CN110827299A - 一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于哈里斯鹰优化算法图像分割方法，包括：步骤1：获取待分割图像的灰度值范围；步骤2：根据所述图像的灰度值范围利用哈里斯鹰优化算法得到待分割图像的最佳阈值；步骤3：根据所述图像分割的最佳阈值，对待分割图像进行分割。本发明是一种新的基于哈里斯鹰与S^δ熵的图像分割方法，相比于其他经典优化算法解决多阈值图像分割的问题，具有分割图像质量更高和分割结果更为稳定的优点。

Description

一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法

技术领域

本发明属于图像处理领域，具体涉及一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法。

背景技术

在日常生活中，人们往往对图像中的某些部分感兴趣，这些感兴趣的部分一般对应图像中特定的、具有独特性质的区域。而图像分割的目的就是将图像分割成各具特性的区域并提取出感兴趣目标的过程。

阈值分割法因实现简单、运算效率高而成为一种有效的图像分割方法，其中阈值的确定是阈值法图像分割的关键。

近年来，出现了很多新的群体智能优化算法，许多算法已经成功地应用到了多阈值分割中，例如，鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm，WOA)，灰狼优化算法(grey wolf optimization，GWO)等，传统的OTSU(最大类间方差)、Shannon熵和Tsallis熵阈值法，因其算法简单、稳定，被广泛应用于把图像分割成目标和背景区域的图像分割处理中。在实际应用中，由于图像往往包含多类目标，只进行单阈值的图像分割，已不能满足需求，需要进行多阈值分割。传统的阈值分割法能够容易的推广到多阈值分割的情况，但是时间复杂度大，算法执行时间过长，无法满足图像分割对实时性的要求。因此需要一种高效快捷、稳定且寻优精度高的求解多阈值图像分割问题的方法。

发明内容

针对现有技术存在的不足和缺陷，本发明提供了一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法。本发明不仅高效快捷，而且具有较强的稳定性和较高的寻优精度。

为达到上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法，包括以下步骤：

步骤1：输入待分割图像，设定哈里斯鹰优化算法的种群规模以及迭代终止条件；

步骤2：求出输入图像中具有相同灰度级数的像素所占总像素数的概率，以S_δ熵作为目标函数评估阈值，使用哈里斯鹰优化算法对S_δ熵目标函数进行寻优，得到用于图像分割的最佳阈值；

步骤3：根据得到的最佳阈值，对待分割图像进行分割。

进一步地，步骤2的具体处理步骤如下：

步骤2.1：根据阈值数量的不同，初始化哈里斯鹰种群数N、阈值的数量dim、解的上下限ub,lb，由这些参数得到随机鹰群Xi，i＝1,2,...,N；

步骤2.2：将第一代鹰群作为当前鹰群，并设置当前迭代次数为1；

步骤2.3：判断所有鹰的位置是否超过了搜索空间；

步骤2.4：根据每个哈里斯鹰的位置计算其对应的适应度值；

步骤2.5：每一次迭代中产生的具有最优适应度值的个体设置为猎物；

步骤2.6：确定猎物的初始能量E₀；

步骤2.7：构建一个代表猎物逃脱能量的线性递减的函数E₁，即产生一个变化范围逐渐减小的随机序列；

步骤2.8：若|E₁|≥1，进行全局探索，鹰群中的鹰会根据猎物的位置或者其他鹰的位置来随机选择夜晚栖息的地点，也就是各个解的位置更新过程；若|E₁|<1，进行局部开发，用一个(0,1)内的随机数r代表猎物是否离开危险区域的概率，不管猎物是否离开危险区域，哈里斯鹰根据猎物的体力进行柔和或强硬的围捕；

步骤2.9：根据步骤2.8选择不同的位置更新策略来更新哈里斯鹰种群的位置，更新当前迭代次数，并判断当前迭代次数是否达到预设的最大迭代次数，若否，则返回步骤2.3，若是，则返回最优适应度值所对应的阈值即为最佳分割阈值。

