CN111307460A - 基于计算阶次跟踪与谱峭度的滚动轴承故障诊断方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于计算阶次跟踪与谱峭度的滚动轴承故障诊断方法，包括以下步骤：(1)对时域振动信号进行树状分解滤波，得到各频带的信号，计算谱峭度并绘制谱峭度图，计算得到滤波最优解调带宽的中心频率、最优解调带宽；(2)根据最优解调带宽对时域振动信号进行带通滤波，对滤波后的信号进行Hilbert包络解调，得到含有故障冲击的包络信号；(3)设定转速脉冲阈值，得到脉冲发生时刻，求解角度域时间二次方程系数，求角域平稳信号；(4)对角域平稳信号进行快速傅里叶变换，设定采样频率为角域采样率，得出故障诊断结论。该方法能够在变工况条件下，有效提取轴承故障特征阶次成分。

Description

基于计算阶次跟踪与谱峭度的滚动轴承故障诊断方法

技术领域

本发明涉及设备运行监测技术领域及振动监测技术领域，具体涉及滚动轴承的监测及故障诊断。

背景技术

滚动轴承作为旋转机械通用的重要零部件之一，用于支承旋转轴及其负载和零部件，并保持轴的旋转精度及工作位置。滚动轴承作为易损件，据不完全统计，旋转机械的故障约有30％是由滚动轴承出现故障引起的。因此，对滚动轴承开展状态监测与故障诊断有重要的意义。

滚动轴承的工作状况按照转速变化程度可分为平稳工况及变工况。当轴承的转速处于稳定或者微小波动情况下时，可视为其处于平稳工况；当轴承转速变化较大，尤其是在升速降速过程中，可视为其处于变工况条件，此时的振动信号会随转速的变化而变化。在变工况条件下，一些在平稳工况下不会显现出来的故障会集中显现出来，滚动轴承更易发生失效，所以研究变工况条件下滚动轴承故障信号特征提取能够有效的对轴承进行故障诊断。此外，滚动轴承的寿命常表现出离散化程度高的特点。若采取定期维修的方式，可能会将完好的轴承进行拆装维修而报废，轴承还可能提前发生故障，导致工作状况不良，甚至发生严重事故。因此对轴承来说，定期维修存在着一定的问题，而采取实时状态监测与故障诊断，就能够提前发现故障，实现预知性维修的效果。

传统的频谱分析在针对平稳工况下有着良好的效果，但是轴承在变工况条件下，故障特征频率会随着转频的改变而改变，对变工况下的振动信号进行傅里叶变换会将故障特征频率分散到各个频率中，发生“频率模糊”现象。在数据采集过程中，是在时域上等时间间隔采样，随着转速的升高，每转采样点数逐渐减少，采集到的信号可能逐渐不能反映振动规律。此外，当滚动轴承出现早期局部损伤时，信号往往表现出微弱的冲击性特征，其本质是轴承内部缺陷引起的有一定时间间隔的振动冲击，冲击往往随着时间衰减，下次滚珠经过缺陷时冲击再次产生，这种脉冲力会引起轴承的高频固有振动，而高频固有振动将作为轴承振动的载波，其幅值会受到轴承脉冲力的调制，最终滚动轴承的信号将成为复杂的幅值调制波。这也给传统的频谱分析在滚动轴承故障诊断中的应用带来了挑战。

发明内容

为弥补变工况条件下采用传统频谱分析进行滚动轴承故障诊断的不足，本发明将阶次分析与谱峭度方法相结合，提出一种基于计算阶次跟踪与谱峭度的滚动轴承故障诊断方法。其发明构思是通过阶次分析将时域非平稳信号转化为角域上的平稳信号，实现等角度间隔重新采样，对变工况的振动信号实现转速无关化，进而在阶次谱中有效提取轴承故障特征阶次成分；采用谱峭度方法对滚动轴承变工况条件下的幅值调制信号进行频谱分析，有效选取振动信号中由冲击性故障引起的调制频带，根据此频带进行带通滤波，进而有效提取轴承故障特征频率成分。本发明的具体技术方案如下：

