤波后光纤陀螺的信号输出；

①采集光纤陀螺组件的输出信号，并进行固定误差补偿；

以一定的采样频率采集光纤陀螺组件的输出信号，并利用步骤(二)计算的固定误差得到光纤陀螺组件经过固定误差补偿后的输出信号W_m′，即式(24)；

②建立适用于滤除光纤陀螺随机误差的自适应滤波器；

该自适应滤波器由横向滤波器和权更新算法两部分组成，

滤波器的输出值为：

$y\left(n\right)=\underset{i=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_i\left(n\right)x(n-\mathrm{\&Delta;}-i)=w^T\left(n\right)x\left(n\right)---\left(25\right)$

滤波误差为：

e(n)＝d(n)-y(n)    (26)

式(25)和式(26)中，x(n-Δ-i)，(i＝0，…M-1)是滤波器的输入值，其中，n≥0表示滤波时刻，Δ≥0表示延时量，M＞0表示权矢量的维数，以下相同；w(n)为权矢量，x(n)为输入矢量，d(n)为期望响应，

w(n)＝[w₀，w₁，…，w_M-1]^T    (27)

x(n)＝[x(n-Δ)，x(n-Δ-1)，…x(n-Δ-M+1)]^T    (28)

③设计变步长符号LMS自适应权更新算法；

常规LMS自适应权更新算法的公式为：

$\hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\mathrm{\&mu;x}\left(n\right)e\left(n\right)---\left(29\right)$

式(29)中，

为n时刻的权矢量，x(n)为n时刻的输入矢量，e(n)为n时刻的滤波误差，

为n+1时刻的权矢量，μ为迭代步长，为保证算法收敛，μ的取值范围为：

$0<\mathrm{\&mu;}<\frac{2}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }}---\left(30\right)$

式(30)中，λ_max为输入信号自相关矩阵R的最大特征值，

变步长符号LMS自适应权更新算法的特征在于对常规LMS权更新公式(29)进行两方面的改造：

a)从算法稳定性、滤波精度和动态输入范围角度出发，引入滤波器输入矢量的归一化功率‖x(n)‖²＝x^T(n)x(n)；

式(29)改造为：

$\hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\frac{\mathrm{\&mu;}}{{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}x\left(n\right)e\left(n\right)---\left(31\right)$

由收敛性分析理论得μ的取值范围为：

0＜μ＜2    (32)

这种改造相当于用 $\widetilde{\mathrm{\&mu;}}\left(n\right)=\frac{\mathrm{\&mu;}}{{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}=\frac{\mathrm{\&mu;}}{P_j}$ 代替了μ，P_j为输入功率的归一化值，均方误差的收敛时间为τ＝T_s/(4μλ_i/P_j)，稳态失调量为M＝(μ/P_j)tr[R]，由于λ_i与tr(R)均与P_j成比例，因而P_j的引入使算法性能保持稳定并扩大了其动态输入范围；

为了避免在‖x(n)‖²较小时

太大，引起稳定性的下降，对其做进一步限制和改造：

$\hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\frac{\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&alpha;}+{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}x\left(n\right)e\left(n\right)---\left(33\right)$

其中，α取大于零的校正量；

b)从减少计算复杂性、提高算法实时性的角度出发，利用误差符号代替误差本身进行权更新，

式(33)改造为：

$\hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\frac{\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&alpha;}+{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}x\left(n\right)\mathrm{sgn}\left[e\left(n\right)\right]---\left(34\right)$

式(34)中，sgn(x)为符号函数；

综合式(25)、式(26)、式(34)并利用递推形式计算‖x(n)‖²得完整的变步长符号LMS自适应滤波器的迭代公式为：

$\left\{\begin{array}{c}y\left(n\right)={\hat{w}}^T\left(n\right)x\left(n\right)\\ e\left(n\right)=d\left(n\right)-y\left(n\right)\\ {\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2={\left|\right|x(n-1)\left|\right|}^2+x^2(n-\mathrm{\&Delta;}){-x}^2(n-\mathrm{\&Delta;}-M+1)\\ \hat{w}(n+1)=\hat{w}\left(n\right)+\frac{\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&alpha;}+{\left|\right|x\left(n\right)\left|\right|}^2}x\left(n\right)\mathrm{sgn}\left[e\left(n\right)\right]\end{array}---\left(35\right)\right.$

④进行自适应滤波器的迭代计算，获得滤波后光纤陀螺的信号输出；

步骤①中获得的经过固定误差补偿后的光纤陀螺组件输出信号W_m′由X轴、Y轴、Z轴三个轴向分量构成，即

W_m′＝[W_mx′W_my′W_mz′]    (36)

将W_mx′、W_my′、W_mz′分别通过三个变步长符号LMS自适应滤波器并行工作，即W_mi′分别作为三个滤波器的输入值x_i(n)，并根据式(28)构成相应的输入矢量x_i(n)；选定滤波器阶数M_i，延时量Δ_i，迭代步长μ_i，调整量α_i，权矢量初始值

；重复步骤①和式(35)获得滤波后光纤陀螺组件的输出信号y_i(n)；上述各值中，i＝X，Y，Z。

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