进一步地，步骤2.1中在可能的解的范围中随机产生一个鹰群，也就是一组随机解：

上式中，U是解的集合，其中，n是解的个数，d是解的维数。

进一步地，步骤2.3判断鹰的位置是否超过了搜索空间，即判断解的位置是否超过了解的范围，若超出则将鹰的位置在解空间内重新初始化。

进一步地，步骤2.4中计算适应度值时采用一种新的S_δ熵对阈值进行评估，其公式如下：

上式中，T₁，T₂，...T_m，是m个最优的阈值，其中S_δ熵中参数δ取4.5；

其中，m代表阈值个数，L是灰度级数的最大值，p₁，p₂，...，p_m+1为m个阈值分割后的m+1个部分的概率。

进一步地，步骤2.6中初始能量E₀和跳跃强度J采用如下公式计算：

E₀＝2rand()-1

J＝2(1-rand())

上式中，rand()为(0，1)间的随机数。

进一步地，步骤2.7中产生的随机序列，公式如下：

其中，E₁代表的猎物所具有的逃脱能量，E₀是(-1,1)间的随机数，t是当前迭代次数，T是最大迭代次数。

进一步地，步骤2.8所述的全局探索：若鹰群栖息策略的选择概率q≥0.5，哈里斯鹰的栖息位置为群内随机地点的策略；若鹰群栖息策略的选择概率q＜0.5，哈里斯鹰的栖息位置采取以其他家庭成员为基础的策略；

则步骤2.8中位置更新公式如下：

其中，X(t+1)是下一次迭代鹰的位置向量，X_rabbit(t)是猎物的位置，X(t)是鹰当前的位置，r₁,r₂,r₃,r₄是(0,1)内的随机数，lb和ub是解变量的下限和上限，X_rand(t)是当前鹰群中任意一只鹰的位置，X_m(t)是鹰群中所有鹰的平均位置。

进一步地，步骤2.9所述的局部开发，这里鹰群根据猎物的位置和所具有的能量不同选取不同的围捕方式，具体步骤如下：

步骤2.9.1：若r≥0.5，猎物位于危险区域内，哈里斯鹰会采取突然袭击的方式捕获猎物，而此时猎物本身所具有的能量E₁决定了哈里斯鹰具体采用何种位置更新的方式；若|E₁|≥0.5，猎物仍然具有足够的能量使它逃脱围捕，鹰群此时采取软围困的方式更新位置耗尽猎物的能量；若|E₁|<0.5，猎物的能量消耗殆尽，鹰群采取硬围困的方式更新位置；

步骤2.9.2：若r＜0.5，猎物不在危险区域，鹰群会快速的重复俯冲来矫正自己的位置和方向，并且评估是否获得更优的适应度值，若适应度值更优，则更新鹰的位置，若没能获得更优值则采用基于levy飞行模式的快速俯冲方式再次俯冲以更新位置，并判断第二次俯冲后的位置是否更优；同样如2.9.1，若|E|≥0.5，鹰群采取软围困方式更新位置，并且评估是否获得更优的适应度值，若没有则基于levy飞行模式再次更新位置并比较是否获得更优的适应度值；若|E|＜0.5，鹰群采取硬围困方式更新位置，并且评估是否获得更优的适应度值，同样若没有获得更优值则基于levy飞行模式再次更新位置并比较是否获得更优的适应度值。

进一步地，步骤2.9.1中软围困的位置更新公式如下：

X(t+1)＝X_rabbit(t)-X(t)-E·|J·X_rabbit(t)-X(t)|

其中，J＝2(1-r₅)代表猎物随机的跳跃强度，r₅为(0，1)内的随机数；

步骤2.9.1中硬围困的位置更新公式如下：

X(t+1)＝X_rabbit(t)-E·|X_rabbit(t)-X(t)|

步骤2.9.2中levy飞行函数表达式如下：

其中，Γ(x)是Gamma函数，u，v是(0,1)内的随机数，β是一个默认常量，设置为1.5；

步骤2.9.2中位置进行两次更新并取其中适应度最优的一个作为位置的更新，若两次更新都没有使适应度更优，则原来的位置保持不变：

Y＝X_rabbit(t)-E·|J·X_rabbit(t)-X(t)|

Z＝Y+S×LF(D)

上式中，X_rabbit(t)是猎物的位置，J是猎物的随机跳跃强度，D是问题的维度，S是D维的一个随机向量，LF是levy飞行函数；

所述步骤2.9.2中硬围困的两次位置更新判决公式如下：

Y＝X_rabbit(t)-E·|J·X_rabbit(t)-X_m(t)|

Z＝Y+S×LF(D)

