CN110781444A - 一种基于高斯赫尔默特模型的eiv平差算法 - Google Patents

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CN110781444A CN201911062720.XA CN201911062720A CN110781444A CN 110781444 A CN110781444 A CN 110781444A CN 201911062720 A CN201911062720 A CN 201911062720A CN 110781444 A CN110781444 A CN 110781444A
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Abstract

本发明公开了一种基于高斯赫尔默特模型的EIV（errors‑in‑variable）平差算法，属于加权整体最小二乘进行平差计算的领域，具体包括如下步骤：根据数据估算需求建立基于高斯赫尔默特模型的观测方程；提取高斯赫尔默特模型中设计矩阵内的变量建立基于高斯马尔可夫模型的观测方程（errors‑in‑variable方程）；观测方程线性化后利用估计值对各转化参数求偏导；将两种模型结合，利用求得的偏导数建立新的观测方程组；将观测方程矩阵化，设计出新的设计矩阵和权阵信息；利用封闭式解法求取观测方程组的解；最后进行数据统计和分析。本发明具有估计精度高、运算效率快、避免整体最小二乘瓶颈问题等优势。

Description

一种基于高斯赫尔默特模型的EIV平差算法
技术领域
本发明涉及加权整体最小二乘进行平差计算的领域，具体涉及一种基于高斯赫尔默特模型的EIV（errors-in-variable）平差算法。
背景技术
随着测量工具的不断进步和对测量精度要求的不断提升，人们对数据处理和分析的理论也提出了更高的要求。1794年高斯提出了最小二乘（Least Squares method）理论,它能够解决观测数据中含有误差的问题。在那之后马尔可夫又系统的总结和归纳了这个理论得出了著名的高斯马尔可夫模型（Gauss-Markov Model），也就是经典最小二乘算法。它的线性化模型为
Figure DEST_PATH_IMAGE001
,但这里只考虑了观测向量
Figure 45195DEST_PATH_IMAGE002
里面的误差，而设计矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE003
被认为是没有误差的。这在现实的运用案例中是不准确的，因为很多的使用过程中设计矩阵中也含有变量元素。
1980年一种新的数学算法整体最小二乘（Total Least Squares method）被提出,它同时将观测向量和设计矩阵中的误差都考虑进算法。主要的计算方法有两种，一种是奇异值分解法（singular value decomposition），另一种是迭代算法。这两种方法都能解决最小二乘法使用中的缺陷，但也存在一些缺陷：奇异值分解法将设计矩阵内的非随机元素带入平差解算，降低了解算精度；迭代算法的适用性不广，当迭代不能收敛时，无法求得最终解。
发明内容
为解决上述现有技术中经典最小二乘和整体最小二乘使用中遇到的问题，本发明提供了一种同时考虑观测向量和设计矩阵内随机变量的误差，采用封闭式解法结合高斯赫尔默特模型和高斯马尔可夫模型规避整体最小二乘的缺陷对数据实现平差计算。
本发明的目的是这样实现的：
一种基于高斯赫尔默特模型的EIV平差算法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一，根据运算需要获取数据，建立基于高斯赫尔默特模型的观测方程：
式中，
Figure 444133DEST_PATH_IMAGE002
是观测向量，
Figure 968655DEST_PATH_IMAGE003
是设计矩阵，
Figure DEST_PATH_IMAGE005
是设计矩阵的误差，
Figure 316459DEST_PATH_IMAGE006
是待估参数，
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE007
是观测向量的误差，方程等式两边都含有随机变量；
步骤二，利用高斯赫尔默特模型设计矩阵中的变量，建立基于高斯马尔可夫模型的新观测方程(EIV方程)：
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE009
式中，
Figure 850209DEST_PATH_IMAGE002
是观测向量，是设计矩阵， 是待估参数，
Figure 69018DEST_PATH_IMAGE007
是观测向量的误差，方程等式两边都含有随机变量；
步骤三，观测方程线性化，利用估计值对各转化参数求偏导；
步骤四，将两组观测方程叠加建立矩阵形式的组合观测方程，同时建立新的设计矩阵和权阵；
步骤五，利用封闭式解法求取观测方程组的解并联合处理相应原始方程解；
步骤六，进行算法估算参数误差及整体平差精度的分析。
所述步骤二中所述提取出利用高斯赫尔默特模型设计矩阵中的变量，建立基于高斯马尔可夫模型的新观测方程的方法为：
以坐标转换为例，建立基于高斯赫尔默特模型的观测方程：
Figure 248326DEST_PATH_IMAGE010
式中n表示需要转换的点的数量，
Figure DEST_PATH_IMAGE011
向量是未知的平移参数，由三个坐标方向上的组成，
Figure 881040DEST_PATH_IMAGE012
是未知的尺度参数，由三个坐标方向上的
Figure DEST_PATH_IMAGE013
Figure 993352DEST_PATH_IMAGE014
组成，
Figure DEST_PATH_IMAGE015
是未知的旋转参数，由到坐标系对应的三个平面之间的夹角
Figure 594098DEST_PATH_IMAGE016