一种基于计算阶次跟踪与谱峭度的滚动轴承故障诊断方法，包括以下步骤：(1)对时域振动信号进行树状分解滤波，得到各频带的信号，计算谱峭度并绘制谱峭度图，计算得到滤波最优解调带宽的中心频率、最优解调带宽；(2)根据步骤1得出的最优解调带宽对时域振动信号进行带通滤波，对滤波后的信号进行Hilbert包络解调，得到含有故障冲击的包络信号；(3)设定转速脉冲阈值，得到脉冲发生时刻，求解角度域时间二次方程系数，设定最大分析阶次，根据角域采样定理，得到角域采样率、采样间隔角度，确定等角度采样时刻，按照该采样时刻，对步骤2中得到的包络信号进行插值拟合，得到横轴为角度纵轴为振动信号幅值的角域平稳信号；(4)对步骤3中的角域平稳信号进行快速傅里叶变换，设定采样频率为角域采样率，得到阶次谱，对照轴承故障特征阶次与阶次谱中的主要阶次成分，得出故障诊断结论。

进一步地，所述步骤2中的带通滤波选用属于无限冲击响应滤波器(IIR)的椭圆滤波器对信号进行滤波。

进一步地，所述步骤3中求解角度域时间二次方程系数时，假设所述轴承处于匀角加速度变化的工况。

进一步地，所述步骤3中的插值拟合采用三次样条插值拟合。

本发明提出的基于计算阶次跟踪与谱峭度的滚动轴承故障诊断方法，其中谱峭度方法能够在变工况条件下，有效选取振动信号中由冲击性故障引起的调制频带，根据此频带进行带通滤波，采用Hilbert包络解调得到的包络谱可以有效提取轴承故障特征频率成分。计算阶次分析能够对变工况的振动信号实现转速无关化，得到的阶次谱中能够有效提取轴承故障特征阶次成分。计算阶次分析将时域非平稳信号转化为角域上的平稳信号，实现等角度间隔重新采样，重采样频率即每转采样的次数，得到角域上的平稳信号，从而每转之间信号的采样点数恒定。对重采样的信号进行傅里叶变换得到的阶次谱，相对于转频不变的故障特征阶次就会凸显出来，根据阶次谱即可断定轴承是否发生故障及故障位置。

附图说明

图1为本发明基于计算阶次跟踪与谱峭度的滚动轴承故障诊断方法流程图；

图2为计算阶次跟踪算法流程图；

图3为键相信号图；

图4为高通、低通滤波算法流程图；

图5为树状滤波器示意图；

图6为双转子试验台安装图；

其中 1为N2电机，2为1#键相传感器，3为轴承，4为2#轴承座，5为加速度传感器，2为2#键相传感器，7为N1电机

图7为轴承内圈故障振动波形及键相脉冲信号；

图8为轴承内圈故障振动信号频谱；

图9为轴承外圈转速曲线；

图10为轴承内圈故障振动信号谱峭度图；

图11为轴承内圈故障振动信号阶次谱。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的基于计算阶次跟踪与谱峭度的滚动轴承故障诊断方法的原理、具体实现方式和试验验证进行详细说明。

图1为本发明基于计算阶次跟踪与谱峭度的滚动轴承故障诊断方法流程图。其具体实现步骤如下：(1)根据式4.16对时域振动信号进行树状分解滤波，得到各频带的信号

由式4.17计算谱峭度，绘制谱峭度图，最后根据4.18得到滤波最优带宽的中心频率f_c、最优带宽B_w；(2)根据步骤1得出的最优解调带宽对时域振动信号进行带通滤波，选用属于无限冲击响应滤波器(IIR)的椭圆滤波器，使用MATLAB的滤波器设计工具对信号进行滤波，对滤波后的信号进行Hilbert包络解调，得到含有故障冲击的包络信号；(3)根据式4.1和4.2设定转速脉冲阈值，得到脉冲发生时刻t_n′，根据式4.4解出角度域时间二次方程系数，设定最大分析阶次O_max，则根据角域采样定理，角域采样率fs_angle＝2×O_max，采样间隔角度Δθ＝2π/fs_angle，由式4.7得到等角度采样时刻t，按照此采样时刻，对步骤2中得到的包络信号进行插值拟合，得到横轴为角度纵轴为振动信号幅值的角域平稳信号；(4)对步骤3中的角域平稳信号进行FFT变换，设定的采样频率为角域采样率fs_angle，得到阶次谱，对照轴承故障特征阶次与阶次谱中的主要阶次成分，得出故障诊断结论。

计算阶次跟踪原理

计算阶次分析(COT)的主要过程为根据转速信号或转速脉冲信号，设定角域采样率，得到等角度采样时刻，在此时刻上重新对时域振动信号进行采样，得到角域平稳信号，对其做FFT变换即可得到阶次谱。其主要流程如图2所示。

