CN111125613A - 一种提高Duffing混沌振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种提高Duffing混沌振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法，建立修改非线性恢复力项系数和阶数的Holmes‑Duffing方程，将其变换为任意频率的Holmes‑Duffing系统状态方程，求解最大Lyapunov指数，由最大Lyapunov指数的正负符号变化确定Duffing系统幅值反向减法算法的临界阈值，利用改进后的Holmes‑Duffing方程和幅值反向减法算法，对开环扫频获取的实际幅频特性曲线进行不同噪声方差下的微弱谐振信号检测。本发明在检测微弱谐振信号方面具有更强的抗噪声干扰的能力，且检测精度很高，相对误差较小，在实际应用中具有重大意义，因此具有良好的应用前景。
Description
技术领域
本发明属于信号处理领域，具体涉及一种通过修改Duffing方程中非线性恢复力项系数和阶数来提高检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法。
背景技术
谐振式微悬臂梁传感器广泛应用于安全监测、环境检测、食品安全等领域；通过检测悬臂梁谐振频率的变化，可以实现对待测物质的定量检测；谐振式微悬臂梁传感器通过外部信号激励的方式工作，输出信号非常微弱，需要在噪声环境中将微弱的信号提取出来。
目前，众多学者已在谐振式微悬臂梁传感器的微弱信号检测方面取得了不少进展。现有技术中的检测方式很大程度上依赖于放大器和滤波器，特别是对于振幅、频率和相位随激励信号变化的谐振式微悬臂梁传感器信号而言，性能很难进一步得到改善。基于Duffing混沌振子的谐振式微悬臂梁传感器微弱信号检测方法与上述方法不同，其利用Duffing混沌振子的初值灵敏度，对微弱信号敏感而对噪声免疫的特点从噪声背景中提取更加微弱的目标信号。为此，2014年史慧超等提出基于Duffing混沌振子检测系统来提取强噪声背景中微弱谐振信号，通过计算最大Lyapunov指数获得检测阈值，并准确监测检测系统的运动变化，通过调整检测阈值，检测谐振信号并获得谐振频率，对比了不同品质因素在不同信噪比水平下对检测系统的影响。2017年史慧超等又提出两种幅值检测算法来检测不同噪声水平下的微弱谐振信号，并对两种算法进行了比较分析，但是其中涉及的常用的Holmes-Duffing方程
在非线性恢复力项系数α和β均取1，且噪声方差增加到0.01时，无法检测出最大Lyapunov指数符号变化，从而无法提取谐振信号。
发明内容
针对现有技术中存在的问题，本发明提供了一种通过修改Duffing方程中非线性恢复力项系数和阶数来提高Duffing振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法。
本发明是通过以下技术方案实现上述技术目的的。
一种提高Duffing混沌振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法，建立改进后的Holmes-Duffing方程，并转化为任意频率的Holmes-Duffing系统的状态方程，求解状态方程获取Duffing系统的两个最大Lyapunov指数，由最大Lyapunov指数的正负符号变化确定Duffing系统幅值反向减法算法的临界阈值，利用改进后的Holmes-Duffing方程和幅值反向减法算法，检测添加不同的噪声方差后的目标谐振信号。
进一步，所述改进后的Holmes-Duffing方程为：
其中：0.5为阻尼比；-0.8x3+x7为非线性恢复力项，0.8和1为非线性恢复力项系数；rsin(ωt)为内置策动力，r和ω为内置策动力幅值、角频率，ω＝2πf，f为内置策动力频率；asin(ω0t+θ0)为待测谐振信号，a、ω0、θ0分别为待测信号的幅值、角频率、相位，ω0＝2πf0，f0为待测信号频率；n(t)为噪声信号。
进一步，所述任意频率的Holmes-Duffing系统的状态方程为：
