CN111368461A - 基于svd消噪处理的改进灰色模型隧道沉降监测方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于隧道沉降监测技术领域，具体涉及一种基于SVD消噪处理的改进灰色模型隧道沉降监测方法，首先对已测得的沉降信号进行SVD消噪处理，然后利用改进的灰色模型NGM(1，1，k)模型对隧道沉降进行预测。本发明在NGM灰化模型的基础上通过改进白化方程，进一步提高拟合预测精度，且建模原理简单，未增加模型复杂性；以改进的灰化模型进行预测，提高预测模型对各种影响因素的抗差性，进而提高了地铁隧道沉降预测模型的精度。

Description

基于SVD消噪处理的改进灰色模型隧道沉降监测方法

技术领域

本发明属于隧道沉降监测技术领域，具体涉及一种基于SVD消噪处理的改进灰色模型隧道沉降监测方法。

背景技术

隧道的变形分析与预测在工程的建造过程与后期运营过程中有着很重要的作用，通过对原始检测数据的合理分析与建模处理，可以提供准确且可靠的预测，是工程建筑物安全评定的重要支撑。然而，沉降数据存在各种因素的干扰，预测结果中存在着扰动误差。建筑物在施工期和使用期会因荷载增加或因其地基土层自重固结等因素引起建筑物出现不同程度的沉降。建筑物的沉降往往会造成地坪下沉、开裂及管线变形甚至断裂，当沉降量过大且出现不均匀时会导致建筑物倾斜等，从而影响建筑物的使用安全。沉降监测及预测是建筑物安全评估的重要方法，采用科学合理的检测手段和预测模型则是安全评估的关键。由于受水文地质、气候条件、检测手段等因素影响，监测数据往往不完整，存在信息残缺等现象，所以较适合用灰色预测模型进行数据预测分析。

灰色系统理论由我国学者邓聚龙提出，经过不断的完善和发展已经在许多领域得到了广泛应用。灰色预测模型作为灰色系统理论的重要组成部分，目前已经在农业、工业、科技、医疗等领域得到了成功的应用，尤其是灰色GM(1,1)模型，如今已经成为应用最为广泛的灰色预测模型。然而，该模型的建模精度问题一直备受灰色系统理论研究者的关注。GM(1,1)模型作为灰色理论中最基本的预测模型，其建模原理简单，易于操作。但是，传统GM(1,1)模型在建模原理上存在固有缺陷，使其不具备白指数率预测无偏性。正是由于该缺陷的存在，为GM(1,1)模型的改进留下了大量空间，从而涌现出了各式各样的改进算法。目前，GM(1,1)模型的改进算法繁多，各类改进算法的思路各不相同，建模的难易程度有所差异。从GM(1,1)模型的拟合公式可见其适合于近似齐次指数序列的建模分析。但是GM(1,1)模型不具备白指数率预测无偏性，这是由其固有缺陷导致的，具体而言就是白化方程与灰微分方程的不匹配问题。除此以外，初始条件的选择也常被认为是GM(1,1)模型一个缺陷，表现在两个方面，其一是对累加数据的拟合函数默认经过了初始点，与最小二乘拟合思想不符；其二是一次累加算法使得还原函数对初始值不存在拟合效果，所以只能默认其等于初始值，这是不合理的。在GM(1,1)模型基础上改进、演变得到的系列优化的灰色模型和无偏灰色模型以及离散灰色模型，同样仅对具有白指数律的离散数据序列具有较好的模拟预测效果。然而，除了近似齐次指数律数据序列外，现实中还存在大量系统的特征数据序列具有非齐次指数特性，利用仅适用于拟合预测齐次指数律数据序列的灰色模型，去模拟具有非齐次指数律特性的数据序列，常常会出现较大建模误差。

发明内容

本发明的目的在于解决现有技术中存在的上述问题，提出了一种基于SVD消噪处理的改进灰色模型隧道沉降监测方法，利用奇异值分解对原沉降监测数据进行去噪光滑处理，白化方程改进NGM灰色模型，对隧道沉降进行预测，提高隧道沉降模型预测的准确性。

本发明的技术方案是：

基于SVD消噪处理的改进灰色模型隧道沉降监测方法，包括以下步骤：

步骤一，将已测得的沉降信号y(i)(i＝1，2，3，...，N)基于相空间重构理论构造重构矩阵A，

对矩阵A做奇异值分解，A＝USV^H，其中U，V分别为m×m，n×n维正交矩阵(m＝k，n＝N-k+1)，S为m×n的对角矩阵，对角线元素为λ₁，λ₂，λ₃，…λ_p，p＝min(m，n)且λ₁≥λ₂≥λ₃≥…≥λ_p；λ₁，λ₂，λ₃，…λ_p成为矩阵A的奇异值；