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

1.本发明使用S_δ熵作为目标函数分割图像提升了分割后图像的质量，由最终的实验结果来看，使用S_δ熵作为目标函数分割的图像的峰值信噪比(PSNR)和结构相似度(SSIM)更高，多次运行的结果也表明了其作为目标函数的稳定性和可靠性。

2.本发明使用哈里斯鹰鹰优化算法优化寻找阈值的过程，相较于传统的优化算法哈里斯鹰优化算法的收敛速度和稳定性都有相应提升。由收敛图可知HHO的收敛速度快，最终得到的目标函数值更高，多次运行的标准差也更低即稳定性更高。

附图说明

图1是基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法的流程简图；

图2是基于Sδ熵哈里斯鹰优化算法的图像分割方法具体实施流程图；

图3是待分割图片145014和109053两阈值五种优化算法的收敛图；其中(a)是编号145014图片的阈值寻优收敛图，(b)是编号109053图片的阈值寻优收敛图；

图4是待分割图片145014和109053两阈值五种优化算法的分割结果对比图；

图5是待分割图片109053；

图6是图片109053对应的灰度直方图；

图7是109053的两阈值分割示例。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明做详细描述：

如图1和图2所示，本实施例基于哈里斯鹰优化算法(HHO)和S_δ熵的多阈值图像分割方法，是一种新的图像多阈值评价函数之一。新的优化算法往往参数较少而且开始出现多结构的特点，即算法在迭代的不同阶段分别完成全局探索和局部开发的任务，并且通过建立合理的切换机制，这使得新算法寻优的过程更加高效合理。S_δ熵是按图像的灰度特性，将图像分成背景和若干目标几部分，当几部分熵的和最大时，对应的T即为最优阈值。

其具体实施步骤如下：

步骤1：输入待分割图像，如图5。初始化哈里斯鹰优化算法与S_δ熵的各项参数：种群规模N，最大迭代次数Max_Iter，δ取4.5；

步骤2：依据哈里斯鹰优化算法和S_δ熵得到图像分割的最佳阈值，其步骤如下：

步骤2.1:根据所述图像的灰度值范围(图6为其对应的灰度直方图)，初始化种群个数N＝50，以两阈值分割为例，维度dim＝2，解的上限ub＝255，下限lb＝1；

步骤2.2：将第一代鹰群作为当前鹰群，并设置当前迭代次数为1，最大迭代次数为50；

步骤2.3：判断所述的所有鹰的位置是否超过了搜索空间；

步骤2.4：根据每个哈里斯鹰的位置计算其对应的适应度函数值ThetaFit；

步骤2.5：比较每个个体的适应度值，具有最大适应度值的个体作为猎物，每次循环更新猎物的位置，初代具有最优适应度值的个体为(75，178)，适应度值为10.46；

步骤2.6：初始能量E₀和跳跃强度J；

步骤2.7：构建一个代表猎物(猎物)逃脱能量的线性递减的函数E₁，即产生一个变化范围逐渐减小的随机序列，则

步骤2.8：若|E₁|＞1，进行全局探索，鹰群中的鹰会根据猎物的位置或者其他鹰的位置来随机选择夜晚栖息的地点，也就是各个解的位置更新过程，选择策略具体步骤如下：

步骤2.8.1：若鹰群栖息策略的选择概率q≥0.5，哈里斯鹰的栖息位置为群内随机地点的策略；

步骤2.8.2：若鹰群栖息策略的选择概率q＜0.5，哈里斯鹰的栖息位置采取以其他家庭成员为基础的策略；

步骤2.9：若|E₁|＜1，进行局部开发，用一个(0，1)内的随机数r代表猎物是否离开危险区域的概率，不管猎物是否离开危险区域，哈里斯鹰都会根据猎物的体力进行柔和或强硬的围捕；具体步骤如下：

