CN110796625B - 一种基于组稀疏表示和加权全变分的图像压缩感知重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于组稀疏表示和加权全变分算法，属于信号处理技术领域，以稀疏表示为基础，开发一种利用信号的稀疏性、非局部相似性、平滑性三种先验信息；利用平滑性先验信息来抑制噪声的影响，并针对传统的全变分对边缘的信息保护不足，将图像分为高低频，并利用差分曲率算子计算权重，只对高频加权，来提高算法的鲁棒性；为了保护低频信息，并提出一个硬阈值‑模平方算子，来更好的求解组稀疏表示的系数。算法以最小压缩感知重建误差为约束构建模型，为了有效求解提出的联合正则化优化问题，利用分裂Bregman迭代方法求解，实验证明本发明提出的重构算法保护了图像的细节信息，重构效果优于目前主流的重构算法。

Description

一种基于组稀疏表示和加权全变分的图像压缩感知重构方法

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，涉及一种基于组稀疏表示和加权全变分的图像压缩感知重构方法。

背景技术

近年来一种新的信号处理的方式-压缩感知(Compressd Sensing,CS)被引起广泛的关注，压缩感知可以突破香农-奈奎斯特采样定理的约束，以远小于二倍奈奎斯特带宽进行采样，并同时实现信号的采样与压缩进行，通过进行降维采样得到观测值，并利用算法来精确的重构原始信号；由于同时实现了信号的采样和压缩，压缩感知具有采样速率低、采集效率高等优点，已在医疗成像、无线通信、雷达探测等领域得到高度的关注及应用。CS由稀疏表示、线性观测、图像重构三部分组成，其中信号的精确重构是CS理论研究的核心,而CS的前提是信号需要近似满足稀疏性，这是CS的先验条件，因此，信号的稀疏先验信息对信号的重构有重要意义。所以，对于具有丰富图像信号，如何充分的利用其先验信息来构造有效的约束条件成为图像重构的关键。目前，被广泛应用的图像先验知识来重构正则化方法大致分为3类：基于稀疏表示模型、基于非局部相似模型、基于局部平滑模型。

首先基于稀疏表示算法类的思想是选择一个合适的基函数来对图像进行稀疏表示，基函数的集合就是字典；传统的解析设计的字典都是在固定变换域上，如DCT，但是图像作为复杂的二维信号，包含平滑、纹理和边缘等不同的结构的信息，单一的基函数缺乏自适应性，很难同时对图像的多种结构特征进行自适应的最优稀疏表示。针对这个问题，可以利用过完备字典来表示图像信号，该方法主要通过找到一个优化字典来最大化信号的稀疏性，但是为了获得有效表示图像各类结构特征的冗余字典，需要求解一个具有非常高计算复杂度的大规模优化问题。其次基于局部平滑模型类算法是利用图像具有平滑特性并且不同区域像素密度不同这一特点。

其次是全变分(Total Variation,TV)模型，经典的全变分模型是对所有梯度给予相同的惩罚，这个不利于保护边缘信息。针对这个问题，Candes等人提出一种自适应加权策略，即对梯度大的设置小的惩罚，对梯度小的像素点设置较大的惩罚，很明显这种方法可以更好的保护图像的边缘信息。但是传统的加权全变分的策略存在二个问题：对低频部分和高频部分同时进行加权处理,没有考虑图像信号的结构属性；其次都只是对图像1阶梯度来构造权重，导致算法容易引入错误的纹理及伪影，使算法的抗噪性减弱。

