CN106547207B - 一种非线性多输入多输出系统混合式观测器构建方法 - Google Patents

一种非线性多输入多输出系统混合式观测器构建方法 Download PDF

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CN106547207B CN201610892587.0A CN201610892587A CN106547207B CN 106547207 B CN106547207 B CN 106547207B CN 201610892587 A CN201610892587 A CN 201610892587A CN 106547207 B CN106547207 B CN 106547207B
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    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
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Abstract

本发明介绍了一种非线性多输入多输出系统混合式观测器构建方法。本发明采用高反馈增益和高阶滑模算法建立该类系统的观测器。高阶滑模反馈量能够使估测值跟踪未知的系统输入并保证其能够在有限的时间内到达滑模面，而高增益的反馈值保证观测器误差能够收敛到设定的常量。在滑模面上，未知的输入量可以由一些已知动态项替代，从而使系统的状态量的能够渐进稳定收敛而得以辨别和估算。本方法适用于多自由度机械臂、复杂机电系统等多输入多输出非线性系统的状态量和外部扰动量对状态量影响的观测，具有收敛速度快，观测精度高和鲁棒性强的特点。

Description

一种非线性多输入多输出系统混合式观测器构建方法
技术领域：本发明是非线性系统扰动与状态观测器构建与设计方法，适用于多自由度机械臂、复杂机电系统等多输入多输出非线性系统的状态量的观测，属于现代控制理论研究领域。
技术背景：
能够实时获得精确的状态信息是对系统进行有效控制和监测的必要条件。当系统中存在未知参数、不确定干扰、控制参数不满足匹配条件和模型误差时，控制器只能获得部分准确的系统信息和参数，从而使系统对状态量的观测产生误差。对于实际的复杂耦合非线性系统如移动机器人控制系统、机械臂控制系统、电机控制系统等而言，误差的存在会使系统的运行和控制性能受到很大的限制。针对非线性系统，最早的尝试是采用渐进式观测器，该观测器通过坐标变换将非线性系统转换为线性可观系统，然后采用线性观测器方法实现对非线性系统状态的观测，但方法都有严格的外在条件限制，适用范围有限。采用Lyapunov函数构建非线性系统观测器是对非线性系统进行观测的有效方法，但其反馈增益仅能在满足收敛的充要条件下才能获得，且不能直接通过计算得到，且单纯的Lyapunov观测器不能有效估计由于系统参数变化和外部干扰所带来动态性能的变化。
滑模观测器是理想的非线性系统的状态观测器，对于系统的不确定性和外部干扰具有较强的鲁棒性和抗扰性。目前的滑模观测器算法仅仅在满足扰动输入的通道与控制信号输入通道相同这一条件时才对干扰和系统参数变化具有良好的鲁棒性。对于类似机器人、复杂机电系统等多输入多输出系统而言，在实际的系统中，系统的输入通道的选择一般比较随意，不同的输入量与输入通道、系统状态量、输出都存在关联性，如此则观测器的观测值将不能实时对应系统状态值的变化。
发明内容：
本发明采用基于滑模运动的已知的动态特性来替代未知扰动的办法这一原则来构建多输入多输出系统状态观测器。该类观测器将采用高反馈增益和高阶滑模项。高增益的反馈保证观测器误差能够收敛到设定的常量，而高阶滑模反馈量能够使估计值跟踪未知的系统输入并保证其能够在有限的时间内到达滑模面，以便最终能够在输入和扰动不满足匹配条件下实现对非线性系统状态量和外部扰动值对系统状态影响的有效而又准确的观测，从而提高控制系统的稳定性、鲁棒性和动态特性。
多输入多输出非线性系统A：
Figure BDA0001130061710000021
式中
Figure BDA0001130061710000022
是系统A的状态变量,
Figure BDA0001130061710000023
是系统A的状态变量微分信号；
Figure BDA0001130061710000024
Figure BDA0001130061710000025
f(x)、G(x)均为不确定的光滑向量函数；
Figure BDA0001130061710000026
Figure BDA0001130061710000027
为输入向量，t为时间；
Figure BDA0001130061710000028
是可测的输出向量，h(x)＝[h1(x),h2(x),…hm+1(x)]T，h(x)为不确定的光滑向量函数。