步骤2.9.1：若r≥0.5，猎物位于危险区域内，哈里斯鹰会采取突然袭击的方式捕获猎物；

步骤2.9.1.1:若|E₁|≥0.5，鹰群采取软围困的方式更新位置；

X(t+1)＝X_rabbit(t)-X(t)-E·|J·X_rabbit(t)-X(t)|

步骤2.9.1.2:若|E₁|＜0.5，鹰群采取硬围困的方式更新位置；

X(t+1)＝X_rabbit(t)-E·|X_rabbit(t)-X(t)|

步骤2.9.2：若r＜0.5，猎物不在危险区域，鹰群会快速的重复俯冲来矫正它们自己的位置和方向，并且评估是否获得更优的适应度值，若适应度值更优，则更新鹰的位置，若没能获得更优值则采用基于levy飞行模式的快速俯冲方式再次俯冲以更新位置，并判断第二次俯冲后的位置是否更优；

步骤2.9.2.1：若|E₁|≥0.5，猎物具有欺骗性动作，鹰群采取软围困方式更新位置得到X1，并且评估是否获得更优的适应度值，若适应度值更优，则更新鹰的位置，若没能获得更优值则采用基于levy飞行模式的快速俯冲方式再次俯冲以更新位置，并判断第二次俯冲后的位置是否更优；

Y＝X_rabbit(t)-E·|J·X_rabbit(t)-X(t)|

Z＝Y+S×LF(D)

步骤2.9.2.2：若|E₁|＜0.5，猎物具有欺骗性动作，鹰群采取硬围困方式更新位置得到X2，并且评估是否获得更优的适应度值，若适应度值更优，则更新鹰的位置，若没能获得更优值则采用基于levy飞行模式的快速俯冲方式再次俯冲以更新位置，并判断第二次俯冲后的位置是否更优；

Y＝X_rabbit(t)-E·|J·X_rabbit(t)-X_m(t)|

Z＝Y+S×LF(D)

步骤2.10：将当前哈里斯鹰种群作为新一代的哈里斯鹰种群，第一次迭代完成后，群体内的所有个体位置都获得了更新。最优个体的位置变为(100，174)，适应度值为10.4619。更新当前迭代次数，并判断当前迭代次数是否达到预设的最大迭代次数，若否，则返回步骤2.3；

步骤2.11：若是，输出具有最优适应度值所对应的阈值即为最佳分割阈值。最终输出的最优个体为(115，184)，最优的适应度值为10.7477；

需要进一步解释的是本发明中提到的鹰群实际上代表一组解，这是一种仿生学算法，根据鹰追捕猎物的行为建立数学模型对目标函数寻优，不断迭代进而得到最优解，也就是一组用来分割图像的阈值。

步骤3：根据所述图像分割的最佳阈值115，184，对待分割图像进行分割，分割后效果图如图7。

本发明提出的基于哈里斯鹰优化算法与S_δ熵图像分割方法，在图像分割精度和连续运行的稳定性与现有方法相比具有明显优越性。

实验首先验证S_δ熵作为目标函时对分割后图像质量的提升，使用三个常用于图像阈值分割的目标函数进行对比，分别为Ostu最大类间方差，Shannon熵和Tsallis熵，其中Tsallis熵中参数q取4，S_δ熵中参数δ取4.5，这里采用峰值信噪比(PSNR)和结构相似度(SSIM)来评估各方法分割后的结果，PSNR是客观衡量分割之后结果与原图相似度的值，它的值越高则分割后的结果与原图越接近。而SSIM值则更能直观体现人眼视觉上的差异，其值越高则分割后图片的结构和对比度与原图越相似。由表1可以看出，S_δ熵作为目标函数分割得到的结果在不同阈值条件下都得到了质量较高的分割结果(其中粗体代表相同条件下不同目标函数得到的最优值)。这说明了在多阈值分割时，S_δ熵作为目标函数来获得的阈值更为合理和精确。

表1 2阈值时四种目标函数分割结果

其次，为了研究这种新式优化算法在多阈值分割领域的性能，这里将其对比哈里斯鹰优化算法(HHO)和其他四种优化算法的性能包括粒子群算法(PSO)，鲸鱼优化算法(WOA)，灰狼优化算法(GWO)和多元宇宙优化算法(MVO)。每种优化算法运行50次，2阈值和3阈值时最大迭代次数为50，4阈值和5阈值时最大迭代次数为50。表1比较了这五种优化算法50次寻优结果的平均值和标准差(其中粗体代表相同条件下不同算法所能找到的最优值)。