和空间旋转矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE017
组成；
设计矩阵是内的元素组成，将
Figure 916495DEST_PATH_IMAGE018
看作随机变量，由坐标真值和误差相加组成，就可以提取出
Figure 198571DEST_PATH_IMAGE018
，重新组成高斯马尔可夫模型（EIV）：
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE019
式中
Figure 290024DEST_PATH_IMAGE020
为真值，
Figure 61671DEST_PATH_IMAGE018
为观测数据，
Figure DEST_PATH_IMAGE021
为观测数据对应的误差。
所述步骤四中所述将两组观测方程叠加建立矩阵形式的组合观测方程，同时建立新的设计矩阵和权阵的方法为：
线性化模型为：
Figure 481151DEST_PATH_IMAGE022
式中
Figure DEST_PATH_IMAGE023
为设计矩阵，
Figure 957132DEST_PATH_IMAGE024
为新的未知数，
结合后的观测方程：
将组合观测方程写成矩阵相乘的形式：
Figure 778457DEST_PATH_IMAGE026
新的权阵为
Figure DEST_PATH_IMAGE027
式中：
Figure 815946DEST_PATH_IMAGE028
是由转换参数组成的新设计矩阵，
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE029
是单位矩阵，
Figure 581776DEST_PATH_IMAGE030
是
Figure DEST_PATH_IMAGE031
的改正量。
所述步骤五中所述的利用封闭式解法求取观测方程组的解并联合处理相应原始方程解的方法为：
封闭式求解公式为：
式中未知参数
Figure 799131DEST_PATH_IMAGE034
对应原始转换参数的改正量，其展开求解公式为：
Figure 271701DEST_PATH_IMAGE036
；
所述步骤六中所述的进行算法估算参数误差及整体平差精度的分析的方法为：
分别求解原始观测方程左右两边观测值对应的误差：
Figure DEST_PATH_IMAGE037
。
积极有益效果：本发明既考虑观测向量误差又考虑设计矩阵随机变量误差的算法，区别于整体最小二乘的方法，本发明独立分析设计矩阵中的随机变量，规避了奇异值分解法的缺陷，同时基于矩阵形式采用封闭解法直接求解待估参数，避免了迭代算法不收敛的问题。
附图说明
图1是本发明一种基于高斯赫尔默特模型与高斯马尔可夫模型结合处理数据的方法的流程示意图；
图2为水平方向的残差图一；
图3为水平方向的残差图二。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步的说明：
如图1所示的方法流程，以德国巴登符腾堡州坐标系转换（Gauss-Kruger投影坐标系DHDN至UTM 投影坐标系ETRS89）为应用实例，对本发明进一步阐明：
在两个坐标系内选取131个并置点进行坐标转换，计算过程中主要的变量组成与结果如下：
（1）建立高斯赫尔默特模型，其参数化表示为：
Figure 588413DEST_PATH_IMAGE038
设计矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE039
表示为：
Figure 107119DEST_PATH_IMAGE040
（2）提取设计矩阵内的变量建立基于高斯马尔可夫模型的新观测方程：
Figure 597006DEST_PATH_IMAGE042
（3）高斯赫尔默特模型观测方程线性化方程为：
Figure DEST_PATH_IMAGE043
式中，
Figure 392924DEST_PATH_IMAGE044
是两组观测数据的误差。
通过最小二乘的方法求取各转换参数近似值，在此基础上，计算出
Figure DEST_PATH_IMAGE045
所对应的近似值，组成新的设计矩阵：
Figure 503706DEST_PATH_IMAGE046
（4）将两组观测方程叠加建立矩阵形式的组合观测方程，同时建立新的设计矩阵和权阵：
式中：
Figure 413073DEST_PATH_IMAGE050
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE051
和
Figure 391393DEST_PATH_IMAGE052
是待估参数。
（5）利用封闭式解法求取观测方程组的解并联合处理相应原始方程解：
Figure 112224DEST_PATH_IMAGE054
（6）进行算法估算参数误差及整体平差精度的分析。
Figure DEST_PATH_IMAGE055
计算数据结果展示如下：
统计最小二乘与本发明在坐标转换中的残差平方和
最小二乘：
Figure DEST_PATH_IMAGE057
本发明：
Figure DEST_PATH_IMAGE059
误差统计表格：
Figure DEST_PATH_IMAGE061
上表中是主要残差统计数据，图2、图3是水平方向的残差图。结果表明，本发明在坐标转换里的估算精度高于经典最小二乘估算精度。
本发明既考虑观测向量误差又考虑设计矩阵随机变量误差的算法，区别于整体最小二乘的方法，本发明独立分析设计矩阵中的随机变量，规避了奇异值分解法的缺陷，同时基于矩阵形式采用封闭解法直接求解待估参数，避免了迭代算法不收敛的问题。
以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和优点。本行业的技术人员应该了解，上述实施例不以任何形式限制本发明，凡采用等同替换或等效变换的方式所获得的技术方案，均落在本发明的保护范围内。

Claims (5)