若矩阵A的秩为r，取前r个主要反应有用信号的奇异值，将剩余较小的奇异值置零以去除信号中的噪声，则矩阵A奇异值分解可简写为

分别对这些重构后的信号分量进行快速傅里叶变换，确定主频个数q，依经验取2q作为有效秩的阶次；将前2q个奇异值依据

逆推重构矩阵A，得A′_2q，将其中对应元素相加后取平均值即可得到去噪后的沉降信号；

步骤二，利用NGM(1，1，k)模型对隧道沉降进行预测：

用x⁽⁰⁾(k)表示处理后的实测数据，表示如下：

x⁽¹⁾(k)为x⁽⁰⁾(k)的1-AGO序列，

其中

z⁽¹⁾(k)为x⁽¹⁾(k)的紧邻均值生成序列，

z⁽¹⁾(k)＝[z⁽¹⁾(2)，z⁽¹⁾(3)，z⁽¹⁾(4)…z⁽¹⁾(n)]，k＝2，3，4…n (4)

其中

构建灰色NGM(1，1，k)预测模型：

x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)＝bk (6)

当k＝2时，x⁽⁰⁾(2)＝-az⁽¹⁾(2)+2b

当k＝3时，x⁽⁰⁾(3)＝-az⁽¹⁾(3)+3b

当k＝4时，x⁽⁰⁾(4)＝-az⁽¹⁾(4)+4b

............

当k＝n时，x⁽⁰⁾(n)＝-az⁽¹⁾(n)+nb

将式(6)写作矩阵形式为：

将上式各部分对应简化为

即

最小二乘法处理：

白化方程优化：

将式(5)代式(6)中得到：

所以有

将x⁽⁰⁾(k)＝x⁽¹⁾(k)-x⁽¹⁾(k-1)代入式(17)可得：

时滞取任意值的变量Δt，把可变值引入(18)，并假定x⁽¹⁾(t)-x⁽¹⁾(t-Δt)正比于Δt，则式(18)可变为如下形式：

当Δt→0时，方程化为

式(21)即为灰色NGM(1，1，k)优化的白色方程；

由常微分方程理论可知，白化方程的通解为：

令t＝n，求得

整理得

将式(23)带入到式(22)可得灰色NGM(1，1，k)白化方程

的时间相应函数为：

令t＝k，则灰色NGM(1，1，k)模型x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)＝b₁+b₂k的时间相应序列为：

上式(26)即为隧道沉降的NGM(1，1，k)灰色预测模型的变形监测的预测值，k为整数。

与现有技术相比，本发明技术方案的有益效果为：

本发明所提供的基于SVD消噪处理的改进灰色模型隧道沉降监测方法，通过SVD消噪处理减少隧道变形监测预测模型中测量仪器、气象环境和测量时人为因素等众多影响，以改进的灰化模型进行预测，提高预测模型对各种影响因素的抗差性，进而提高了地铁隧道沉降预测模型的精度。

本发明提供的NGM灰化模型能够弥补经典GM(1,1)模型和无偏GM(1,1)模型的不足，适合具有非齐次指数律特征的系统行为数据序列的模拟预测；NGM灰化模型对于近似齐次指数序列具有与传统灰化模型一样的精度，并且对于非齐次指数离散数据也具有较高的精度，从而能大大提高预测模型精度；在NGM灰化模型的基础上通过改进白化方程，进一步提高拟合预测精度，且建模原理简单，未增加模型复杂性。

具体实施方式

下面将结合具体实施例对本发明的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下，所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

为了进一步理解本发明，下面结合实施例对本发明进行详细说明。

实施例

一种基于SVD消噪处理的改进灰色模型隧道沉降监测方法，包括以下步骤：

步骤一，将已测得的沉降信号y(i)(i＝1，2，3，...，N)基于相空间重构理论构造重构矩阵A，

对矩阵A做奇异值分解，A＝USV^H，其中U，V分别为m×m，n×n维正交矩阵(m＝k，n＝N-k+1)，S为m×n的对角矩阵，对角线元素为λ₁，λ₂，λ₃，…λ_p，p＝min(m，n)且λ₁≥λ₂≥λ₃≥…≥λ_p；λ₁，λ₂，λ₃，…λ_p成为矩阵A的奇异值；

若矩阵A的秩为r，取前r个主要反应有用信号的奇异值，将剩余较小的奇异值置零以去除信号中的噪声，则矩阵A奇异值分解可简写为

分别对这些重构后的信号分量进行快速傅里叶变换，确定主频个数q，依经验取2q作为有效秩的阶次；将前2q个奇异值依据

逆推重构矩阵A，得A′_2q，将其中对应元素相加后取平均值即可得到去噪后的沉降信号；

步骤二，利用NGM(1，1，k)模型对隧道沉降进行预测：

用x⁽⁰⁾(k)表示处理后的实测数据，表示如下：

x⁽¹⁾(k)为x⁽⁰⁾(k)的1-AGO序列，

其中

z⁽¹⁾(k)为x⁽¹⁾(k)的紧邻均值生成序列，

z⁽¹⁾(k)＝[z⁽¹⁾(2)，z⁽¹⁾(3)，z⁽¹⁾(4)…z⁽¹⁾(n)]，k＝2，3，4…n (4)

其中

构建灰色NGM(1，1，k)预测模型：

x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)＝bk (6)

当k＝2时，x⁽⁰⁾(2)＝-az⁽¹⁾(2)+2b

当k＝3时，x⁽⁰⁾(3)＝-az⁽¹⁾(3)+3b

当k＝4时，x⁽⁰⁾(4)＝-az⁽¹⁾(4)+4b

............