进一步，所述幅值反向减法算法的临界阈值的确定方法为：当两个Lyapunov指数都小于零时，系统处于大尺度周期状态，当两个Lyapunov指数一个大于零、另一个小于零时，系统处于混沌状态，通过最大Lyapunov指数由负到正的变化，确定临界阈值。
进一步，所述两个最大Lyapunov指数为：
其中σ1和σ2即为Duffing系统的两个最大Lyapunov指数。
进一步，所述噪声方差添加在通过开环扫频获取的实际幅频特性曲线上。
与现有技术相比，本发明所述的一种提高Duffing混沌振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法有益效果是：
本发明首先建立了修改非线性恢复力项系数和阶数后的Holmes-Duffing方程，通过时间尺度变换将上述Holmes-Duffing方程转变为可检测任意频率的Holmes-Duffing系统的状态方程。其次，采用了RHR改进算法求解最大Lyapunov指数，并通过最大Lyapunov指数正负符号变化确定Duffing系统幅值反向减法算法的临界阈值。最后，利用改进后的Holmes-Duffing方程和幅值反向减法算法，对开环扫频获取的实际幅频特性曲线进行不同噪声方差下的微弱谐振信号检测。本发明降低了最低信噪比门限值，大大改善了Duffing系统的抗噪性能，从而提高了Duffing系统在强噪声环境下检测微弱信号的能力。
附图说明
图1为本发明一种提高Duffing混沌振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法流程图；
图2为本发明内置策动力幅值r＝0.6374V时，临界混沌状态的Lyapunov特性指数随时间演化曲线图；
图3为本发明内置策动力幅值r＝0.6375V时，大尺度周期状态的Lyapunov特性指数随时间演化曲线图；
图4为本发明实际开环扫频采集的幅频特性曲线图；
图5为本发明对实际幅频曲线添加噪声方差为0.01的曲线图；
图6为本发明对实际幅频特性曲线添加噪声方差为0.1的曲线图；
图7为本发明对实际幅频特性曲线添加噪声方差为0.3的曲线图；
图8为本发明对实际幅频特性曲线添加噪声方差0.01后的检测结果图；
图9为本发明对实际幅频特性曲线添加噪声方差0.1后的检测结果图；
图10为本发明对实际幅频特性曲线添加噪声方差0.3后的检测结果图。
具体实施方式
为了使本发明的技术手段、创作特征、工作流程、使用方法达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体实例，进一步阐述本发明。
如图1所示，一种提高Duffing混沌振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法，包括以下详细步骤：
步骤(1)，建立改进后的Holmes-Duffing方程：
Holmes-Duffing方程的通用表达式为：
式中：k为阻尼比；-αx3+βx5为非线性恢复力项，α和β为非线性恢复力项的系数；rsin(ωt)为内置策动力，r和ω为内置策动力的幅值、角频率，ω＝2πf，f为内置策动力的频率；asin(ω0t+θ0)为待测谐振信号，a、ω0、θ0分别为待测信号的幅值、角频率、相位，ω0＝2πf0，f0为待测信号频率；n(t)为噪声信号。
由于非线性恢复力项-αx3+βx5的改变对Duffing系统检测性能有影响，因此可通过改变非线性恢复力项的相关参数来确定抗噪声性能最佳的Holmes-Duffing方程。(1)式中k取0.5，α依次取0.6、0.7、08，β取1，x5改为x7，将(1)式转化成如下三种形式：
本实施例中的待测谐振信号频率f＝96880Hz，故ω＝ω0＝2πf＝193760πrad/s，再令θ0＝0，a＝0.0001V；因此，在不同的非线性恢复力下，测得上述三个方程的最低信噪比S/N门限值，如表1所示。
表1不同的非线性恢复力下，最低信噪比S/N门限值表
| 非线性恢复力 | -0.6x<sup>3</sup>+x<sup>7</sup> | -0.7x<sup>3</sup>+x<sup>7</sup> | -0.8x<sup>3</sup>+x<sup>7</sup> |
| 最低S/N门限值(dB) | -60.70 | -67.92 | -78.45 |