用高反馈增益和高阶滑模项的非线性多输入多输出系统混合式观测器构建步骤如下：
第一步多输入多输出非线性系统坐标变换与系统分解
在新的坐标系
Figure BDA0001130061710000029
下进行坐标变换，可得系统A在新坐标系下的多输入多输出系统标准形式：
Figure BDA00011300617100000210
其中
Figure BDA00011300617100000211
Figure BDA00011300617100000212
Figure BDA00011300617100000213
Figure BDA00011300617100000214
Figure BDA00011300617100000215
(2)式由2个子系统ξ和η组成且子系统都有输入/输出结构。通过对ξ和η的观测可实现对原系统A状态量x的观测。
第二步.鲁棒混合式观测器的设计
对于(4)式所示系统.ξ子系统可以看成M个ξi,
Figure BDA00011300617100000311
且每一阶都有微分结构.未知输入量仅会作用于的ξ子系统的最高阶方程.此时连续且包含高阶滑模微分算法的滑模观测器可以有效地对该类子系统进行观测.一旦滑模面能够达到，则η子系统的未知输入量可以用标称动态系统替代，从而确保η的子系统有一致的可观性。基于可测输出量的高增益线性反馈项的设计将确保观测误差渐进收敛于滑模面。
2.1滑模反馈项的设计
定义滑模变量
Figure BDA0001130061710000031
σi的导数可以下面的高阶滑模微分估算得到：
Figure BDA0001130061710000032
选择合理的正常数
Figure BDA0001130061710000033
经过有限时间的暂态过程后，可得下面的等式
Figure BDA0001130061710000034
式中
Figure BDA0001130061710000035
是σi的k阶导数.可得高阶滑模项：
Figure BDA0001130061710000036
其中k＝0,1,…,ri-1，
Figure BDA0001130061710000037
由下面公式计算得到
Figure BDA0001130061710000038
式中，优先选定可调正参数
Figure BDA0001130061710000039
的值.滑模增益ρi必须大于未知输入量的上限值.结合公式(2)所示ξi的M阶动态系统，可得如下所示的高阶滑模观测器
Figure BDA00011300617100000310
其中
Figure BDA0001130061710000041
在滑模面
Figure BDA0001130061710000042
由(10)式可得下面所示的方程组
Figure BDA0001130061710000043
其中
Figure BDA0001130061710000044
矩阵
Figure BDA0001130061710000045
是非奇异的，可得未知输入向量
Figure BDA00011300617100000416
Figure BDA0001130061710000046
由(9)式可知，当所有的状态量收敛于某个值即
Figure BDA0001130061710000047
时，输入向量
Figure BDA00011300617100000417
能够由滑模函数u重构得到，即
Figure BDA0001130061710000048
动态系统η的估计值的收敛性将由下节所设计的高增益观测器来保证；
2.2滑模面上的高增益反馈的设计
一旦滑模发生，滑模变量将到达并保持在滑模面。根据公式(4)和(9)，动态系统η可以由下式表示
Figure BDA0001130061710000049
根据式(10)构建高增益线性观测器如下：
Figure BDA00011300617100000410
式中
Figure BDA00011300617100000411
用于跟随未知输入量，而
Figure BDA00011300617100000412
是线性反馈校正项.L是线性高增益反馈，其值可有下式计算
Figure BDA00011300617100000413
Sθ是是观测器参数θ的正函数矩阵，可表示为
Figure BDA00011300617100000414
θ为足够大的正常数，能够保证动态误差向量为
Figure BDA00011300617100000415
收敛。
本发明的有益效果:
1.该类观测器将采用高反馈增益和高阶滑模项。高增益的反馈保证观测器误差能够收敛到设定的常量，而高阶滑模反馈量能够使估计值跟踪的系统输入并保证其能够在有限的时间内到达滑模面，从而提高控制系统的稳定性、鲁棒性和动态特性。
2.适用于多自由度机械臂、复杂机电系统等多输入多输出非线性系统状态量的观测，具有收敛速度快，观测精度高和鲁棒性强的特点。
附图说明：