最后是基于非局部相似模型类算法主要是利用图像的纹理和结构存在重复的特性，Buade提出一种为非局部均值(Nonlocal means,NLM)算法，该算法利用图像的非局部相似性(Non-local Self-Similarity,NSS)进行降噪加权滤波，达到了很好的去躁效果，有效的保护了图像的边缘和细节信息；张等人提出一种基于结构组稀疏表示(SGSR)的CS重构算法，通过将相似的图像块组成二维数据矩阵，并利用该二维数据矩阵的自适应稀疏表示的L0范数约束优化CS重构(通过将相似的图像块组成一个结构组，对每个结构组设计一个自适应的字典)，可以有效地去除图像冗余信息以及图像的伪影，但是由于图像中不可基于避免地存在不具有重复性的结构(如角点)和被噪声破坏的图像数据，因此这类算法在保护图像纹理细节方面等仍有不足。其次，基于结构组稀疏表示L0范数约束优化的CS的重构方法采用了奇异值硬阈值迭代收缩实现。奇异阈值硬值收缩实际认为，幅度较大的主分量系数代表的是有用成分，因此会完全保留；而幅度小的非主分量系数代表的是噪声成分，给予完全剔除；但在非主分量系数可能存在有用信息，因此导致图像重构没有达到最佳性能。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种基于组稀疏表示和加权全变分的压缩感知重构方法(GSR-WTV)，本发明算法在以组稀疏表示算法为基础，利用信号的稀疏性、非局部相似性、平滑性三种先验信息；利用全变分先验信息来抑制噪声的影响，将图像的信息分为高低频，利用一种差分曲率边缘检测算子计算权重，并只对高频进行加权，以提高算法的鲁棒性；为了保护低频信息，本发明并提出一种硬阈值-模平方方法来准确的求解组稀疏系数，来提高算法的重构质量；本发明以最小压缩感知重建误差为约束构建模型，为了有效求解提出的联合正则化优化问题，利用分裂Bregman迭代(Split Bregman Iteration,SBI)算法来简化问题的求解，实验证明本发明提出的重构算法保护了图像的细节信息，重构效果优于目前主流的重构算法。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种基于组稀疏表示和加权全变分的压缩感知重构方法，包括以下步骤：

S1：输入原图像，选择高斯随机投影矩阵作为观测矩阵Φ，经过二维CS观测后得到一个压缩感知观测值y，将其傅里叶反变换得到预重构图像x，算法迭代前将各拉格朗日乘子设为全零矩阵，并初始化各正则化参数；

S2：组稀疏表示问题：先根据块匹配法找到图像x中各相似像素点的位置，再由位置矩阵提取图像中相应的像素得到各非局部相似图像块组，称为结构相似组，然后对每个结构相似组单独求最佳稀疏字典D_k，在给定稀疏字典D_k时，图像结构形式块组可稀疏表示为

其中α_k称为结构组稀疏表示，利用结构组的稀疏表示作为正则项，求解结构组稀疏表示的无约束优化模型；

S3：加权全变分问题：为了精确重构图像，本发明先对图像x进行预处理，将图像分解为高频分量x_R和低频分量x_L。再分别对x_R和x_L进行梯度求解，且仅对x_R设置由本发明设计的权重系数。最后将加权全变分问题转换为最小化优化问题，并利用软阈值函数进行高频分量和低频分量的梯度求解；