1.一种基于高斯赫尔默特模型的EIV平差算法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一，根据运算需要获取数据，建立基于高斯赫尔默特模型的观测方程：
Figure 268294DEST_PATH_IMAGE001
式中，
Figure 647323DEST_PATH_IMAGE002
是观测向量，
Figure 572554DEST_PATH_IMAGE003
是设计矩阵， 是设计矩阵的误差，
Figure 327200DEST_PATH_IMAGE005
是待估参数，
Figure 408289DEST_PATH_IMAGE006
是观测向量的误差，方程等式两边都含有随机变量；
步骤二，利用高斯赫尔默特模型设计矩阵中的变量，建立基于高斯马尔可夫模型的新观测方程(EIV方程)：
式中，
Figure 912826DEST_PATH_IMAGE002
是观测向量，
Figure 206404DEST_PATH_IMAGE003
是设计矩阵， 是待估参数，
Figure 591249DEST_PATH_IMAGE006
是观测向量的误差，方程等式两边都含有随机变量；
步骤三，观测方程线性化，利用估计值对各转化参数求偏导；
步骤四，将两组观测方程叠加建立矩阵形式的组合观测方程，同时建立新的设计矩阵和权阵；
步骤五，利用封闭式解法求取观测方程组的解并联合处理相应原始方程解；
步骤六，进行算法估算参数误差及整体平差精度的分析。
2.根据权利要求1所述的一种基于高斯赫尔默特模型的EIV平差算法，其特征在于，步骤二中所述提取出利用高斯赫尔默特模型设计矩阵中的变量，建立基于高斯马尔可夫模型的新观测方程的方法为：
以坐标转换为例，建立基于高斯赫尔默特模型的观测方程：
Figure 46501DEST_PATH_IMAGE008
式中n表示需要转换的点的数量，
Figure DEST_PATH_IMAGE009
向量是未知的平移参数，由三个坐标方向上的组成，
Figure 274220DEST_PATH_IMAGE010
是未知的尺度参数，由三个坐标方向上的
Figure 105910DEST_PATH_IMAGE011
Figure 610840DEST_PATH_IMAGE012
组成，
Figure 236994DEST_PATH_IMAGE013
是未知的旋转参数，由到坐标系对应的三个平面之间的夹角
Figure 952009DEST_PATH_IMAGE014
和空间旋转矩阵
Figure 587390DEST_PATH_IMAGE015
组成；
设计矩阵是内的元素组成，将
Figure 477985DEST_PATH_IMAGE016
看作随机变量，由坐标真值和误差相加组成，就可以提取出
Figure 478302DEST_PATH_IMAGE016
，重新组成高斯马尔可夫模型（EIV）：
Figure 352717DEST_PATH_IMAGE017
式中
Figure 854106DEST_PATH_IMAGE018
为真值，
Figure 130367DEST_PATH_IMAGE016
为观测数据，
Figure DEST_PATH_IMAGE019
为观测数据对应的误差。
3.根据权利要求1所述的一种基于高斯赫尔默特模型的EIV平差算法，其特征在于，步骤四中所述将两组观测方程叠加建立矩阵形式的组合观测方程，同时建立新的设计矩阵和权阵的方法为：
线性化模型为：
Figure 301585DEST_PATH_IMAGE020
式中
Figure 663296DEST_PATH_IMAGE021
为设计矩阵，
Figure 204261DEST_PATH_IMAGE022
为新的未知数，
结合后的观测方程：
Figure 335028DEST_PATH_IMAGE023
将组合观测方程写成矩阵相乘的形式：
Figure 677148DEST_PATH_IMAGE024
新的权阵为
Figure 526155DEST_PATH_IMAGE025
式中：
Figure 354620DEST_PATH_IMAGE027
是由转换参数组成的新设计矩阵，
Figure 664378DEST_PATH_IMAGE028
是单位矩阵，
Figure DEST_PATH_IMAGE029
是
Figure 203944DEST_PATH_IMAGE030
的改正量。
4.根据权利要求1所述的一种基于高斯赫尔默特模型的EIV平差算法，其特征在于，步骤五中所述的利用封闭式解法求取观测方程组的解并联合处理相应原始方程解的方法为：
封闭式求解公式为：
Figure 585247DEST_PATH_IMAGE031
式中未知参数
Figure 690606DEST_PATH_IMAGE032
对应原始转换参数的改正量，其展开求解公式为：
Figure 374528DEST_PATH_IMAGE033
。
5.根据权利要求1所述的一种基于高斯赫尔默特模型的EIV平差算法，其特征在于，步骤六中所述的进行算法估算参数误差及整体平差精度的分析的方法为：
分别求解原始观测方程左右两边观测值对应的误差：
Figure 932549DEST_PATH_IMAGE034
。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN112257722A (zh) * 2020-11-11 2021-01-22 南京工业大学 基于抗差非线性高斯-赫尔默特模型的点云拟合方法

Cited By (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN112257722A (zh) * 2020-11-11 2021-01-22 南京工业大学 基于抗差非线性高斯-赫尔默特模型的点云拟合方法
CN112257722B (zh) * 2020-11-11 2023-08-01 南京工业大学 基于抗差非线性高斯-赫尔默特模型的点云拟合方法

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