附图1观测器设计流程图。
附图2实例中状态变量x1及其估计值。
附图3实例中状态变量x2及其估计值。
附图4实例中状态变量x3及其估计值。
附图5实例中状态变量x4及其估计值。
附图6实例中状态变量x5及其估计值。
附图7实例中状态变量x6及其估计值。
具体实施方式：
下面结合实例和附图对本发明实现方法和原理进一步说明。
一、多输入多输出非线性系统坐标变换与系统分解
多输入多输出非线性系统A：
Figure BDA0001130061710000051
式中
Figure BDA0001130061710000052
是系统A的状态变量,
Figure BDA0001130061710000053
是系统A的状态变量微分信号；
Figure BDA0001130061710000054
f(x)、G(x)均为不确定的光滑向量场；
Figure BDA0001130061710000055
Figure BDA0001130061710000056
需要观测的未知输入向量，t为时间；
Figure BDA0001130061710000057
是可测的输出向量，h(x)＝[h1(x),h2(x),…hm+1(x)]T，h(x)为不确定的光滑向量函数。
系统A的前m个输出量与G(x)的向量相对阶{r1,r2,…,rm}，则
Figure BDA0001130061710000058
对所有：
Figure BDA0001130061710000059
且有m×m非奇异矩阵如下：
Figure BDA00011300617100000510
根据Lie导数定义：
Figure BDA0001130061710000061
坐标变换与系统分解
向量相对阶{r1,...,rm}，
Figure BDA0001130061710000062
称为总相对阶，且有rsm≤n则对于某一指定的i(1≤i≤m)，有：
Figure BDA0001130061710000063
Figure BDA0001130061710000064
对于
Figure BDA00011300617100000611
存在x＝Φ-1(ξ,η)，
映射函数
Figure BDA0001130061710000065
存在
Figure BDA0001130061710000066
定义
Figure BDA0001130061710000067
则
Figure BDA0001130061710000068
利用上式进行坐标变换，可得系统A在新坐标系下多输入多输出系统标准形式：
Figure BDA0001130061710000069
其中
Figure BDA00011300617100000610
Figure BDA0001130061710000071
Figure BDA0001130061710000072
Figure BDA0001130061710000073
Figure BDA0001130061710000074
(2)式由2个子系统ξ和η组成且子系统都有输入/输出结构。通过对ξ和η的观测可实现对原系统(1)状态量x的观测。
二.鲁棒混合式观测器的设计
对于(4)式所示系统.ξ子系统可以看成M个ξi,
Figure BDA0001130061710000078
且每一阶都有微分结构.未知输入量仅会作用于的ξ子系统的最高阶方程.此时连续且包含高阶滑模微分算法的滑模观测器可以有效地对该类子系统进行观测.一旦滑模面能够达到，则η子系统的未知输入量可以用标称动态系统替代，从而确保η的子系统有一致的可观性。基于可测输出量的高增益线性反馈项的设计将确保观测误差渐进收敛于滑模面。
2.1.滑模反馈项的设计
定义滑模变量
Figure BDA0001130061710000075
σi的导数可以下面的高阶滑模微分估算得到：
Figure BDA0001130061710000076
选择合理的正常数
Figure BDA0001130061710000077
经过有限时间的暂态过程后，可得下面的等式
Figure BDA0001130061710000081
式中
Figure BDA0001130061710000082
是σi的k阶导数.可得高阶滑模项：
Figure BDA0001130061710000083
其中k＝0,1,…,ri-1，
Figure BDA00011300617100000817
由下面公式计算得到
Figure BDA0001130061710000084
式中，优先选定可调正参数
Figure BDA0001130061710000085
的值.滑模增益ρi必须大于未知输入量的上限值.结合公式(2)所示ξi的M阶动态系统，可得如下所示的高阶滑模观测器
Figure BDA0001130061710000086
其中
Figure BDA0001130061710000087
在滑模面
Figure BDA0001130061710000088
