CN111007458A - 一种稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的辐射源直接定位方法 - Google Patents

一种稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的辐射源直接定位方法 Download PDF

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CN111007458A CN201811167021.7A CN201811167021A CN111007458A CN 111007458 A CN111007458 A CN 111007458A CN 201811167021 A CN201811167021 A CN 201811167021A CN 111007458 A CN111007458 A CN 111007458A
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Abstract

本发明涉及一种稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的辐射源直接定位方法，属于辐射源定位技术领域。所述辐射源直接定位方法包括：联合到达时差及到达角信息的接收数据稀疏建模；信号统计参量的后验更新；模型参数解算。该方法适用于各个基站严格同步接收的辐射源定位系统。本发明所提方法能够在无需已知目标个数，无需人工整定超参数的条件下获得优于现有方法的定位性能。

Description

一种稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的辐射源 直接定位方法
技术领域
本发明涉及一种稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的辐射源直接定位方法，属于辐射源定位技术领域。
背景技术
辐射源定位技术在雷达、声呐和无线通信领域都是一个重要的研究课题。由于传统的两步定位方法需要额外的数据配对步骤，一类直接利用阵列接收数据估计得到目标位置的方法逐渐受到重视。对现有的联合到达时差与到达角度信息的直接定位算法而言，其应用局限性在于需要预知目标个数。另外，现有方法并未充分利用接收数据中的有效信息，导致系统的定位能力未能被充分挖掘。
发明内容
本发明的目的在于改善现有技术的局限性，提供了一种稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的辐射源直接定位方法，该方法能在未知目标个数的情形下联合到达时差与到达角信息对辐射源进行定位，并获得较现有方法更好的定位性能。该方法适用于各个基站严格同步接收的辐射源定位系统。所采取的技术方案如下：
一种稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的辐射源直接定位方法，所述辐射源直接定位方法包括：
步骤一：将接收数据分为多个帧，每帧包含多个采样；对每帧数据做离散傅里叶变换后取出幅度最大频点的数据并列化获得并列化模型；在稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息，获得接收数据的稀疏模型；
步骤二：根据信号的高斯统计特性得到信号统计参量的后验更新；
步骤三：利用边缘概率密度积分获得最大似然意义下的参数估计代价函数；利用期望最大原理获取所述参数估计代价函数的上界函数，而后分别针对噪声功率、块内相关度参数和信道衰落参数对上界函数进行求导，对应获取使上界函数最小的噪声功率、块内相关度参数和信道衰落参数的更新表达式；依据Majorize-Minimization原理得所述参数估计代价函数的另一上界函数，而后针对块间稀疏性参数对该上界函数求导，获得使上界函数最小的块间稀疏性参数的更新表达式；
步骤四：重复步骤二与步骤三所述过程，直至参数估计代价函数最终收敛；根据信号后验均值参量的峰值位置确定辐射源的位置。
进一步地，步骤一所述接收数据的稀疏建模包括：
第一步：在平面内设置L个分立的基站，每个基站线性配置M个传感器和N个窄带辐射源，其中，M≥2，L≥3，1≤N≤ML-1；发射信号表示为：sn(t)(1≤n≤N)，n代表信号编号索引；辐射源位置坐标由位置矢量pn(1≤n≤N)确定；利用l代表基站编号索引，则第l个基站的接收数据表示为：
Figure BDA0001821372800000021
其中，
Figure BDA0001821372800000022
其中，wl,n为一未知复参量，代表从第n个辐射源到第l个基站的信道衰落；高斯分布的随机矢量nl(t)表示阵列噪声；al(pn)为阵列导向矢量，τl(pn)为信号的传播延迟，ψl(pn)为信号在两相邻传感器之间的相位延迟；
第二步：将接收数据分为TK帧，每帧J个采样，对每帧数据做离散傅里叶变换后取出K(2≤K≤J)个幅度最大频点的数据并列化获得并列化模型，所述并列化模型为：
Figure BDA0001821372800000023
其中，
Figure BDA0001821372800000025
Figure BDA0001821372800000026
Figure BDA0001821372800000027
Figure BDA0001821372800000028
Figure BDA0001821372800000029
Figure BDA00018213728000000210