S4：结合组稀疏表示与加权全变分正则项约束，得到重构能量函数，利用硬阈值-模平方算子来求解组稀疏系数，并利用分离Bregman迭代法求解各子问题；

S5：利用MATLAB进行实验仿真，将实验结果可视化，对比分析本发明算法的有效性。

进一步，步骤S2中，包括以下步骤：

S21：将大小为N的图像x划分成大小为

且相互重叠的图像块x_k，其中k＝1,2,L,n；

S22：对每个图像块x_k，在L×L的训练框内通过欧式距离度量搜索跟其最相匹配的相似的c-1个块；

S23：将c个相似图像块矢量化后形成二维数据矩阵

表示为图像结构相似块组；

S24：找到自适应于每一个结构相似图像块组

的最佳稀疏字典D_k，从而得到每一个图像结构相似块组的最佳稀疏表示；

在给定稀疏字典D_k时，图像结构形式块组稀疏表示为

其中α_k称为结构组稀疏表示；

利用结构组的稀疏表示作为正则项，求解结构组稀疏表示的无约束优化模型：

进一步，步骤S3中，具体包括以下步骤：

S31：对图像进行预处理，将图像分为低频分量x_L和高频分量x_R：

图像的低频分量通过求解式(2)的反卷积得到：

其中f_L表示一个3×3的低通滤波器，z_L是图像x的低频，g_d表示梯度算子；

在傅里叶变换域中求解式(3)：

其中

是二维离散傅里叶变换，/>

表示元素相乘，*表示复共轭，κ是定义的一个参数；

S32：二阶导数能有效区分光滑图案、纹理图案，定义一种差分曲率的边缘检测算子P＝||u_ηη||-||u_ξξ||，其中u_ξξ、u_ηη定义：

S33：权重值的定义：

式(6)中的权重既能提高压缩感知模型的抗噪能力，又能有效地保护图像中的边缘信息；由于只对图像的高频分量设置权重，故而此处边缘检测算子P_i是在x_R中计算的，而不是整个图像x中。

进一步，步骤S4中，所述重构能量函数为：

其中，λ₁和λ₂为正则化参数，ω＝[ω₁ω₂···ω_N]，第1项为数据保真项，第2项和第3项分别为组疏表示先验和加权全变分先验；

为第k组图像块/>

的结构组稀疏表示系数，并利用L₀范数来刻画α_G的稀疏性。

进一步，利用分离Bregman迭代法求解各子问题，具体包括以下步骤：

S41：将式(7)进行变量替换，得到式(8)：

与式(8)对应的增广拉格朗日函数为

其中γ，μ₁和μ₂为超参数，a，b和c为拉格朗日乘子，z₁和z₂为辅助变量，式(9)的解为式(8)的最优解，利用式(10)和式(11)对式(9)求解；

其中k为迭代次数；

S42：将原问题分解成三个子问题进行求解：

A.α_G子问题的求解：固定x，z₁和z₂，α_G子问题形式化表示如下：

其中r＝x-a；对式(12)进行变形，因为

则式(12)变为：

误差图像的像素值服从独立分布，根据大数定理，在图像维数足够高的条件下，有式(14)成立：

其中，k＝B_s×c×n；

为第k组图像块组；

将式(14)代入式(13)中，得到式(15)

令Γ＝(λ₁k)/(γN)；

由于字典D_k的酉特性，即任意二个原子是正交的，根据正交变换具有的能量不变的性质，则有：

利用公式(16)，每个结构组的子问题(15)等价于

利用改进的模平方处理法，提出一种硬阈值-模平方算子square-hard,s·hard：

其中δ表示一个参数，从而得到式(18)的封闭解，如下：

其中⊙代表向量对应元素的点乘算子，对于每一个结构组都按照上式求解，直到第n个子问题求解完毕，得到式(12)的最终解α_G；

B.z₁，z₂子问题，固定α_G,x，z₂，z₁的优化问题转化为

为了求解式(20)，采用软阈值算子求解，得到

z₁＝shrink(Dμ_L-b,λ₂I/μ₁) (21)

式(21)中shrink定义为:shrink(x,p)＝sign(x)·max(|x|-p,0)；

同理求得：

z₂＝shrink(Dμ_R-c,λ₂I/μ₂) (22)

C.x子问题求解，固定α_G，z₁和z₂，x的优化问题表示如下

式(23)为一个二元优化问题，有封闭解，对其进行求导，并令导数等于零：

式(24)包含了矩阵的的求逆，为了避免矩阵的求逆，采用最速梯度下降法来求解上式。

其中d表示目标函数的梯度方向，η表示最优步长；因此，求解重建x子问题，转化为求解下式：

为了提高算法的效率，提前计算出Φ^ΤΦ和Φ^Τy。

本发明的有益效果在于：本发明所提算法与目前的图像压缩感知重构算法相比，1)同时考虑图像的稀疏性、非局部相似性和局部光滑性三种先验信息，增强了算法的适应性和重构性能；2)提出一种硬阈值-模平方算子，可以保护低频成分的组稀疏表示系数；3)加权全变分正则项对图像的高低频分量分开处理，且仅对高频分量的梯度进行加权处理，使得算法具有更强的鲁棒性。