经过表1的数据对比发现，当α取0.8时，Duffing系统的最低S/N门限值最小，抗噪性能最佳。于是，确定改进后的Holmes-Duffing方程为：
步骤(2)，建立任意频率的Holmes-Duffing方程及其状态方程
为提高Duffing系统检测的普适性，实现对任意频率微弱信号的检测，对(2)式进行广义时间尺度变换，先设ω＝ω0＝1，再令t＝ωτ，则
同理得
代入(2)式，可得：
再将(3)式的τ换成t并改写成状态方程如下：
步骤(3)，RHR改进算法求解最大Lyapunov指数
Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率，它给出了一种定量分析的标准，从统计特性上反映系统的动力学特性，在混沌状态的判据中，起着非常重要的作用。本发明采用基于QR分解思想的RHR改进算法，此方法能够将正交矩阵Q写成特定的参数表达式，使得正交内置化，避免了复杂的重复正交过程，并通过简化方程组提高了计算效率。
首先，对于三维连续时间的非自治系统，即式(4)，将其转化为三维自治系统。令x1＝x，
x3＝ωt。则：
其中，初值为x1(0)＝0，x2(0)＝0，x3(0)＝0。设式(5)的线性变分方程为：
其中，X(t)∈R3×3，I3是单位矩阵，式(5)所对应的Jacobi矩阵为：
由于J(t)的第三行全为0，并且X(0)＝I3，故设式(6)的基本解矩阵为：
对X(t)进行QR分解有：
通过QR分解法计算最大Lyapunov指数可知：自治系统(式(5))的一个Lyapunov指数为0，故确定R11(t)和R22(t)以及考虑式(5)的二维子系统即可。设自治系统的二维子系统变分方程为：
其中，
I2是2×2的单位矩阵：
记
将式(9)变为：
其中，
将式(12)代入式(10)中，并左乘
右乘
可得：
根据RHR算法思想，正交矩阵
被改写成角度变量的形式，设角度变量为θ(t)，则正交矩阵
和对应的上三角矩阵为：
r12不参与Lyapunov指数计算，故不考虑其形式。将式(14)带入式(13)中，则：
将式(11)带入式(15)，化简得：
其中：
解方程组(16)得v1(t)和v2(t)，并代入(17)中，得：
进而有：
式中σ1和σ2即为Duffing系统所求的两个最大Lyapunov指数。
步骤(4)，确定幅值检测算法中反向减法算法的临界阈值
幅值检测算法为了获取待测谐振信号的谐振频率，本发明通过检测待测谐振信号的谐振峰值(谐振最大幅值)来判断谐振频率。为此，需要预先确定Duffing系统在不添加待测信号和噪声时的阈值rd，通过阈值点的两个最大Lyapunov指数的正负符号变化来检测待测谐振信号的谐振峰值。本发明采用定步长的四阶龙格-库塔算法对式(16)和(18)进行数值计算求解v1(t)和v2(t)，进而得到两条随时间演化的Lyapunov指数曲线
和
如图2、3所示，图2为Duffing系统的策动力幅值r＝rd＝0.6374V时的混沌状态的Lyapunov指数曲线图，图3为内置策动力幅值r＝rd+0.0001＝0.6375V时的大尺度周期状态的Lyapunov指数曲线图。
确定幅值检测算法中反向减法算法的临界阈值：当系统处于大尺度周期状态时，即两个Lyapunov指数都小于零，待测谐振信号引起系统状态从大尺度周期态变为混沌状态，此时两个Lyapunov指数一个大于零另一个小于零，则系统的内置策动力幅值变为临界阈值rdm＝r-am＝0.6374V，其中am为谐振时最大振幅，rdm为系统从大尺度周期态到混沌状态发生转变的临界阈值，此时最大Lyapunov指数从负变为正，目标谐振信号被检测到，谐振器处于谐振状态，激励信号的频率为谐振频率。
步骤(5)，开环扫频获取实际幅频特性曲线，并对其添加不同噪声方差
本发明以谐振式微悬臂梁传感器作为待测谐振器，通过开环扫频获取实际的幅频曲特性线作为待测信号模型进行Duffing系统的算法验证。根据实际扫频数据，如图4所示，得到了该曲线的最大幅值am＝0.8391V，对应的谐振频率fm＝96880Hz，扫频间隔为10Hz。于是按照幅值检测的反向减法算法可以得到(2)式中的内置策动力幅值r＝rdm+am＝1.4765V，令θ0＝0。对待测幅频特性曲线模型(图4)添加不同的噪声方差0.01、0.1和0.3，如图5、6、7所示，这些添加的噪声方差大于以往实验中的噪声方差。