Figure BDA00018213728000000211
wl＝[wl,1,wl,2,...,wl,N]
Figure BDA0001821372800000031
Figure BDA0001821372800000032
Figure BDA0001821372800000033
其中，加点符号代表频域数据，上标(·)t代表联合到达时差与到达角信息的模型参数；Φt代表总导向矩阵，
Figure BDA0001821372800000034
代表每个基站的导向矩阵，
Figure BDA0001821372800000035
代表每个基站忽略信道衰减后的导向矩阵；符号i代表数据帧索引，符号k代表频点索引；fk代表选取的第k个频点；
Figure BDA0001821372800000036
代表第l个基站接收到的第i帧数据做离散傅里叶变换后的取出的第k个频点的数据；
Figure BDA0001821372800000037
代表频域变换后的信号矢量，
Figure BDA0001821372800000038
代表第n个信号第i帧的第k个频点的幅值；
Figure BDA0001821372800000039
代表频域噪声，
Figure BDA00018213728000000310
为
Figure BDA00018213728000000311
按上述方式重组后的结果；Wl为每个基站的衰减因子矩阵，IN代表维度为N的单位阵，1K代表K个元素的全1矢量；
第三步：在稀疏贝叶斯框架下，对所述并列化模型进行调整，获得稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的接收数据模型如下：
Figure BDA00018213728000000312
Figure BDA00018213728000000313
Figure BDA00018213728000000314
Figure BDA00018213728000000315
Figure BDA00018213728000000316
Figure BDA00018213728000000317
Figure BDA00018213728000000318
Figure BDA00018213728000000319
Figure BDA00018213728000000320
Figure BDA00018213728000000321
其中，Q代表稀疏字典的原子个数；上划线代表稀疏框架下的模型参数；
Figure BDA0001821372800000041
代表具有块稀疏结构的全局字典，
Figure BDA0001821372800000042
代表每个基站的字典；
Figure BDA0001821372800000043
代表不考虑信道衰减的各站字典，其各块用
Figure BDA0001821372800000044
表示；
Figure BDA0001821372800000045
代表第l个基站对每个原子所代表的潜在位置的衰减因子；
Figure BDA0001821372800000046
代表信号
Figure BDA0001821372800000047
的概率密度函数；
Figure BDA0001821372800000048
代表均值为零向量，协方差矩阵为
Figure BDA0001821372800000049
的高斯分布，其中γq为表征块间稀疏性的参数，
Figure BDA00018213728000000410
为表征块内相关度的参数。
进一步地，步骤二所述信号统计参量的后验更新包括：
根据信号的高斯统计特性：
Figure BDA00018213728000000411
得到信号统计参量的后验更新表达式为：
Figure BDA00018213728000000412
Figure BDA00018213728000000413
其中，
Figure BDA00018213728000000414
其中，λ代表噪声功率；
Figure BDA00018213728000000415
代表信号的后验均值；
Figure BDA00018213728000000416
代表信号的后验协方差矩阵；
Figure BDA00018213728000000417
代表信号的先验协方差矩阵；IKQ代表KQ维单位阵；
进一步地，步骤三所述模型参数解算的具体过程包括：
第一步：利用边缘概率密度积分获得最大似然意义下的参数估计代价函数，所述参数估计代价函数为：
Figure BDA00018213728000000418
其中，T代表采样快拍数，未知参数集用
Figure BDA00018213728000000419
表示。
第二步：依据期望最大理论，确定所述参数估计代价函数的上界函数为：
Figure BDA00018213728000000420
其中，上标Θ(old)代表上一次更新的参数取值；
第三步：对所述上界函数关于
Figure BDA0001821372800000051
分别进行求导，获得使上界函数最小的
Figure BDA0001821372800000052
的更新表达式如下：
Figure BDA0001821372800000053
Figure BDA0001821372800000054
其中，
Figure BDA0001821372800000055
Figure BDA0001821372800000056
和
Figure BDA0001821372800000057
分别代表