本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作优选的详细描述，其中：

图1为本发明所述基于组稀疏表示和加权全变分的压缩感知重构方法流程图；

图2为本发明实施例中Barbara仿真效果对比图；

图3为本发明实施例中House仿真效果对比图；

图4为本发明实施例中无噪观测下不同算法仿真效果曲线图；

图5为本发明实施例中峰值信噪比(PSNR)随着迭代次数增加的曲线图。

具体实施方式

以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。

其中，附图仅用于示例性说明，表示的仅是示意图，而非实物图，不能理解为对本发明的限制；为了更好地说明本发明的实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；对本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。

本发明实施例的附图中相同或相似的标号对应相同或相似的部件；在本发明的描述中，需要理解的是，若有术语“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此附图中描述位置关系的用语仅用于示例性说明，不能理解为对本发明的限制，对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。

本发明利用稀疏性、非局部相似性和局部平滑性三种先验信息，引入加权全变分正则项约束来保护图像的边缘等细节信息，并将其与组稀疏表示相结合来提高算法的适应性。

如图1所示，本发明提供一种基于组稀疏表示和加权全变分的压缩感知重构方法，包括：

一、组稀疏表示模型

通过最近的研究表明，组稀疏表示在图像CS重构中可以获得较好的性能。因为图像具有自重复性，为了有效降低实现的复杂度，通常采用下面的方法来构造图像的结构相似组。首先将大小为N的图像x划分成大小为

且相互重叠的图像块x_k，其中k＝1,2,L,n；然后，对每个图像块x_k，在L×L的训练框内通过欧式距离度量搜索跟其最相匹配的相似的c-1个块；最后，将c个相似图像块矢量化后形成二维数据矩阵/>

表示为图像结构相似块组。

为了得到每一个图像结构相似块组的最佳稀疏表示，需要找到自适应于每一个结构相似图像块组

的最佳稀疏字典D_k。在给定稀疏字典D_k时，图像结构形式块组可稀疏表示为/>

其中α_k称为结构组稀疏表示。利用结构组的稀疏表示作为正则项，求解结构组稀疏表示的无约束优化模型，如式(1)所示。

为了更好的图像的细节信息，以及减少对图像有用成分的损失，本发明提出一种硬阈值-模平方的求解方法，来更好的提高重构效果。

二、加权全变分模型

针对传统加权TV模型是对所有的梯度设置权重，并没有考虑图像的结构属性，这会向重构图像引入错误的纹理以及边缘状伪影。本发明首先对图像进行预处理，将图像分为低频成分x_L和高频部分x_R，过程如下:图像的低频分量可以通过求解式(2)的反卷积得到

其中f_L表示一个3×3的低通滤波器，z_L是图像x的低频，g_d表示梯度算子。在傅里叶变换域中求解式(3)：

其中

是2维离散傅里叶变换，/>

表示元素相乘，*表示复共轭，κ是定义的一个参数

由于2阶导数可以有效区分光滑图案、纹理图案；并定义一种差分曲率的边缘检测算子P＝||u_ηη||-||u_ξξ||，其中u_ξξ、u_ηη定义：

权重值的定义：

式(6)中的权重既能提高TV模型的抗噪能力，又能有效地保护图像中的边缘信息。注意，由于本发明算法只对图像的高频部分设置权重，故而此处边缘检测算子P_i是在x_R中计算的，而不是整个图像x中。

三、联合模型

为了更好地恢复图像的细节信息，以及减少对图像有用成分的损失，本发明提出了一种基于组稀疏表示和加权全变分法的CS重构算法。首先该算法在以组稀疏表示和加权TV作为正则项，其中的加权全变分是对传统的TV模型进行改进，在重构前先将图像分为高频分量和低频分量，并只对高频分量设置权重，利用差分曲率算子来构造加权TV加权系数，以提高算法的鲁棒性；然后提出一种硬阈值模平方来更好的求解组稀疏系数。