由(7)式可得下面所示的方程组
Figure BDA0001130061710000089
其中
Figure BDA00011300617100000810
矩阵
Figure BDA00011300617100000811
是非奇异的，可得未知输入向量
Figure BDA00011300617100000812
Figure BDA00011300617100000813
由(10)式可知，当所有的状态量收敛于某个值即
Figure BDA00011300617100000814
时，输入向量
Figure BDA00011300617100000815
能够由滑模函数u重构得到，即
Figure BDA00011300617100000816
动态系统η的估计值的收敛性将由下节所设计的高增益观测器来保证；
2.2滑模面上的高增益反馈的设计
一旦滑模发生，滑模变量将到达并保持在滑模面。根据公式(2)和(10)，动态系统η可以由下式表示
Figure BDA0001130061710000091
根据式(11)构建高增益线性观测器如下：
Figure BDA0001130061710000092
式中
Figure BDA0001130061710000093
用于跟随未知输入量，而
Figure BDA0001130061710000094
是线性反馈校正项.L是线性高增益反馈，其值可有下式计算
Figure BDA0001130061710000095
Sθ是是观测器参数θ的正函数矩阵，可表示为
Figure BDA0001130061710000096
θ为足够大的正常数，能够保证动态误差向量为
Figure BDA0001130061710000097
收敛。
实施实例
设计如下的多输入多输出非线性系统C：
Figure BDA0001130061710000098
y＝[h1(x),h2(x),h3(x)]T＝[x1,x2,x3]T (13)
式中x＝[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T是系统状态量，y是系统输出量.
Figure BDA0001130061710000099
是输入量，G(x)＝[g1(x),g2(x)]是分布矩阵向量.通过计算可得：
Figure BDA00011300617100000910
Figure BDA00011300617100000911
Figure BDA00011300617100000912
上式隐含系统(12-13)的前两个输出量的相关度为{1,2}，附加输出量h3(x)与输入
Figure BDA00011300617100000914
的相关度为2.矩阵E(x)为
Figure BDA00011300617100000913
E(x)是非奇异矩阵.坐标变换矩阵(ξ,η)：
Figure BDA0001130061710000101
映射函数
Figure BDA0001130061710000102
系统C在新的坐标系中可以表示为
Figure BDA0001130061710000103
Figure BDA0001130061710000104
Figure BDA0001130061710000105
Figure BDA0001130061710000106
Figure BDA0001130061710000107
Figure BDA0001130061710000108
变形后的系统动态参数估计值为
Figure BDA0001130061710000109
于是可得下面观测器：
Figure BDA00011300617100001010
Figure BDA00011300617100001011
Figure BDA00011300617100001012
Figure BDA00011300617100001013
Figure BDA00011300617100001014
Figure BDA00011300617100001015
上式中θ是高反馈增益参数，u1和u2是一阶和二阶滑模项
Figure BDA00011300617100001016
u2＝-ρ2(z1+|z0|1/2sign(z0)/(|z1|+|z0|1/2)
Figure BDA00011300617100001017
Figure BDA00011300617100001018
Figure BDA00011300617100001019
式中M是滑模校正参数.
在数值系统C仿真过程中，取
Figure BDA00011300617100001020
观测器(21-22)的参数取值为：ρ1＝3,ρ2＝5,θ＝2,M＝20.
仿真的初始条件为：x0＝[6,6,6,6,6,6]T,
Figure BDA00011300617100001021
z0＝z1＝v0＝1.