Figure BDA0001821372800000058
和
Figure BDA0001821372800000059
的第q个按列分块，运算diagvec(·)表示矢量化某矩阵对角线元素的操作；
第四步：对所述上界函数关于
Figure BDA00018213728000000510
求导，获得使上界函数最小的
Figure BDA00018213728000000511
的更新表达式如下：
Figure BDA00018213728000000512
第五步：根据Majorize-Minimization原理构造所述参数估计代价函数的另一上界函数，并关于γ求导可得使该上界函数最小的γ第q个元素的更新表达式为：
Figure BDA00018213728000000513
其中，
Figure BDA00018213728000000514
代表
Figure BDA00018213728000000515
的上一次更新结果。
本发明有益效果：
本发明提出的一种稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的辐射源直接定位方法，该方法无需已知目标个数也无需人工整定超参数；相比于传统方法，本发明所提方法也无需数据关联。并且，本发明提出的辐射源直接定位方法相对于现有技术中的辐射源定位方法能够更充分地利用数据信息，从而获得更好的定位性能。
附图说明
图1为本发明所提方法流程图。
图2为辐射源定位系统示意图。
图3为定位性能仿真结果。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明做进一步说明，但本发明不受实施例的限制。
实施例1：
一种稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的辐射源直接定位方法，如图1所示，所述辐射源直接定位方法包括：
步骤一：将接收数据分为多个帧，每帧包含多个采样；对每帧数据做离散傅里叶变换后取出幅度最大频点的数据并列化获得并列化模型；在稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息，获得接收数据的稀疏模型；
步骤二：根据信号的高斯统计特性得到信号统计参量的后验更新；
步骤三：利用边缘概率密度积分获得最大似然意义下的参数估计代价函数；利用期望最大原理获取所述参数估计代价函数的上界函数，而后分别针对噪声功率、块内相关度参数和信道衰落参数对上界函数进行求导，对应获取使上界函数最小的噪声功率、块内相关度参数和信道衰落参数的更新表达式；依据Majorize-Minimization原理得所述参数估计代价函数的另一上界函数，而后针对块间稀疏性参数对该上界函数求导，获得使上界函数最小的块间稀疏性参数的更新表达式；
步骤四：重复步骤二与步骤三所述过程，直至参数估计代价函数最终收敛；根据信号后验均值参量的峰值位置确定辐射源的位置。
为方便表述与理解，现将如下所用符号统一说明：矩阵与矢量以粗斜体符号表示；上标(·)T、(·)H和(·)-1分别表示转置、共轭转置和取逆操作符；符号|·|、||·||、tr(·)、diag(·)、diagblk(·)和vec(·)分别表示取行列式、取2范数、取迹、对角化、块对角化和列化操作；符号
Figure BDA0001821372800000061
代表克罗内克积；
其中，步骤一所述接收数据的稀疏建模包括：
第一步：如图2所示，在平面内设置L个分立的基站，每个基站线性配置M个传感器和N个窄带辐射源，其中，M≥2，L≥3，1≤N≤ML-1；发射信号表示为：sn(t)(1≤n≤N)，n代表信号编号索引；辐射源位置坐标由位置矢量pn(1≤n≤N)确定；利用l代表基站编号索引，则第l个基站的接收数据表示为：
Figure BDA0001821372800000062
其中，
Figure BDA0001821372800000063
其中，wl,n为一未知复参量，代表从第n个辐射源到第l个基站的信道衰落；高斯分布的随机矢量nl(t)表示阵列噪声；al(pn)为阵列导向矢量，τl(pn)为信号的传播延迟，ψl(pn)为信号在两相邻传感器之间的相位延迟；
第二步：将接收数据分为TK帧，每帧J个采样，对每帧数据做离散傅里叶变换后取出K(2≤K≤J)个幅度最大频点的数据并列化获得并列化模型，所述并列化模型为：
Figure BDA0001821372800000071
其中，
Figure BDA0001821372800000072
Figure BDA0001821372800000073
Figure BDA0001821372800000074
Figure BDA0001821372800000075
Figure BDA0001821372800000076
Figure BDA0001821372800000077
Figure BDA0001821372800000078
Figure BDA0001821372800000079
wl＝[wl,1,wl,2,...,wl,N]
Figure BDA00018213728000000710
Figure BDA00018213728000000711
Figure BDA00018213728000000712
其中，加点符号代表频域数据，上标(·)t代表联合到达时差与到达角信息的模型参数；Φt代表总导向矩阵，
Figure BDA00018213728000000713
代表每个基站的导向矩阵，
Figure BDA00018213728000000714