表2各优化算法结果的平均值与标准差

首先，从表2中可以看出，哈里斯鹰优化算法(HHO)在条件相同的条件下，多次寻优的平均值更高，即它所得到的寻优值更接近真实值，在16种不同条件的寻优下，HHO算法有13次的表现都是最好的，而其他几个算法最多也只有6次，其次，HHO所得结果标准差范围为(2.94e-11，2.39e+01)，而其他算法中表现最好的算法的标准差范围为(2.94e-11，4.18e+01)，因此HHO算法的稳定性更高。尽管并非所有条件下它的表现都为最好，但其在大多数条件下都表现出了较强的寻优性能。

图3则以图像109053和145014为例分别给出了二阈值条件下各个算法的收敛图。这里每个算法的收敛曲线是由50次运行得到的数据取平均画出的，所以其更能代表算法的综合寻优效果。曲线越靠近左上角算法的收敛性越好。从图3两幅收敛子图中能够看出，HHO算法和WOA算法的收敛性都比较好，这两种算法基本都在第20次迭代前就能够收敛甚至更快，而其他算法则要50次之后才能收敛。结合表2的最终寻优结果来看，虽然WOA的表现也很好但最终得到的结果均值即寻优的精度要低于HHO。这是由于HHO算法具有更为复杂的位置更新策略以应对更多可能出现的情况.故而算法的收敛性WOA>HHO>GWO>MVO>PSO，而算法的寻优精度和稳定性上HHO>WOA>PSO>MVO>GWO。

Claims (10)

1.一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：输入待分割图像，设定哈里斯鹰优化算法的种群规模以及迭代终止条件；

步骤2：求出输入图像中具有相同灰度级数的像素所占总像素数的概率，以S_δ熵作为目标函数评估阈值，使用哈里斯鹰优化算法对S_δ熵目标函数进行寻优，得到用于图像分割的最佳阈值；

步骤3：根据得到的最佳阈值，对待分割图像进行分割。

2.根据权利要求1所述的一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法，其特征在于，步骤2的具体处理步骤如下：

步骤2.1：根据阈值数量的不同，初始化哈里斯鹰种群数N、阈值的数量dim、解的上下限ub,lb，由这些参数得到随机鹰群Xi，i＝1,2,...,N；

步骤2.2：将第一代鹰群作为当前鹰群，并设置当前迭代次数为1；

步骤2.3：判断所有鹰的位置是否超过了搜索空间；

步骤2.4：根据每个哈里斯鹰的位置计算其对应的适应度值；

步骤2.5：每一次迭代中产生的具有最优适应度值的个体设置为猎物；

步骤2.6：确定猎物的初始能量E₀；

步骤2.7：构建一个代表猎物逃脱能量的线性递减的函数E₁，即产生一个变化范围逐渐减小的随机序列；

步骤2.8：若|E₁|≥1，进行全局探索，鹰群中的鹰会根据猎物的位置或者其他鹰的位置来随机选择夜晚栖息的地点，也就是各个解的位置更新过程；若|E₁|<1，进行局部开发，用一个(0,1)内的随机数r代表猎物是否离开危险区域的概率，不管猎物是否离开危险区域，哈里斯鹰根据猎物的体力进行柔和或强硬的围捕；

步骤2.9：根据步骤2.8选择不同的位置更新策略来更新哈里斯鹰种群的位置，更新当前迭代次数，并判断当前迭代次数是否达到预设的最大迭代次数，若否，则返回步骤2.3，若是，则返回最优适应度值所对应的阈值即为最佳分割阈值。

3.根据权利要求2所述的一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法，其特征在于，步骤2.1中在可能的解的范围中随机产生一个鹰群，也就是一组随机解：

上式中，U是解的集合，其中，n是解的个数，d是解的维数。

4.根据权利要求2所述的一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法，其特征在于，步骤2.3判断鹰的位置是否超过了搜索空间，即判断解的位置是否超过了解的范围，若超出则将鹰的位置在解空间内重新初始化。

5.根据权利要求2所述的一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法，其特征在于，步骤2.4中计算适应度值时采用一种新的S_δ熵对阈值进行评估，其公式如下：