(1)脉冲发生时刻计算

以图3所示的键相信号为例说明脉冲发生时刻计算方法。选取脉冲发生阈值6.5，遍历电压脉冲信号U(n)所有点，找出满足下式的第n个点，记作n′：

U(n)<6.5&&U(n+1)≥6.5 (4.1)

则认为此第n′点为上升沿触发点，根据下式计算脉冲发生时间：

式中fs为脉冲信号采样频率。

(2)等角度采样时刻计算

重采样的基本思路是对原信号进行等角度采样，关键在于确定等角度的时间间隔。重采样算法的基本假设为：转轴处于匀角加速度变化的状态中。

在匀角加速度变化假设下，角度与时间的关系符合以下二次曲线方程：

θ(t)＝at²+bt+c (4.3)

式中a、b、c为待定系数，在已知Δθ和t的前提下，可以解方程得到a、b、c。对于脉冲发生时刻t₁、t₂、t₃对应的转角为0、

代入得：

由式(4.4)解出a、b、c，那么已知任意转角

即可解出对应时间t，即二次方程求解公式：

在对实际数据的数据处理中，相邻的三个脉冲发生时刻t₁、t₂、t₃，为了避免数据的重复计算，只计算大于时间间隔中间值的时刻。即公式中的θ应满足如下条件：

用kΔθ将θ离散化，则式4.5变为：

式中k的取值范围为

根据以上角域重采样的算法得到了等角度采样的时间，即得到了角域图的横轴对应点，角度所对应的幅值还需以等角度采样时间对原始信号进行拟合，获得等角度所对应的幅值。

(3)幅值插值拟合

幅值插值拟合根据已知的原始时域信号，在等角度的时间序列上插值，通过拟合获得等角度对应的幅值，从而获得角域上的平稳信号。拟合是指计算两组数据之间的函数对应关系，给出其变化曲线及非采集到的数据之间的对应关系。插值是指已知两组数据之间的对应关系，得出关心的非采集得到的数据对应的因变量值。

幅值拟合函数有以下三种方式：①线性插值拟合；②三次多项式插值拟合；③三次样条插值拟合。由于三次样条插值函数有计算精度较高、拟合平滑、效果理想等优点，本发明选用三次样条插值的方法。样条函数的基本思想是：在两个数据点构成的区间内用多项式来逼近，且保证端点处连续，区间内光滑(即导数连续)。

三次样条函数的定义如下：设区间内有n个样本点(x_i,y_i)(i＝1,2...,n)，当函数S(x)满足以下条件时，称之为样本点的三次样条函数。

①S(x)＝y_i(i＝1,2...,n)，函数经过这n个样本点；

②S(x)在每个子区间[x_i,x_i+1]上为三次多项式，

S(x)＝a(x-x_i)³+b(x-x_i)²+c(x-x_i)+d (4.8)

③S(x)在[x₁,x_n]上有连续的一阶及二阶函数

在角域重采样的过程中，由于脉冲发生时刻对应为2kπ，即式4.4中的

当角度间隔更小的点作为

时，可对脉冲信号进行插值，得到转轴转过小转角时对应时刻。角域重采样得到等角度采样时刻后，本文采用样条插值拟合的办法来得到等角度采样时刻对应的幅值。即得到角域图的纵轴上对应点，得到角域上的平稳信号。

谱峭度算法原理

峭度是描述波形尖峰度的数值统计量，描述振动信号的分布特征，峭度K的定义如下式：

实际信号的峭度指标定义式为：

式中μ为原振动信号的均值，σ为信号的标准差，E(x)意为对信号求期望值，N为采样点数。当轴承在正常情况下运转时，振动信号没有冲击响应，其振动信号为标准正态分布。此时计算得出的峭度值K等于3。当轴承发生故障时，其振动信号就会有冲击性特征，此时的峭度值会大于3。

峭度作为无量纲参数，其对冲击信号比较敏感，适用于表面损伤类型的故障诊断，在早期故障的识别中有着良好的效果。但是峭度作为一个全局性的特征量，在故障特征较弱而噪声和其他未知成分干扰时，峭度值往往会受到影响。Dwyer提出了谱峭度的计算方法，基本原理是计算每根谱线的峭度值，从而确定对冲击最为敏感的频带。