代表每个基站忽略信道衰减后的导向矩阵；符号i代表数据帧索引，符号k代表频点索引；fk代表选取的第k个频点；
Figure BDA00018213728000000715
代表第l个基站接收到的第i帧数据做离散傅里叶变换后的取出的第k个频点的数据；
Figure BDA00018213728000000716
代表频域变换后的信号矢量，
Figure BDA0001821372800000081
代表第n个信号第i帧的第k个频点的幅值；
Figure BDA0001821372800000082
代表频域噪声，
Figure BDA0001821372800000083
为
Figure BDA0001821372800000084
按上述方式重组后的结果；Wl为每个基站的衰减因子矩阵，IN代表维度为N的单位阵，1K代表K个元素的全1矢量；
第三步：在稀疏贝叶斯框架下，对所述并列化模型进行调整，获得稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的接收数据模型如下：
Figure BDA0001821372800000085
Figure BDA0001821372800000086
Figure BDA0001821372800000087
Figure BDA0001821372800000088
Figure BDA0001821372800000089
Figure BDA00018213728000000810
Figure BDA00018213728000000811
Figure BDA00018213728000000812
Figure BDA00018213728000000813
Figure BDA00018213728000000814
其中，Q代表稀疏字典的原子个数；上划线代表稀疏框架下的模型参数；
Figure BDA00018213728000000815
代表具有块稀疏结构的全局字典，
Figure BDA00018213728000000816
代表每个基站的字典；
Figure BDA00018213728000000817
代表不考虑信道衰减的各站字典，其各块用
Figure BDA00018213728000000818
表示；
Figure BDA00018213728000000819
代表第l个基站对每个原子所代表的潜在位置的衰减因子；
Figure BDA00018213728000000820
代表信号
Figure BDA00018213728000000821
的概率密度函数；
Figure BDA00018213728000000822
代表均值为零向量，协方差矩阵为
Figure BDA00018213728000000823
的高斯分布，其中γq为表征块间稀疏性的参数，
Figure BDA00018213728000000824
为表征块内相关度的参数。
步骤二所述信号统计参量的后验更新包括：
根据信号的高斯统计特性：
Figure BDA00018213728000000825
得到信号统计参量的后验更新表达式为：
Figure BDA0001821372800000091
Figure BDA0001821372800000092
其中，
Figure BDA0001821372800000093
其中，λ代表噪声功率；
Figure BDA0001821372800000094
代表信号的后验均值；
Figure BDA0001821372800000095
代表信号的后验协方差矩阵；
Figure BDA0001821372800000096
代表信号的先验协方差矩阵；IKQ代表KQ维单位阵；
步骤三所述模型参数解算的具体过程包括：
第一步：利用边缘概率密度积分获得最大似然意义下的参数估计代价函数，所述参数估计代价函数为：
Figure BDA0001821372800000097
其中，T代表采样快拍数，未知参数集用
Figure BDA0001821372800000098
表示。
第二步：依据期望最大理论，确定所述参数估计代价函数的上界函数为：
Figure BDA0001821372800000099
其中，上标Θ(old)代表上一次更新的参数取值；
第三步：对所述上界函数关于
Figure BDA00018213728000000910
分别进行求导，获得使上界函数最小的
Figure BDA00018213728000000911
的更新表达式如下：
Figure BDA00018213728000000912
Figure BDA00018213728000000913
其中，
Figure BDA00018213728000000914
Figure BDA00018213728000000915
和
Figure BDA00018213728000000916
分别代表
Figure BDA00018213728000000917
和
Figure BDA00018213728000000918
的第q个按列分块，运算diagvec(·)表示矢量化某矩阵对角线元素的操作；
第四步：对所述上界函数关于
Figure BDA00018213728000000919
求导，获得使上界函数最小的
Figure BDA00018213728000000920
的更新表达式如下：
Figure BDA0001821372800000101
第五步：根据Majorize-Minimization原理构造所述参数估计代价函数的另一上界函数，并关于γ求导可得使该上界函数最小的γ第q个元素的更新表达式为：