提出的基于组稀疏表示和加权权变分的CS重构模型如式(7)所示。

其中，λ₁和λ₂为正则化参数，ω＝[ω₁ω₂···ω_N]，第1项为数据保真项，第2项和第3项分别为组疏表示先验和加权全变分先验。

为第k组图像块/>

的结构组稀疏表示系数,并利用L₀范数来刻画α_G的稀疏性。

因为式(7)中L₀范数的优化问题通常都是非凸问题很难求解，如何高效的求解式(7)，也是本发明的一个重要工作。本发明将开发一个新的分离Bregman迭代(splitBregman iteration SBI)算法；首先将式(7)进行变量替换，得到式(8):

与上式对应的增广拉格朗日函数为

其中γ，μ₁和μ₂为超参数，a，b和c为拉格朗日乘子，z₁和z₂为辅助变量，上式的解为式(8)的最优解。在这里利用式(10)和式(11)来对式(9)求解。

其中k为迭代次数。然后将原问题分解成三个子问题进行求解。

(1)α_G子问题的求解：固定x，z₁和z₂，α_G子问题可以形式化表示如下：

其中r＝x-a

由于α_G的定义，很难直接求解上式。因此对上式进行变形,因为

则上式变为：

因为可以认为误差图像的像素值服从独立分布，因此根据大数定理，在图像维数足够高的条件下，有式(14)成立。

其中，k＝B_s×c×n；

为第k组图像块组。

于是将上式代入式(13)中，可得到式(15)

令Γ＝(λ₁k)/(γN)。

由于字典D_k的酉特性，即任意二个原子是正交的，根据正交变换具有的能量不变的性质，则有：

利用公式(16)，每个结构组的子问题(15)等价于

为了求解上述，本发明针对硬阈值求解法存在的不足，利用改进的模平方处理法，提出一种硬阈值-模平方算子(square-hard,s·hard)：

其中δ表示一个参数，因此可以得到上式的封闭解，如下：

其中⊙代表向量对应元素的点乘算子，对于每一个结构组都按照上式求解，直到第n个子问题求解完毕，得到式(12)的最终解α_G。

(2)z₁，z₂子问题，固定α_G,x，z₂，z₁的优化问题转化为

为了求解式(20)，本发明采用软阈值算子求解，得到

z₁＝shrink(Dμ_L-b,λ₂I/μ₁) (21)

式(21)中shrink定义为:shrink(x,p)＝sign(x)·max(|x|-p,0)；

同理求得：

z₂＝shrink(Dμ_R-c,λ₂I/μ₂) (22)

(3)x子问题求解,固定α_G，z₁和z₂，x的优化问题可以表示如下：

上式为一个二元优化问题，有封闭解。对其进行求导，并令导数等于零：

式(24)包含了矩阵的的求逆，为了避免矩阵的求逆，采用最速梯度下降法来求解上式。

其中d表示目标函数的梯度方向，η表示最优步长。因此，求解重建x子问题，转化为求解下式：

为了提高算法的效率，提前计算出Φ^ΤΦ和Φ^Τy。

所有的子问题得到了求解，实际对每个子问题本发明采取了高效的求解，所以整个算法变得更加高效。为了验证提出算法的有效性，本节给出了非局部全变分(TVNLR)方法、自适应学习稀疏基(ALSB)方法、组稀疏表示(GSR)方法、组稀疏表示的非凸正则化(GSR-NCR)的仿真实验结果进行比较。选择常用的2幅自然图像(Barbara、House)进行比较,图像的大小为256×256作为测试图像，采用峰值信噪比和视觉质量作为评估重构图像质量的指标。