上式中，T₁，T₂，...T_m，是m个最优的阈值，其中S_δ熵中参数δ取4.5；

其中，m代表阈值个数，L是灰度级数的最大值，p₁，p₂，...，p_m+1为m个阈值分割后的m+1个部分的概率。

6.根据权利要求2所述的一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法，其特征在于，步骤2.6中初始能量E₀和跳跃强度J采用如下公式计算：

E₀＝2rand()-1

J＝2(1-rand())

上式中，rand()为(0，1)间的随机数。

7.根据权利要求2所述的一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法，其特征在于，步骤2.7中产生的随机序列，公式如下：

其中，E₁代表的猎物所具有的逃脱能量，E₀是(-1,1)间的随机数，t是当前迭代次数，T是最大迭代次数。

8.根据权利要求2所述的一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法，其特征在于，步骤2.8所述的全局探索：若鹰群栖息策略的选择概率q≥0.5，哈里斯鹰的栖息位置为群内随机地点的策略；若鹰群栖息策略的选择概率q＜0.5，哈里斯鹰的栖息位置采取以其他家庭成员为基础的策略；

则步骤2.8中位置更新公式如下：

其中，X(t+1)是下一次迭代鹰的位置向量，X_rabbit(t)是猎物的位置，X(t)是鹰当前的位置，r₁,r₂,r₃,r₄是(0,1)内的随机数，lb和ub是解变量的下限和上限，X_rand(t)是当前鹰群中任意一只鹰的位置，X_m(t)是鹰群中所有鹰的平均位置。

9.根据权利要求2所述的一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法，其特征在于，步骤2.9所述的局部开发，这里鹰群根据猎物的位置和所具有的能量不同选取不同的围捕方式，具体步骤如下：

步骤2.9.1：若r≥0.5，猎物位于危险区域内，哈里斯鹰会采取突然袭击的方式捕获猎物，而此时猎物本身所具有的能量E₁决定了哈里斯鹰具体采用何种位置更新的方式；若|E₁|≥0.5，猎物仍然具有足够的能量使它逃脱围捕，鹰群此时采取软围困的方式更新位置耗尽猎物的能量；若|E₁|<0.5，猎物的能量消耗殆尽，鹰群采取硬围困的方式更新位置；

步骤2.9.2：若r＜0.5，猎物不在危险区域，鹰群会快速的重复俯冲来矫正自己的位置和方向，并且评估是否获得更优的适应度值，若适应度值更优，则更新鹰的位置，若没能获得更优值则采用基于levy飞行模式的快速俯冲方式再次俯冲以更新位置，并判断第二次俯冲后的位置是否更优；同样如2.9.1，若|E|≥0.5，鹰群采取软围困方式更新位置，并且评估是否获得更优的适应度值，若没有则基于levy飞行模式再次更新位置并比较是否获得更优的适应度值；若|E|＜0.5，鹰群采取硬围困方式更新位置，并且评估是否获得更优的适应度值，同样若没有获得更优值则基于levy飞行模式再次更新位置并比较是否获得更优的适应度值。

10.根据权利要求9所述的一种基于哈里斯鹰优化算法的图像分割方法，其特征在于，步骤2.9.1中软围困的位置更新公式如下：

X(t+1)＝X_rabbit(t)-X(t)-E·|J·X_rabbit(t)-X(t)|

其中，J＝2(1-r₅)代表猎物随机的跳跃强度，r₅为(0，1)内的随机数；

步骤2.9.1中硬围困的位置更新公式如下：

X(t+1)＝X_rabbit(t)-E·|X_rabbit(t)-X(t)|

步骤2.9.2中levy飞行函数表达式如下：

其中，Γ(x)是Gamma函数，u，v是(0,1)内的随机数，β是一个默认常量，设置为1.5；

步骤2.9.2中位置进行两次更新并取其中适应度最优的一个作为位置的更新，若两次更新都没有使适应度更优，则原来的位置保持不变：

Y＝X_rabbit(t)-E·|J·X_rabbit(t)-X(t)|

Z＝Y+S×LF(D)

上式中，X_rabbit(t)是猎物的位置，J是猎物的随机跳跃强度，D是问题的维度，S是D维的一个随机向量，LF是levy飞行函数；

所述步骤2.9.2中硬围困的两次位置更新判决公式如下：

Y＝X_rabbit(t)-E·|J·X_rabbit(t)-X_m(t)|

Z＝Y+S×LF(D)

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