Figure BDA0001821372800000102
其中，
Figure BDA0001821372800000103
代表
Figure BDA0001821372800000104
的上一次更新结果。
所提一种稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的辐射源直接定位方法综合利用了到达时差以及到达角信息，适用于各个基站严格同步接收的辐射源定位系统。
利用所提一种稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的辐射源直接定位方法得到的定位结果均方误差曲线如图3所示，其仿真条件如下：辐射源位置位于(0,-0.1)和(0,0.1)km处，基站位于(-3,-3)、(-3,3)、(3,-3)和(3,3)km处。阵元个数为8，阵元间距为半波长，接收信噪比为20dB；信号到各站的衰减因子分别设置为：w1＝[1.1,0.5]，w2＝[1.5,1.3]，w3＝[0.8,0.7]和w4＝[0.4,1.6]；入射信号由K个单频信号叠加而成，其频率在带宽范围内随机生成，信号带宽为1MHz；取30个观测快拍给出仿真，变化信噪比从0dB至25dB；根据仿真结果，本发明所提方法的定位均方误差优于现有的直接定位方法。
虽然本发明已以较佳的实施例公开如上，但其并非用以限定本发明，任何熟悉此技术的人，在不脱离本发明的精神和范围内，都可以做各种改动和修饰，因此本发明的保护范围应该以权利要求书所界定的为准。

Claims (4)

1.一种稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的辐射源直接定位方法，其特征在于，所述辐射源直接定位方法包括：
步骤一：将接收数据分为多个帧，每帧包含多个采样；对每帧数据做离散傅里叶变换后取出幅度最大频点的数据并列化获得并列化模型；在稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息，获得接收数据的稀疏模型；
步骤二：根据信号的高斯统计特性得到信号统计参量的后验更新；
步骤三：利用边缘概率密度积分获得最大似然意义下的参数估计代价函数；利用期望最大原理获取所述参数估计代价函数的上界函数，而后分别针对噪声功率、块内相关度参数和信道衰落参数对上界函数进行求导，对应获取使上界函数最小的噪声功率、块内相关度参数和信道衰落参数的更新表达式；依据Majorize-Minimization原理得所述参数估计代价函数的另一上界函数，而后针对块间稀疏性参数对该上界函数求导，获得使上界函数最小的块间稀疏性参数的更新表达式；
步骤四：重复步骤二与步骤三所述过程，直至参数估计代价函数最终收敛；根据信号后验均值参量的峰值位置确定辐射源的位置。
2.根据权利要求1所述辐射源直接定位方法，其特征在于，步骤一所述接收数据的稀疏建模包括：
第一步：在平面内设置L个分立的基站，每个基站线性配置M个传感器和N个窄带辐射源，其中，M≥2，L≥3，1≤N≤ML-1；发射信号表示为：sn(t)(1≤n≤N)，n代表信号编号索引；辐射源位置坐标由位置矢量pn(1≤n≤N)确定；利用l代表基站编号索引，则第l个基站的接收数据表示为：
Figure FDA0001821372790000011
其中，
Figure FDA0001821372790000012
其中，wl,n为一未知复参量，代表从第n个辐射源到第l个基站的信道衰落；高斯分布的随机矢量nl(t)表示阵列噪声；al(pn)为阵列导向矢量，τl(pn)为信号的传播延迟，ψl(pn)为信号在两相邻传感器之间的相位延迟；
第二步：将接收数据分为TK帧，每帧J个采样，对每帧数据做离散傅里叶变换后取出K(2≤K≤J)个幅度最大频点的数据并列化获得并列化模型，所述并列化模型为：
Figure FDA0001821372790000021
其中，
Figure FDA0001821372790000022
Figure FDA0001821372790000023
Figure FDA0001821372790000024
Figure FDA0001821372790000025
Figure FDA0001821372790000026
Figure FDA0001821372790000027
Figure FDA0001821372790000028
Figure FDA0001821372790000029
Figure FDA00018213727900000210
Figure FDA00018213727900000211
Figure FDA00018213727900000212
其中，加点符号代表频域数据，上标(·)t代表联合到达时差与到达角信息的模型参数；Φt代表总导向矩阵，
Figure FDA00018213727900000213
代表每个基站的导向矩阵，
Figure FDA00018213727900000214
代表每个基站忽略信道衰减后的导向矩阵；符号i代表数据帧索引，符号k代表频点索引；fk代表选取的第k个频点；
Figure FDA00018213727900000215
代表第l个基站接收到的第i帧数据做离散傅里叶变换后的取出的第k个频点的数据；
Figure FDA00018213727900000216
代表频域变换后的信号矢量，
Figure FDA00018213727900000217
代表第n个信号第i帧的第k个频点的幅值；