谱峭度反映了原始数据在某个频率成分上的峭度值大小，计算公式为：

其中，·和E[·]分别代表绝对值和期望。X(t,f)代表振动信号x(t)在频率f处的复包络。

在实际信号中采集的故障信号可认为其由两部分组成，一部分时设备的故障振动信号，一部分是噪声信号，如式4.12：

Z(t)＝X(t)+N(t) (4.12)

式中X(t)为设备故障振动信号，N(t)为加性高斯白噪声。加性噪声与信号的关系是叠加关系，不管振动信号存在与否，噪声信号都存在。噪声主要来源包括：人为噪声、自然噪声和设备内部产生的噪声。

对于此信号而言，谱峭度的计算公式为：

上式中K_Z(f)表示信号Z(t)的峭度值，K_X(f)表示信号X(t)的峭度值，其中：

ρ(f)为信号的噪信比，S_2N和S_2X分别表示振动信号和噪声信号的功率谱密度。功率谱密度的意义就是单位频率内的信号能量大小。

由式(4.13)可以看出，当采集到的信号噪声成分较高，K_Z(f)将较小；当采集到的信号信噪比较低时，K_Z(f)与K_X(f)将趋近于相等。因而信噪比ρ(f)越大，原振动信号的谱峭度K_Z(f)也就越高。这一结论就是根据谱峭度选择带通滤波中心频率及带宽的理论依据。

谱峭度的计算方法有短时傅里叶变换、谱峭度快速计算方法。由于短时傅里叶变换是将非平稳信号当作局部的平稳信号来处理，所以其并不适合冲击信号的处理，当选择的频率分辨率Δf不当时，短时傅里叶变换的谱峭度算法结果就会受到影响。本文采用后一种方法进行计算。

快速谱峭度算法采用塔式算法构建一系列带通滤波器组，计算了由f和Δf组成的平面内各频率段谱峭度数值，从而得到谱峭度值最大处的最优频率段。具体计算步骤如下：

(1)建立一个截止频率为1/8的低通滤波器h(n)，在h(n)的基础上建立准解析滤波器，其中准解析低通滤波器归一化分析频带为[0,1/4]，相应的，准解析高通滤波器归一化分析频带[1/4，1/2]，公式如下：

(2)对信号以h₀(n)、h₁(n)进行低通和高通滤波，对滤波后的结果进行2倍降采样，2倍降采样是为了使保证滤波器分解的每一层都与原始数据长度相同，算法流程如图4所示。以式4.16类推，对原信号进行k级分解。

信号经过第k层第i个滤波器之后的输出结果记为

i的取值范围是0到2^k-1。

也可看作是以f_i＝(i+2^-1)2^k-1为中心频率，以Δf_k＝2^k-1为带宽的信号复包络结果。为提升分解精度，避免[0,1/4]与[1/4,1/2]频带谱峭度相近，因此对每层进行以[0,1/6]、[1/6,1/3]、[1/3,1/2]的再次分解，得到三个信号，其原理与上文得到两个分解信号相同。对信号整体而言，滤波过程类似于树状分解滤波，如图5所示。

(3)计算各输出信号

谱峭度。实际信号的谱峭度如式：

将谱峭度值用色彩深度量化，绘制快速谱峭度图。

(4)当K(f_i,Δf_k)达到最大值时获得对应的中心频率f_c、最优带宽B_w、以及包络结果c₀(n)：

[f_c,B_w,c₀(n)]＝argmax{K(f_i,Δf_k)} (4.18)

argmax表示当K取最大值时所对应的自变量参数中心频率f_c、最优带宽B_w、以及包络结果c₀(n)。

试验验证

试验用双转子试验台由电动机、联轴器、高低压转子、中介轴承、轴承座等组成，试验台及传感器安装位置如图6所示。

数据采集系统由LMS SCADAS数据采集器、加速度传感器、接近开关、数据采集软件组成。N2与N1电机分别控制轴承外圈与内圈转速。加速度传感器安装在2号轴承座的水平与垂直方向，故障轴承为中介轴承，其故障信号经转子传递到轴承座后被传感器采集到。试验采用对轴承预置故障的方法。用线切割的方法分别在轴承内圈外表面与外圈内表面加工深1mm，宽1mm的裂纹。