当k＝n时，x⁽⁰⁾(n)＝-az⁽¹⁾(n)+nb

将式(6)写作矩阵形式为：

将上式各部分对应简化为

即

最小二乘法处理：

白化方程优化：

将式(5)代式(6)中得到：

所以有

将x⁽⁰⁾(k)＝x⁽¹⁾(k)-x⁽¹⁾(k-1)代入式(17)可得：

现在假设时滞是取任意值的变量Δt，把可变值引入(18)，并假定x⁽¹⁾(t)-x⁽¹⁾(t-Δt)正比于Δt，则式(18)可变为如下形式：

当Δt→0时，方程化为

式(21)即为灰色NGM(1，1，k)优化的白色方程；

由常微分方程理论可知，白化方程的通解为：

令t＝n，求得

整理得

将式(23)带入到式(22)可得灰色NGM(1，1，k)白化方程

的时间相应函数为：

令t＝k，则灰色NGM(1，1，k)模型x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)＝b₁+b₂k的时间相应序列为：

上式(26)即为隧道沉降的NGM(1，1，k)灰色预测模型的变形监测的预测值，k为整数。

上述说明仅为本发明的优选实施例，并非是对本发明的限制，凡在本发明的内容范围内所做出的任何修改、等同替换、改型等，均应包含在本发明的专利保护范围之内。

Claims (1)

1.基于SVD消噪处理的改进灰色模型隧道沉降监测方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一，将已测得的沉降信号y(i)(i＝1，2，3，...，N)基于相空间重构理论构造重构矩阵A，

对矩阵A做奇异值分解，A＝USV^H，其中U，V分别为m×m，n×n维正交矩阵(m＝k，n＝N-k+1)，S为m×n的对角矩阵，对角线元素为λ₁，λ₂，λ₃，…λ_p，p＝min(m，n)且λ₁≥λ₂≥λ₃≥…≥λ_p；λ₁，λ₂，λ₃，…λ_p成为矩阵A的奇异值；

若矩阵A的秩为r，取前r个主要反应有用信号的奇异值，将剩余较小的奇异值置零以去除信号中的噪声，则矩阵A奇异值分解可简写为

分别对这些重构后的信号分量进行快速傅里叶变换，确定主频个数q，依经验取2q作为有效秩的阶次；将前2q个奇异值依据

逆推重构矩阵A，得A’_2q，将其中对应元素相加后取平均值即可得到去噪后的沉降信号；

步骤二，利用NGM(1，1，k)模型对隧道沉降进行预测：

用x⁽⁰⁾(k)表示处理后的实测数据，表示如下：

x⁽⁰⁾(k)＝[x⁽⁰⁾(1)，x⁽⁰⁾(2)，x⁽⁰⁾(3)…x⁽⁰⁾(n)]，k＝1，2，3…n (1)

x⁽¹⁾(k)为x⁽⁰⁾(k)的1-AGO序列，

x⁽¹⁾(k)＝[x⁽¹⁾(1)，x⁽¹⁾(2)，x⁽¹⁾(3)…x⁽¹⁾(n)]，k＝1，2，3…n (2)

其中

z⁽¹⁾(k)为x⁽¹⁾(k)的紧邻均值生成序列，

z⁽¹⁾(k)＝[z⁽¹⁾(2)，z⁽¹⁾(3)，z⁽¹⁾(4)…z⁽¹⁾(n)]，k＝2，3，4…n (4)

其中

构建灰色NGM(1，1，k)预测模型：

x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)＝bk (6)

当k＝2时，x⁽⁰⁾(2)＝-az⁽¹⁾(2)+2b

当k＝3时，x⁽⁰⁾(3)＝-az⁽¹⁾(3)+3b

当k＝4时，x⁽⁰⁾(4)＝-az⁽¹⁾(4)+4b

…………

当k＝n时，x⁽⁰⁾(n)＝-az⁽¹⁾(n)+nb

将式(6)写作矩阵形式为：

将上式各部分对应简化为

即

最小二乘法处理：

白化方程优化：

将式(5)代式(6)中得到：

所以有

将x⁽⁰⁾(k)＝x⁽¹⁾(k)-x⁽¹⁾(k-1)代入式(17)可得：

时滞取任意值的变量Δt，把可变值引入(18)，并假定x⁽¹⁾(t)-x⁽¹⁾(t-Δt)正比于Δt，则式(18)可变为如下形式：

当Δt→0时，方程化为

式(21)即为灰色NGM(1，1，k)优化的白色方程；

由常微分方程理论可知，白化方程的通解为：

令t＝n，求得

整理得

将式(23)带入到式(22)可得灰色NGM(1，1，k)白化方程

的时间相应函数为：

令t＝k，则灰色NGM(1，1，k)模型x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)＝b₁+b₂k的时间相应序列为：

上式(26)即为隧道沉降的NGM(1，1，k)灰色预测模型的变形监测的预测值，k为整数。