参数设置如下:a,b,c矩阵初始化为零矩阵；在实验中，采用了基于分块的图像压缩感知技术以降低计算的复杂度，压缩感知观测矩阵采用的是高斯随机投影矩阵；在图像块的提取过程中，图像块的大小为8×8，每个结构组包括60个图像块，因此结构组的大小为64×60，搜索相似块的窗口大小为40×40，图像与块重叠的间隔为4；在不同采样率条件下，调整规则化参数λ₁来得到较好的结果。实验中采用的正交变换的基原子，即利用迭代估计的相似图像块组的奇异值分解得到对应每个结构组的自适应变换基。所有实验都是在Matlab R2014平台上进行，硬件条件为英特尔双核CPU、频率2.3GHz、内存3.98GB。

图2(a)-(f)，图3(a)-(f)分别表示Barbara、House二幅图像分别0.10Hz、0.05Hz采样率下的视觉质量效果，同时通过对重构图像的结果局部放大进行，根据重构图像的比较发现，本发明提出算法得到重构图像的视界质量有明显的提高，能够得到更清晰的纹理和边缘信息。

图4(a)为不同算法在采样率为0.40Hz下的峰值信噪比的比较情况，图4(b)为不同算法4幅图像在不同采样率的PSNR平均值图，从图中可以明显发现GSR-WTV算法在不同采样率下的重构效果优于NLR-TV,GSR-NCR,ALSB和GSR算法，在低采样率提升效果明显，在0.05Hz的采样率时较GSR-NCR重构算法的PSNR提高了1.5dB。

图5(a)为采样率是0.20Hz时，提出算法重构后的峰值信噪比随着算法迭代的次数增加的变化；图5(b)为采样率是0.40Hz时，提出算法重构后的峰值信噪比随着算法迭代的次数增加的变化。通过观察可以知道，随着迭代次数的增加峰值信噪比逐渐增加直到比较稳定，显示了本发明提出算法的稳定性。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (4)

1.一种基于组稀疏表示和加权全变分的压缩感知重构方法，其特征在于：包括以下步骤：

S1：输入原图像，选择高斯随机投影矩阵作为观测矩阵Φ，经过二维CS观测后得到一个压缩感知观测值y，将其傅里叶反变换得到预重构图像x，算法迭代前将各拉格朗日乘子设为全零矩阵，并初始化各正则化参数；

S2：组稀疏表示问题：先根据块匹配法找到图像x中各相似像素点的位置，再由位置矩阵提取图像中相应的像素得到各非局部相似图像块组，称为图像结构相似块组，然后对每个图像结构相似块组单独求最佳稀疏字典D_k，在给定稀疏字典D_k时，图像结构相似块组稀疏表示为

其中α_k称为结构组稀疏表示，/>

表示图像结构相似块组，利用结构组的稀疏表示作为正则项，求解结构组稀疏表示的无约束优化模型；

S3：加权全变分问题：为了精确重构图像，先对图像x进行预处理，将图像分解为高频分量x_R和低频分量x_L；再分别对x_R和x_L进行梯度求解，且仅对x_R设置权重系数；最后将加权全变分问题转换为最小化优化问题，并利用软阈值函数进行高频分量和低频分量的梯度求解；

S4：结合组稀疏表示与加权全变分正则项约束，得到重构能量函数，利用硬阈值-模平方算子来求解组稀疏系数，并利用分离Bregman迭代法求解各子问题；所述重构能量函数为：