由映射函数Φ(x)通过逆映射可得数值系统C的状态估计值：
Figure BDA00011300617100001022
仿真结果如附图2-附图7所示，从中可以看出观测器输出状态量估计值与系统状态量之间的差，在有限的时间内收敛到零，从而验证了本方法的正确性和有效性。

Claims (1)

1.一种多自由度机械臂的非线性多输入多输出系统混合式观测器构建方法，多输入多输出非线性系统A：
Figure FDA0002368081980000011
式中
Figure FDA0002368081980000012
是系统A的状态变量，
Figure FDA0002368081980000013
是系统A的状态变量微分信号；
Figure FDA0002368081980000014
Figure FDA0002368081980000015
f(x)、G(x)均为不确定的光滑向量函数；
Figure FDA0002368081980000016
Figure FDA0002368081980000017
为输入向量，t为时间；
Figure FDA0002368081980000018
是可测的输出向量，h(x)＝[h1(x)，h2(x)，…hm+1(x)]T，h(x)为不确定的光滑向量函数；
其特征在于，用高反馈增益和高阶滑模项的非线性多输入多输出系统混合式观测器构建步骤如下：
第一步：多输入多输出非线性系统坐标变换与系统分解
在新的坐标系
Figure FDA0002368081980000019
下进行坐标变换，得系统A在新坐标系下的多输入多输出系统标准形式：
Figure FDA00023680819800000110
其中
Figure FDA00023680819800000111
Figure FDA00023680819800000112
Figure FDA00023680819800000113
Figure FDA00023680819800000114
Figure FDA0002368081980000021
(2)式由2个子系统ξ和η组成且子系统都有输入/输出结构；通过对ξ和η的观测能实现对原系统A状态量x的观测；
第二步：鲁棒混合式观测器的设计
对于(2)式所示系统，ξ子系统能看成M个ξi，
Figure FDA0002368081980000022
且每一阶都有微分结构，未知输入量仅会作用于ξ子系统的最高阶方程，此时连续且包含高阶滑模微分算法的滑模观测器能有效地对该类子系统进行观测，一旦滑模面能够达到，则η子系统的未知输入量能用标称动态系统替代，从而确保η的子系统有一致的可观性；基于可测输出量的高增益线性反馈项的设计将确保观测误差渐进收敛于滑模面；
2.1滑模反馈项的设计
定义滑模变量
Figure FDA0002368081980000023
σi的导数由下面的高阶滑模微分估算得到：
Figure FDA0002368081980000024
选择合理的正常数
Figure FDA0002368081980000025
经过有限时间的暂态过程后，得下面的等式
Figure FDA0002368081980000026
式中
Figure FDA0002368081980000027
是σi的k阶导数，得高阶滑模项：
Figure FDA0002368081980000028
其中k＝0，1，…，ri-1，
Figure FDA0002368081980000029
由下面公式计算得到
Figure FDA0002368081980000031
式中，优先选定可调正参数
Figure FDA0002368081980000032
的值，其中，
Figure FDA0002368081980000033
滑模增益ρi必须大于未知输入量的上限值，结合公式(2)所示ξi的M阶动态系统，得如下所示的高阶滑模观测器：
Figure FDA0002368081980000034
其中，
Figure FDA0002368081980000035
在滑模面
Figure FDA0002368081980000036
由(7)式得下面所示的方程组：
Figure FDA0002368081980000037
其中，
Figure FDA0002368081980000038
矩阵
Figure FDA0002368081980000039
是非奇异的，得未知输入向量
Figure FDA00023680819800000310
Figure FDA00023680819800000311
由(9)式可知，当所有的状态量收敛于某个值即
Figure FDA00023680819800000312
时，输入向量
Figure FDA00023680819800000313
能够由滑模函数u重构得到，即
Figure FDA00023680819800000314
动态系统η的估计值的收敛性将由下节所设计的高增益观测器来保证；
2.2滑模面上的高增益反馈的设计
一旦滑模发生，滑模变量将到达并保持在滑模面；根据公式(4)和(9)，动态系统η由下式表示：
Figure FDA00023680819800000315
根据式(10)构建高增益线性观测器如下：
Figure FDA00023680819800000316
式中
Figure FDA0002368081980000045
用于跟随未知输入量，而
Figure FDA0002368081980000041
是线性反馈校正项，L是线性高增益反馈，其值由下式计算：
Figure FDA0002368081980000042
Sθ是是观测器参数0的正函数矩阵，表示为：
Figure FDA0002368081980000043
0为足够大的正常数，能够保证动态误差向量为
Figure FDA0002368081980000044
收敛。
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