Figure FDA00018213727900000218
代表频域噪声，
Figure FDA00018213727900000219
为
Figure FDA00018213727900000220
按上述方式重组后的结果；Wl为每个基站的衰减因子矩阵，IN代表维度为N的单位阵，1K代表K个元素的全1矢量；
第三步：在稀疏贝叶斯框架下，对所述并列化模型进行调整，获得稀疏贝叶斯框架下联合到达时差及到达角信息的接收数据模型如下：
Figure FDA0001821372790000031
Figure FDA0001821372790000032
Figure FDA0001821372790000033
Figure FDA00018213727900000323
Figure FDA0001821372790000034
Figure FDA0001821372790000035
Figure FDA0001821372790000036
Figure FDA0001821372790000037
Figure FDA0001821372790000038
Figure FDA0001821372790000039
其中，Q代表稀疏字典的原子个数；上划线代表稀疏框架下的模型参数；
Figure FDA00018213727900000310
代表具有块稀疏结构的全局字典，
Figure FDA00018213727900000311
代表每个基站的字典；
Figure FDA00018213727900000312
代表不考虑信道衰减的各站字典，其各块用
Figure FDA00018213727900000313
表示；
Figure FDA00018213727900000314
代表第l个基站对每个原子所代表的潜在位置的衰减因子；
Figure FDA00018213727900000315
代表信号
Figure FDA00018213727900000316
的概率密度函数；
Figure FDA00018213727900000317
代表均值为零向量，协方差矩阵为
Figure FDA00018213727900000318
的高斯分布，其中γq为表征块间稀疏性的参数，
Figure FDA00018213727900000319
为表征块内相关度的参数。
3.根据权利要求1所述辐射源直接定位方法，其特征在于，步骤二所述信号统计参量的后验更新包括：
根据信号的高斯统计特性：
Figure FDA00018213727900000320
得到信号统计参量的后验更新表达式为：
Figure FDA00018213727900000321
Figure FDA00018213727900000322
其中，
Figure FDA0001821372790000041
其中，λ代表噪声功率；
Figure FDA0001821372790000042
代表信号的后验均值；
Figure FDA0001821372790000043
代表信号的后验协方差矩阵；
Figure FDA0001821372790000044
代表信号的先验协方差矩阵；IKQ代表KQ维单位阵。
4.根据权利要求1所述辐射源直接定位方法，其特征在于，步骤三所述模型参数解算的具体过程包括：
第一步：利用边缘概率密度积分获得最大似然意义下的参数估计代价函数，所述参数估计代价函数为：
Figure FDA0001821372790000045
其中，T代表采样快拍数，未知参数集用
Figure FDA0001821372790000046
表示。
第二步：依据期望最大理论，确定所述参数估计代价函数的上界函数为：
Figure FDA0001821372790000047
其中，上标Θ(old)代表上一次更新的参数取值；
第三步：对所述上界函数关于λ,
Figure FDA0001821372790000048
分别进行求导，获得使上界函数最小的λ,
Figure FDA0001821372790000049
的更新表达式如下：
Figure FDA00018213727900000410
Figure FDA00018213727900000411
其中，
Figure FDA00018213727900000412
Figure FDA00018213727900000413
和
Figure FDA00018213727900000414
分别代表
Figure FDA00018213727900000415
和
Figure FDA00018213727900000416
的第q个按列分块，运算diagvec(·)表示矢量化某矩阵对角线元素的操作；
第四步：对所述上界函数关于
Figure FDA00018213727900000417
求导，获得使上界函数最小的
Figure FDA00018213727900000418
的更新表达式如下：
Figure FDA00018213727900000419
第五步：根据Majorize-Minimization原理构造所述参数估计代价函数的另一上界函数，并关于γ求导可得使该上界函数最小的γ第q个元素的更新表达式为：
Figure FDA0001821372790000051
其中，
Figure FDA0001821372790000052
代表
Figure FDA0001821372790000053
的上一次更新结果。
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