步骤(6)，对添加不同噪声方差的幅频特性曲线进行信号检测并获得检测结果
本发明应用Matlab程序，通过(2)式的Duffing方程对待测模型进行信号检测。图5、6、7为添加更大噪声方差后的幅频特性曲线图，从图7中可以看出，曲线形状已经完全被噪声掩埋，无法识别。图8、9、10是对应图5、6、7的检测结果，随着噪声的增强，最大Lyapunov指数曲线波动越来越强烈，靠近谐振频率附近的曲线波动远比噪声较小时要大，但检测精度很高，相对误差在0.0052％以内；随着噪声的进一步增强，谐振频率附近的信号也被检测到，这里采用了对多测量值求取平均的方法来估算谐振频率，所得结果的相对误差很小，接近实际扫频获得的谐振频率。
本发明通过改变非线性恢复力的系数和阶数增强了Duffing振子检测强噪声下微弱谐振信号的能力，并通过RHR改进算法求解Lyapunov指数确定了幅值检测算法中反向减法算法的临界值，对实际扫频曲线模型添加不同噪声方差后，在Matlab程序下进行了算法验证，结果显示修改后的Duffing方程提高了在强噪声背景下检测微弱谐振信号的能力，说明本发明在微弱谐振信号的实际检测中有着很好的应用前景。
以上所述仅是对本发明较佳实施例而已，并非对本发明做任何形式上的限制，凡事依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何简单修改，等同变化与修饰，均属于本发明技术方案的范围内。
Claims (6)
1.一种提高Duffing混沌振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法，其特征在于：建立改进后的Holmes-Duffing方程，并转化为任意频率的Holmes-Duffing系统的状态方程，求解状态方程获取Duffing系统的两个最大Lyapunov指数，由最大Lyapunov指数的正负符号变化确定Duffing系统幅值反向减法算法的临界阈值，利用改进后的Holmes-Duffing方程和幅值反向减法算法，检测添加不同的噪声方差后的目标谐振信号。
2.根据权利要求1所述的提高Duffing混沌振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法，其特征在于：所述改进后的Holmes-Duffing方程为：
其中：0.5为阻尼比；-0.8x3+x7为非线性恢复力项，0.8和1为非线性恢复力项系数；rsin(ωt)为内置策动力，r和ω为内置策动力幅值、角频率，ω＝2πf，f为内置策动力频率；asin(ω0t+θ0)为待测谐振信号，a、ω0、θ0分别为待测信号的幅值、角频率、相位，ω0＝2πf0，f0为待测信号频率；n(t)为噪声信号。
3.根据权利要求1所述的提高Duffing混沌振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法，其特征在于：所述任意频率的Holmes-Duffing系统的状态方程为：
4.根据权利要求1所述的提高Duffing混沌振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法，其特征在于：所述幅值反向减法算法的临界阈值的确定方法为：当两个Lyapunov指数都小于零时，系统处于大尺度周期状态，当两个Lyapunov指数一个大于零、另一个小于零时，系统处于混沌状态，通过最大Lyapunov指数由负到正的变化，确定临界阈值。
5.根据权利要求1所述的提高Duffing混沌振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法，其特征在于：所述两个最大Lyapunov指数为：
其中σ1和σ2即为Duffing系统的两个最大Lyapunov指数。
6.根据权利要求1所述的提高Duffing混沌振子检测微弱谐振信号抗噪声能力的方法，其特征在于：所述噪声方差添加在通过开环扫频获取的实际幅频特性曲线上。
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