其中，λ₁和λ₂为正则化参数，ω＝[ω₁ω₂···ω_N]，第1项为数据保真项，第2项和第3项分别为组疏表示先验和加权全变分先验；

为第k组图像结构相似块组/>

的结构组稀疏表示系数，并利用L₀范数来刻画α_G的稀疏性；

S5：利用MATLAB进行实验仿真，将实验结果可视化，对比分析本方法的有效性。

2.根据权利要求1所述的基于组稀疏表示和加权全变分的压缩感知重构方法，其特征在于：步骤S2中，包括以下步骤：

S21：将大小为N的图像x划分成大小为

且相互重叠的图像块x_k，其中k＝1,2,L,n；

S22：对每个图像块x_k，在L×L的训练框内通过欧式距离度量搜索跟其最相匹配的相似的c-1个块；

S23：将c个相似图像块矢量化后形成二维数据矩阵

表示为图像结构相似块组；

S24：找到自适应于每一个图像结构相似块组

的最佳稀疏字典D_k，从而得到每一个图像结构相似块组的最佳稀疏表示；

在给定稀疏字典D_k时，图像结构相似块组稀疏表示为

其中α_k称为结构组稀疏表示；

利用结构组稀疏表示作为正则项，求解结构组稀疏表示的无约束优化模型：

3.根据权利要求2所述的基于组稀疏表示和加权全变分的压缩感知重构方法，其特征在于：步骤S3中，具体包括以下步骤：

S31：对图像进行预处理，将图像分为低频分量x_L和高频分量x_R：

图像的低频分量通过求解式(2)的反卷积得到：

其中f_L表示一个3×3的低通滤波器，z_L是图像x的低频，g_d表示梯度算子；

在傅里叶变换域中求解式(3)：

其中

是二维离散傅里叶变换，/>

表示元素相乘，*表示复共轭，κ是定义的一个参数；

S32：二阶导数能有效区分光滑图案、纹理图案，定义一种差分曲率的边缘检测算子P＝||u_ηη||-||u_ξξ||，其中u_ξξ、u_ηη定义：

S33：权重值的定义：

式(6)中的权重既能提高压缩感知模型的抗噪能力，又能有效地保护图像中的边缘信息；由于只对图像的高频分量设置权重，故而此处边缘检测算子P_i是在x_R中计算的，而不是整个图像x中。

4.根据权利要求1所述的基于组稀疏表示和加权全变分的压缩感知重构方法，其特征在于：利用分离Bregman迭代法求解各子问题，具体包括以下步骤：

S41：将式(7)进行变量替换，得到式(8)：

与式(8)对应的增广拉格朗日函数为

其中γ，μ₁和μ₂为超参数，a，b和c为拉格朗日乘子，z₁和z₂为辅助变量，式(9)的解为式(8)的最优解，利用式(10)和式(11)对式(9)求解；

其中k为迭代次数；

S42：将原问题分解成三个子问题进行求解：

A.α_G子问题的求解：固定x，z₁和z₂，α_G子问题形式化表示如下：

其中r＝x-a；对式(12)进行变形，因为

则式(12)变为：

误差图像的像素值服从独立分布，根据大数定理，在图像维数足够高的条件下，有式(14)成立：

其中，k＝B_s×c×n；

为第k组图像块组；

将式(14)代入式(13)中，得到式(15)

令Γ＝(λ₁k)/(γN)；

由于字典D_k的酉特性，即任意二个原子是正交的，根据正交变换具有的能量不变的性质，则有：

利用公式(16)，每个结构组的子问题(15)等价于

利用改进的模平方处理法，提出一种硬阈值-模平方算子square-hard,s·hard：

其中δ表示一个参数，从而得到式(18)的封闭解，如下：

其中⊙代表向量对应元素的点乘算子，对于每一个结构组都按照上式求解，直到第n个子问题求解完毕，得到式(12)的最终解α_G；

B.z₁，z₂子问题，固定α_G,x，z₁，z₂的优化问题转化为

为了求解式(20)，采用软阈值算子求解，得到

z₁＝shrink(Dμ_L-b,λ₂I/μ₁) (21)

式(21)中shrink定义为:shrink(x,p)＝sign(x)·max(|x|-p,0)；

同理求得：

z₂＝shrink(Dμ_R-c,λ₂I/μ₂) (22)

C.x子问题求解，固定α_G，z₁和z₂，x的优化问题表示如下

式(23)为一个二元优化问题，有封闭解，对其进行求导，并令导数等于零：

式(24)包含了矩阵的求逆，为了避免矩阵的求逆，采用最速梯度下降法来求解上式；

其中d表示目标函数的梯度方向，η表示最优步长；因此，求解重建x子问题，转化为求解下式：

为了提高算法的效率，提前计算出Φ^TΦ和Φ^Ty。

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