所用轴承结构参数与特征频率如下表所示。

轴承结构参数表

轴承特征频率表

选用垂直测点的内圈故障振动数据，在内圈固定，外圈处于升速状态下的轴承内圈故障振动波形及键相数据如图7所示。

振动信号频谱如图8所示，从图中可以看出，频谱主要频率成分集中在某一频带范围内，没有出现明显的单频率谱峰成分，有频率混叠现象。

设置脉冲阈值为U＝6.5V计算得转速曲线如图9，截取的试验数据外圈转速在5s内由832rpm上升至1145rpm，升速率为62rpm/s。

选取分解层数5，对振动信号做谱峭度图如图10所示，在第四层分解时得到中心频率f_c＝23200Hz，带宽Bw＝1600Hz，即最优解调带宽为22400-24000Hz。

对振动信号在上述最优解调带宽内进行带通滤波，选取最大分析阶次O_max＝200，即等角度采样时，每转采集200个点，得到阶次谱如图。从图11中可以明显的看出内圈故障频率阶次18及其谐波，与轴承特征频率表中的轴承内圈故障阶次相对应，说明轴承故障位于内圈。

试验验证说明，基于计算阶次跟踪与谱峭度的变工况轴承故障诊断算法，能够有效提取轴承故障特征，可应用于变工况设备的轴承故障诊断中。

Claims (5)

1.一种基于计算阶次跟踪与谱峭度的滚动轴承故障诊断方法，其特征在于，包括以下步骤：(1)对时域振动信号进行树状分解滤波，得到各频带的信号，计算谱峭度并绘制谱峭度图，计算得到滤波最优解调带宽的中心频率、最优解调带宽；(2)根据步骤1得出的最优解调带宽对时域振动信号进行带通滤波，对滤波后的信号进行Hilbert包络解调，得到含有故障冲击的包络信号；(3)设定转速脉冲阈值，得到脉冲发生时刻，求解角度域时间二次方程系数，设定最大分析阶次，根据角域采样定理，得到角域采样率、采样间隔角度，确定等角度采样时刻，按照该采样时刻，对步骤2中得到的包络信号进行插值拟合，得到横轴为角度纵轴为振动信号幅值的角域平稳信号；(4)对步骤3中的角域平稳信号进行快速傅里叶变换，设定采样频率为角域采样率，得到阶次谱，对照轴承故障特征阶次与阶次谱中的主要阶次成分，得出故障诊断结论。

2.根据权利要求1所述的滚动轴承故障诊断方法，其特征在于，所述步骤2中的带通滤波选用属于无限冲击响应滤波器(IIR)的椭圆滤波器，对信号进行滤波。

3.根据权利要求1所述的滚动轴承故障诊断方法，其特征在于，所述步骤3中求解角度域时间二次方程系数时，假设所述轴承处于匀角加速度变化的工况。

4.根据权利要求1所述的滚动轴承故障诊断方法，其特征在于，所述步骤3中的插值拟合采用三次样条插值拟合。

5.根据权利要求1所述的滚动轴承故障诊断方法，其特征在于，

(1)脉冲发生时刻计算

选取脉冲发生电平Vt的65％作为阈值，遍历电压脉冲信号U(n)所有点，找出满足下式的第n个点，记作n′：

U(n)<0.65Vt&U(n+1)≥0.65Vt (4.1)

则认为此第n′点为上升沿触发点，根据下式计算脉冲发生时间：

式中fs为脉冲信号采样频率；

(2)等角度采样时刻计算

在匀角加速度变化假设下，角度与时间的关系符合以下二次曲线方程：

θ(t)＝at²+bt+c (4.3)

式中a、b、c为待定系数，在已知Δθ和t的前提下，解方程得到a、b、c；对于脉冲发生时刻t₁、t₂、t₃对应的转角为0、

代入得：

由式(4.4)解出a、b、c，那么已知任意转角θ即能解出对应时间t，，

即二次方程求解公式：

相邻的三个脉冲发生时刻t₁、t₂、t₃，为了避免数据的重复计算，只计算大于时间间隔中间值的时刻；即公式中的θ应满足如下条件：

用kΔθ将θ离散化，则式4.5变为：

式中k的取值范围为

根据以上角域重采样的算法得到了等角度采样的时间，即得到了角域图的横轴对应点，角度所对应的幅值还需以等角度采样时间对原始信号进行拟合，获得等角度所对应的幅值；

(3)幅值插值拟合

幅值插值拟合根据已知的原始时域信号，在等角度的时间序列上插值，通过拟合获得等角度对应的幅值，从而获得角域上的平稳信号；拟合是指计算两组数据之间的函数对应关系，给出其变化曲线及非采集到的数据之间的对应关系；插值是指已知两组数据之间的对应关系，得出关心的非采集得到的数据对应的因变量值；

选用三次样条插值的方法；三次样条函数的定义如下：设区间内有n个样本点(x_i,y_i)(i＝1,2...,n)，当函数S(x)满足以下条件时，称之为样本点的三次样条函数；

①S(x)＝y_i(i＝1,2...,n)，函数经过这n个样本点；

②S(x)在每个子区间[x_i,x_i+1]上为三次多项式，

S(x)＝a(x-x_i)³+b(x-x_i)²+c(x-x_i)+d (4.8)

③S(x)在[x₁,x_n]上有连续的一阶及二阶函数

在角域重采样的过程中，由于脉冲发生时刻对应为2kπ，即式4.4中的

当角度间隔更小的点作为

时，对脉冲信号进行插值，得到转轴转过小转角时对应时刻；

角域重采样得到等角度采样时刻后，采用样条插值拟合的办法来得到等角度采样时刻对应的幅值；即得到角域图的纵轴上对应点，得到角域上的平稳信号；

峭度是描述波形尖峰度的数值统计量，描述振动信号的分布特征，峭度K的定义如下式：

K＝E(x-μ)⁴/σ⁴

实际信号的峭度指标定义式为：

式中μ为原振动信号的均值，σ为信号的标准差，E(x)意为对信号求期望值，N为采样点数；当轴承在正常情况下运转时，振动信号没有冲击响应，其振动信号为标准正态分布；

此时计算得出的峭度值K等于3；当轴承发生故障时，其振动信号就会有冲击性特征，此时的峭度值大于3；

谱峭度反映了原始数据在某个频率成分上的峭度值大小，计算公式为：

其中，|·|和E[·]分别代表绝对值和期望；X(t,f)代表振动信号x(t)在频率f处的复包络；

在实际信号中采集的故障信号认为其由两部分组成，一部分时设备的故障振动信号，一部分是噪声信号，如式4.12：

Z(t)＝X(t)+N(t)

式中X(t)为设备故障振动信号，N(t)为加性高斯白噪声；加性噪声与信号的关系是叠加关系，不管振动信号存在与否，噪声信号都存在；噪声主要来源包括：人为噪声、自然噪声和设备内部产生的噪声；

对于此信号而言，谱峭度的计算公式为：

上式中K_Z(f)表示信号Z(t)的峭度值，K_X(f)表示信号X(t)的峭度值，其中：

ρ(f)为信号的噪信比，S_2N和S_2X分别表示振动信号和噪声信号的功率谱密度；功率谱密度的意义就是单位频率内的信号能量大小；

快速谱峭度算法采用塔式算法构建一系列带通滤波器组，计算了由f和Δf组成的平面内各频率段谱峭度数值，频率分辨率Δf，从而得到谱峭度值最大处的最优频率段；具体计算步骤如下：

(1)建立一个截止频率为1/8的低通滤波器h(n)，在h(n)的基础上建立准解析滤波器，其中准解析低通滤波器归一化分析频带为[0,1/4]，相应的，准解析高通滤波器归一化分析频带[1/4，1/2]，公式如下：

(2)对信号以h₀(n)、h₁(n)进行低通和高通滤波，对滤波后的结果进行2倍降采样，2倍降采样是为了使保证滤波器分解的每一层都与原始数据长度相同，以式4.16类推，对原信号进行k级分解；

信号经过第k层第i个滤波器之后的输出结果记为

i的取值范围是0到2^k-1；

看作是以f_i＝(i+2^-1)2^k-1为中心频率，以Δf_k＝2^k-1为带宽的信号复包络结果；为提升分解精度，避免[0,1/4]与[1/4,1/2]频带谱峭度相近，因此对每层进行以[0,1/6]、[1/6,1/3]、[1/3,1/2]的再次分解，得到三个信号，

(3)计算各输出信号

谱峭度；实际信号的谱峭度如式：

绘制快速谱峭度图；

(4)当K(f_i,Δf_k)达到最大值时获得对应的中心频率f_c、最优带宽B_w、以及包络结果c₀(n)：

[f_c,B_w,c₀(n)]＝argmax{K(f_i,Δf_k)}

argmax表示当K取最大值时所对应的自变量参数中心频率f_c、最优带宽B_w、以及包络结果c₀(n)。

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